第六章 习题课2 圆周运动的动力学分析-【创新教程】2025-2026学年高中物理必修第二册五维课堂教师用书word（人教版）

本高中物理讲义聚焦圆周运动的动力学分析核心知识点，系统梳理竖直面内轻绳（过山车）模型的临界速度条件、轻杆（管）模型的弹力特点，以及圆周运动的受力分析方法和临界问题处理策略，搭建从模型建构到问题解决的学习支架。 资料通过“探究导入-典例赏析-针对训练”三阶设计，助力学生形成运动和相互作用的物理观念，在轻绳模型临界速度推导、轻杆模型弹力分析等过程中培养科学思维。典例与训练题结合，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

习题课2　圆周运动的动力学分析 学 科 素 养 物理 观念 1.了解竖直面内圆周运动的两种基本模型． 2．掌握轻绳(或轻杆)约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析． 3．学会分析圆周运动的动力学分析方法． 科学 思维 通过对圆周运动的两种基本模型和圆周运动的临界问题的学习，培养学生的思维能力. 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 ◆[探究导入] 轻绳(过山车)模型(如图所示)的最高点问题 1．绳或过山车(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力或压力． 2．在最高点的动力学方程FT＋mg＝m. 3．在最高点的临界条件FT＝0，此时mg＝m，则v＝. v＝时，拉力或压力为零． v＞时，小球受向下的拉力或压力． v＜时，小球不能达到最高点． 即轻绳模型的临界速度为v临＝. ◆[典例赏析] [例1]　一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2) (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小． [思路点拨]　在最高点水不流出的临界条件为只有水的重力提供向心力，水与水桶间无弹力的作用． [解析]　(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．有：mg＝m 则所求的最小速率为：v0＝≈2.24 m/s. (2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m， 代入数据可得：FN＝4 N， 由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4 N. [答案]　(1)2.24 m/s　(2)4 N ◆[针对训练] 1．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为(　　) A.　 B．2　　 C.　 D. 解析：C　[小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确．] 竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型 ◆[探究归纳] 1．最高点的最小速度 如图所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg. 2．小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况 (1)v＞，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v增大而增大． (2)v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0. (3)0＜v＜，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小． ◆[典例赏析] [例2]　长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．(g取10 m/s2) (1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s； (2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s. [解析]　小球在最高点的受力如图所示： (1)杆的转速为2.0 r/s时， ω＝2π·n＝4π rad/s 由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2 故小球所受杆的作用力 F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N 即杆对小球提供了138 N的拉力， 由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上． (2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2π·n＝π rad/s 同理可得小球所受杆的作用力 F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N， 力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下． [答案]　(1)小球对杆的拉力为138 N，方向竖直向上 (2)小球对杆的压力为10 N，方向竖直向下 (1)注意r/s与rad/s的不同． (2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力. (3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法． ◆[针对训练] 2．如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是(　　) A．小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于0 B．小球过最高点时，速度至少为 C．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力 D．小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球受重力方向相反 解析：C　[当小球在最高点的速度为时，杆所受弹力为0，A错误；因为是细杆，小球过最高点时的最小速度是0，B错误；小球过最高点时，如果速度在0～范围内，则杆对小球有向上的支持力，但由于合力向下，故此时重力一定大于杆对球的作用力，C正确；小球通过最高点的速度大于，小球的重力不足以提供向心力，此时杆对球产生向下作用力，D错误．] 圆周运动的动力学问题 ◆[探究归纳] 1．分析物体的运动情况，明确圆周轨道在怎样的一个平面内，确定圆心在何处，半径是多大． 2．分析物体的受力情况，弄清向心力的来源，跟运用牛顿第二定律解直线运动问题一样，解圆周运动问题，也要先选择研究对象，然后进行受力分析，画出受力示意图． 3．由牛顿第二定律F＝ma列方程求解相应问题，其中F是指向圆心方向的合外力(向心力)，a是向心加速度，即或ω2r或用周期T来表示的形式． ◆[典例赏析] [例3]　如图所示，两根长度相同的轻绳(图中未画出)，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？ [解析]　对两小球受力分析如图所示，设每段绳子长为l，对球2有F2＝2mlω2 对球1有：F1－F2＝mlω2 由以上两式得：F1＝3mlω2 得＝. [答案]　3∶2 ◆[针对训练] 3．(多选)A、B两质量相同的质点被用轻质细线悬挂在同一点O，在同一水平面上做匀速圆周运动，如图所示，则(　　) A．A的角速度一定比B的角速度大 B．A的线速度一定比B的线速度大 C．A的加速度一定比B的加速度大 D．A所受细线的拉力一定比B所受的细线的拉力大 解析：BCD　[小球受力分析： 设细线与竖直夹角为α，则有mgtan α＝mω2r，而r＝htan α，所以g＝ω2h，由于h均相同，因此ω相同，故A不正确；由于角速度相同，A球的半径比B球的半径大，则由v＝ωr得A球的线速度比B球的线速度大，故B正确；由于角速度相同，A球的半径比B球的半径大，则由an＝ω2r得A球的加速度比B球的加速度大，故C正确；由＝得，相同的质量，同样的高度下，细线越长则细线的拉力越大，故D正确．] 圆周运动中的临界问题 ◆[探究归纳] 1．当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫作临界状态．出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”． 2．确定临界状态的常用方法 (1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的． (2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题． 3．临界问题经常出现在变速圆周运动中，而竖直平面内的圆周运动是最典型的变速圆周运动．在竖直平面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，但物体经最高点或最低点时，所受的重力与其他力的合力指向圆心，提供向心力． ◆[典例赏析] [例4]　如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？ [解析]　两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值． (1)BC恰好拉直，但T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有 Fx＝T1sin 30°＝mωLsin 30° Fy＝T1cos 30°－mg＝0 联立解得ω1≈2.40 rad/s. (2)AC由拉紧转为恰好拉直，则T1已为零，设此时的角速度为ω2，则有 Fx＝T2sin 45°＝mωLsin 30° Fy＝T2cos 45°－mg＝0 联立解得ω2≈3.16 rad/s 可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足 2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s. [答案]　2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 常见的三种临界问题 (1)与绳的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)． (2)与支持面弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)． (3)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)． ◆[针对训练] 4．如图所示，在水平圆盘上放有质量相同的滑块1和滑块2，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．两滑块与圆盘的动摩擦因数相同，均为μ，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力．两滑块与轴O共线，且滑块1到转轴的距离为r，滑块2到转轴的距离为2r，现将两个滑块用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，针对这个过程，求解下列问题： (1)求轻绳刚有拉力时圆盘的角速度； (2)求当圆盘角速度为ω＝时，滑块1受到的摩擦力． [解析]　(1)轻绳刚有拉力时，滑块2与转盘间的摩擦力达到最大静摩擦力，则由牛顿第二定律：μmg＝mω·2r 解得ω0＝. (2)当圆盘角速度为ω＝＞，此时滑块2与转盘间的摩擦力是最大静摩擦力，则 对滑块2∶T＋μmg＝mω2·2r 对滑块1∶T＋f1＝mω2·r 解得f1＝0. [答案]　(1)　(2)摩擦力为0 1．如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体受重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为(　　) A．0　　　　　　　 B. C. D. 解析：C　[由题意知F＋mg＝m即2mg＝m，故速度大小v＝，C正确．] 2．(多选)如图所示，用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R，则下列说法正确的是(　　) A．小球过最高点时，绳子张力可能为零 B．小球过最高点时的最小速度为零 C．小球刚好过最高点时的速度为 D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反 解析：AC　[绳子只能提供拉力作用，其方向不可能与重力相反，D错误；在最高点有mg＋FT＝m，拉力FT可以等于零，此时速度最小，为vmin＝，故B错误，A、C正确．] 3．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是(　　) A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下 B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上 C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上 D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力 解析：ACD　[设管道的半径为R，小球的质量为m，小球通过最低点时速度大小为v1，根据牛顿第二定律：N－mg＝m可知小球所受合力向上，则管道对小球的支持力向上，则小球对管道的压力向下，故A正确，B错误；最高点时速度大小为v2，根据牛顿第二定律：mg－N＝m，当v2＝时，N＝0，说明管道对小球无压力；当v2＞时，N＜0，说明管道对小球的作用力向下，则小球对管道的压力向上，故C、D正确．] 4．如图所示，长为L＝0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球，g取10 m/s2. (1)如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大； (2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度为多大． [解析]　(1)小球在最低点受力如图甲所示： 甲　　　　　乙 合力等于向心力：FA－mg＝m 解得：FA＝56 N. (2)小球在最高点受力如图乙所示： 则：mg－FB＝mω2L 解得：ω＝4 rad/s. [答案]　(1)56 N　(2)4 rad/s 学科网（北京）股份有限公司 $