精品解析：浙江杭州市2025-2026学年第一学期期末学业水平测试高二数学（甲卷）

2025学年第一学期期末学业水平测试 高二数学（甲卷） 考生须知： 1．用0.5mm黑色签字笔填写姓名、准考证号到试卷与答题卡指定位置：核对答题卡条形码姓名/准考证号无误. 2．选择题用2B铅笔涂满涂黑，改动需擦净重涂；非选择题用0.5mm黑色签字笔在答题卡指定区域作答，超出区域/写在试卷/草稿纸无效；作图先铅笔画，定稿后用签字笔描黑. 3．满分150分，考试时长120分钟；考试结束后，试卷与答题卡一并交回，不得私自带出. 4．保持答题卡清洁、不折叠、不破损；禁止使用涂改液、修正带、刮纸刀等. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的的位置上. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，则 （ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与m，r的取值有关 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 已知函数，则函数（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 值域为 7. 已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，满足，且在区间上单调递增，则的可能取值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学习小组8名学生某次物理测试成绩如下：70，72，75，77，80，80，83，84，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据极差是15 B. 这组数据的中位数是78.5 C. 这组数据的众数是80 D. 这组数据的第25百分位数是73.5 10. 在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱，点M，N分别在线段上，且满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，线段的长度为定值 C. 当时，三棱锥的外接球体积为 D. 三棱锥的体积与三棱锥的体积之比为 11. 已知双曲线，其左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于P，Q两点，下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 存在点P，使的面积为6 C. 点M为线段的中点，若，则 D. 不存在过点的直线与双曲线交于A，B两点，使得点N为弦AB的中点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 从集合中随机选取两个不同的数，则这两个数的和为奇数的概率为______． 13. 已知定义在上的函数满足，且时，，则_______． 14. 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，点． （1）求过点P的圆的切线方程； （2）若直线l过点P且与直线平行，求直线l被圆C所截得的弦长． 16. 在中，内角的对边分别为，已知，， （1）证明：； （2）求的取值范围． 17. 已知平行四边形中，，将沿对角线BD翻折至面，且，E为线段上的点． （1）证明：面； （2）若锐二面角的正切值为，求点E到直线的距离． 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）过直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值． 19. 已知抛物线焦点为F，抛物线上的点P的横坐标为2，且． （1）求抛物线的标准方程； （2）过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设点，设直线EA，EB分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末学业水平测试 高二数学（甲卷） 考生须知： 1．用0.5mm黑色签字笔填写姓名、准考证号到试卷与答题卡指定位置：核对答题卡条形码姓名/准考证号无误. 2．选择题用2B铅笔涂满涂黑，改动需擦净重涂；非选择题用0.5mm黑色签字笔在答题卡指定区域作答，超出区域/写在试卷/草稿纸无效；作图先铅笔画，定稿后用签字笔描黑. 3．满分150分，考试时长120分钟；考试结束后，试卷与答题卡一并交回，不得私自带出. 4．保持答题卡清洁、不折叠、不破损；禁止使用涂改液、修正带、刮纸刀等. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：B 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数平方关系，结合必要不充分性的判断即可求解. 【详解】由，则，故充分性不成立， 由，则，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知复数，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求复数的共轭复数，再计算其与的差，最后求该结果的模. 【详解】已知，它的共轭复数为，则， 求复数的模：. 故选：A 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与m，r的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到直线恒过圆心，即可得到直线与圆的位置关系. 【详解】由直线，可化为，可得直线恒过定点， 又由圆，可得圆心为， 所以直线过圆心，此时直线与圆一定相交. 故选：C. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率及求出椭圆方程，然后利用椭圆性质即可求解. 【详解】已知椭圆，离心率，则， 因点在该椭圆上，代入椭圆方程得，联立上述方程解得， 因为点在该椭圆上，椭圆的左、右焦点分别为， 根据椭圆的定义得， 所以的周长为. 故选：D. 6. 已知函数，则函数（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 值域为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据函数的点对称公式进行验证即可；对于B，根据函数的直线对称公式进行检验即可；对于C，对函数求导，判断单调性；对于D，根据函数的单调性求出函数的最大值，进而可判断选项. 详解】化简函数得， 因为， 所以关于直线对称，B正确； 因为不恒等于0，不满足关于点对称的必要条件，故A错误； 对函数求导得. 令，则，解得. 所以当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以C错误； 根据单调性可知，当时，取最大值为，所以D错误. 故选：B. 7. 已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正四棱锥沿展开，再结合等边三角形性质求解即可. 【详解】如图所示，将正四棱锥沿展开，由可知， 由，为中点，为中点,可知， 所以为等边三角形，即， 故从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为， 故选：A. 8. 已知函数，满足，且在区间上单调递增，则的可能取值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设函数的最小正周期为，根据题意，求得，得到，结合选项，利用三角函数的图像与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为在区间上单调递增，可得， 解得，所以，可排除选项A； 由函数，因为，可得， 所以，解得， 若，可得，因为，可得，此时， 当时，可得，此时在先减后增，不符合题意，所以B错误； 若，可得，不存在的的值，不符合题意，所以C错误； 若，可得，因为，可得，此时， 当时，可得，此时在单调递增，符合题意，所以D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学习小组8名学生某次物理测试的成绩如下：70，72，75，77，80，80，83，84，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差是15 B. 这组数据的中位数是78.5 C. 这组数据的众数是80 D. 这组数据的第25百分位数是73.5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据极差、中位数、众数、百分位数的定义和公式进行计算即可. 【详解】根据题意可得，数据从小到大排列为70，72，75，77，80，80，83，84， 该组数据的极差为，A错误； 该组数据的中位数为，B正确； 因为80是出现次数最多的数据，所以该组数据的众数为80，C正确； 因为，所以这组数据的第25百分位数是第2项和第3项的平均值， 即，所以D正确. 故选：BCD. 10. 在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱，点M，N分别在线段上，且满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，线段的长度为定值 C. 当时，三棱锥的外接球体积为 D. 三棱锥的体积与三棱锥的体积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行判定定理进行判定即可；对于B，根据向量的模的公式和向量数量积的定义计算即可；对于C，先判断三棱锥的结构特征，然后确定三棱锥外接球的球心位置和半径，进而求得外接球的体积；对于D，根据，结合三棱锥体积公式计算即可. 【详解】对于A，当时，如图， 因为，， 所以在中，，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面，A正确； 对于B，因为，所以， 所以. 因为直三棱柱中，， 所以根据勾股定理得. 在等腰中，，所以， 所以. 所以， 所以当时，线段的长度不为定值，B错误； 对于C，当时，即分别是的中点，如图， 所以，. 在直角三角形中，， 所以，所以. 所以三棱锥的外接球球心为的中点，球的半径为1， 所以三棱锥的外接球体积为，C正确； 对于D，因为. 底面，而点到底面的高与点到底面的高之比为， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线，其左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于P，Q两点，下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 存在点P，使的面积为6 C. 点M为线段的中点，若，则 D. 不存在过点的直线与双曲线交于A，B两点，使得点N为弦AB的中点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，求得，由离心率的定义，可判定A正确；由，令，求得，可判定B正确；根据，求得，利用双曲线的定义，求得的值，可判定C错误；结合“点差法”求得直线的方程为，联立方程组，由，可判定D正确. 【详解】由双曲线，可得，则，可得， 对于A，由，所以双曲线的离心率为，所以A正确； 对于B，由，则的面积为， 令，可得，即，所以，代入双曲线方程，可得， 所以双曲线上存在四个点，使得的面积为，所以B正确； 对于C，在中，为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 又由双曲线的定义，可得，可得， 解得或（舍去），因为，所以C错误； 对于D，假设存在过点的直线，使得点为弦的中点， 设，可得 又由 ，两式相减得， 即，即， 可得，即的斜率为，所以直线的方程为， 联立方程组，整理得，此时， 所以直线与双曲线没有公共点， 所以不存在过点的直线，使得点为弦的中点，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 从集合中随机选取两个不同的数，则这两个数的和为奇数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】记“这两个数的和为奇数”为事件A，利用列举法求样本空间和事件A，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：样本空间为，即， 记“这两个数的和为奇数”为事件A，则，即， 所以. 故答案为：. 13. 已知定义在上的函数满足，且时，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题干中的等式以及给出的解析式，可得答案. 【详解】由函数在满足，即， 则. 故答案为：. 14. 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的表面积是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，点． （1）求过点P的圆的切线方程； （2）若直线l过点P且与直线平行，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先判断点与圆的位置关系，再根据切线的性质，求圆的切线方程； （2）首先求直线的方程，再代入弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 圆，圆心为，点在圆上， ，故切线所在直线斜率为， 所求切线方程为，即， 【小问2详解】 直线l的斜率为1， 过点，它的直线方程为， 圆心C到直线的距离为， 所以直线l被圆C所截得的半弦长为， 即直线l被圆C所截得的弦长为. 16. 在中，内角的对边分别为，已知，， （1）证明：； （2）求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）化简，根据题意，得到，结合正弦定理，即可证得； （2）根据三角形边长关系，求得，利用余弦定理和向量数量积的运算公式，化简得到，结合，得到，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，可得， 则， 又因为，可得， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以． 【小问2详解】 由（1）知，根据正弦定理，可得， 根据三角形边长关系，可得，解得， 因为，由余弦定理得， 则， ，所以， 因为，可得，所以， 所以的取值范围为. 17. 已知平行四边形中，，将沿对角线BD翻折至面，且，E为线段上的点． （1）证明：面； （2）若锐二面角的正切值为，求点E到直线的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 在平行四边形中，，， 则， 因为，所以，即， 又因为，，所以面， 由于面，所以， 又因为，，所以面. 【小问2详解】 在平面内，过作的垂线，建立如图所示空间直角坐标系， 平行四边形中，由，，，有， 则． 点在线段上，设，， 则， 设面的法向量为，则 ，令，则， 易知面的法向量为， 设锐二面角的平面角为，由，得． 所以， 得或（舍）． 所以，设到直线的距离为， 则． 故点到直线的距离为. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及椭圆经过的点坐标解方程组可得结果； （2）对直线斜率是否存在进行分类讨论，设直线l斜率存在时，方程为，联立直线和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线距离公式得出面积表达式，再由函数单调性计算可得结果. 【小问1详解】 由离心率，可得，即， 又，可得 椭圆经过点，可得，解得， 所以椭圆方程. 【小问2详解】 当直线l斜率不存在时，易知， 此时； 设直线l斜率存在时，方程为，点，如下图： 联立，整理得， 则， 所以， 又点R到直线l的距离为． 所以， 令， 则， 易知，所以； 综上，，的最大值. 19. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点P的横坐标为2，且． （1）求抛物线的标准方程； （2）过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设点，设直线EA，EB分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析，定点． 【解析】 【小问1详解】 由题意得：，得， 所以标准方程为， 【小问2详解】 设直线l的方程为，， 联立方程，整理得， 所以， 设， 又，所以，即 ，所以，得， 同理， 又， 所以，即， ，又， 所以， 所以直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $