精品解析：江西宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（日新班）

丰城九中2025-2026学年上学期高二日新期末数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，若，则实数的值为（    ） A. B. 0 C. 2 D. 2或 2. 若直线过点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数同时满足： ①定义域内任意实数x，都有； ②对于定义域内任意，，当时，恒有； 若恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点成中心对称 B. 当时，有两个极值点 C. 对于任意有三个零点 D. 当时，在上存在最大值 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为______. 13. 已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足：，.求数列的通项公式. 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． （1）求到平面的距离； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知点在双曲线上，是的左､右顶点，是的右焦点，，且是整数. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线与的右支交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与直线交于点，求面积的最小值. 19. 已知函数． （1）当时， （i）求的图象在点处的切线方程； （ii）过原点向的图象作切线，求该切线的方程； （2）若时，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年上学期高二日新期末数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，若，则实数的值为（    ） A. B. 0 C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，进而有或求参数，注意验证元素的互异性. 【详解】由，即，则或，可得或， 当，在集合中，不满足集合元素的互异性， 当，则，满足题设. 故选：C 2. 若直线过点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得即，再结合，从而可求解. 【详解】由题直线过点，可得即， 所以， 当且仅当即，时取等号，故C正确. 故选：C. 3. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由于函数y=x3在R上单调递增； ∴a3>b3⇔a>b. ∴“a>b”是“a3>b3”的充要条件. 故选C. 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：D 5. 已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用解方程组法可得，由单调性可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 6. 已知函数同时满足： ①定义域内任意实数x，都有； ②对于定义域内任意，，当时，恒有； 若恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出函数是上的增函数，把转化为，即可求出实数a的取值范围. 【详解】由定义域内任意，，当时，，知：函数是上的增函数. 由题设：，可得， 根据，则，则， 故， ∵函数是上的增函数，有，化简得， 整理得，即， ∵，∴，则的取值范围是． 故选：A 7. 已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可. 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干不等式，构造函数，根据函数导数判断函数单调性，画出函数图像，根据基本初等函数图像性质，以及函数零点和函数图像交点之间的关系，判断结果即可. 【详解】设函数，则， 可知当时，不等式恒成立，即恒成立， 所以当时，，在上单调递增， 因为是R上的奇函数，即， 可得，所以函数是R上的偶函数， 所以在上单调递减， 因为，，所以， 函数的零点的个数，即方程的解的个数， 即函数和函数图像交点的个数，在坐标系中作出函数大致图像，如下图所示， 由图像可知，函数和函数图像有3个交点，所以函数的零点的个数为3. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用基本不等式计算判断A，C，应用常值代换结合基本不等式判断B，先应用对数运算律化简结合A选项判断D. 【详解】是正数，则，，故选项A正确； ，故选项B错误； ，取等号，故选项C正确； 结合A选项，，故选项D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点成中心对称 B. 当时，有两个极值点 C. 对于任意有三个零点 D. 当时，在上存在最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】计算即可判断A，求导得，令，即，求判别式即可判断B，先判断的单调区间，进而根据零点存在定理即可判断C，先判断在上的单调性即可判断D. 【详解】对于A： ， 所以的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B：，令，即， 所以， 所以当时，方程有两个根，即有两个极值点，故B错误； 对于C：由，解得， 显然当时，， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 当，所以对于任意有三个零点，故C正确； 对于D：当时，在单调递减，又， 所以在单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D错误； 故选：AC. 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设易知上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆，进而确定下半部分椭圆参数得方程，结合椭圆性质判断A、B；设直线方程，数形结合及联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求面积，判断C、D. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 另椭圆的上焦点，所以可以看成， 当点位于的下顶点时，最大，所以，故B错误； 当直线与第一象限半圆相切时，，则， 由图，可得的取值范围为，故C正确； 根据对称性，不妨设，联立，消去并整理得， 且，则，， 则， 所以， 设，易得， 函数在上单调递增，， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据已知确定上下两部分对应曲线的性质，再应用数形结合、直线与曲线的位置情况求参数和三角形面积为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定图形求出及的坐标，进而求出离心率. 【详解】依题意，，则椭圆半焦距，短半轴长， 因此该椭圆长半轴长， 所以该椭圆的离心率 故答案为：. 13. 已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用单调性定义及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】因为在区间内任意实数，都有， 设，则， 所以函数 在  上单调递减， 令， 根据复合函数的单调性即外层函数单调递增， 则需满足：（1）  在  上恒成立； （2） 在  上单调递减. 二次函数  开口向下，对称轴为 ， 为使  在  上单调递减，只需； 同时， 在  上恒成立， 由于  时  在  上递减，最小值在  处取得， 故需 ，解得 ， 综上， 的取值范围为 . 故答案为： 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】对原不等式合理变形，结合同构思想得到，再构造函数并利用导数判断其单调性，得到，最后利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足：，.求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是以首项为，公比为的等比数列，即可得结果； （2）根据题意可得，利用累加法结合等比数列求和公式运算求解即可. 【小问1详解】 因为， 当时，则，解得； 当时，则，， 两式相减得，即， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为，， 当时，则 ， 且符合上式，所以. 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），12.4万台 （2）（ⅰ） 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联； （3） 0 1 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）计算出，得到线性回归方程，代入，从而预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）（ⅰ）补全列联表；（ⅱ）计算出，从而得到结论； （3）求出的可能取值并得到相应的概率，从而得到分布列，计算出数学期望. 【小问1详解】 年份代码的平均数，销量的平均数， 所以， ， 所以， 所以， 所以这个地区某品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程为， 由于2027年对应的年份代码为，得， 所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台． 【小问2详解】 （ⅰ）根据男生和女生各100名，补全列联表为： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关. 根据（ⅰ）中的列联表中的数据可得， . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 【小问3详解】 从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人， 则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人 再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数的所有可能取值为0，1，2，3，4. 且， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望为 17. 如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． （1）求到平面的距离； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用点到平面距离公式求解； （2）假设存在点使得命题成立，得出点坐标及相关向量坐标，利用垂直关系求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式构造方程求出，进而得出的值． 【小问1详解】 取的中点，连接，， 为等边三角形，， 又平面平面，平面平面， 平面， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立下图所示空间直角坐标系， 是边长为2的等边三角形，， ，则，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，即，令，则， 又， 到平面的距离． 【小问2详解】 假设线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 则， ，， 设平面的法向量为， ，，， ， 令，则， 又平面的法向量为， ， 化简得，解得或，又，，（舍去）， 存在点，此时． 18. 已知点在双曲线上，是的左､右顶点，是的右焦点，，且是整数. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线与的右支交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与直线交于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （i） 证明：由（1）知， 由题意可设直线的方程为，. 联立方程得， 则， 直线的方程为的方程为， 所以 ， ，即点坐标为， 所以点在定直线上. （ii）9 【解析】 【分析】（1）利用和两点间距离公式得到，再结合点在双曲线上和可得双曲线方程； （2）（i）设直线的方程，联立曲线方程，得到韦达定理，再表示出直线、的方程，解出交点坐标可得； （ii）利用与（i）同样的解法求出点坐标，得到，再利用三角形面积公式可解. 【小问1详解】 设的右顶点，右焦点， 由得， 又，又是整数，且， 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：因为直线与直线交于点， 同样可求得直线与直线交于点. ， ， ， 所以，当且仅当时取等号， 又点到直线的距离为3， 所以面积的最小值为9. 19. 已知函数． （1）当时， （i）求的图象在点处的切线方程； （ii）过原点向的图象作切线，求该切线的方程； （2）若时，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可； （ii）设切点为，由导函数确定切线的斜率，求解切线方程，代入已知点，计算参数，最后得到切线方程； （2）由题意问题转化为两个函数有两个交点问题，分离参数，然后利用导函数求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，． （i），故点（0，1）处的切线方程为. （ii）设切点为，则，则切线方程为，代入， 可得，得，则切线方程是. 【小问2详解】 当时，，则. 由题意得有两个变号零点，即有两个实根， 方程可变形为，可转化为直线和曲线有两个不同的交点. 由，解得，且是的递增区间，是的递减区间； 注意到，且时，，画出其图象如图， 当且仅当时函数有两个极值点，且 又因为，所以.令，则． 又，则，即， 两边取自然对数可得．设，那么，分母恒为正值， 对于分子对应的函数，在时恒成立， 所以单调递减，所以，也就是在时恒成立， 所以也单调递减，所以，从而. 又在上单调递增， 所以当时，取得最大值，且， 因此实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $