第06讲 平行线的性质（知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第06讲 平行线的性质（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的性质1 1. 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 . 简述：两直线平行，同位角相等. 2.表达方式：如图，因为a∥b(已知)，所以∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). 【知识点02】平行线的性质2 1. 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述：两直线平行，内错角相等. 2. 表达方式 如图，因为a∥b(已知)，所以∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等). 【知识点03】平行线的性质3 1. 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述：两直线平行，同旁内角互补. 2. 表达方式 如图2.3-5，因为a∥b(已知)，所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补). 【题型一】两直线平行同位角相等 例1．（2023·广西桂林·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，a//b，∠1=60°，则∠2的度数是（    ） A．120° B．60° C．45° D．30° 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等 【详解】分析：根据平行线的性质可得解. 详解：∵a//b ∴∠1=∠2 又∵∠1=60°， ∴∠2=60° 故选B. 点睛：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 例2．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，直线，相交于点，于点，交于点．若，求的度数． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线性质．先根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”得，再根据垂直的定义得，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 变式1．已知直线，若，则 ． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，平角定义．先根据平行线的性质求出的度数，然后根据平角定义求解即可． 【详解】解：如图，∵直线，， ∴． ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题关键是通过两组平行线，找到中间角作为桥梁，建立已知角和未知角的等量关系． 根据两直线平行线，同位角相等的性质，借助中间角构建与的数量关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． 【题型二】两直线平行内错角相等 例3．如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1=40°，则∠2等于(    ) A．40° B．60° C．50° D．70° 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】利用平行线的性质求解即可. 【详解】如图所示： ∴ ∴ 又 ∴ 故选C. 【点睛】本题主要考查平行线的性质. 变式1．（2023·湖南岳阳·中考真题）如右图，点是的边上一点，于点，，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，由，得到，由得到，再根据平角求出的度数即可． 【详解】解：于点， ∴， ， ， ∵， ∴， 故答案为∶． 变式2．如图，，点分别在上，若，求的大小． 【答案】． 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．根据两直线平行，内错角相等可得，，根据等量代换即可得，可得答案． 【详解】试题解析： ， ， ， ， ． 【题型三】两直线平行同旁内角互补 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行同旁内角互补”可得，，再根据，即可得解． 【详解】解：， ，． ， ． 故选：D． 变式1．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】132° 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】由求得∠BAC，再根据平行线的性质即可解得∠ACD的度数． 【详解】∵，， ∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-42°=48°， ∵， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-48°=132°， 故答案为：132°． 【点睛】本题考查了垂直定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 变式2．（2023七年级下·全国·课后作业）如图所示，，求的度数． 【答案】 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，进而即可求解 【详解】因为，所以（两直线平行，内错角相等）． 因为，所以（两直线平行，同旁内角互补），所以． 因为，所以（两直线平行，内错角相等）． 【题型四】根据平行线的性质探究角的关系 例5．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键． 根据得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 例6．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，折线EOPF在直线AB，CD之间．求之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】通过作辅助线，利用平行线的性质，将角进行转化，从而找出之间的等量关系． 【详解】解：．理由如下： 如图，分别过点O，P作． ， ，， ，即． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的内错角相等性质转化角是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）阮，是中国汉族创造的一种圆体、直项、四弦、十二柱（品）的传统乐器，是唯一以中国古代贤士名字命名的乐器，用于独奏及合奏．其中弦与品相交，品与品互相平行，其部分截图如图所示，，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质， 根据两直线平行同位角相等可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴，． ∵， ∴． 可知A正确，无法确定B，C，D． 故选：A．    变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，已知直线，的顶点O在上，两边分别与、相交于点P，点Q，射线始终在的内部． （1）若，则 ； （2）若的度数为，且，则∠3与∠4的数量关系为 ．（用含的式子表示） 【答案】 /90度 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查的是平行线的性质． （1）由，利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据即可求出结论； （2）利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据由等量代换得，再由（2）即可得到的度数． 【详解】解：（1）， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型五】根据平行线的性质求角的度数 例7．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 例8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，折射光线为，点在射线上．已知，，则 ． 【答案】/35度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．根据得，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线．求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，所以，因为，所以，又因为已知，则的度数可求． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型六】平行线的性质在生活中的应用 例9．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 例10．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 【答案】/106度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用．根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 变式1．（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行公理得到，则由平行线的性质可求出的度数，进而可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【题型七】根据平行线判定与性质求角度 例11．（24-25七年级下·河北·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定．作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 例12．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图，与互补，，则的度数是 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质的应用；先根据同旁内角互补判断两直线平行，再根据平行线的性质即可求解； 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴； 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线，，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 作出如图的辅助线，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【详解】解：如图所示，点A在直线l1上，点B、D在直线l2上，点C在之间，为， ∵直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，四条直线，其中，．若，求的度数． 【答案】． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】先利用平行线的性质，找到与相关的角，再逐步推导的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵与是对顶角， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，解题关键是通过平行线的性质找到角与角之间的数量关系，再结合对顶角相等完成角度的转化． 【题型八】根据平行线判定与性质证明 例13．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）将一副三角板按如图所示方式放置，则下列结论： ①如果，则有；②；③如果，则有④如果，必有； 正确的有 ． 【答案】①②③④ 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，根据平行线的判定定理判断①；根据角的关系判断②即可；根据平行线的性质定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， 即， 故②正确； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 综上所术，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 变式1．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期末）如图，于点，点为上一点，于点，点为上一点，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据题意，易得，则，结合已知条件，得，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在三角形中，点分别是三角形的边上的点，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线性质定理以及判定定理的运用，熟练的运用平行线的判定与性质是解决此题的关键．根据平行线的性质可得，根据已知条件等量代换可得，即可证明，根据平行线的性质，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．将两个平面镜按如图所示的位置放置，光线经过平面镜两次反射后，光线平行（即），若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平角的定义，平行线的性质；由平角的定义得，由平行线的性质，即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 2．如图，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据证得，根据平行线的性质得到，进而求出，再根据对顶角相等得到，据此解答即可． 【详解】解：如图： ， ， ， ∵， ， ． 故选：D． 3．如图，直线相交于点E，且平分，过点B作，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的定义，求得，再由对顶角的性质可知，最后利用两直线平行，同旁内角互补即可得到的度数． 【详解】 解：∵平分，， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 4．如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则∠1的大小是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∵ABCD， ∴∠3＝∠2＝， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．如图，，点E在上，点F在上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质与角度计算，解题的关键是利用平行线性质和直角建立角度关系． 先由结合得与的关系，求出，最后根据平行线性质得与的关系算出． 【详解】 ， ，即， ， ， ， 故选：D． 6．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数以及求一个角的补角，根据题意可知，根据平行线的性质得出，再根据补角的定义求解即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， ∵点E，D，B，F在同一条直线上， ∴， 故选：C． 7．如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分的定义等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 直接利用平行线的性质判断①；先求出的度数，然后利用角平分线的定义可得，即可判断②；利用平行线的性质和可证，然后结合角平分线定义可得，即可判断③；利用平行线的性质可得，，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， 故③正确； ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， 故④正确． 故选：D． 8．如图①，已知长方形纸带，点E、F分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，两块平面镜的夹角，两条平行光线和分别射到两块平面镜上，它们的反射光线的反向延长线与的反向延长线的夹角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，过P作，得到，推出，，得到，同理：，由光的反射定律和对顶角的性质得到，，推出，得到． 【详解】解：过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理：， 由光的反射定律得到：， ∵， ∴， 同理：， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 10．如图，把长方形沿折叠，使D，C分别落在，的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，根据平行线的性质可得，再结合轴对称的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 又由折叠可得，， 故答案为：． 11．当光线从空气斜射入水中时，传播方向会发生改变．如图，水面与水底平行，光线从出发，经过水面点折射到水底处，若为的延长线，，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质和平角的定义，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵水面与水底平行， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12．某工厂生产一批某款自行车，如图是这款自行车放在水平地面l的示意图， ，．当 时，自行车是合格产品，若该款自行车质量检验合格，测得，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查平行线性质，内错角，同旁内角等知识，利用平行的传递得到，根据同旁内角互补得，求出，再利用两直线平行内错角相等得出结果． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 13．如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知，则 【答案】58 【分析】根据平行线的性质得到，由折叠的性质知，，则，进一步得到，即可得到的度数． 本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，本题的解题关键是找出纸条对折后的角度关系，据此即可得出答案． 【详解】解：如图，延长AB得到射线AG， ， ， 由折叠的性质知，， ， ， ， ， ， 故答案为： 14．如图，，BE平分，交AC于点E．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据BE平分，得到，再根据，得到，即可得到结果； 【详解】∵BE平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 15．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒，且，满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系 ． 【答案】 【分析】由题意易得，，设灯转动时间为秒，然后可得，，进而问题可求解 【详解】解：． 又，． ，； 设A灯转动时间为秒， ，， ， 过点C作，如图所示： 又， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查了偶次幂与绝对值的非负性，平行线的性质以及角的和差关系的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 16．已知，点P，Q分别在上，如图，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便停止，此时射线也停止旋转．若射线先旋转45秒，射线才开始转动，当射线旋转时间为 秒时，．（为旋转后对应的射线．）    【答案】或或 【分析】由题意可知，射线再旋转45秒后到达，射线在此过程中旋转．作出，分类讨论旋转度数为和的情况，以及两射线分别与重合时，即可求解． 【详解】解：①若旋转度数为，即，如图所示：   ，， ， ， ， 解得：； ②若旋转度数为，即，如图所示：    由①得：， ， ， 解得：， ③当时，与重合，与重合， 此时， 综上所述：或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行线中的运动问题，将一元一次方程与平行线的性质结合起来．建立分类讨论的依据是解决此题的关键． 三、解答题 17．如图，，与，交于点，，平分，，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点（已知）， （ ） （已知）， （ ） （已知）， （ ） ， 平分（已知） ______（ ） 【答案】对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义 【分析】利用对顶角相等和等量代换得到，由得到，则，由平分即可得到 此题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键 【详解】解：与交于点（已知）， （对顶角相等）， （已知）， （等量代换）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 平分（已知）， （角平分线的定义）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义． 18．完成下面的证明： 如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数? 解：∵BE平分∠ABC （已知） ∴∠2=_________（ ） 又∵∠1=∠2 （已知） ∴∠1=_________（ ） ∴AD//BC（ ） ∴∠C+________=180°（ ） 又∵∠C=110°（已知） ∴∠D=__________． 【答案】；角平分线的性质；；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；70° 【分析】根据角平分线的性质结合题意证得AD//BC，利用平行线的性质可求得∠D的度数． 【详解】解：∵BE平分∠ABC （已知） ∴∠2=∠EBC（ 角平分线的性质 ） 又∵∠1=∠2 （已知） ∴∠1=∠EBC（ 等量代换 ） ∴AD//BC（内错角相等，两直线平行） ∴∠C+∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠C=110°（已知） ∴∠D=70° 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质，熟知对应的判定方法以及性质是解决本题的关键． 19．如图，已知，是延长线上一点，与交于点，，，求证：． 请你补全下面的证明过程，并在括号内填写相应的理由． 证明：，， ， （__________________）， ______． ， ， ______， （__________________）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了同位角相等两直线平行，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由垂线的性质可得，由同位角相等两直线平行可得，由两直线平行同位角相等可得，进而可得，由同位角相等两直线平行可得，由两直线平行内错角相等即可得出结论． 【详解】解：补全证明过程如下： ，， ， （同位角相等，两直线平行）， ， ， ， ， （两直线平行，内错角相等）． 20．已知：如图，在中，．    (1)根据题意，补全图形：过点E画，交于点F； (2)在（1）的条件下，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）用三角板和直尺画平行线即可； （2）根据平行线的性质得到，，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求    （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，画平行线，熟知平行线的性质是解题的关键． 21．（1）如图①， ， ，．求的度数． （写出详细的解题步骤）（提示：过点P作直线） 如图②，，点P在射线上运动， ，． （2）当点P在线段上运动时，直接写出，，之间的数量关系为_______________． （3）当点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出，， 之间的数量关系为____________________________________________________________． 【答案】（1） （2）． （3）或． 【分析】本题主要考查了应用平行线的性质求角之间的关系， 对于（1），作，可得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求出，然后根据得出答案； 对于（2），作，可得，再根据平行线的性质得，然后根据得出答案； 对于（3），分两种情况，仿照（2）解答即可． 【详解】解：（1）过点P作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）． 过点P作， ∵， ∴， ∴． ∴； 故答案为：； （3）如图所示，当点P在之间时， 过点P作， ∵， ∴， ∴． ∴； 当点P在射线上时， 过点P作， ∵， ∴， ∴． ∴. 所以或． 故答案为：或． 22．综合与探究 如图，直线，直线分别与，交于点G，H，N为射线上的一定点，M为射线上的一动点．平分，交于点O． (1)如图1，当时，求的度数． (2)点P在线段的右侧，且． ①如图2，移动点M．当时，求的度数． ②如图3，将绕点H顺时针旋转，且点G在点N的左侧．若保持，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先利用垂直的意义求得，再利用角平分线的意义求得，然后利用平行线的性质，求得； （2）①先利用平行线的性质求得，再利用角平分线的意义求得，然后利用平行线的性质求得，再利用平行线的性质，求得； ②先判断为相等，再说理，先利用平行线的性质求得，再利用角平分线的意义求得， 然后利用平角的意义求得，再用平行线的性质求得，，从而有，再根据平角的意义求得，最后利用平行线的性质证得=． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ON平分， ∴， ∵， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵ON平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； ②， 理由： ∵，， ∴， ∵ON平分， ∴， ∵ ∴，解得：， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，解得：， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的意义，平角的意义，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等． 23．如图，在中，点D在的延长线上，过点A作直线． (1)如图1，点F在直线，之间，连接，，探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，过点C作交于点G，平分，平分，若，求的度数（用含x的式子表示）； (3)如图3，，，射线从的位置开始绕点A逆时针旋转，旋转，同时射线满足，且始终在前面运动，射线平分，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，，即可求解； （2）由平行线的性质可得，，由角平分线的定义可求，由（1）的结论可求解； （3）分三种情况讨论，根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1），理由如下： 过点作， ，， ， ，， ； （2），， ，， ， 平分，平分， ， 由（1）可知：； （3），， ，， 射线平分， ， 当在和之间时， ， ， ， ； 当在的上方时， ， ， 方程无解； 当在直线的左侧时，， ， 方程无解， 综上所述：． 24．如图，，是位于，之间的一点，现作如下操作： 第一次操作：分别作和的平分线，交点为． 第二次操作：分别作和的平分线，交点为． 第三次操作：分别作和的平分线，交点为． 第次操作，分别作和的平分线，交点为．    (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到； （2）先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得； （3）根据和的平分线，交点为，得出；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】（1）解：如图1，过作，   ， ， ，， ， ； （2），理由如下： 如图2，和的平分线交点为，   由（1）可得， ； 和的平分线交点为， 由（1）可得， ； （3）如图2，和的平分线交点为， 由（1）可得， ； 和的平分线，交点为， ； 以此类推，， 当度时，等于． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 平行线的性质（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的性质1 1. 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 . 简述：两直线平行，同位角相等. 2.表达方式：如图，因为a∥b(已知)，所以∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). 【知识点02】平行线的性质2 1. 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述：两直线平行，内错角相等. 2. 表达方式 如图，因为a∥b(已知)，所以∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等). 【知识点03】平行线的性质3 1. 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述：两直线平行，同旁内角互补. 2. 表达方式 如图2.3-5，因为a∥b(已知)，所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补). 【题型一】两直线平行同位角相等 例1．（2023·广西桂林·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，a//b，∠1=60°，则∠2的度数是（    ） A．120° B．60° C．45° D．30° 例2．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，直线，相交于点，于点，交于点．若，求的度数． 变式1．已知直线，若，则 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 【题型二】两直线平行内错角相等 例3．如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1=40°，则∠2等于(    ) A．40° B．60° C．50° D．70° 变式1．（2023·湖南岳阳·中考真题）如右图，点是的边上一点，于点，，，则的度数是 ． 变式2．如图，，点分别在上，若，求的大小． 【题型三】两直线平行同旁内角互补 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，那么（   ） A． B． C． D． 变式1．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，，，，则的度数为 ． 变式2．（2023七年级下·全国·课后作业）如图所示，，求的度数． 【题型四】根据平行线的性质探究角的关系 例5．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 例6．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，折线EOPF在直线AB，CD之间．求之间满足的等量关系，并说明理由． 变式1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）阮，是中国汉族创造的一种圆体、直项、四弦、十二柱（品）的传统乐器，是唯一以中国古代贤士名字命名的乐器，用于独奏及合奏．其中弦与品相交，品与品互相平行，其部分截图如图所示，，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，已知直线，的顶点O在上，两边分别与、相交于点P，点Q，射线始终在的内部． （1）若，则 ； （2）若的度数为，且，则∠3与∠4的数量关系为 ．（用含的式子表示） 【题型五】根据平行线的性质求角的度数 例7．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 例8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，折射光线为，点在射线上．已知，，则 ． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线．求的度数． 【题型六】平行线的性质在生活中的应用 例9．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 例10．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 变式1．（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【题型七】根据平行线判定与性质求角度 例11．（24-25七年级下·河北·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例12．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图，与互补，，则的度数是 变式1．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线，，，则的度数是 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，四条直线，其中，．若，求的度数． 【题型八】根据平行线判定与性质证明 例13．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）将一副三角板按如图所示方式放置，则下列结论： ①如果，则有；②；③如果，则有④如果，必有； 正确的有 ． 变式1．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期末）如图，于点，点为上一点，于点，点为上一点，连接，若，求证：． 变式2．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在三角形中，点分别是三角形的边上的点，，，求证：． 一、单选题 1．将两个平面镜按如图所示的位置放置，光线经过平面镜两次反射后，光线平行（即），若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线相交于点E，且平分，过点B作，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则∠1的大小是(   ) A． B． C． D． 5．如图，，点E在上，点F在上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图①，已知长方形纸带，点E、F分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，两块平面镜的夹角，两条平行光线和分别射到两块平面镜上，它们的反射光线的反向延长线与的反向延长线的夹角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，把长方形沿折叠，使D，C分别落在，的位置，若，则 ． 11．当光线从空气斜射入水中时，传播方向会发生改变．如图，水面与水底平行，光线从出发，经过水面点折射到水底处，若为的延长线，，，则的大小为 ． 12．某工厂生产一批某款自行车，如图是这款自行车放在水平地面l的示意图， ，．当 时，自行车是合格产品，若该款自行车质量检验合格，测得，则 ． 13．如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知，则 14．如图，，BE平分，交AC于点E．若，则的度数是 ． 15．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒，且，满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系 ． 16．已知，点P，Q分别在上，如图，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便停止，此时射线也停止旋转．若射线先旋转45秒，射线才开始转动，当射线旋转时间为 秒时，．（为旋转后对应的射线．）    三、解答题 17．如图，，与，交于点，，平分，，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点（已知）， （ ） （已知）， （ ） （已知）， （ ） ， 平分（已知） ______（ ） 18．完成下面的证明： 如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数? 解：∵BE平分∠ABC （已知） ∴∠2=_________（ ） 又∵∠1=∠2 （已知） ∴∠1=_________（ ） ∴AD//BC（ ） ∴∠C+________=180°（ ） 又∵∠C=110°（已知） ∴∠D=__________． 19．如图，已知，是延长线上一点，与交于点，，，求证：． 请你补全下面的证明过程，并在括号内填写相应的理由． 证明：，， ， （__________________）， ______． ， ， ______， （__________________）． 20．已知：如图，在中，．    (1)根据题意，补全图形：过点E画，交于点F； (2)在（1）的条件下，求证： 21．（1）如图①， ， ，．求的度数． （写出详细的解题步骤）（提示：过点P作直线） 如图②，，点P在射线上运动， ，． （2）当点P在线段上运动时，直接写出，，之间的数量关系为_______________． （3）当点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出，， 之间的数量关系为____________________________________________________________． 22．综合与探究 如图，直线，直线分别与，交于点G，H，N为射线上的一定点，M为射线上的一动点．平分，交于点O． (1)如图1，当时，求的度数． (2)点P在线段的右侧，且． ①如图2，移动点M．当时，求的度数． ②如图3，将绕点H顺时针旋转，且点G在点N的左侧．若保持，请直接写出和之间的数量关系． 23．如图，在中，点D在的延长线上，过点A作直线． (1)如图1，点F在直线，之间，连接，，探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，过点C作交于点G，平分，平分，若，求的度数（用含x的式子表示）； (3)如图3，，，射线从的位置开始绕点A逆时针旋转，旋转，同时射线满足，且始终在前面运动，射线平分，当时，求的度数． 24．如图，，是位于，之间的一点，现作如下操作： 第一次操作：分别作和的平分线，交点为． 第二次操作：分别作和的平分线，交点为． 第三次操作：分别作和的平分线，交点为． 第次操作，分别作和的平分线，交点为．    (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $