专题04 向量数量积的概念及应用（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第三册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04向量数量积的概念及应用 目录 典例详解 类型一、定义法求数量积 类型二、基底法求数量积 类型三、利用数量积求模 类型四、利用数量积求夹角 类型五、利用数量积求投影向量 类型六、数量积的坐标计算 类型七、坐标求向量数量积的最值 类型八、极化恒等式的应用 类型九、投影法求向量数量积的最值 压轴专练 典例详解 类型一、定义法求数量积 1、 定义：已知两个非零向量，，则cos(京，)叫做，的数量积，记作.6，即 a石=acos(a,).零向量与任何向量的数量积为0，特别地，aa=a2 注意：数量积是数量，不是向量。 2、数量积满足的运算律 ()b=(ab);a.6=6.京（交换律）；a.(6+)=.6+.(分配律). 例1.(25-26高二上江苏连云港期末)已知日=1，园=2，且a与五的夹角为120，则a-b=() A.1 B.-1 C.5 D.-V5 变式1-1.(25-26高二上云南昆明期末)已知空间单位向量a,6的夹角为120°，则（ā+b)万=(） 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. B.-3 C.1 2 n.身 变式1-2.(2026高三·全国专题练习)等边三角形ABC的边长为1，BC=ā，CA=b,AB=c,则 ab+ba+ca=() A.3 B.-3 D.3 2 变式1-3.(2026四川巴中一模)已知平面向量a,6满足1a=2,6=3,a与的夹角为无，则a·(a-)=(). A.7 B.1 C.4-35 D.4+3V5 类型二、基底法求数量积 选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量，将所求的向量用一组已 知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开计算。 例2.（湖南省长沙市2026届高三模拟考试数学试题）在ABC中，AD=】AB,点E为CD中点.若 AC=2,AB=3,则AE.CD= 变式2-1.(25-26高三上福建月考)在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=3,点E是AB的中点，点F 满足BF=2FC,且DF=V3,则EF.DF=一， 变式2-2.(2026贵州六盘水模拟预测)已知A=2,4d=V5,∠B4C=元，则AB.BC=() A.-1 B.-3 C.5 D.2 变式2-3.(25-26高三上·贵州贵阳期末)已知点0为ABC外接圆的圆心，且AB=8,AC=6,则 40.BC=() A.-14 B.-7 C.7 D.14 类型三、利用数量积求模 如果知道a, 的模长，以及京、向量夹角，则可以根据±引=V(信土)2=V2±2+6求 a±向量的模长。 注意：利用平方后计算数量积，但注意最后的结果需要再开方才能得到模长。 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例3.(25-26高一上浙江台州期末)若非零向量a, 的夹角为好，c=a+a5,(-列-6=0，则4的 值为() A司 B.1 25 D. 3 变式3-1.(25-26高一上北京海淀期末)已知=2，=1，ā与6的夹角为120，则a+2的值为() A.2 B.3 c.2 D.√万 变式3-2.(2526高一上湖南邵阳期未)已知平面向量a,6满足a-6=2,且不等式a+≥a-，对任意 2 实数入都成立，则园的值为 变式3-3.（多选）(25-26高一上辽宁沈阳期末)已知向量ā，万，c,其中=1，=5，=2，且 a-b=,则() A.la-=2B.a+=5 C.a+i+d=2D.a+b-c与E洪线 类型四、利用数量积求夹角 根据cos(a,)=三 可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 例4.(25-26高一上浙江宁波期末)已知a,6均为单位向量，且3ā+=√7，则a,6的夹角为 变式4-1.(25-26高二上湖南期末)已知向量a,6满足a=2,=1,且a·b=1,则a与的夹角为() A君 B. n. 变式42.(2026高二上辽宁学业考试)已知d-b=2,2a-2,则(a,=() A. B. c D.3 π 变式43.(25-26高二上湖南长沙月考)已知非零向量a,五的模长相等，且a-=a+2,则向量ā， b的夹角为() A君 B C2 3 D. 3/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型五、利用数量积求投影向量 根据投影向量公式，向量在上的投影向量： 票6=cos0青 公式比较长，可以从几何角度去 理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。 1.向量的投影数量：向量a在b方向上的投影数量为cos日，当6为锐角时，它是正数；当日为钝角时，它 是负数；当日为直角时，它是0 2.向量的投影向量：向量a在b方向上的投影向量为cos日 3a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度a与b在a方向上射影bcos日的乘积 注意：区分投影向量与投影数量的概念。 例5.(25.26高一上海假期作业)设e为单位向量若向量á满足：a-2,向量a与向量的夹角为2， 31 则a在e方向上的投影为 变式5-1.(25-26高三上上海开学考试)若单位向量ā，6满足a+-√2a-,则ā在6方向上的数量投 影为一 变式5-2.(2025四川凉山一模)已知向量a,无满足=2，a6=1,则a在无上的投影向量为() A五 B.8 c.6 D.Z 变式5-3.(25-26高三上浙江杭州期中)若非零向量a,6满足日==a+,则a+26在方向上的投影向 量为( A.2b B. C. D.6 类型六、数量积的坐标计算 已知非零向量a=(x1,y,b=(x2,y,小6 为向量a、b的夹角 结论 几何表示 坐标表示 模 a-vaa lal=Vx2+y2 4/11 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数量积 a·b=lalbcose8 a.b=x1x2+yy2 cos6=開 cos0=- xty y: 夹角 yivy: a⊥b的充要条件 a:b=0 x1X2+y1Y2=0 a‖b的充要条件 a=λb(b≠0)】 X1X2+yY2=0 X:X2+y y.s a6与ab的关系 a·b≤bl(当且仅当a‖b时等号成立) +yV3+ 例6.（多选)(25-26高二上山东济南月考)在空间直角坐标系中，向量ā=(2，-1，m),6=(-2,1,-2),则下 列选项中正确的是() A.向量(-1,1,1)是6的一个单位向量 B.若|a=3,则m=±2 c若a为t:测a>月 D.若ā在万上的投影向量为b,则m=-3 0 变式6-1.（多选）(25-26高二上四川南充期中)已知空间向量ā=(3，-2,2)，b=(4,3,m),下列说法正确 的是(). A.若2a+b=10,-1,0),则m=-4 B.若a⊥b,则m=-3 C.若ā在万上的投影向量为五，则m只有一个实数解 D.若ā与b的夹角为钝角，则m>-3 变式6-2.（多选）(25-26高一上江苏南通期中)已知向量ā=(1,2)，b=(-1,1,则() A.B.(a+B)=3 B.(2a+b)M(a+2b) C向量20-6与a-25的夹角为号 D.向量ā在万方向上的投影向量为)b 3 变式6-3.（多选）(25-26高二上广东江门·月考)设向量ā=(7，-1)，=(2，-1)，下列结论正确的是() A.d=52 5/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.(a-2b)1i C.a与石夹角的余弦值为3@ 10 D.ā在b方向上的投影向量的坐标为6，-3) 类型七、坐标求向量数量积的最值 建系设坐标，用坐标来表示向量数量积，则数量积是关于参数的函数，可根据函数求最值的方法来最值。 例7.(2025高一全国·专题练习)已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上 的动点，则DE.FC的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 变式7-1.(25-26高三上河北邯郸期中)如图，正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD 上一点，当AE.AF取得最大值时，tanZEAF=() D F B A C. 变式7-2.(2025高三全国.专题练习)已知在矩形ABCD中，AB=2BC=2,若P是CD上的动点，求 PAPB-PABC的最小值， 变式7-3.(25-26高三上北京期中)在平面直角坐标系x0y中，OA=3W2,0B=42,AB=52, M(0,-10),N(10,0),则2MA+ABMN的最大值为() A.280 B.280W2 C.300 D.300√2 类型八、极化恒等式的应用 利用极化恒等式来求数量积的最值。 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：信+2+信-=2信+的】 ②极化恒等式a=引（京+）2（京-）] 2、用极化恒等式的信号： 出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 出现对角线长度已知的平行四边形。 己知两个向量的和向量与差向量的长度。 例8.(25-26高三上北京·月考)如图，正六边形的边长为√5，半径为1的圆0的圆心为正六边形的 中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆0上运动且关于圆心O对称，则MAMB 的最大值为() M A.1 B.2 C.3 D.4 变式8-1.(2025高一·全国.专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2,E,F为BC上的动 点，且EF=√2，则AE.AF的取值范围为一· E B 变式8-2.(25-26高三上山东德州期中)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为三角形ABC内一点（包 括边界)，O为BC的中点，则PA.PO的取值范围是 变式8-3.25-26高三上·安微马鞍山·月考)己知点C在以AB为直径的圆上运动，且AB=2,动点M为平面 ABC内一点，且MA.MB=3,则下列结论正确的是() A.MC的最小值为1 B.CM.AB的最小值为-6 C.MA+MB+2MC的最大值为10 7/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.MA+MB+2MC的最小值为8 类型九、投影法求向量数量积的最值 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去求数 量积的最值或范围。 利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式A·A元=|ABAC|cos<AB,AC>,如其中有一边 AB为固定的长度，则直接根据ACcos<AB,AC>(可看做是AC在AB边上的投影数量)来决定数 量积的范围。 例9.(25-26高三上云南曲靖月考)如图，正方形ABCD的边长为1，P为△BCD的边上一点，则AB.AP 的取值范围为() B A B.[0,1 c.[o,2 D.[0,2] 变式9-1.(25-26高二上·河北邢台·开学考试)我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆 方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”.如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成， 其中小正方形EFHG的边长为1，E为DF的中点，点P在正方形EFHG内（不含边界），则AP.AB的取值 范围为() D G H B A.(1,2 B.(0,4) C.2,4 D.(1,4 8/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式9-2.(2025高三上山西，专题练习)已知AB=6,平面上动点P满足AP-tAB≥4对任意1∈R恒成立， 则PAPB的最小值为 变式9-3.(25-26高三上·甘肃·月考)蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计蜂巢壁的 厚度，峰巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O,M是其中 一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则OM.O示的取值范围是 压轴专练 1.(25-26高三上甘肃临夏·月考)若向量a6满足a=3,=2,a与E的夹角为30，则a-6等于() A.3 B.5 C.25 D.35 2 2.(2026湖南永州二模)己知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E是BC的中点，则AE.AD=() A.1 B.2 C.4 D.6 3.(25-26高三上河北沧州期中)已知向量ā，6满足=3，=5，且ā，6的夹角为60°，则 2a-b=- 4.(25-26高二上湖南长沙月考)已知非零向量a,的模长相等，且a-=a+2,则向量a,五的夹 角为() B D 5.(25-26高三上重庆月考)已知a+=la-=2,aa+2b)=3,则cos(6,a+b)=() A.月 B.3 c D. 6.(多选)(25-26高三上黑龙江齐齐哈尔期末)已知向量ā=（V5,,万=-25,2，c=(x,y,c11a, 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 且(c-a1(-b,则() A.a与万的夹角为n B.a在6上的投影向量为-6 4 c.c=(5, D.=2 7.(25-26高一上福建莆田·期末)已知向量=(n,1,b=(n,-1),则“a1b”是“n=1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(25-26高三上河南·月考)已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字 格中有9个节点（如图加黑的9个点），A,C,B为这9个点中均不相同的三个点，则ACAB的最大值为 () 田字格 A.3 B.4 C.6 D.8 9.(25-26高三上·安徽月考)在等腰梯形ABCD中，AB11DC,AB=2BC=2CD=2,P是线段CD 上的动点，则PA.PB的最小值为() A.-2W2 B. c.-3 D.0 10.(2025高一下江苏南京·专题练习)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一， 图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形 ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP.AB的最小值为() P B 图1 图2 10/11 专题04 向量数量积的概念及应用 目录 典例详解 类型一、定义法求数量积 类型二、基底法求数量积 类型三、利用数量积求模 类型四、利用数量积求夹角 类型五、利用数量积求投影向量 类型六、数量积的坐标计算 类型七、坐标求向量数量积的最值 类型八、极化恒等式的应用 类型九、投影法求向量数量积的最值 压轴专练 类型一、定义法求数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 注意：数量积是数量，不是向量。 2、数量积满足的运算律 ；（交换律）；（分配律）． 例1．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算法则计算出答案. 【详解】. 故选：B 变式1-1．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知空间单位向量的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为， 则， 所以. 故选：A. 变式1-2．（2026高三·全国·专题练习）等边三角形的边长为1，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】应用平面向量的数量积公式计算求解. 【详解】等边三角形的边长为1，，，， 则 . 故选：D. 变式1-3．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 类型二、基底法求数量积 选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量，将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开计算。 例2．（湖南省长沙市2026届高三模拟考试数学试题）在中，，点为中点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量的线性运算，以及数量积的运算律即可求解. 【详解】如图， 因为，， 所以， 又点为中点， 所以,又， 所以. 故答案为： 变式2-1．（25-26高三上·福建·月考）在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 【答案】 【分析】先求得关于的线性表示，然后根据求解出的值，结合关于的线性表示以及数量积公式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：. 变式2-2．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】用表示，根据数量积的定义和运算律求解. 【详解】已知， 因为， 所以. 故选：A. 变式2-3．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知点为外接圆的圆心，且，则（   ） A． B． C．7 D．14 【答案】A 【分析】根据数量积的定义结合三角形外接圆的性质可得，，再根据向量的线性运算与数量积的运算转化求解即可得结论. 【详解】取中点为，连接， 因为点为外接圆的圆心， 所以， 同理可得， 则. 故选：A． 类型三、利用数量积求模 如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长。 注意：利用平方后计算数量积，但注意最后的结果需要再开方才能得到模长。 例3．（25-26高一上·浙江台州·期末）若非零向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，代入可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 可得， 又因为，则，解得. 故选：A. 变式3-1．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】运用向量模长的平方公式，然后代入计算. 【详解】由题意知，， 与的夹角为 ， 所以， ， ， 故选：A 变式3-2．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知平面向量满足，且不等式对任意实数都成立，则的值为 . 【答案】2 【分析】对不等式两边同时平方后得到一个恒成立的不等式，通过构造二次函数，根据二次函数的恒成立问题列方程组求解即可. 【详解】对不等式两边同时平方得 ， 将代入后整理得. 令，则对任意实数都成立， 所以的图象开口向上，且， 即，即，解得，即. 故答案为：2. 变式3-3．（多选）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】ACD 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、判断A、B，进而确定三个向量构成一个直角三角形，再应用向量加减的几何意义、数量积的运算律判断C、D. 【详解】由题设，A对， 由，，， 所以，则，B错， 由上知且，，，，如下图， 显然三个向量构成一个直角三角形，且， 所以，D对， 由， 所以，C对. 故选：ACD 类型四、利用数量积求夹角 根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 例4．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，均为单位向量，且， 所以， 所以， 所以， 所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为. 故答案为：. 变式4-1．（25-26高二上·湖南·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积公式求出与的夹角的余弦值，再求出夹角即可. 【详解】因为 ， 而，则与的夹角为， 故选：B． 变式4-2．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得. 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 变式4-3．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的平方，结合向量数量积公式求解夹角即可． 【详解】对两边平方，展开得：． 则， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 故选：C． 类型五、利用数量积求投影向量 根据投影向量公式，向量在上的投影向量：，公式比较长，可以从几何角度去理解记忆，先求投影数量，再乘上单位向量。 1.向量的投影数量：向量在方向上的投影数量为，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0. 2.向量的投影向量：向量在方向上的投影向量为 3.的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积. 注意：区分投影向量与投影数量的概念。 例5．（25-26高一·上海·假期作业）设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为 【答案】 【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解. 【详解】向量在方向上的投影为：. 故答案为：. 变式5-1．（25-26高三上·上海·开学考试）若单位向量满足，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】对已知等式进行平方，结合平面向量的数量积运算公式、数量投影定义进行求解即可. 【详解】 ， 则在方向上的数量投影为. 故答案为： 变式5-2．（2025·四川凉山·一模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 变式5-3．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将平方化简求出，再利用公式求解即可. 【详解】因， 则， 则， 在方向上的投影向量为. 故选：B 类型六、数量积的坐标计算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 例6．（多选）（25-26高二上·山东济南·月考）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．向量是的一个单位向量 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【分析】利用空间单位向量的坐标运算来判断A，利用空间向量的模的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【详解】由的单位向量是，故A错误； 由，，可得，故B正确； 由为钝角，则， 又当，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：BD. 变式6-1．（多选）（25-26高二上·四川南充·期中）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则m只有一个实数解 D．若与的夹角为钝角，则 【答案】AB 【分析】利用空间向量的垂直、投影向量以及夹角问题的坐标运算，即可求解． 【详解】对于A，因为，所以，A正确． 对于B，因为，所以，得，B正确． 对于C，因为在上的投影向量为，所以， 即，化简可得， 因为，所以m有两个实数解，C错误． 对于D，因为与的夹角为钝角，且与不共线， 所以，解得， 假设，此时无解， 所以与的夹角为钝角，则，D错误． 故选：AB. 变式6-2．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 变式6-3．（多选）（25-26高二上·广东江门·月考）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】对A，根据条件，利用模长的计算公式，即可求解；对B，利用向量垂直的坐标表示，即可求解；对C，利用向量的夹角公式，即可求解；对D，根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以A正确， 对于B，因为，，则，则， 所以与不垂直，故B错误， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为在方向上的投影向量的坐标为，所以D正确， 故选：ACD. 类型七、坐标求向量数量积的最值 建系设坐标，用坐标来表示向量数量积，则数量积是关于参数的函数，可根据函数求最值的方法来最值。 例7．（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，设，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示： 则，，， 设，则，，所以． 所以当时，取得最大值为2． 故选：B． 变式7-1．（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系设，应用数量积的坐标运算得出，最后应用两角差的正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，则，． 设，则，，故，． 所以，当时，取得最大值， 此时． 故选：B． 变式7-2．（2025高三·全国·专题练习）已知在矩形中，，若是上的动点，求的最小值． 【答案】1 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质求得最小值. 【详解】建立平面直角坐标系，并标出各点坐标，其中是的中点，如图． ， 当时，等号成立，故的最小值为1． 变式7-3．（25-26高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（   ） A．280 B． C．300 D． 【答案】C 【分析】先求出，设为中点，进而可以用向量表示出，结合数量积运算律即可解求． 【详解】因为，，， 由，所以，所以． ， 设是中点，，， 因为， 即，当且仅当同向时取等号， 所以 故选：C. 类型八、极化恒等式的应用 1、 利用极化恒等式来求数量积的最值。 (1) 平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：. (2) 极化恒等式 2、用极化恒等式的信号： 出现一动点与两定点（或固定长度的两点）。 出现对角线长度已知的平行四边形。 已知两个向量的和向量与差向量的长度。 例8．（25-26高三上·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】连接、、、，则为的中点， 由正六边形性质得，，而， 因此 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：B 变式8-1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，，为上的动点，且，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】根据题意分别取的中点，由极化恒等式可得，分别讨论的最值情况，从而可求解. 【详解】如图，分别取的中点，则．    当点运动到点时取到最大值，此时， 由余弦定理解得， 此时， 当点都运动到的中点，即点与点重合时取到最小值，， 此时，所以． 故的取值范围为. 故答案为： 变式8-2．（25-26高三上·山东德州·期中）已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 变式8-3．25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 【答案】ABC 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；由向量的数量积公式可知的最小值，判断B选项；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【详解】A选项，设中点为，∵，，且， ∴，∴ 由题意可知，∵， ∴， 即，当，即同向时取得最小值1.故A正确； B选项，， ∵，即， ∴当，即反向时，取得最小值， ∴， 由图可知，当三点共线且在的两侧时，取得最大值为3， ∴，即最小值为，故正确； 选项C、D，， ∴ ， 而 ∵，∴， ∴ ∴， ∴， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误． 故选：ABC. 类型九、投影法求向量数量积的最值 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去求数量积的最值或范围。 利用投影法求数量积的最值：根据数量积公式，如其中有一边为固定的长度，则直接根据（可看做是AC在AB边上的投影数量）来决定数量积的范围。 例9．（25-26高三上·云南曲靖·月考）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 变式9-1．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题中条件设，将正方形的边长等长度求出，在直角三角形中，有，求出，再用向量的数量积公式求解即可. 【详解】   为的中点，设，，，，， ，，， 过作于，过作于，过作于， ，，，，， ，，， ，，，过作于，，，， 又，，. 故选：D 变式9-2．（2025高三上·山西·专题练习）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】利用向量的线性运算可得，即动点到定直线的距离恒为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】 设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为， 取中点为，如图， 则， 此时. 所以的最小值为7. 故答案为：7 变式9-3．（25-26高三上·甘肃·月考）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义求数量积的取值范围. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图，      过作，垂足为，过作，垂足为． 当在、处时，最小，最小值为； 当在、处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 1．（25-26高三上·甘肃临夏·月考）若向量满足与的夹角为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积的定义直接求解. 【详解】. 故选：D. 2．（2026·湖南永州·二模）已知菱形的边长为2，是的中点，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】以为基底表示出，再利用向量数量积的运算律求解. 【详解】， . 故选：C. 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】因为，，且，的夹角为60°， 所以， 所以． 故答案为： 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的平方，结合向量数量积公式求解夹角即可． 【详解】对两边平方，展开得：． 则， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 故选：C． 5．（25-26高三上·重庆·月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由，得到，再结合，求出，进而得到，即可求解的值. 【详解】因为，所以， 即，所以； 因为，所以； 代入 ，得到，得到； . 故选：A. 6．（多选）（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量夹角余弦公式计算求解判断A，应用投影向量公式计算判断B，应用向量垂直及平行的坐标公式计算求解判断C，应用模长坐标公式计算判断D. 【详解】，与的夹角为， 所以A正确； 因为在上的投影向量为，所以B正确； 由且，得， 解得或，则或，所以C不正确； 当时，， 当时，，故D正确. 故选：ABD. 7．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标运算先求出，然后根据充分必要条件的关系判断. 【详解】由题知，若，则， 即，解得， 而是的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8．（25-26高三上·河南·月考）已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，点在原点，任取两点作为向量坐标，求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 9个点的坐标为，，，，，，，，， 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值， 故的最大值为6. 经检验可知，当，，取其他坐标时，的值均不会超过6. 故选：C. 9．（25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 10．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $