精品解析：浙江省杭州第十四中学凤起校区2025-2026学年高二上学期期末数学试题

杭十四中二○二五学年第一学期期末阶段性测试 高二年级数学学科试卷 注意事项： 1．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号； 2．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效； 3．本卷满分150分.共4页； 4．本试卷不得使用计算器. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1. 已知点和点关于原点对称，则值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 在区间上单调递减 4. 已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 点平面外一点，为平面内一点，若，则 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 时，有唯一的零点 B. 时，存在极小值 C. 时，存在极大值 D. 若，则的范围为 11. 对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（ ） A. B. 若为质数，则数列为等比数列 C. 数列的前4项和等于 D. ，使得 三、填空题：本大题共3小题，每空5分，计15分. 12. 在等差数列中，，则______. 13. 在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为__________． 14. 设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为2，，是右支上两点，且满足，记，的内切圆半径分别为，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角的对边分别为 .已知 （1） 求的值 （2） 若 ，求的面积. 16. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 17. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列． （2）记，求数列及的通项公式； （3）设，求． 18. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）用表示出，； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 19. 设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆是以点为圆心，为半径圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：定直线上运动，并求出定直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭十四中二○二五学年第一学期期末阶段性测试 高二年级数学学科试卷 注意事项： 1．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号； 2．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效； 3．本卷满分150分.共4页； 4．本试卷不得使用计算器. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1. 已知点和点关于原点对称，则的值为（ ） A 1 B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为和关于原点对称， 所以，， 解得，， 所以. 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 3. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 在区间上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 4. 已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当时，即点的坐标为时，取最小值， 则点到直线的距离的最小值是. 5. 数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可得数列为等比数列，则在根据分式通分运算可得解. 【详解】因为，即， 则数列为等比数列， 又所以 则 . 故选：C 6. 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据椭圆的定义可知，再利用余弦定理化简整理得，进而根据均值不等式确定的范围，从而确定的最小值，求得和的关系，然后得和的关系，确定椭圆离心率的取值范围． 【详解】设，由椭圆定义得， 由余弦定理得． 又，当且仅当时，取最大值， 于是，所以， 可得，又，． 即椭圆离心率取值范围为. 故选：C 7. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】由，则，，则， 因为是等差数列，则，即是递减数列， 又，， 则满足的正整数的值为14. 8. 若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系得出，再将问题转化为求圆环内的点到直线的距离的取值范围. 【详解】由题意可知，，，且两圆相交， 则，则， 因为点到直线的距离为， 则圆与圆中间的圆环内的点到直线的距离，即， 则，故的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 点为平面外一点，为平面内一点，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于根据空间向量坐标运算求模即可；对于根据向量共面判定定理判定；对于，令，则，此时从而判定；对于根据四点共面的向量判定定理求解. 【详解】对于,因为，， 则， 所以， 故正确； 对于若三个向量共面， 则存在实数， 使得， 解得， 则， 所以三个向量共面， 不可以构成空间向量的基底，故错误； 对于,因为，， 当时，，， 则，此时,不为钝角， 则错误； 对于因为是平面内一点， 根据四点共面的向量判定定理知： ，解得， 故正确， 故选： 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 时，有唯一的零点 B. 时，存在极小值 C. 时，存在极大值 D. 若，则的范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】求导后结合零点存在定理判断A；由单调性可判断BC；有单调性举反例当可判断D. 【详解】对于A，， 当时，，有唯一零点； 当时，恒成立，函数单调递增， 当时，，当时，，由零点存在定理可得有唯一的零点， 综上时，有唯一的零点，故A正确； 对于B、C，令，可得， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数存在极大值，故B错误，C正确； 对于D，因为，所以， 由B选项可得当，函数取得极大值，此时， 所以，故D错误. 故选：AC. 11. 对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（ ） A. B. 若为质数，则数列为等比数列 C. 数列的前4项和等于 D. ，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用欧拉函数的定义即可求解判断；B选项利用的定义写出，再利用等比数列的定义进行判断即可；C选项利用B选项的结论写出通项公式，进而可求前4项和；D选项利用B选项的结论写出，，和，再代入即可判断. 【详解】对于A项，因为20与均互质，所以，故A正确； 对于B项，设 为质数，则小于等于的正整数中与不互质的数只有的倍数， 所以互质的数的数目为 ， 所以，所以为常数， 所以若为质数，则数列为等比数列，故B正确； 对于C项，根据选项B可知，， 所以的前4项和为，故C错误； 对于D选项，根据选项B可知，，， 因为4不是质数，， 即判断是否存在使得，观察得到时等式成立，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每空5分，计15分. 12. 在等差数列中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列下标和性质直接化简求解即可. 【详解】由等差数列性质知：，解得：， . 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求的取值范围. 【详解】由题意：， 化简得：，是以为圆心，以为半径的圆. 设，则. 由直线与圆有公共点， 所以. 两边平方得：. 所以的取值范围为：. 14. 设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为2，，是右支上两点，且满足，记，的内切圆半径分别为，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的关系，再设，求出，再利用韦达定理求出值和，求出，各边长长度，利用内切圆的性质求出半径，作商即可. 【详解】双曲线离心率，故，得，， 右焦点，，双曲线方程可化为， 设，则，，， 由​得即， 设直线，代入双曲线方程， 整理得，由韦达定理 ​，​， 因为直线与双曲线交于右支，所以即， 结合​，代入得： ​联立解得​， 不妨令，则，， 所以， 所以，，， 则， ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角的对边分别为 .已知 （1） 求的值 （2） 若 ，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案． （2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得 ，，从而计算出面积． 【详解】（1）由正弦定理得， 所以 即 即有，即 所以 （2）由（1）知，即， 又因为 ，所以由余弦定理得： ，即，解得, 所以，又因为，所以 ， 故的面积为=. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题． 16. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 17. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列． （2）记，求数列及的通项公式； （3）设，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出的通项公式，再利用求出为等比数列，利用等比数列的通项公式即可； （3）利用错位相减法求出. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，，所以， 由以上递推关系可知，，则， 故是以为首项，为公比的等比数列； 小问2详解】 由（1）可知，， 因为，所以，则， 即， 因为，所以由以上递推关系可知，，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，； 【小问3详解】 由（2）可知，，则，则， 设，则， 则， 则 ， 则. 18. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）用表示出，； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）. （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据导数的结合意义，列出等式，即可求解； （2）由在上恒成立，设函数，求得其导数，分类讨论，判断函数单调性，根据不等式恒成立，求得参数范围. （3）利用（2）的结论，可得当时，，令 ，则可推得，将这n个不等式累加,即可证明结论. 小问1详解】 由可得， 则，且， 则. 【小问2详解】 由（1）知，， 令， 则 ， 当时，， 若，则，是减函数，所以 ，这与题意不符； 当时， ， 若，则，仅当时等号成立，是增函数， 所以，即恒成立，仅当时等号成立， 综上所述，所求a的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当 时，有 ， 取，有，且当时，， 令，则 ， 即， 即，，，， 将上述n个不等式依次相加得 ， 两边加，整理得 【点睛】关键点点睛：证明不等式时，要利用（2）中结论，即当 时，有 ，取，有，且当时，，因此解答的关键点就在于要采用赋值的方法，即令，得到，然后采用累加的方法，即可证明. 19. 设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 【答案】（1）  （2）（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析，定直线方程为. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，由条件列方程求，由此可得结论； （2）（i）设过的切线方程为，根据切线性质可得，由此可求，联立方程组求的坐标和直线的斜率，再求点的坐标； （ⅱ）设，由条件利用表示，结合（ⅰ）化简可得结论. 【小问1详解】 由题意，设椭圆的标准方程为， 已知椭圆右焦点，故，离心率， 得，又， 因此椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 （ⅰ）椭圆的下顶点，圆：， 设过的切线方程为， 由切线性质，圆心到切线的距离等于半径， 所以，整理得， 由根与系数关系得：， 将代入椭圆方程得，同理， 所以直线的斜率， ，所以​​， 令可得， 因此点坐标为； （ⅱ）设， 因为，所以， 由​​​，可得， 所以， 结合， 化简得：， 所以，代入​​， 可得​， 所以，​  因此恒在定直线​上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $