精品解析：浙江省杭州师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

杭师大附中2025学年第一学期期终考试 高二 数学试卷 命题人：陈飒飒 审题人：韩春琴 命题时间2026.1.16 本试题满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：共8题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线：与直线：间的距离为，则（ ） A. 17 B. C. 14 D. 7 2. 若依次成等差数列，依次成等比数列，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 或4 3. 已知空间向量，，若，则x的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. －3 4. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 8. 若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在等差数列和等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ） A. 的公差为3 B. 的公比为2 C. D. 11. 如图，已知椭圆C：，其左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分过点作l的垂线，垂足为N，延长、交于点Q，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 椭圆C的离心率为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为______ 13. 设等比数列的前项和为，且，，则__________. 14. 在正方体中，点在线段上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在上，点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 17. 数列，满足，且，数列是公差为的等差数列. （1）求； （2）求的前项和为. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若有3个不同的零点． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． （1）求椭圆的方程； （2）直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭师大附中2025学年第一学期期终考试 高二 数学试卷 命题人：陈飒飒 审题人：韩春琴 命题时间2026.1.16 本试题满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：共8题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线：与直线：间的距离为，则（ ） A. 17 B. C. 14 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为，所以直线与直线间的距离为， 解得或， 因为，所以. 故选：D. 2. 若依次成等差数列，依次成等比数列，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项和等差数列的性质，可分别求得的值，进而得到答案. 【详解】由于成等差数列，所以， 依次成等比数列，所以，则或 当时，， 当时，. 故选：C 3. 已知空间向量，，若，则x的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性坐标运算结合向量垂直的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得. 故选：B 4. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 5. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，由勾股定理可得结论． 【详解】直线l方程变形为， 由得，即直线l过定点， 圆心为，半径为， 定点到圆心距离为，即定点在圆内部， 所以当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短， 最短弦长为 故选： 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 7. 已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为，设点关于的对称点为，得出，得到当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值，结合两点间距离公式，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为， 如图所示，设点关于的对称点为，则， 可得，当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值， 则， 即的最小值为. 故选：D. 8. 若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义，即，再利用累乘，平方后再由根据递推关系可得答案. 【详解】因为正项数列是“对数2底数列”，所以，所以， 所以且， 以上式子相乘得，所以， 所以，得， 即，得，因为，所以； 同理，，所以，所以， 所以.故. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则计算并判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 10. 在等差数列和等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ） A. 的公差为3 B. 的公比为2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等比数列，等差数列基本量的计算可判断ABC；利用裂项求和可判断D. 【详解】设的公差为．由，得，A正确； 设的公比为．由，得，B错误； 因为， 或， 所以，C正确； 因为， 所以，D正确． 故选：ACD 11. 如图，已知椭圆C：，其左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分过点作l的垂线，垂足为N，延长、交于点Q，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 椭圆C的离心率为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由正弦定理和角平分线得到；选项B，利用，可得，再由三角形的面积公式，求解即可；选项C，根据A选项与椭圆的定义可得，，再在中，利用余弦定理，结合离心率的计算公式，求解即可；选项D，由，，推出N是的中点，从而知，得解． 【详解】选项A，在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由于PM平分，故， 又，故， 所以，即选项A正确； 选项B，设椭圆的焦距，，故，， 由题意知，，， 所以， 所以， 所以，， 所以，即选项B正确； 选项C，由选项A知，， 由椭圆的定义知，， 所以，， 在中，由余弦定理知，， 所以， 整理得， 两边同时除以，得，解得离心率或，即选项C错误； 选项D，由选项A和B知，，， 所以， 又，所以直线l垂直平分，即N是的中点， 因为O是的中点，所以，即D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点位置、渐近线和焦距确定双曲线参数，即可得. 【详解】由题设，若，则渐近线有，故，且， 所以，则，可得，故双曲线方程为. 故答案为： 13. 设等比数列的前项和为，且，，则__________. 【答案】1020 【解析】 【分析】利用等比数列基本量的计算可求得公比，进而利用等比数列前项和公式可求得. 【详解】设数列的公比为，又，，则， 所以，则. 故答案为：. 14. 在正方体中，点在线段上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】构建空间直角坐标系，令且，故，应用向量法用表示出线面角的正弦值，即可求最值. 【详解】若正方体的棱长为1，构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，令且，故， 由，故， 令面的法向量为，则，令，， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，正弦值的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在上，点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标，求的中点坐标，由垂径定理得到，即可求得圆心坐标，然后求得半径，即可写出圆的方程； （2）当斜率不存在时，写出直线方程，联立方程组求得，验证此时直线是否满足题意；当斜率存在时，设直线方程，得到圆心到直线的距离，由垂径定理求得斜率，即可得直线方程. 【小问1详解】 圆心在直线上，设圆的圆心为，的中点为. 因为，，所以的中点的坐标为. 因为，所以，即，解得， 所以圆心的坐标为，所以半径， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，因为直线过，所以直线的方程为. 将代入，得， 解得或，所以，成立. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 因为，所以，解得， 所以方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）首先得出，过点作交于点，说明就是二面角的平面角，结合解三角形知识即可求解. 【小问1详解】 因为为等边三角形，为的中点，所以， 又因为底面为矩形，，所以， 又因为，所以， 因为为的中点，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，又因为，所以， 因为为等边三角形，，所以， 又因为，所以， 过点作交于点， 因为，所以， 又因为，平面，平面，平面平面， 所以就是二面角的平面角， 因为点是中点，， 所以点是中点，， 因为，，， 所以， 因为在三角形中，，， 所以， 在三角形中，，，， 从而由余弦定理有，，即， 在三角形中，， 从而由余弦定理有，， 所以， 所以二面角的正弦值为. 17. 数列，满足，且，数列是公差为的等差数列. （1）求； （2）求的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，即可得到的通项公式，即可得到，即，再由作差法计算可得； （2）利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为，且， 所以，所以， 又数列是公差为的等差数列，所以，即可， 所以， 当时， 所以，所以（）， 经检验当时也成立， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以 ， 所以. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若有3个不同的零点． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再利用直线点斜式方程即可求出答案； （2）（ⅰ）在上单调递增，分为和两种情况结合导数与单调性的关系求出函数在上的单调性，根据题目条件列不等式即可求出答案； （ⅱ）由题可知，，，代入可得，即，，设公差为，消元得到，列等式即可求出公差. 【小问1详解】 解：当时，， 当时，，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 解：（ⅰ）当时，由得单调递增，且． 当时，， 若，因为，所以，即在上单调递增，且， 从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意， 若，令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又当时，当时， 所以要使有3个零点，则，即，解得． 所以实数的取值范围为 （ⅱ）由题可知，，， 所以， 则①，②． 设公差为，即， 由①可得，，由②可得，， 则，化简得，解得（负值舍去）， 即公差． 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． （1）求椭圆的方程； （2）直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于对称， 所以， 所以， 所以，解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标和椭圆上的点，求椭圆的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值. 【小问1详解】 点在椭圆上，且垂直于轴，则有 设椭圆的焦距为，则， 点代入椭圆方程，有， 解得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， ， 所以， 所以 令， 则，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $