安徽师范大学附属中学2025-2026学年第一学期期末教学质量监控高二数学试卷

安徽师范大学附属中学2025~2026学年第一学期期末教学质量监控 高二数学试卷答案 1.D【详解】根据题意：向量3-)所在的直线斜率为-5，设直线1的顿斜角为9，则an0=- ,所以可得倾 3 3 .选D 斜角为6 m+2>0 24【详解】因为方程士，+广=1表示的曲线为椭圆，所以{6-m>0,解得-2<m<6且m≠2.选A m+26-m m+2≠6-m 3.B【详解】对A, 6 =0,放A错误：对8，（您xi0故B正：对c,(2四=2n2,放C 1 不正确：对D, ( 2派，故D错误透B 2= 4.C【详解】，{a}是等比数列，.8a,=a,45=aG,4,≠0，所以a=8,即b,=4,=8, {b}是等差数列，所以b,+b=2b,=16.选C 5.D【详解】对于A:ā在b上的投影向量为同同 的在8-05，A错： 21 对于B:{a,b,c}是空间的一组基底，而a+2b+c=(a+b)+(⑥+c),即a+b,五+c,ā+25+c是共面向量，故 {a+b,6+c,ā+2b+c}不是空间的一组基底，即B错误. 对打c在o-号0a-远0c中}名1，放P,AB,c四点不，c错， 2 362 对10：cos(a列-器g0品则10r-3>0,可得osa可≥0 若a,万共线，则3x9 1=1=x 解得x30即当时，a,6不共线，a0为角，故0正确远D 6.B【详解】由题意知数列{a}满足4=1,4n=4m-1+1,a+1=42m+2, 所以42+1=42m+2=a2-1+3.所以数列{a}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由a2+2=am+1+1=a2n+3知数列{a}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列. 从而数列{4}的前20项和为： S三a+a+a++a.)+Q+a+a++a,0x1±02x3+10x2土03=300.选B -1- 7.D【详解】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y-5)2=1的圆心为C(0,5),半径r=1, 根据抛物线的定义可知，点P到准线的距离等于点P到焦点的距离， 由图知，当P,Q,F三点共线时，P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和最小， 且最小值为FC-r=V1-0)'+(0-5)'-1=√26-1.选D 8A【详解】连接耳A,FB,根据题意，，A,C三点共线，耳，B,D三点共线. 而cos∠RAB=Qow∠AC=号，且由6D=0知∠RBA=子 故84 FB VIAI-148 RA 5FA FA =改可设K四-，M,A=立 由于4a=2a+2a=(FAF4h(FB-FBFA+FB十4十有B) =FA+FB-AB=5t+3t-4t=4t,故a=t,从而EA=5a,FB=3a,故EA=3a,F,B=a, 而cos∠RRA=-cos∠RR,B,结合余弦定理得A+E-RA.EB+RR1-B1」 2FF FA 2FF FB c10 散r4e2a-4+4e0,解很行-所以e厅 .选A 2.2c.3a 2.2c.a 2 9.BD【详解】对于A选项，在正方体ABCD-AB,CD中，AB,/1DC 即∠ADC为异面直线AB与AD所成角， D B 因为AD=DC=AC=V1+1=√2，所以△ADC,为等边三角形， 因此∠ADC号故A错误 C 对于B选项，因为BB,⊥平面ABCD,所以BD是DB在平面ABCD上的射影， B 那么直线DB与平面ABCD所成角为∠BDB, 在RIAB DB中，BD=√AD'+AB2-√2，B,D=√BD2+BB2=V5 则si∠B,DB=BB-1=56 DB,有33，cos∠BDB=号故B正确 对于C选项，以D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系. 则00,0la1少，那么丽-Q-1)丽-（o -2 根据点到直线的距离公式： EB·ED d EB ED 1 又丽丽-4=55，代入可得d 5 0.故C不正确： 2 对于D选项，A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0), iAB=0 x-z=0 设平面ABD的法向量为i=(x,y,z）,则 所以 nAD=0' -2=0令z=1,得y-l,x=1,所以元=，1， 所以点D到平面ABD的距离d,= 4D列↓3 因为平面ABDI平面BCD, 网33 所以平面4BD与平面B,CD间的距离等于点D到平面ABD的距离，即该距离为5，故D正确：选BD 3 10,ABC【详解】对于A,在等差数列中，3：=15a+a-15x24=1m>0,则4>0， 2 2 S。=16(a+ad=8(4+4)<0,由于4>0，则a,<0,所以等差数列{a}的公差小于0，则 2 4>42>.>4>0>4,>4o…,则n=8时，Sn最大，故A正确： 对于B,cos2m=sin2(90°-n）,S。=cos21+cos22°+cos23°+.+cos289, Sg=cos289°+c0s288+c0s287°++cos21°， cos289°=sin21°，cos288°=sin22°，cos287°=sin23°，.cos21°=sin289°， .2Sg=(cos21°+cos289）+(cos22°+c0s288)+.+(cos289°+c0s21）, 2(esrr1(oszm2).1k90,8=号B正： 2×31 2×3+ (a.-1)(a1-1) 的前n项和 =1 r-g,出T0暖到 3 2×31 (a。-1(a-1)j 的前0项和小于后枚cE稀： 对F0,数列满足42，&+1，则a,1),4 -1-1,a=1-(61)-2, 3 所以数列a}是周期为3的数列，计算一个周期内的柔积：44=1,4%=4=2，放a4+a4+44= 3 所以442+a,4+4,a4+..+a202sa2o26=675(a42+4,4,+4,4)=675 2,枚D不正确：选ABC 202 也=5 a a=1 11.ACD【详解】由 49 (61 b=3,所以双曲线C的方程为r-上=1. 3 所以c=V2+b2=2,所以顶点坐标为A(-1,0),B(1,0),焦点F(-2,0),(2,0) 对A:当∠RPR=2亚时， 3 PRI-PRI=2 gco2-161. 所以子1Pssm×4x5,放A正确： B(GF2 3-2 2 对8：设Q(1,1),由点差法得出kko0-是，ke=3,F的直线方程为3x-y-2=0,直线与曲线方程联立 2-号=1，消y得到602-12x+7=0,△<0，此方程无解。所以不存在符合条件的直线，故B错误： 3x-y-2=0 对C:设△P?E的内切圆为圆H,与PF,PP,相切于M,N, PMI=PN,FM =FG,EN=EG. 又Pr-PF=2→PM+EM-PW-FW=2→FM-E,N=2→|EG-E,G=2,故c正确： 对D:因为p四3，，P网=人S,且∠D理-号由余弦定是， 2 2 o--ox))s 4 3生2Bx-3G- 2 4 因为气≥L,所以Da≥3-}（当=1时取等号，即D≥故D正确途AcD 44 2 12.【答案】2√2【详解】由题意知，两圆的方程相减，得x-y+2=0, 即为直线AB的方程，x2+y2=4的圆心到x-y+2=0距离为d=V2,r=2所以AB=2W2-d亚2=2W2 1a【答案1x于子5-0【详解】由e)-/固6oa,得了()=了得+mx -4 令子则)引o于m好.解得r)5,所以r)-m+m, 所以w在-处的切线方根的制事为/o受血好1，又侣侣}号及5. 所以切线方程为：y-5=受即-v号+5=0或v=x-受5放答案为：-y-+5=0 14.【答案】 【详解】易知yy2=-p2,x1x=子由ON.ON=OM0N(-).OiON=X1x2+y1y2=-D2 所以oM0N号p2,所以/MOF·siNO--恶-票-号 p2 15.【答案】(1)an=n 2)2,=32+3 44×3 【详解】(1)2Sn=a+a,当n=1时，2S=G+a4,得a=1或4=0（舍）， 当n22时，2Sn-1=4-1+a1,.2a.=2S-2Sn-1=4+a.--1-a-1 即a。+a=(a+a1)(a-a-1)，数列{a}的各项均为正数，即a+a1>0, .a。-a1=1(n≥2)，即数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a=n. (6分) 2)-景是有是+字+@ 123 ①-②得： 3”3*= 1 1 - (13分) 16.【答案】(1)(x-2)2+(y-1)2=5; (2)x=1或3x-4y-7=0. 【详解】(1)因圆心在直线y=x-1上，则设圆c的圆心坐标为C(a,a-1), 由圆c过点A(42)和点B(13),得Va-4)+(a-3}=√(a-1)2+(a-4)→a=2. 则圆的半径为√(a-1)'+(a-4=V5,所以圆c的方程为(x-2'+(y-1)=5. (5分) (2)设圆心C到直线1的距离为d,由|被圆C截得的弦长为4，则有4=2W5-d→d=1. 当直线1的斜率不存在时，其方程为x=1,此时d=1,符合题意； 当直线1的斜率存在时，设其方程为y+1=k(x-1),即kx-y-k-1=0. -5- 由d=1, 2k-1-k-」-13k=3所以直线1的方程为3x-4y-7=0. Vk2+1 4 综上，直线|的方程为x=1或3x-4y-7=0. (15分) 17.【答案】(1)+=1：(2)直线N恒过定点(-1，-). 4 【详解】①销C若+茶-1ab0过点4@.即-1，b=1: .又a-公-2，a=2,椭圈C的方程郑号+y-1 (5分) (2)当直线MN斜率不存在时，设直线方程为x=t,则M(t,S),N(t,-s) 则=店-，太+名=子2，解得：=1，直线方程为1 -t-t -t x2+4y2=4 当直线N斜率存在时，设直线方程为y=+m,联立方程组 得：（4k2+1)x2+8ax+4m2-4=0, y=kx+m _4m2-4(*), 股NM0N收22测+，4+ 则k+k=当-+业-15+y-6+)西，+-1)+3) XX2 XX2 将*式代入化简可得：88%=2，即(k-m-1(m-1)=0,整理得：k=m+1, 4m2-4 代入直线N方程得：y=(m+1)x+m=m(x+1)+x, =x，解得：=-1，y=-1, x+1=0 即m(x+1)+x-y=0,联立方程组{ .直线MN恒过定点(-1，-1)；综上所述：直线N恒过定点(-1，-1). (15分) 18.【答案】(1)证明见解析 a@5@#在，器3425 3 【详解】(1) 取PA中点N,M为PD中点， MN/IAD,且MW=AD=l,又：BC=1,BCAD,BCIlMN,且BC=MN, .四边形BCN为平行四边形，即CMIBN,:BNC平面PAB,CM丈平面PAB, .CM∥平面PAB; (4分) (2)①：PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 则以点A为坐标原点，AB,AD,AP方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， -6- 得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2), .AB=(1,0,0),AP=(0,0,2),PD=(0,2,-2),CD=(-11,0), 因为PA⊥平面ABCD,且PAC平面PAB, 所以平面PAB⊥平面ABCD, 又因为平面PABO平面ABCD=AB,AB⊥AD,ADC平面ABCD, 所以ADL平面PAB, 所以平面PB的一个法向量为兮4D=4=(010). 设平面PCD的法向量为n=(x,y), PD.2,=2y-2z=0 则 CD.2=-x+y=0 令x=1,则乃=11,1)， 1 .C0Sn1,n2= h·2 V3 1V12+12+123 .平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为 6 (10分) 3 ②存在点Q满足题意，易知BD=（-1,2,0),AD=(0,2,0), 假设存在点Q满足题意，设BQ=BD=(-1,21,0),0≤1≤1， ∴2(1-2,22,0)，AQ=(1-元，2,0)，设平面PAQ的法向量为%=(a,b,c), AP.2,=2c=0 40%=(1-2)a+22b=0令a=21,则乃=(2，元-10)， 则 AD.n 所以点D到平面PAQ的距离d= 2(a-1 =1 V(22)+(2-1)2 化简可得2+6A-3=0,解得2=-3+25或元=-3-2N5(舍去)，即0-3+25. (17分) BD 19.【答案】(1)P2(4,-4):(2)证明见解析；3)证明见解析. 【详解】(1)点P1(1,-2)代入抛物线C:y2=2px(p>0)中，得p=2,则抛物线方程为y2=4x. 过点P1(1,-2)且斜率为4的直线方程为y=4x-6,与C的方程联立，消去×，得Q1(,3), 过点Q1(,3)且斜率为-4的直线方程为y=4x+12,与C的方程联立，消去×，得P2(4-4). (4分) (2)由题意知，Pn&vyn),Qn(&vyn),Pn+1(&n+1,yn+i) -7- 过点Pn(&yn)且斜率为k的直线PnQn的方程为y-yn=k(x-xn), 与C的方程联立，消去x,化简得y2+y-yn-4x=0. 由根与系数的关系可得yn=-yn-4 过点Pn+1&n+1,yn+1)且斜率为k的直线Pn+1Qn+1的方程为y-yn+1=-k(-Xn+1), 与C的方程联立，消去x,化简得y2+y-y+1-4+1=0 由根与系数的关系可得yn+1ya=-ya+1-4a+1 则yt1=a+=a+1一4+1=+1++1 yn ynyn Wn-4xn Xn+ryn 化简得1-产，即-兰=-是 yn+1 yn 所以数列得是公差为-的等差数列， (10分) (3)要证Sn=Sn+1,即证△PPn+1Pn+2与△Pn+1P+2P+3面积相等. 即证点Pn到Pn+1Pn+2的距离与点Pn+3到Pn+1Pn+2的距离相等， 即证Pn+1Pa+2/PnPn+3,即证kpa+1Pnt2=kpPn3 又因为n:-ai人-器- 4 Xn-Xn+3 yn+yn+3 (2)可知四是公差为-的等差数列。 即y}是公差为-的等差数列。 所以由等差数列的性质，yn+1+yn+2=yn+y+3所以kp+n+2=kPnt3,得证 (17分) -8-安徽师范大学附属中学2025~2026第一学期期末教学质量监控 高二数学试卷 注意事项： 1.本试卷共19小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把 答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答 案标号；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.所有答案均要在答题卡上，否则无效。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.若直线1的一个方向向量为3，-V⑤)，则直线1的倾斜角为（) A.G B月 c号 D. 2.方程 y2 m+26-m =1表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是() A.（-2,2U(2,6) B.（-2,6) c.(2,6) D.（2,+∞) 3.下列说法中正确的有（) A.(cosg)'=-sin号 B.(g'=0 c.(2)=2产 In2 0.(网=- 4.在等比数列{a}中，有4a5=8a,数列{b,}是等差数列，且b,=a,则b,+b等于（) A.4 B.8 c.16 D.24 5.下列关于空间向量的命题中，正确的是（) A.若空间向量a=(1,01),万=(0,1，-1)，则a在上的投影向量为(0，号，-2) B.若{a,b,©是空间的一组基底，则{a+b,6+c,ā+26+c}也是空间的一组基底 C若空间中任意一点o,有O卯-O-O丽+号0C,则R、小、8B、C四点共面 D已脚知向量=1小，万-(3x列，若x心品，则与6陕角为锐角 an+1,n为奇数， 6.已知数列{an}满足4=1，an+1= a+2,n为偶数’则{a,}的前20项和为() A.299 B.300 C.301 D.302 高二年级数学试卷第1页共4页 1 7.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，2为圆x2+(y-5)2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是() A.√17-2 B.V26-2 c.√17-1 D.√26-1 8.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反 向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线E:二卡=1口>0，b>0)的左、右焦点分别为，写，从B发 出的光线经过图2中的么B两点反射后，分别经过点C和D,且m∠B4C。-?,丽-丽·D, 则双曲线E的离心率为() A.10 17 2 3 c.37 D.√5 5 图1 图2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.在棱长为1的正方体ABCD-ABC,D中，E为棱CC的中点，则下列结论正确的是（) A异面直线B与4D所成角为好 B.直线DB与平面ABCD所成角的余弦值为V6 C.点B,到直线D的距离为y30 3 D.平面4BD与平面BCD,间的距离为5 10.已知数列{a}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是() A.若数列{an}为等差数列，Ss>0,S6<0,则n=8时，Sn最大 B.若a,=c0gR则Sw=盟 2×3m+1 C.若an=3”,则数列{ (a,-1(a41-1) 的前：项和小于号 D.若数列{a,}满足4=2，a,4+=1,则4，+a,4+…+amAa6=1013 a. 血尼知双曲线C名片a>0b>0的中一条新近我方程为y=V3x,且过点23)，点P为该双曲线 右支上一点，点F,F2分别为该双曲线左右焦点则下列说法正确的是（) A当∠RPR=号时，APFR的面积为5 B.存在过点M(1,1)的直线与双曲线C相交于A,B两点，且点M为AB的中点 C.△PFF2的内切圆与x轴切于点G,则IGF1-IGF2=2 D.过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足为D,B,则两垂足距离最短为 2 高二年级数学试卷第2页共4页 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0相交于A,B两点，则公共弦AB的长为 13.已知f()=f（写sinr-cox,则f()在x=乏处的切线方程为， 14.已知抛物线C:y2=2Px(D>0)的焦点为F,过点F的直线1与抛物线C交于M(:,y),N(x2,y2) 两点，O为坐标原点，若cos∠M0N=-3则sin∠M0F:sin∠NOF= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤！ 15.(本题满分13分) 已知数列{an}各项均为正数，设数列{an}的前n项和为Sn,其中2Sn=a+an (1)求数列{an}的通项公式： (2)令6=学，求数列，}的前n项和 16.(本题满分15分) 已知圆C过点A(4,2)和点B(1,3),圆心在直线y=x-1上. (1)求圆C的方程： (2)直线1经过点P(1,-1),且1被圆C截得的弦长为4，求直线1的方程. 17.（本题满分15分) 已知椭题C:号+芳-〔知b>0过点4Q小，且离心率为 (1)求椭圆C的方程： (2)过A作斜率分别为k1,k2的两条直线，分别交椭圆于点M,N,且k+飞=2，证明：直线MN 过定点. 高二年级数学试卷第3页共4页 3 18.(本题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/1BC,PA=2,AB=1,BC=1,AD=2,M是PD的中点 (1)求证：CM/平面PAB; (2)若AB⊥AD ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面P4Q的距离为1？若存在，求出器的值：若不存在，请 说明理由 19.(本题满分17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0),点1，-2)在C上，k为常数，k>0.按照如下方式依次构造点 P,(n=2,3)过Pn斜率为k的直线交C于另一个点2n1，过点2-1斜率为-k的直线交于C另 一个点Pn，记Pn的坐标为(cn,yn2n的坐标为(x,y) (1)若k=4,求P的坐标； (2)证明：数列 是公差为-2的等差数列 y (3)设Sn为△PnPP2的面积，证明：对于任意正整数n,Sn=Sn+ 高二年级数学试卷第4页共4页 4