第04讲 菱形（知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

第04讲 菱形（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】菱形的定义 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 注意：菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定. 如图，伸缩晾衣架、自动伸缩门、衣服都有菱形图案. 如图，在菱形ABCD中，由菱形的定义可知AB=BC=CD=AD.因为菱形ABCD的两组对边分别相等， 根据平行四边形的判定定理1，得到菱形必然是平行四边形.所以，菱形是一种特殊的平行四边形. 如图，将四个大小相同的矩形拼在一起，根据矩形的性质定理，里面蕴含了一个菱形. 【知识点02】菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的一切性质之外，还有其他性质，菱形的性质可从对称性、边、角、对角线来研究，如下表: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 边 对边平行 四条边都相等 对角相等 角 邻角互补 对角线 两条对角线互相垂直平分 【知识点03】菱形的判定 1.菱形的判定方法 元素 判定 图示 文字语言 符号语言 边 定义法 四条边都相等的四边形叫作菱形. ∵ ， ∴ 四边形 A B C D 是菱形 定理1 有一组邻边相等的平行四边形叫是菱形 在中，∵ 是菱形 对角线 定理2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在中， ∵ ， ∴ 是菱形 注意：在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等. 2.四边形、平行四边形、菱形的关系 （1）四边形→平行四边形：当四边形满足以下任一条件时，可判定为平行四边形： 一组对边平行且相等，两组对边分别平行， 两组对边分别相等 （2）平行四边形 → 菱形：当平行四边形满足以下任一条件时，可判定为菱形： 一组邻边相等，对角线互相垂直 （3）四边形 → 菱形（直接判定）：当四边形的四条边都相等时，可直接判定为菱形。 注意：(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质.(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线.(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直角三角形，进而可得菱形边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.(4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题. 【知识点04】菱形的面积 面积计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 常见关系 若菱形 A B C D 的对角线相交于点 ，则 （1）Rt ≌Rt ≌Rt ≌Rt ； （2） ； （3） 【题型一】利用菱形的性质求角度 例1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）在菱形中，，则 度． 变式1．杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 【题型二】利用菱形的性质求线段长 例2．下列各项中，菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等 变式1．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 ． 变式2．（22-23八年级下·上海·期中）如图，矩形中，为对角线，为中点，，，当四边形为菱形时，求的值． 【题型三】利用菱形的性质求面积 例3．（24-25八年级下·上海·月考）面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果的面积为6，那么的面积为 ． 变式2．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知线段AC． (1)请用无刻度直尺和圆规作出菱形ABCD，使得（不写作法和结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，如果，则菱形ABCD的面积为______，高为____． 【题型四】利用菱形的性质证明 例4．（2023八年级下·上海·专题练习）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，则四边形OCED是（　　） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 变式1．矩形和菱形都是常见的几何图形，请根据它们的性质，写出矩形和菱形的两个不同点：① ﹔② ． 变式2．已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP． (1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B， ①如图1，当AP⊥CD于点P时，求证：AP=AQ ． ②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由． (2)如图3，在CD的延长线取点N，连接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长． 【题型五】证明四边形是菱形 例5．（22-23八年级下·上海·月考）对角线（    ）的平行四边形是菱形（    ） A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．相交 变式1．（2022八年级下·上海·专题练习）四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，以下能推出ABCD是菱形的是（　　） A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC＝BD C．AB＝BC＝CD＝DA D．AB∥CD，AD∥BC 变式2．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【题型六】添一个条件使四边形是菱形 例6．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·上海青浦·期末）已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【题型七】根据菱形的性质与判定求角度 例7．按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 变式2．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F． (1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______． (2)当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数． 【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长 例8．的对角线，交于点O，以下结论错误的是（   ） A． B．若，则 C． D．不可能是轴对称图形 变式1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知平行四边形中，，，且，则平行四边形的周长为 ． 变式2．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，E、F是对角线上两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 【题型九】根据菱形的性质与判定求面积 例9．如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 变式1．（2022八年级下·上海·专题练习）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ． 变式2．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC． (1)求证：AD＝EC； (2)若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE的面积） 一、单选题 1．如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 2．菱形的两条对角线长分别是和，则此菱形的周长是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示的是伸缩电动门的一部分．电动门在开、关的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 5．下列判断错误的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线平分内角的平行四边形是菱形 C．四个内角都相等的四边形是矩形 D．两对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 6．如图，菱形的两条对角线相交于点O，，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．30 D．32 7．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是 ． 9．如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 10．如图，小强在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，则根据她的作图方法可知，四边形是 ． 11．如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 12．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为 ． 13．如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 ． 14．两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为 ． 15．如图，四边形是菱形，连接，交于点，过点作，交于点．若，，则的长度是 ． 16．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，展开这个角得到一个锐角为的菱形，则剪痕与折痕所成的角的度数应为 ． 17．如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 18．把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 三、解答题 19．如图，已知E，F分别是平行四边形的边的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求平行四边形的面积． 20．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 21．如图，将线段沿过点的直线向右平移至，点A，B的对应点分别为，．若______，请判定四边形的形状，并证明你的结论．请选择下列条件中的一个填写在上述空格上，然后作出判定并证明（给出一种选择解答即可）． ①；②；③； 22．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点F，若菱形的边长为6，，求的长． 23．如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为48，求矩形的面积． 24．如图，四边形是菱形，．求： (1)的度数； (2)求菱形的面积． 25．在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 菱形（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】菱形的定义 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 注意：菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定. 如图，伸缩晾衣架、自动伸缩门、衣服都有菱形图案. 如图，在菱形ABCD中，由菱形的定义可知AB=BC=CD=AD.因为菱形ABCD的两组对边分别相等， 根据平行四边形的判定定理1，得到菱形必然是平行四边形.所以，菱形是一种特殊的平行四边形. 如图，将四个大小相同的矩形拼在一起，根据矩形的性质定理，里面蕴含了一个菱形. 【知识点02】菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的一切性质之外，还有其他性质，菱形的性质可从对称性、边、角、对角线来研究，如下表: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 边 对边平行 四条边都相等 对角相等 角 邻角互补 对角线 两条对角线互相垂直平分 【知识点03】菱形的判定 1.菱形的判定方法 元素 判定 图示 文字语言 符号语言 边 定义法 四条边都相等的四边形叫作菱形. ∵ ， ∴ 四边形 A B C D 是菱形 定理1 有一组邻边相等的平行四边形叫是菱形 在中，∵ 是菱形 对角线 定理2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在中， ∵ ， ∴ 是菱形 注意：在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等. 2.四边形、平行四边形、菱形的关系 （1）四边形→平行四边形：当四边形满足以下任一条件时，可判定为平行四边形： 一组对边平行且相等，两组对边分别平行， 两组对边分别相等 （2）平行四边形 → 菱形：当平行四边形满足以下任一条件时，可判定为菱形： 一组邻边相等，对角线互相垂直 （3）四边形 → 菱形（直接判定）：当四边形的四条边都相等时，可直接判定为菱形。 注意：(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质.(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线.(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直角三角形，进而可得菱形边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.(4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题. 【知识点04】菱形的面积 面积计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 常见关系 若菱形 A B C D 的对角线相交于点 ，则 （1）Rt ≌Rt ≌Rt ≌Rt ； （2） ； （3） 【题型一】利用菱形的性质求角度 例1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）在菱形中，，则 度． 【答案】56 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：56． 变式1．杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，由题意得，，，推出；根据，得出，即可求解； 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型二】利用菱形的性质求线段长 例2．下列各项中，菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角，即可求解． 【详解】解：菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角是解题的关键． 变式1．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分，将菱形的问题转化为直角三角形的问题求解． 菱形的对角线互相垂直平分，已知菱形边长和一条对角线长，先求出该对角线一半的长度，再结合菱形边长在直角三角形中利用勾股定理求出另一条对角线一半的长度，进而得到另一条对角线的全长． 【详解】解：设菱形为，对角线为另一条对角线，交点为O． ∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴，且． 在中，由勾股定理得：． 已知菱形边长，则， 即， ， 解得． ∴另一条对角线． 故答案为：． 变式2．（22-23八年级下·上海·期中）如图，矩形中，为对角线，为中点，，，当四边形为菱形时，求的值． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求角度、利用菱形的性质求线段长 【分析】设出，利用菱形的性质可得，在中，由勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：四边形为菱形， ， 设，则， ∵矩形中，， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形与菱形的性质是解题的关键． 【题型三】利用菱形的性质求面积 例3．（24-25八年级下·上海·月考）面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的面积公式可得，从而得到（，，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，且， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果的面积为6，那么的面积为 ． 【答案】15 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积，连接，根据中点得到进而得到，求出，根据计算解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又∵的面积为6， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知线段AC． (1)请用无刻度直尺和圆规作出菱形ABCD，使得（不写作法和结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，如果，则菱形ABCD的面积为______，高为____． 【答案】(1)见解析 (2)4； 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作垂直平分线，菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点，然后截取，得到四边形即可； （2）先根据菱形的面积等于对角线成绩的一半求出菱形的面积，然后根据勾股定理求出长，根据菱形的面积等于底乘高求出高解题即可； 【详解】（1）解：菱形即为所作； （2）解：∵， ∴菱形的面积为， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的高为， 故答案为：，． 【题型四】利用菱形的性质证明 例4．（2023八年级下·上海·专题练习）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，则四边形OCED是（　　） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B 【知识点】证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明即可． 【详解】解：∵DE∥AC，CE∥DB， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，掌握有一个角是直角的平行四边行是矩形是解题的关键． 变式1．矩形和菱形都是常见的几何图形，请根据它们的性质，写出矩形和菱形的两个不同点：① ﹔② ． 【答案】 矩形的对角线相等；（答案不唯一） 菱形的对角线互相垂直．（答案不唯一） 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】根据矩形和菱形的性质，然后判断它们性质的不同点，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 矩形的性质有：两组对边平行且相等；每个内角都是90°；对角线互相平分且相等； 菱形的性质有：两组对边平行且相等；四条边都相等；对角线互相平分且垂直； ∴不同点有：①矩形的四个内角都是90°；②矩形的对角线相等；③菱形的四条边都相等；④菱形的对角线互相垂直． 故答案为：矩形的对角线相等；菱形的对角线互相垂直．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质进行分析． 变式2．已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP． (1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B， ①如图1，当AP⊥CD于点P时，求证：AP=AQ ． ②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由． (2)如图3，在CD的延长线取点N，连接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长． 【答案】(1)①见解析；②成立，理由见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①由菱形的性质得出BC=CD，，证明，由菱形的面积公式可得出答案； ②过点A作于M，于N，证明，由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点A作于点H，由直角三角形的性质求出HN，DH的长，则可得出答案． 【详解】（1）①证明 ：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，， ∴∠B+∠QCD＝180°， ∵∠PAQ＝∠B， ∴∠PAQ+∠QCD＝180°， ∴∠APC+∠AQC＝180°， ∵AP⊥CD， ∴∠APC＝90°， ∴∠AQC＝90°， ∴AQ⊥BC， ∵S菱形ABCD＝， ∴AP＝AQ； ② 当AP与CD不垂直时，①中的结论仍然成立； 证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N， ∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD， ∴S菱形ABCD＝BC•AM＝CD•AN， ∵BC＝CD， ∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠PAQ＝∠B， ∴∠PAQ+∠C＝180°， ∴∠AQC+∠APC＝180°， ∵∠AQM+∠AQC＝180°， ∴∠AQM＝∠APN， 在△AMQ和△ANP中， ， ∴． ∴AP＝AQ； （2）如图，过点A作AH⊥CD于点H， ∵∠ANC＝45°， ∴∠NAH＝45°， ∴AH＝HN， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝6， ∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°， ∴DH＝AD＝3， ∴AH＝=DH＝3， ∴HN＝， ∴DN＝HN﹣DH＝． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等直角三角形解决问题． 【题型五】证明四边形是菱形 例5．（22-23八年级下·上海·月考）对角线（    ）的平行四边形是菱形（    ） A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．相交 【答案】A 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判断即可． 【详解】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分、相等和相交不一定是菱形； ∴B、C、D不符合题意，错误； 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的判定，解决此题的关键是熟知菱形的判定 ①四条边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形；③一组邻边相等的平行四边形是菱形． 变式1．（2022八年级下·上海·专题练习）四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，以下能推出ABCD是菱形的是（　　） A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC＝BD C．AB＝BC＝CD＝DA D．AB∥CD，AD∥BC 【答案】C 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定． 【详解】解：A、OA＝OB＝OC＝OD，是矩形，错误，不符合题意； B、AC＝BD不能证明，错误，不符合题意； C、AB＝BC＝CD＝DA，四条边都相等的四边形是菱形，正确，符合题意； D、AB∥CD，AD∥BC，是平行四边形，错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 变式2．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点，利用平行四边形的性质求得，再证明和全等，得到，说明点、点和点重合，据此即可证明四边形是菱形； （2）利用平行四边形的性质求得，由已知得到，由三角形的外角性质和三角形的内角和定理求得，，结合求得，据此即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点、点和点重合，即于点， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质． 【题型六】添一个条件使四边形是菱形 例6．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了证明四边形是菱形、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，证明，得出，从而可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合各选项逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， A、∵， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； C、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； D、添加不能说明四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·上海青浦·期末）已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据菱形的判断条件，即可解答． 【详解】解：如图所示， A．，不能判断平行四边形是菱形，故A不符合题意； B．，不能判断平行四边形是菱形，故B不符合题意； C．， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形，故C符合题意； D．，不能判断平行四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【答案】添加的条件为：（答案不唯一），证明见解析 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解∶添加的条件为∶（答案不唯一） 证明∶∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【题型七】根据菱形的性质与判定求角度 例7．按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 变式1．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 变式2．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F． (1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______． (2)当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数． 【答案】(1)45° (2)60° 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、根据菱形的性质与判定求角度、利用平行四边形的判定与性质求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）联结CG，BG，证△DCG≌△BEG（SAS），得到BG=DG，∠CDG=∠EBG，再证△BGD是直角三角形，即得△BGD是等腰直角三角形，即可由等腰直角三角形的性质求解； （2）延长AB、FG相交于H，联结DH，先证四边形ADFH是平行四边形，再证平行四边形ADFH是菱形，得∠HDF=∠ADF=60°，△DGF≌△DBH（SAS），得∠GDF=∠BDH，即可得∠BDG=∠HDF，可求解． 【详解】（1）解：∵平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD， ∴∠ECF=90°， 联结CG，BG，如图2， ∵G是EF的中点， ∴CG=EG=GF， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45°， ∴∠BAE=∠BEA=45°， ∴BE=AB， ∴BE=CD， ∴∠FEC=∠BEA=45°， ∴∠BEG=135°， ∴∠EFC=∠FEC=45°， ∴∠GCF=∠EFC=45°， ∴∠DCG=135°， ∴∠DCG=∠BEF， 在△DCG和△BEG中， ， ∴△DCG≌△BEG（SAS）， ∴BG=DG，∠CDG=∠EBG， ∵∠CDG+∠GDB+∠CBD=90°， ∴∠EBG+∠GDB+∠CBD=90°， ∴∠BGD=90°， ∴△BGD是等腰直角三角形， ∴∠BDG=45°； 故答案为：45°； （2）解：延长AB、FG相交于H，联结DH，如图， ∵FGCE， ∴ADHF， ∵AHDF， ∴四边形ADFH是平行四边形， ∵∠ABC=120°， ∴∠DAB=60°，∠ADC=∠ABC=120°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF=∠DAF=30°， ∵AHDF， ∴∠DFA=∠BAF=∠DAF=30°， ∴DA=DF，∠AEB=∠FEC=30°， ∴平行四边形ADFH是菱形，CE=CF， ∴∠HDF=∠ADF=60°， ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH， ∴FG=HB， 在△DGF和△DBH中， ， ∴△DGF≌△DBH（SAS）， ∴∠GDF=∠BDH， ∴∠BDG=∠HDF=60°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键． 【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长 例8．的对角线，交于点O，以下结论错误的是（   ） A． B．若，则 C． D．不可能是轴对称图形 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和菱形的判定和性质，轴对称图形的判断，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 根据平行四边形的性质可判断A，C，由得到是菱形，进而可判断B，D． 【详解】解：∵平行四边形的对角线，相交于点O， ∴，，故A，C正确，不符合题意； 若， ∴是菱形 ∴，故B正确，不符合题意； ∴此时是轴对称图形，故D错误，符合题意． 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知平行四边形中，，，且，则平行四边形的周长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据题意推出四边形是菱形，由勾股定理即可求得的长，继而求得菱形的周长． 【详解】解：如图，、交于点， 平行四边形中，， ，四边形是菱形， ， 菱形的周长， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，E、F是对角线上两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解答的关键． （1）连接交于O，利用平行四边形的性质得到，，证得即可证得结论； （2）由勾股定理求得，根据菱形的判定证得四边形是菱形，则有，由勾股定理得，进而求得，利用求解即可． 【详解】（1）证明：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 则， 解得， ∴， ∴． 【题型九】根据菱形的性质与判定求面积 例9．如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的． 【详解】是菱形 的面积 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键． 变式1．（2022八年级下·上海·专题练习）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图所示： 四边形是菱形，周长是40，， ，，， ， ， 菱形的面积， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的面积公式． 变式2．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC． (1)求证：AD＝EC； (2)若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE的面积） 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）由，，可证得四边形为平行四边形，又由是边上的中线，可得，即可证得四边形 是平行四边形，继而证得结论； （2）由，易得四边形 是菱形，继而求得． 【详解】（1）证明：，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：，， ， 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形， ，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定与性质．注意证得四边形是平行四边形是关键． 一、单选题 1．如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的判定定理得到是菱形，得到，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 2．菱形的两条对角线长分别是和，则此菱形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出菱形的边长是解题的关键． 根据题意画出图形，由菱形的性质求得，，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴此菱形的周长为． 故选：B． 3．如图所示的是伸缩电动门的一部分．电动门在开、关的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，即可得出结论． 【详解】解：A、由菱形的对角相等可得，选项说法正确，不符合题意； B、由菱形的邻角互补可得，选项说法不正确，符合题意； C、由菱形的四条边都相等可得，选项说法正确，不符合题意； D、由菱形的四条边都相等可得，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，故C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， 故不能判定平行四边形为菱形，故D符合题意； 故选：D． 5．下列判断错误的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线平分内角的平行四边形是菱形 C．四个内角都相等的四边形是矩形 D．两对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； B、一条对角线平分内角的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； C、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，不符合题意； D、两对角线互相垂直且平分的四边形不一定是矩形，错误，符合题意． 故选：D． 6．如图，菱形的两条对角线相交于点O，，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．30 D．32 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理． 由勾股定理，结合菱形的性质，可得，从而可得的面积，进而可得菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故选：B． 7．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 二、填空题 8．如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，进行列式，可求解四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：8． 9．如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：需添加的一个条件是，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 10．如图，小强在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，则根据她的作图方法可知，四边形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查了作图复杂作图、作线段的垂直平分线、菱形的判定．根据四条边都相等的四边形是菱形即可得答案． 【详解】解： 分别以点，为圆心，以大于长度的长为半径画弧，两弧相交于，， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形 11．如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出．本题属于基础题，难度不大． 由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 为直角三角形． ，且点为线段的中点， ． ． 故答案为：24． 13．如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质及面积求法，三角形面积公式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点作于点，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式，得到，证明是等腰直角三角形，从而得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：连接，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴由勾股定理可得，， ∵， ∴． 故答案为：． 14．两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，得出四边形是菱形是解题的关键．作交的延长线于点E，交的延长线于点F，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解四边形的周长． 【详解】解：如图，作交的延长线于点E，交的延长线于点F， 四边形是两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起的重合部分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长为， 故答案为：． 15．如图，四边形是菱形，连接，交于点，过点作，交于点．若，，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质，利用勾股定理求得边长，等面积法求得，在中，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，． ，， ，， ． ， 菱形的面积为， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，展开这个角得到一个锐角为的菱形，则剪痕与折痕所成的角的度数应为 ． 【答案】40°或50° 【分析】本题考查了菱形的性质和折叠问题的应用，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，理解题意是解此题的关键． 根据题意知折痕是和，只要求出和即可，根据菱形的每一条对角线平分一组对角求出即可． 【详解】解：如图，四边形是菱形， ，，． ， ， ，， 即剪痕与折痕所成的角的度数应为或． 故答案为：或． 17．如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质（对角线平分内角、各边相等）、直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理），解题的关键是通过构造将待求式转化为，再利用点M位于边上时取等号确定的最小值，进而求出的最小值． 由菱形性质得；过M作，在中，由角性质得，故；过A作，在中，由得，故，再用勾股定理算得；又（点M位于边上时取等号），因此，即的最小值为． 【详解】解：如图，过点A作于T，过点M作于H． ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又由知， ∴， ∴， （点M位于边上时取等号） ， ， ∴的最小值为， 故答案为． 18．把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 翻折变换的性质及正方形的判定进行可得四边形是是菱形，据此分析从而得到最后答案． 【详解】解：（1）一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． （2）有一个内角为的菱形，出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 故，a的值等于， 或是， 故答案为：（1）；（2）或. 三、解答题 19．如图，已知E，F分别是平行四边形的边的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形性质得到，结合题意得到，证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到，即可得出结论； （2）过点A作于点H，证是等边三角形，得出，由勾股定理求出的长，再由平行四边形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 点E、F分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ，点为的中点， 平行四边形是菱形； （2）如图，过点A作于点H， 由（1）得：四边形是菱形， ， 点E是边的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形特征，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 20．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 【答案】(1)菱形 (2) 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，正确理解作图是解题的关键． （1）根据四边形相等的四边形是菱形即可证明； （2）根据菱得到，由平行得到，再由邻补角即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 证明：由作图可得， ∴四边形是菱形， （2）解：四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图，将线段沿过点的直线向右平移至，点A，B的对应点分别为，．若______，请判定四边形的形状，并证明你的结论．请选择下列条件中的一个填写在上述空格上，然后作出判定并证明（给出一种选择解答即可）． ①；②；③； 【答案】见解析 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定．先根据平移的性质，推出四边形为平行四边形，对于①推出，得到四边形为矩形；对于②，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可；对于③证明，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可． 【详解】解：∵将线段沿过点的直线向右平移至， ∴，， ∴四边形为平行四边形； 当选择①时：四边形为矩形； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 当选择②时，四边形为菱形； ∵四边形为平行四边形，且， ∴四边形为菱形； 当选择③时，四边形为菱形； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 22．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点F，若菱形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运用所学知识，采用数形结合的思想是解题关键． （1）先根据菱形的对角线互相垂直能得到，然后再结合题意即可证明四边形为矩形； （2）先判断与均为等边三角形，然后利用勾股定理计算出长，再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，即， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴为等边三角形，， 由（1）可知四边形为矩形，， ∴， 在中，． 23．如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为48，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，求得，得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的面积公式得，根据菱形的性质得，，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形的面积为48， ∴，，， ∴， 矩形的面积． 24．如图，四边形是菱形，．求： (1)的度数； (2)求菱形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质平分，从而得到，再求得的度数； （2）由菱形的性质求得，在中，由，可得，再根据勾股定理求得的长度，再根据计算可得；根据计算可得. 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴垂直平分平分和平分和，， 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵垂直平分， ∴是直角三角形， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】考查了菱形的性质，勾股定理解三角形，等边三角形的判定和性质等，解题关键是根据菱形的性质得到角与角之间的关系、线段与线段之间的关系. 25．在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）由折叠得，，再由勾股定理得，可得，最后由勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得，， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （2）解：由折叠得，， 在中，， ， ， 在中，， ； （3）解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $