精品解析：湖南邵阳市大祥区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年八年级（上）素质教育期末检测卷 数学 温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式由左到右变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知：，，，则，，大小关系（ ） A. B. C D. 3. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 当时，下列分式的值为0的是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列各组数中，是勾股数的一组是( ) A. 1，2，3 B. 5，6，7 C. ，， D. 5，12，13 6. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 8. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线与相交于点E，与相交于点D，若，的周长为12，则的周长是（    ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 20 10. 对于给定的两个非零的实数a与x，把a的倒数与x的和的倒数记为，则；的倒数与x的和的倒数记为，则；的倒数与x的和的倒数记为，则；……例如，若，时，，，，……则下列三个命题中正确的命题个数为（ ） ①若，，则； ②在①的条件下，； ③当，时，若（，n为整数）为整数时，符合条件的所有整数n的和为536． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则______． 12. 科学家研究发现在冬季一种直径为 米的感冒病毒严重影响人们的生活，数据用科学记数法表示为________． 13. 已知，则的值为__________________ 14. 已知整式可以因式分解为，则的值为________． 15. 如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 16. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 17. 如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 18. 若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是____________________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从﹣1≤x＜3的整数解中选取． 20. （1）计算：． （2）解分式方程：． 21. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 22. 列方程解决下列问题： 某民营快递公司计划购买，两种型号货车搬运货物．每台型货车比每台型货车的载重量少吨，且搬运吨货物所需型货车的台数与搬运吨货物所需型货车的台数相同． （1）求型和型货车每台的载重量； （2）该公司共采购台这两种型号的货车来搬运一批货物．若一半的货运量用型货车搬运，则剩余吨；另一半的货运量用型货车搬运，则型货车装不满，且采购型货车不少于辆，求该公司有哪几种采购方案． 23. 先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是______；化简______； （2）计算：______； （3）比较与的大小，并说明理由． 24. 阅读理解与应用观察下列分解因式的过程： 解： 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方式的方法称为配方法． （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ① ② （2）深入研究：说明多项式 的值总是一个正数； （3）拓展运用：已知，，分别是 的三边，且 试判断 的形状，并说明理由． 25. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． （1）判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（ ）②（ ） （2）小益在求分式“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； （3）若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 26. 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年八年级（上）素质教育期末检测卷 数学 温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 2. 已知：，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较方法，解答此题的关键要明确：正数大于零，负数小于零，正数永远大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．分别计算，，的值，利用负指数法则，注意指数优先级，利用零指数法则，然后根据实数大小的比较方法，判断出，，大小关系即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 3. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，即，求解即可得出答案． 【详解】解：∵ 被开方数必须满足， ∴ ， 故选B． 4. 当时，下列分式的值为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，即分子为0且分母不为0． 根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0逐选项判断即可． 【详解】解：A．当时，分式无意义，分式的值不为0，不符合题意； B．当时，分式的值为0，符合题意； C．当时，分式无意义，分式的值不为0，不符合题意； D．当时，分式无意义，分式的值不为0，不符合题意； 故答案为：B． 5. 在下列各组数中，是勾股数的一组是( ) A. 1，2，3 B. 5，6，7 C. ，， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，，不是正整数，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算． 根据运算法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：∵，∴A错误； 选项B：∵和不同类二次根式，不能直接相加，∴B错误； 选项C：∵，∴C正确； 选项D：∵，∴D错误； 故选：C． 7. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 8. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、完全平方公式，由已知方程变形得到 ，利用完全平方公式可得，最后代入化简后的表达式求解． 【详解】解：，且 ， 等式两边除以，可得：， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线与相交于点E，与相交于点D，若，的周长为12，则的周长是（    ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．根据作图方法可知，是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 10. 对于给定的两个非零的实数a与x，把a的倒数与x的和的倒数记为，则；的倒数与x的和的倒数记为，则；的倒数与x的和的倒数记为，则；……例如，若，时，，，，……则下列三个命题中正确的命题个数为（ ） ①若，，则； ②在①的条件下，； ③当，时，若（，n为整数）为整数时，符合条件的所有整数n的和为536． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算和规律探究，先根据已知条件求出的表达式，再通过代入计算判断命题①的正确性，然后利用裂项相消法计算命题②中式子的值，最后根据分式的性质求出命题③中符合条件的n的值，进而判断命题③的正确性． 【详解】解：命题①：∵，， ∴，，，故命题①正确； 命题②：由， 得 ， ∴，故命题②错误； 命题③：当，时，，则有， 则， 令，则， ∴表达式为， 要求为整数且， ∴且m是180的因数，且（即)， ∴，对应， ∴所有整数n之和为：，故命题③错误， 综上，正确命题个数为1个． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简．由已知条件 ，设，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴． 则． 故答案为： 12. 科学家研究发现在冬季一种直径为 米的感冒病毒严重影响人们的生活，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 数字的小数点向右移动位得到，因此指数为． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 已知，则的值为__________________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，解二元一次方程组，完全平方公式，代数式求值． 将化为，根据二次根式的非负性，平方的非负性得到关于和的方程组，解方程组后求的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：， 则． 故答案为：． 14. 已知整式可以因式分解为，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 15. 如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或##12或6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 16. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 17. 如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 【答案】13 【解析】 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 18. 若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是____________________． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，不等式组，整数解的分析及代数运算与逻辑推理．首先解分式方程，得到解为正整数的整数a值，注意排除使分母为零的情况；再解不等式组，根据有且仅有4个整数解的条件确定a的取值范围；最后取交集得到满足条件的整数a，并求它们的和． 【详解】解：分式方程，去分母得，整理得， 当 时方程无解，故，解得， 解为正整数且，则为正整数且（即）， 8的正因数为1、2、4、8，对应 ，得， 排除， 故， 不等式组， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组解集为，有且仅有4个整数解， 则整数解为0、1、2、3， 故， 解得， ∴整数a为， 取交集，满足条件的整数a为， 和为． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从﹣1≤x＜3的整数解中选取． 【答案】﹣2． 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣1≤x＜3的整数解中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（﹣1）÷， ＝ ＝ ＝ ＝﹣， 当x＝2时，原式＝＝﹣2． 【点睛】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20. （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了绝对值性质、零指数幂、负整数指数幂，二次根式的性质、二次根式的混合运算、解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值性质、零指数幂、负整数指数幂，以及二次根式的性质化简各项，再利用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 整理得， 等式两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 21. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，解题的关键是熟练运用知识点进行解题． （1）根据题中所给的信息通过证出； （2）由题意可得，，又根据，得出，再根据勾股定理的逆定理得出，等量代换得出． 【小问1详解】 证明：由题意可得：， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ． 22. 列方程解决下列问题： 某民营快递公司计划购买，两种型号的货车搬运货物．每台型货车比每台型货车的载重量少吨，且搬运吨货物所需型货车的台数与搬运吨货物所需型货车的台数相同． （1）求型和型货车每台的载重量； （2）该公司共采购台这两种型号的货车来搬运一批货物．若一半的货运量用型货车搬运，则剩余吨；另一半的货运量用型货车搬运，则型货车装不满，且采购型货车不少于辆，求该公司有哪几种采购方案． 【答案】（1）型货车每台载重量为吨，型货车每台载重量为吨； （2）有2种方案：①采购型货车台，型货车台；②采购型货车台，型货车台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式组是解题的关键． （）设型货车每台载重量为吨，则型货车每台载重量为吨，根据题意方程，然后解方程并检验即可； （）设该公司采购型货车台，则采购型货车台，由题意得，然后解不等式组得，再由为正整数，得或，从而求解． 【小问1详解】 解：设型货车每台载重量为吨，则型货车每台载重量为吨， 根据题意，得方程， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ， 答：型货车每台载重量为吨，型货车每台载重量为吨； 【小问2详解】 解：设该公司采购型货车台，则采购型货车台， 由题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司采购方案：①采购型货车台，型货车台；②采购型货车台，型货车台． 23. 先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是______；化简______； （2）计算：______； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式的有理化因式、化简计算以及大小比较，熟练掌握有理化因式是解题的关键． （1）利用平方差公式求有理化因式和分母有理化即可； （2）通过有理化将每个项转化为差的形式，利用望远镜求和计算即可； （3）通过有理化将差值转化为倒数形式，比较分母大小得出结论即可． 【小问1详解】 解：， 则的有理化因式是， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意得：对于任意的正整数，有， 则 故答案为：； 【小问3详解】 解：设、， 则， ， 由于， 则，即， 因此． 24. 阅读理解与应用观察下列分解因式的过程： 解： 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方式的方法称为配方法． （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ① ② （2）深入研究：说明多项式 的值总是一个正数； （3）拓展运用：已知，，分别是 的三边，且 试判断 的形状，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2）见解析 （3）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用运用配方法运算即可； （2）运用配方法化简式子，再根据式子的取值范围求证即可； （3）利用因式分解化简式子得到三角形的三边关系即可解答． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴多项式 的值总是一个正数； 【小问3详解】 为等边三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形． 25. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． （1）判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（ ）②（ ） （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； （3）若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】（1）①√；②× （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ②∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：①√；②×． 小问2详解】 解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； 【小问3详解】 解：∵设与为“互动分式”， ∴，或， ∴，或 解得：，或， ∵是的“互动分式”， ∴且，，或且，， ∴，或， 解得，或， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， 当时，，， ∴， ∴ ∴与不是“互动分式”，故舍去； 当时，，， ∴，， ∴． ∴与“互动分式”， ， 当时的最大值是． 综上所述：最大值． 26. 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 【答案】【方法初探】见解析；【方法应用】见解析；【实际应用】 【解析】 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解： 【方法初探】证明过程如下， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即． 【方法应用】证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 【实际应用】解：， 理由：如图， 在的延长线上取一点，，连接， 为的补角的角平分线， 即平分， ． 在和中， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $