安徽蚌埠市2025-2026学年第一学期期末学业水平监测高二数学试题

2025一2026学年度第一学期期末学业水平监测 高二数学参考答案及评分标准 一、二、选择题： 题 号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B C D C B AB AD ACD 三、填空题： 12.y=±x 13.2m+1-1 14.[0,8] 四.解答题： 15.(本题满分13分) 解：(1)由题意，直线1的斜率k=-号 4年年年年…年 2 2分 则所求直线的斜率：= =2 4分 代入点斜式方程得y-0=2(x-4), ∴.过点A且和1垂直的直线的方程为2x-y-8=0. …6分 (2)设圆心C为(a,b),半径为r 圆心在直线x+y=0上，a+b=0,则点C为(a,-a),…8分 由题意可得|AC1=IBC1=r, 则√/(a-4)2+(-a-0)7=√(a-2)2+(-a-2)7,解得a=1,…10分 .圆心C的坐标为(1，-1)，半径r=√0， 圆C的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=10. …13分 16.(本题满分15分) 解：(1)当n=1时，a1=S1=1,… …1分 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=n2-(n-1)2=2n-1, …4分 又a1=1也适合an=2n-1,所以an=2n-1(x∈N,), .数列{an}的通项公式为an=2n-1;…6分 (2②因为&-a-n2n=2} …8分 所以红=-方+兮方+点2动 …11分 Tn单调递增，.Tn≥T,即T≥3， …13分 又1-2<1工<分 15分 高二数学参考答案第1页（共4页） 17.(本题满分15分) 解：(I)证明：PD⊥平面ABCD,∴.PD⊥BC, 又.：正方形ABCD中，CD⊥BC,PD∩CD=D, ∴.BC⊥平面PCD,… 2分 又DEC平面PCD,.BCLDE，… 3分 PD=CD,E是PC的中点，∴.DE⊥PC,又PC∩BC=C, ∴.DEL平面PCB;… 5分 (2)过点C作CM1BE于点M,由(I)知平面DEB⊥平面PCB, 又平面DEB∩平面PCB=BE,∴.CM⊥平面DEB, P ∴.线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，…7分 .PD=AB=CD=1,∠PDC=90°， c=2,EC=9Bc=1, B地=VBRc+BC-,cM-EGC BE 3 即点C到平面DEB的距离为得 10分 (3)以点D为坐标原点，分别以直线DA,DC,DP为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知：D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0), o,2, 11分 Di=(1,1,0),D应=(0,22】 D 设平面BDE的法向量n=(x,y,z), 则n·D店=0，n·D成=0， 从而y=0令：=1，得到y=-1,=14=1,-1,1) y+z=0, …13分 又C(0,1,0),A(1,0,0),AC=(-1,1,0),且AC1平面PDB, ∴.平面PDB的一个法向量为m=(1,-1,0) 14分 设平面EBD与平面PBD夹角为， 1+1+0 则cosa=Icos<m,n>1 “平面EBD与平面PBD夹角的余弦值为写 15分 18.(本题满分17分) 解：(1)a=1时，f(x)=e-x.因为f(0)=1,所以切点为(0,1)， ……2分 因为f'(x)=e-1,所以f'(0)=0, 所以f(x)在x=0处的切线方程为y-1=0,即y=1. 4分 高二数学参考答案第2页（共4页） (2)因为f'(x)=a·e-1, ①若a≤0，则f'(x)<0恒成立，所以f八x)在(-∞，+∞)单调递减，无最小值，不 符合题意；。 …6分 ②若a>0,令∫'(x)=0得x=-lna,则x,f'(x),f(x)的变化如下表所示， (-∞，-lna) Ina (-Ina,+o) f'(x) 0 f(x) 极小值 e ...ee .... 9分 ∴.f(x)min=f八-lna)=2,即a·em+lna=2解得a=e. 即f(x)的最小值为2时，a=e. 10分 (3)血题意知ae=,所以u=怎，因为a>0,所以0>0， 要证(1-a)x>a,只需证1-。马】 ·e0>1, 即e0-x0>1.… 14分 令g(x)=e-x-1,x>0,则g'(x)=e-1>0, 所以g(x)在(0，+∞)单调增， 因为x。>0,所以g(x）>g(0)=0,即e0-x>1, 所以(1-a)x0>a成立.…17分 19.(本题满分17分) 解：(1)由题意可知， IPFI +IPEI IPMI+IPEI =IMEI =22>IEFI=2, 所以P点轨迹是以E,F为焦点，22为长轴长的椭圆， 即c=1,a=2,所以b=√a2-c2=1, 所以曲线C的方程为；+子=1 4分 ry hx m, (2)(i)由 2+=1, 消元得 (22+1)x2+4hmx+2m2-2=0, 由41=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)>0, 得2k2-m2+1>0, 设A(x,y1),B(x2y2),则 x+x,= 4如-22 ，…6分 2k+1 2k2+1 所以0MP+10B12=+(1-2)+G+(1-2)=2+3[(+)2 2x1x2] 高二数学参考答案第3页（共4页） =2+2m(2k-1)+2(2k2+1) 8分 (2k2+1)2 当10A12+10B12为常数d时，即与m2无关， 令2-1=0，得=±受此时1012+10B2=3恒成立， 即当k=土时，0AP+10BP=d=3 10分 (i)证明：设Q(x0,yo),由0Q12=3得x+y=3, 11分 当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x轴垂直时，切线方程为x=±2， 即xo=±2，得y0=±1， 所以另一条切线方程为y=±1，即与x轴平行，显然，两切线垂直，即Q4⊥QB. …12分 当切线斜率都存在时，设过Q的切线方程为y=k(x-xo)+yo, ry=ko(x-xo）+yo, 由{x2 2+y2=1, 消去y,得(1+2h)x2+4k(y0-kx)x+2(y0-kx)2-2=0, 由42=[4h(y0-o)]2-4×(1+2h品)[2(y0-ox0)2-2]=0, 化简得(x名-2)品-2xyk+y后-1=0. ……15分 设两条切线的斜率分别为，k2, 因为x-2≠0，所以kk,= 6-1(3-x)-1 6-2 =-1, x6-2 所以两条切线相互垂直，即QA⊥QB. 综上，QA⊥QB. 17分 (其它解法请根据以上评分标准酌情赋分) 高二数学参考答案第4页（共4页）2025—2026学年度第一学期期末学业水平监测 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是正 确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.下列导数运算正确的是 (=吉 B.sinx)'=-cosx C.(3x)′=3 D.(Inx)'=1 2.顶点在坐标原点，焦点坐标为0，）的抛物线的标准方程为 A.y2=2x B.y2=x C.x2=2y D.x2=y 3.如图，以长方体ABCD-ABC,D,的顶点D为坐标原点，过 D C D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系. B 若DB1的坐标为(4,3,2)，则4C的坐标是 D A.（-4,2,3) B.(-4,3,2) C.(0,3,2) D.(4,3,2) 4.若直线1的方向向量与平面a的法向量垂直，则下列说法 第3题图 正确的是 A.l⊥a B.l∥a C.l∥ax或lca D.以上说法都不对 5若1,4,4成等差数列1,6,6,4,9成等比数列，则等于 C.±3 D.± 高二数学试卷第1页（共4页） 6.直线x+y+1=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-3)2+y2=2上，则△ABP 面积的取值范围是 A.「2,321 B.[1,2] C.[2,3] D.[1,3] 7.在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个 四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒· 当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为 B.5 e号 D.5 第7题图 x &已知椭圆C+特1(a>b>0与双曲线G7 a店店=1(4>0,4，>0)有相同的焦点 F1,F2,椭圆C,的离心率为e,双曲线C2的离心率为e2,点P为椭圆C,与双曲线C2的交 点，且∠F,PF:=平，则e6,的最小值为 A.22 R号 C.1 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知M(1,2),N(4,5),则下列说法正确的是 A.直线MN的倾斜角为45 B.点M到直线3x-4y=0的距离为1 C.点N在直线x+2y-13=0上 D.直线x-y+1=0与直线MN平行 10.如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，以顶点A为端 D C 点的三条棱长都为2，且∠DAB=∠DAM1=∠BA4,=60°， B 则下列说法中正确的有 A.BD =BA+BB +BC B.BD,=8 C.异面直线BA与CC1所成的角为120° D.BD LCC 第10题图 11.英国著名物理学家牛顿用“切线法”求函数零点.如图，在横坐标为x1的点处作曲线y三 八x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2,用x2代替x1重复上面的过程得到x3,·,一 直下去，得到数列{xn},叫做牛顿数列.若函数f(x)=x3-3x+1,则下列说法正确的是 A.函数(x)有三个零点 x B.若x1=0,则x2=1 f(x) C.=%f(x) 21 D.若x1=-2,则数列xn}是递增数列 第11题图 高二数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2已知双曲线c:号-号=1，则其新近线方程为 13.已知函数f(x)=1+x+x2+…+x”,其中n∈N且n≥2，则f(2)= 14.蚌埠又名“珠城”，《尚书·禹贡》中就有“淮夷蠙珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时 代，蚌埠所在的准河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久·在某工艺模型 中，已知半径为1的球O内切于正四面体ABCD,线段MN是球O的一条动直径，点P是正 四面体ABCD的表面上的一个动点，则PM·P的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文宇说明、证明步骤和演算过程. 15.(13分) 在平面直角坐标系中，已知直线1：x+2y-4=0. (1)求过点A(4,0)且和1垂直的直线的方程； (2)若圆C经过A(4,0),B(2,2)两点，且圆心在直线x+y=0上，求圆C的标准方程 16.(15分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,其中Sn=n2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn= ,1是数列b.的前n项和，求证：写≤.<2 an·an+1 高二数学试卷第3页（共4页） 17.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，PD=AB=1,E为PC中点. (1)求证：DEL平面PCB; (2)求点C到平面DEB的距离； (3)求平面EBD与平面PBD夹角的余弦值· 第17题图 18.(17分) 已知f(x)=a·e-x. (1)当a=1时，求f(x)在x=0处的切线方程； (2)若f(x)的最小值为2，求实数a的值： (3)当a>0时，若f(x)=0,求证：(1-a)·xo>a. 19.(17分) 有一个半径为22的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为2，将纸片折叠， 使圆周上一点M与点F重合，以点F,E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点O,建立 平面直角坐标系. M (1)记折痕与ME的交点P的轨迹为曲线C,求曲线C的方程， (2)若直线l:y=x+m(m>0)与曲线C交于A,B两点. (i)当k为何值时，1OA2+1OB12为常数d,并求出d的值. (ⅱ)以A,B为切点，作曲线C的两条切线，设其交点为 Q,当10Q12=d时，证明：QA1QB. 第19题图 高二数学试卷第4页（共4页）