第10章二元一次方程组单元测试卷 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第10章二元一次方程组单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共10题.共30分) 1．下列方程是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，含有两个未知数且含未知数的项的次数均为1的整式方程是二元一次方程，逐项分析即可得出结果，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键 【详解】．解：A、中，在分母，不是整式，故不是二元一次方程，不符合题意； B、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； C、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； D、，和的次数均为1，符合二元一次方程的定义，故是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数看成已知数来处理．将x看成已知数，先移项，再将y系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：D． 3．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 4．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为（    ） A．15人 B．39人 C．41人 D．20人 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设有辆车，乘车人数为人，根据今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设有辆车，总人数为人， 依题意得：， 解得：， 即总人数为39人， 故选：B． 5．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 6．方程组的解满足、互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程左右两边分别相加得到． ，根据方程组的解满足、互为相反数得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的解满足、互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在3×3的方格上做填数游戏，要求每行、每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则x，y的值分别是（    ） A．1，－1 B．－1，1 C．2，－1 D．－2，1 【答案】B 【分析】先根据第一行的数求出该行的和，再利用对角线的和与该行和相等列方程求y，接着结合列的和与该行和相等求x，最后验证选项． 【详解】解：首先，计算第一行的和： ∵左上到右下的对角线的和与每行和相等， ∴， 化简得， 解得， 再根据第三列的和与第一行和相等， ， 代入， 得， 即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了三阶幻方的性质，掌握每行、每列及对角线上的数之和相等是解题的关键． 8．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 9．对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值、解方程组，通过假设每个结论错误，验证其余三个结论是否一致，找出唯一矛盾的情况． 【详解】解：假设①错误，则②、③、④正确： 联立②和③：， 解得，，代入④得，矛盾，故①不可能错误． 假设②错误，则①、③、④正确： 联立①和③：， 解得，，代入④得，④正确，代入②得，仅②错误，符合题意． 假设③错误，则①、②、④正确： 联立①和②：， 解得，，代入④得，矛盾，故③不可能错误． 假设④错误，则①、②、③正确： 联立①和②：， 解得，，代入③得，矛盾，故④不可能错误． 综上，错误的结论是②． 故选：B． 10．已知关于的方程组和有相同的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含参数二元一次方程组，求解关键是利用两个方程组解相同，联立无参数的方程求解出和，然后，代入另外两个含参数方程构成的方程组中，求解得出和的值，进一步计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知，由于两个方程组解相同， 联立方程得， 解得， 把代入方程组， 得， 解得， ． 故选：． 二、填空题(每题3分,共6题.共18分) 1．若是关于的方程的一个解，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴代入方程得：， 即， 移项得：， ， 解得：． 故答案为：4． 2．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用含一个未知数的代数式表示另一个未知数． 将x视为已知数，通过解方程求出y的表达式 【详解】解：解方程， 移项得， 两边同时除以2得． 故答案为：． 3．某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．设名工人生产螺栓，名工人生产螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，通过题意找到等量关系，然后列出方程组即可求解． 【详解】解：设名工人生产螺栓，名工人生产螺母， 由题意可得：． 故答案为：． 4．关于，二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的应用，根据方程组表示出是解题的关键．将方程组中的两个方程相加，得到，结合给定条件，即可求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加：， 即， ， ，解得． 故答案为：． 5．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为 ． 【答案】2031 【分析】本题考查二元一次方程组的整数解问题，涉及数的整除性．解题中应用了解方程组的消元法得到未知数的表达式，结合整数解的条件分析出参数满足的条件，通过解方程组得到x和y的表达式，利用整数解的条件得出k满足的条件，再结合k的范围求解． 【详解】解：∵， 解方程组得，， ∵，为整数， ∴和均可以被41整除， 设（m为整数），则； 我们希望能被4整除．我们可以把41和35拆成4的倍数加余数： ∴； 代入上式： ； ∵等式左边是4的倍数，右边前半部分也是4的倍数，所以剩下的也必须是4的倍数． 设（t为整数），即． 把代入： ， 得． ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∴． 故答案为：2031． 6．某车间生产一款工艺茶壶，每把茶壶由一个壶身和一个壶盖两种组件构成，该车间共有4条生产线生产这两种组件．车间规定：每条生产线一天内只能生产同一种组件，但第二天可以更换生产的组件类型．每条生产线每天的生产数量如下表： 生产线组件 甲 乙 丙 丁 壶身/个 25 35 30 25 壶盖/个 35 30 20 40 （1）如果只开通一条生产线，6天最多能生产 把茶壶； （2）如果四条流水线都开通，6天最多能生产 把茶壶． 【答案】 90 415 【分析】本题考查了一元一次方程解决实际问题，正确理解题意是解题关键． （1）根据各流水线生产壶身与壶盖个数，确定6天生产的茶壶个数，即可求解； （2）生产的组件要配套，得出一元一次方程，进而求解分析求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）要生产完整的茶壶，需要1个壶身+1个壶盖，需找到单条生产线6天内壶身和壶盖产量的最优搭配： 设天做壶身，天做壶盖， 甲：， 解得， 取整数，3天壶身、3天壶盖：，，最多75套； 乙：，， 3天壶身、3天壶盖：，，最多90套； 丙：， ， 2天壶身、4天壶盖：，，最多60套； 丁：， ， 3天壶身、3天壶盖：，，最多75套； 对比得单条生产线最多生产90把茶壶； 故答案为：90； （2）要最大化产量，让擅长生产壶身的生产线多做壶身，擅长壶盖的多做壶盖： 壶身效率：乙（35）＞丙（30）＞甲（25）=丁（25）， 壶盖效率：丁（40）＞甲（35）＞乙（30）＞丙（20）， 安排： 乙全程做壶身：， 丁全程做壶盖：， 甲：设天做壶身，产量，天做壶盖，产量， 丙：设天做壶身，产量，天做壶盖，产量， 总壶身：， 总壶盖：， 令壶身=壶盖： 整理得， 取整数解：，， 此时壶身，壶盖，刚好匹配， 最终四条生产线6天最多生产415把茶壶． 故答案为：415． 三、解答题(每题9分,共8题.共72分) 1．已知和都是方程的解，求与的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，注意利用方程的解满足方程得出关于的方程组是解题的关键.由题意根据方程的解满足方程，代入方程，可得关于的方程组，进而解方程组即可得答案. 【详解】解：由和都是方程的解， 可得：， 解得：， ∴的值是，的值是. 2．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题关键是选择合适的消元方法解方程组． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键； 利用消元法，先将y消去解得x的值，再把x的值代入到方程中求y的值． 【详解】解：，得 ，③ ，得 ， 解得． 把代入②，得 ， 解得， 所以原方程组的解为． 4．如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，读懂题意，由等量关系列出方程是解决问题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图形中长宽建立方程组求解即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意可得， 解得， 答：小长方形的长为，宽为． 5．某商场购进商品后，均加价后作为销售价．元旦当天商场开展优惠促销活动，甲商品打折出售，乙商品降价元出售．某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款元．这两种商品的进价之和为元． (1)甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)元旦当天甲商品销售件，乙商品销售件，该天销售甲、乙两种商品的总利润为多少元？ 【答案】(1)甲商品的进价为元，乙商品的进价为元 (2)该天销售甲、乙两种商品的总利润为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）的结论，分别计算甲、乙的利润，即可求解． 【详解】（1）解：设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据题意得， 解得： 答：甲商品的进价为元，乙商品的进价为元 （2）∵甲商品每件利润为销售价减进价：元 乙商品每件利润为销售价减进价：元 销售甲件，利润为元 销售乙件，利润为元 总利润为元 答：该天销售甲、乙两种商品的总利润为元 6．某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)65名 (2)见解析 【分析】（1）由题意可以列出二元一次方程组求解； （2）由题意列出关于、的二元一次方程，然后根据、都是非负整数可以得到解答． 【详解】（1）解：设1辆小客车能坐名学生，1辆大客车能坐名学生， 根据题意，得解得则． 答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生． （2）解：由题意，得，所以． ，为非负整数， ∴或或 ∴租车方案有三种： 方案一：租用小客车20辆； 方案二：租用小客车11辆，大客车4辆； 方案三：租用小客车2辆，大客车8辆． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，由题意正确列出二元一次方程（组）并求解是解题关键． 7．对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 【答案】(1)1 (2)，； (3) 【分析】此题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． （1）把代入方程求出y的值，再根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意分两种情况求解. 【详解】（1）解：当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1． （2）解：∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）解：∵， ∴， 当时，即，解得， 此时为方程的“关联值”， ∵， ∴不存在最小关联值； 当，即，解得或， ∴或， 此时为方程的“关联值”，的最小值为， ∴方程的最小“关联值”为 8．定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第10章二元一次方程组单元测试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（每题3分，共10题.共30分） 1.下列方程是二元一次方程的是() 1 A.x+-=2 B.xy+1=5 C.3x+y=8 D.x+=2 2.已知x,y满足3x-y=7,若要用含x的代数式表示y,则应为() A.-y=7-3xB.y=-4x C.y=3x+7 D.y=3x-7 3.爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相 加恰好等于爸爸的年龄.哥哥和妹妹今年的年龄分别是() A.9岁、7岁B.10岁、6岁 C.12岁、4岁 D.12岁、6岁 4.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车 空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车， 恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为() A.15人 B.39人 C.41人 D.20人 5.若(x-2y+1)2+x+y-5=0,则x,y的值分别是() A.-1,0 B.3,2 C.1,4 D.2,3 2x+y=-3m 6.方程组 的解满足x、y互为相反数，则m为() 2y+x=4m+5 A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 7.如图，在3×3的方格上做填数游戏，要求每行、每列及斜对角线上三个方格中的数之和 都相等，则x,y的值分别是() 2x 3 2 y -3 4y A.1,-1 B.-1,1 C.2,-1 D.-2,1 +y=5 8.己知关于x,y的二元一次方程组 2x-y=0 有正整数解，其中k为整数，则-k2+1的值 试卷第1页，共3页 为() A.-8或0 B.-8或-4 C.-4 D.0 9.对于代数式kx+b,小明分别计算了当x=1,2,3,4时该代数式的值，得到以下四个结论， 嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是() ①k+b=-1;②2k+b=3;③3k+b=5;④4k+b=8. A.① B.② C.③ D.④ 4x+y=-5m「3x-y=-9 10.己知关于x,y的方程组 r-=1和 ar+2y=18有相同的解，则(a+b)20的值是 () A.-1 B.1 C.-2025 D.2025 二、填空题（每题3分，共6题.共18分） x=3 1.若 =-2是关于y的方程m-y=14的一个解，则m的值是 2.已知二元一次方程3x+2y=1,用含x的代数式表示y,则y= 3.某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生 产螺栓12个或螺母18个.设x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，为使每天生产的螺栓 和螺母刚好配套，可列方程组为 4.关于x,y二元一次方程 2x-y=k的解满足3江+y=25,则k的值为 x+2y=5 5.已知k是满足2023<k<2033的整数，并且使二元一次方程组 5x-4y=7 4x+5y=k 有整数解，且 整数k的所有可能的值为■ 6.某车间生产一款工艺茶壶，每把茶壶由一个壶身和一个壶盖两种组件构成，该车间共有 4条生产线生产这两种组件.车间规定：每条生产线一天内只能生产同一种组件，但第二天 可以更换生产的组件类型.每条生产线每天的生产数量如下表： 生产 甲 丙 丁 线组件 壶身/个 25 35 30 25 试卷第1页，共3页 壶盖/个 35 30 20 40 (1)如果只开通一条生产线，6天最多能生产 把茶壶； (2)如果四条流水线都开通，6天最多能生产 把茶壶. 三、解答题（每题9分，共8题.共72分） 1.已知 [x=2「x=3 y=3和{=-2都是方程-y=b的解，求a与b的值 、和 2.解方程组： [2x+3y=32 (1) x=y+1 x+2y=6 ②)13x-2y=-6 √5x-y=7① 3.解方程组： x+V3y=√3② 4.如图，在长方形ABCD中放入5个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中 AB=10,BC=14,求小长方形的长与宽.（用方程组的知识解答） 答：小长方形的长为8，宽为2， 5.某商场购进商品后，均加价40%后作为销售价.元旦当天商场开展优惠促销活动，甲商 品打8折出售，乙商品降价50元出售，某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款398元.这 两种商品的进价之和为350元。 (1)甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)元旦当天甲商品销售50件，乙商品销售40件，该天销售甲、乙两种商品的总利润为多少 元？ 6.某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和 1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人. (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ 试卷第1页，共3页 (2)若学校计划租用小客车m辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐 满.请你设计出所有的租车方案， x=m 7.对于二元一次方程x-2y=2的任意一个解 ,给出如下定义：若m≥m,则称m为 y=n 方程x-2y=2的“关联值”；若m<n,则称n为方程x-2y=2的“关联值”. (1)当x=0时，直接写出方程x-2y=2的“关联值”为 (②)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为」 (3)直接写出方程x-2y=2的最小“关联值”为 8.定义：关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a,b,c互不相同，且均不为0)中 的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“变更方程”.例如：ax+by=c的“变更 方程”cx+by=a. (1)方程2x-3y=4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 (2)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,且ax+by=c与它的“变 更方程”组成的方程组的解恰好是关于x,y的二元一次方程mx+ny=p的一个解，求代数式 (m+n)m-p(n+p)+2026的值. 试卷第1页，共3页