第6章 圆周运动（高效培优·单元讲义）物理人教版必修第二册

第六章 圆周运动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 圆周运动 1 题型2 向心力 5 题型3 向心加速度 10 题型4 生活中的圆周运动 12 【能力培优练】 17 【链接高考】 23 【重难题型讲解】 题型1 一、圆周运动的定义和特点 1、圆周运动的定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫作圆周运动。分为匀速圆周运动和变速圆周运动。因为圆周运动的向心力与线速度始终垂直，并指向圆心，所以圆周运动是变加速曲线运动。 2、匀速圆周运动：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 （1）匀速圆周运动特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 （2）匀速圆周运动条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 二、线速度 1、线速度的定义：质点做圆周运动通过的弧长 Δs和所用时间 Δt 的比值叫做线速度。 2、线速度的物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。 3、线速度的大小：。期中ΔS是弧长，不是位移；当Δt 很小很小时（趋近零），弧长ΔS就等于物体的位移，式中的v，就是直线运动中学过的瞬时速度。 4、线速度的方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向。 三、角速度 1、角速度的定义:物体做圆周运动，连接物体和圆心的半径转过的角度Δθ和所用时间Δt的比值叫做角速度。 2、角速度的物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。 3、角速度的大小：。 4、角速度的单位：rad/s (弧度/秒)。 5、弧度与角度公式：，运动一周，即360°=2πrad； 6、匀速圆周运动是角速度不变的运动。 四、周期、频率和转速 1、周期的定义:物体运动一周所用的时间；符号是T；单位是s。 2、频率的定义:物体在单位时间（每秒）转的圈数；符号是f；单位是Hz或s-1。 3、转速的定义:物体在单位时间（每秒或每分）转的圈数；符号是n；单位是r/s或r/min。 4、周期、频率和转速的关系：；描述物体做圆周运动的快慢。 五、各物理量间的关系 六、三类传动问题 1、同轴传动特点：任意两点的角速度相同，周期相同。转动方向相同。 （1）线速度与半径成正比：v=ωr。 （2）向心加速度与半径成正比：a=ω2r 2、皮带传动特点：边缘两点的线速度大小相等。转动方向相同。 （1）角速度与半径成反比：。 （2）向心加速度与半径成反比：。 3、齿轮传动特点：啮合的两点线速度相同（边缘任意两点线速度大小相等）。转动方向相反。 （1）角速度与半径成反比：。 （2）向心加速度与半径成反比：。 4、求解传动问题的思路 （1）确定传动类型及特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度的大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。 （2）确定半径|关系；根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题|意确定半径关系。 （3）公式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析；若角速度大小相等，则根据ω∝r分析。 【探究归纳】质点沿圆周运动，具有线速度、角速度和向心加速度，合力需提供向心力。 【典例1-1】自行车主要构成部件有前后轮、链条、大小齿轮等，其部分示意图如图所示，其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为，和，假设脚踏板的转速为，则该自行车前进的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（多选）如图所示，带有一白点的灰色圆盘绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速。在暗室中用每秒闪光21次的频闪光源照射圆盘，则下列说法正确的是（　　） A．白点逆时针旋转 B．白点顺时针旋转 C．白点转动频率为 D．白点转动周期为 【典例1-3】如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方高h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，B为圆盘边缘上的点，求小球的初速度v的大小及圆盘转动的角速度ω。 跟踪训练1无级变速是自动挡车型变速箱的一种，比普通的自动变速箱换挡更平顺，没有冲击感。图为其原理图.通过改变滚轮位置实现在变速范围内任意连续变换速度。、为滚轮轴上两点，变速过程中主动轮的转速不变，各轮间不打滑，则下列说法正确的是（    ） A．从动轮和主动轮的转动方向始终相同 B．滚轮在处，从动轮的角速度大于主动轮的角速度 C．滚轮从到，从动轮的线速度先变小再变大 D．滚轮从到，从动轮的转速一直在变大 跟踪训练2（多选）如图所示是利用轮轴原理制成的古代汲水装置——辘轳，把手边缘上a点到转轴的距离为R1，辘轳边缘上b点到转轴的距离为R2，通过转动把手带动辘轳转动从而将水桶提起，在水桶离开水面后上升的过程中，则（　　） A．a点与b点的角速度之比为R2∶R1 B．a点与b点的角速度之比为1∶1 C．a点与b点的线速度之比为R1∶R2 D．a点与b点的线速度之比为1∶1 跟踪训练3 一半径为R的雨伞绕柄以角速度匀速旋转，如图所示，伞边缘距地面高h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，则此圆半径r为多少？ 题型2 一、向心力 1、向心力定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力，符号为Fn。 2、向心力方向：指向圆心，向心力方向与速度方向垂直，是变力。圆周运动的向心力方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。 3、向心力作用效果：只改变速度的方向，不改变速度的大小。由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。 4、向心力的性质：向心力是按效果命名的力，在受力分析的时候不能单独分析。向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。 5、向心力的大小公式：Fn＝mrω2；又因为及和，所以。 （1）在其他因素不变时，向心力与质量成正比。 （2）在质量和半径不变时，向心力与角速度的平方成正比，与线速度的平方成正比，与周期的平方成反比。 （3）在质量和角速度不变时，向心力与半径成正比。 （4）在质量和线速度不变时，向心力与半径成反比。 （5）在质量和周期不变时，向心力与半径成正比。 二、变速圆周运动和一般的曲线运动 1、变速圆周运动：当沿圆周运动的物体所受的合力不指向圆心（合力不指向圆心物体做变速圆周运动的受力条件）时，物体做变速圆周运动。 2、一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动。把一般曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧。这些圆弧的弯曲程度不一样，表明它们具有不同的曲率半径。在分析质点经过曲线上某位置的运动时可以采用圆周运动的分析方法进行处理。 三、探究向心力大小的表达式 一、实验仪器：1.转动手柄；2、3.变速塔轮；4.长槽；5.短槽；6.横臂；7.弹簧测力套筒；8.标尺。 二、实验步骤：匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也随之做匀速圆周运动。这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套简里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小。 （1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。 （2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。 （3）换成质量不同的小球，分别使两个小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。 （4）重复几次以上实验。 三、实验结论 （1）在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比； （2）在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比； （3）在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。 四、牛顿第二定律与向心力结合解决问题 1、牛顿第二定律与向心力结合解决问题：表达式也是牛顿第二定律的变形，因此可以将牛顿第二定律与向心力结合起来求解圆周运动的相关问题。 2、圆周运动中的动力学问题分析 （1）向心力的确定 ①确定圆周运动的轨道所在的平面及圆心的位置。 ②分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力。 （2）向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力。 （3）解决圆周运动问题步骤 ①审清题意，确定研究对象。 ②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等。 ③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源。 ④根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。 【探究归纳】向心力是指向圆心的合力，只改变速度方向，不改变速度大小。 【典例2-1】进入冬季后，哈尔滨冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏，人乘坐雪圈总质量为50kg，绕轴以2rad/s的角速度在水平雪地上做匀速圆周运动，已知水平杆长为2m，离地高为2m，绳长为4m，且绳与水平杆垂直。则人和雪圈（　　） A．所受的合外力不变 B．圆周运动的半径为3m C．线速度大小为4m/s D．所受合力大小为800N 【典例2-2】如图甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。 (1)在该实验中，主要利用了__________来探究向心力与质量、半径、角速度之间的关系； A．理想实验法 B．微元法 C．控制变量法 D．等效替代法 (2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第__________层塔轮。（选填“一”、“二”或“三”） (3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为__________ 跟踪训练1（多选）我们可以用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素。长槽横臂的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽横臂的挡板A和短槽横臂的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的相对大小。则关于这个实验，下列说法正确的是（　　） A．探究向心力和角速度的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板B和挡板C处 B．探究向心力和角速度的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C处 C．探究向心力和半径的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板B和挡板C处 D．探究向心力和质量的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，将质量不同的小球分别放在挡板A和挡板B处 跟踪训练2如图甲所示，实验小组用向心力演示仪探究影响向心力大小的因素。已知小球在槽中A、B、C位置做圆周运动的半径之比为。 (1)本实验采取的主要研究方法是________ A．微元法 B．控制变量法 C．等效替代法 D．理想实验法 (2)某次实验时，选择两个质量相等的球分别放置于甲图中A、C位置，选用的变速塔轮如图中所示，该实验是探究哪两个物理量之间的关系________ A．探究向心力与角速度之间的关系 B．探究向心力与质量之间的关系 C．探究向心力与半径之间的关系 D．探究向心力与半径的倒数之间的关系 (3)某次实验时，将两个球分别放置于甲图中B、C位置，所用两个球的质量之比为，左右变速塔轮的半径之比为，则左右两球做圆周运动的角速度之比为________，向心力之比为________。 题型3 一、向心加速度的概念、方向及物理意义 1、向心加速度：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度，符号an。 2、向心加速度的方向：始终指向圆心。 （1）指向圆心：无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心（或者说与线速度方向垂直）。 （2）时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变，所以圆周运动的向心加速度是时刻改变的。 3、向心加速度的物理意义：描述速度方向变化的快慢。向心加速度描述匀速圆周运动中线速度改变的快慢，只能表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。 注意：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动。 4、变速圆周运动中的加速度：变速圆周运动中，线速度的大小与方向均在变化，加速度的大小与方向均在变化，且加速度的方向不再指向圆心。 注意：该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。 5、圆周运动中的外力与加速度：牛顿第二定律适用于任何运动形式，圆周运动也不例外。匀速圆周运动中向心力即是合力，向心加速度即是总的加速度，故有Fn=man。 6、匀速圆周运动中的“变”与“不变” （1）“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期.转速不变，线速度，加速度这两个矢量的大小不变。 （2）“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻在改变，故线速度、加速度在时刻改变。 二、匀速圆周运动的加速度的大小与计算 1、向心加速度的产生：由向心力产生。 2、向心加速度的大小：根据牛顿第二定律和向心力表达式F=ma和向心力的大小公式 ，可得出向心加速度的大小：或者。 推导过程：。 3、对于公式：该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当运动半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。 4、对于公式an=ω2r：该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。 5、向心加速度与半径的关系：根据上面的讨论，加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度（或周期、转速）一定，an与r成正比。 【归纳总结】向心加速度由向心力产生，方向始终指向圆心，描述速度方向变化的快慢。 【典例3-1】我国正在研发的“高速飞车”结合了磁悬浮技术与低真空管道技术，使飞车的速度可达1000km/h。低真空管道技术是通过抽取管道内空气，形成低真空环境。下列说法正确的是（   ） A．飞车质量越大，在管道中运行时惯性越小 B．低真空管道技术可减小飞车所受空气阻力 C．磁悬浮可使飞车的重力消失从而悬浮起来 D．飞车在匀速通过弯道时，运动加速度为零 【典例3-2】（多选）关于向心力，下列说法正确的是（　　） A．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各力的合力，也可以是某个力的分力 B．向心力一定是由做圆周运动的物体所受的合力提供的 C．对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 D．向心力是指向圆心方向的合外力，它是根据力的作用效果命名的 跟踪训练1某摩天轮模型如图所示，A、B、C是三个可转动圆盘，其中A和B通过一根不打滑的皮带传动，B和C同轴转动。已知，则下列关于A、B、C三个圆盘边缘点的运动描述正确的是（ ） A． B． C． D． 跟踪训练2（多选）如图所示为雨刮器的简化图，为雨刮臂，、为刮水片的两个端点。若始终竖直，在绕点做匀速圆周运动的过程中，下列说法正确的是（    ） A．点的运动方向保持不变 B．点和点的运动速度始终相同 C．点的向心加速度始终不变 D．点的速度大小保持不变 题型4 一、车辆转弯问题（火车转弯、汽车转弯） 1、汽车转弯问题模型 （1）一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力。所以当汽车转弯时,存在一个安全通过的最大速度，如果超过了这个速度，汽车将发生侧滑现象。 （2）改进措施:①增大转弯半径；②增加路面的粗糙程度；③最重要的一点:司机应该减速慢行；④增加路面高度差——外高内低。 2、火车转弯模型 （1）与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。 速度v推断：如图所示，受力分析可得F合＝mg tanθ；火车转弯时所需的向心力， 当F合=Fn时，。 （2）当v＜这一速度时，轮缘受到内轨向外的弹力。 （3）当v＞这一速度时。轮缘受到外轨向内的弹力。 二、汽车过拱形桥与航天器中的失重现象 1、汽车过拱形桥 （1）汽车静止在桥上或通过平桥时，受力情况：F压＝FN＝mg。 （2）汽车过拱形桥时，在最高点时：向心力；；； 所以：F压＝FN＜mg；汽车对桥的压力小于其所受重力，即处于失重状态；当 FN = 0 时，汽车脱离桥面，做平抛运动，汽车及其中的物体处于完全失重状态。 （3）汽车过凹形桥时，在最低点时：向心力；；； 所以：F压＝FN＞mg；汽车对桥的压力大于其所受重力，即处于超重状态。 2、航天器中的失重现象 （1）向心力分析:宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供向心力：。 （2）失重状态:当v=gR 时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。 三、绳球类杆球类模型 比较项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 过最高点的临界条件 小球恰能做圆周运动时，由 得v临= 小球恰能做圆周运动时，得v临=0。 讨论分析 ★特别提醒 对于竖直平面内的圆周运动，一般题目都会给出关键词“恰好”，当物体恰好过圆周运动最高点时，物体自身的重力完全充当向心力，，从而可以求出最高点的速度v=。 四、离心运动 1、离心运动 （1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 （2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。 （3）受力特点：当F=mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F=0时，物体沿切线方向飞出； 当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。 2、向心运动：当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近；如图上图所示。 注意： （1）物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。 （2）近心运动和离心运动本质上并不是因为受到了近心力或离心力的作用，而是物体实际受到的向心力力与所需向心力之间的差异引起的现象。 （3）当物体受到的向心力小于物体所需的向心力，物体做离心运动；当物体受到的向心力大于所需的向心力，物体做近心运动。 3、离心运动应用举例：洗衣机脱水、棉花糖机、离心干燥器、离心机等。 4、离心运动举例 （1）水平公路转弯限速：在水平公路上转弯时，如果速度过大，车辆会因为所需的向心力超过车轮与地面间的最大静摩擦力而做离心运动，容易造成事故。因此，需要限制速度以防止离心运动带来的危害。 （2）高速转动的砂轮防护：高速转动的砂轮如果转速过高，其内部的分子间相互作用力不足以提供所需的向心力时，砂轮会破裂。因此，需要控制砂轮的转速，并使用防护罩来防止砂轮破裂造成的伤害。 这些应用和防止措施展示了离心运动在实际生活中的重要作用，既可以利用其原理服务于日常生活，又需要注意控制条件以避免其带来的潜在风险。 【归纳总结】汽车转弯、火车拐弯、圆锥摆等都是圆周运动，均由相应合力提供向心力。 【典例4-1】（多选）如图所示，下列有关生活中圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　） A．甲图中，汽车通过拱桥的最高点处于失重状态 B．乙图中，“水流星”匀速转动过程中，在最低处水对桶底的压力最小 C．丙图中，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用 D．丁图中，圆锥筒静止且内壁光滑，同一小球分别在筒内壁的A、B两位置所处平面做匀速圆周运动，则在两位置小球的向心加速度大小相等 【典例4-3】如图小球质量m=2kg，轻绳长L=2.5m，小球在竖直平面内做圆周运动。重力加速度，求： (1)小球恰能做完整的圆周运动，其在最高点的速度大小； (2)若在最高点时小球的速度大小v=10m/s，绳对小球的拉力F的数值； (3)若在最高点小球的速度v=10m/s，绳突然断裂，落地时间和水平位移分别为多少？ 跟踪训练1如图所示，把一个可视为质点的小球放在光滑的球形容器中，使小球沿容器壁在某一水平面内做匀速圆周运动。已知圆周运动的轨道半径R=0.625m，小球所在位置切面与水平面夹角，小球质量为m=0.2kg，重力加速度取。关于小球的下列说法正确的是（　　） A．角速度大小为4rad/s B．线速度大小为5m/s C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为N 跟踪训练2（多选）如图所示，水平圆台中央O点固定着一根竖直细杆，一轻质细管管底通过光滑铰链固定在细杆P点，细管可绕P点在竖直面内转动，OP间距离为d，管长为，管口靠在圆台上。细管内有一根原长为的轻质弹簧，弹簧一端固定在管底，另一端连接一质量为m的小球，现让整个装置绕竖直杆缓慢加速转动。已知细管内壁光滑，弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为，重力加速度为g，则（    ） A．当转动的角速度为时，管口刚好离开台面 B．当转动的角速度为时，管口刚好离开台面 C．当转动的角速度为时，小球到达管口 D．当转动的角速度为时，小球到达管口 跟踪训练3 某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，下方水面上漂浮着一个半径为R铺有海绵垫的转盘，转盘轴心在AB正下方且离平台的水平距离为L，平台与转盘平面的高度差为H，A点位于平台边缘的正上方，水平直轨道与平台间的高度差可忽略不计。选手抓住悬挂器后，按动开关，在电动机的带动下从A点沿轨道做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，起动后2s人脱离悬挂器。设人的质量为m（人可看成质点），人与转盘间的最大静摩擦力为，重力加速度为g。求： (1)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度最大值； (2)当时选手离开悬挂器的速度大小； (3)若，，，取，选手要想成功落在转盘上，加速度a的范围。 【能力培优练】 1．如图所示，在公路的弯道处，常会挂有减速标牌，提醒驾驶员急弯下坡减速。则汽车（　　） A．过急弯惯性会减小 B．下坡过程中惯性会增大 C．减速可增大过急弯处所受的摩擦力，避免侧滑 D．减速可减小过急弯处所需的向心力，避免侧滑 2．如图，采集来的血液滴入试管中，管口向上斜放入血液离心机中，离心机通过高速旋转，能将血液中的不同成分进行分离，以便于进行血液分析。血液中的红细胞密度最大，增加离心机的转速，可使红细胞（   ） A．更快地沉到试管底部 B．更快地浮到试管上部 C．更慢地沉到试管底部 D．更慢地浮到试管上部 3．如图所示，一激光笔以角速度ω绕O点在纸面内逆时针匀速转动。O点距平面MN的距离为h。当激光光束与平面MN的夹角θ=30°时，光点在MN上移动速度为（　　） A．4hω B． C． D．hω 4．滚筒式洗衣机的脱水功能是利用高速离心运动实现衣物干燥。如图所示，脱水时，筒内一件质量为m的棉质衣物紧贴筒壁，在竖直平面内做匀速圆周运动，滚筒截面半径为r，A、C分别为滚筒的最高和最低点，B、D为与圆心等高的位置。衣物可视为质点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．衣物在C处和A处对筒壁的压力相等 B．滚筒转动一周的过程中，衣物在B点和D点向心加速度的大小相等 C．衣物A、B、C、D四点的线速度相同 D．衣物在B、D两处所受摩擦力方向相反 5．气嘴灯安装在自行车的气嘴上，骑行时会发光，一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，一重物套在光滑杆上，重物上的触点M与固定在B端的触点N接触后，LED灯就会发光。下列说法不正确的是（　　） A．正确安装使用时，装置A端的线速度比B端的大 B．感应装置的原理是利用离心现象 C．自行车匀速行驶时，感应装置运动到最下端时比最上端更容易发光 D．要在较低的转速时发光，可以更换劲度系数更小的弹簧 6．质量的小球悬挂在轻弹簧下端，静止时弹簧的长度。如图所示，当小球在水平面内做匀速圆周运动时，弹簧轴线与竖直方向的夹角为60°，弹簧拉力大小为F，周期为1s，加速度大小为a。已知重力加速度，不计空气阻力，弹簧未超出弹簧限度。下列判断正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数为150N/m B．弹簧的原长为0.4m C． D． 7．如图，用短棒在左侧将竹筛支撑住，小鸟在竹筛落地时的底面圆心处偷吃谷子，t=0时刻绳子拉动，拉走短棒，竹筛开始绕着右端支点转动，同时小鸟被惊动，立刻开始沿着半径向外逃窜。已知竹筛底面半径R=0.5m，初始竹筛底面与地面夹角为30°，竹筛的角速度随时间变化的图像简化为如右图所示，小鸟（可视为质点）做速度为0.2m/s的匀速直线运动，则（　　） A．竹筛开始转动后，竹筛上面各点做匀速圆周运动 B．竹筛开始运动后，竹筛上面各点的加速度大小不变 C．拉走短棒后，竹筛从开始运动到落地经历的时间为1s D．最终小鸟能够成功逃离竹筛 8．如图所示，以为圆心的光滑圆弧上有、两个挡板，挡板处各有一个可沿圆弧滑动的带孔小球，圆弧可绕竖直杆在水平面内转动。现将转动的角速度从0缓慢增大（　　） A．两个小球相对圆弧总保持静止 B．两个小球同时沿圆弧向上运动 C．处小球最先沿圆弧向上运动 D．处小球最先沿圆弧向上运动 9．（多选）下列说法正确的是（　　） A．曲线运动的合力一定是变力 B．变速运动不一定是曲线运动，但曲线运动一定是变速运动 C．物体做圆周运动所需的向心力是恒力 D．匀变速运动的轨迹可以是直线也可以是曲线 10．（多选）乘坐游乐园中的翻滚过山车时，质量为m的人随车一起在竖直面内旋转，车在最高点时人处于倒立状态。则（　　） A．人在最高点时对座位可能没有压力 B．人在最高点时对座位一定没有压力 C．人在最低点时对座位的压力大于mg D．人在最低点时对座位的压力等于mg 11．（多选）如图所示，水平放置餐桌的桌面为圆形，半径为R。为方便用餐，中心放置一个可绕其中心轴转动的圆盘，圆盘半径为r，圆心与餐桌圆心重合。在圆盘的边缘放置一个质量为m的小物块，小物块与圆盘间的动摩擦因数为μ1，小物块与餐桌间的动摩擦因数为μ2。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，圆盘厚度及圆盘与餐桌间的间隙不计，小物块可看作质点。由静止开始，缓慢增加圆盘转速，则下列说法正确的是（　　） A．当圆盘的角速度增大到时，小物块恰好不从圆盘上滑落 B．小物块从圆盘上滑落后，小物块在餐桌上做匀速直线运动 C．小物块从圆盘上滑落后，小物块在餐桌上做匀减速直线运动 D．小物块在圆盘上的最大加速度一定小于小物块在桌面上运动时的加速度 12．（多选）如图，质量为的质量分布均匀的圆盘做水平面内的匀速圆周运动，其中三点共线，三点在圆盘边缘上均匀分布，等长且与的夹角均为为悬点，与竖直方向夹角为所能承受的最大拉力均为。下列说法正确的是（　　） A．绳上拉力大小为 B．绳上拉力大小为 C．若角速度增大，绳先断 D．若角速度增大，比绳先断 13．（多选）如图甲，一种自动计数的智能呼啦圈，腰带外侧带有轨道，带有短杆的滑轮穿过轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其模型简化如图乙所示。将腰带水平套在腰上，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动，此时轻绳与竖直方向夹角为。若在时间内，计数器显示的圈数为，配重的质量为，重力加速度为，忽略腰带变形，配重可视为质点，则（    ）    A．配重的角速度为 B．配重所受轻绳拉力大小为 C．配重做圆周运动的半径为 D．若减小配重的转速，则轻绳与竖直方向夹角变小 14．如图甲为向心力演示仪的示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。a、b两轮在皮带的传动下匀速转动。 现将两个小钢球分别放入A、B槽中，①球的质量是②球的2倍，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为，如图乙所示，则钢球①，②的角速度之比为___________，钢球①，②的线速度大小之比为___________，向心力大小之比为___________。 15．在“探究向心力大小与哪些因素有关”的实验中，所用向心力演示仪如图甲所示，A、B、C为三根固定在转臂上的短臂，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，其中A和C的半径相同。图乙是变速塔轮的原理示意图：其中塔轮第一层半径之比1∶1，第二层半径之比2∶1；第三层半径之比3∶1。可供选择的实验小球有：质量均为2m的球I和球II，质量为m的球III。 (1)这个实验主要采用的方法是 。 A．等效替代法 B．控制变量法 C．理想实验法 D．放大法 (2)选择球I和球II分别置于短臂C和短臂A，是为了探究向心力大小与 。 A．质量之间的关系 B．半径之间的关系 C．标尺之间的关系 D．角速度之间的关系 (3)为探究向心力大小与圆周运动轨道半径的关系，应将实验小球I和_____________（选填“II”或“III”）分别置于短臂C和短臂___________处（选填“A”或“B”），实验时应将皮带调整到第_____________（选填“一”“二”或“三”）层塔轮组。 16．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度ω0=2.0rad/s，盘面上距圆盘中心r=0.10m的位置有一个质量m=0.10kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动。可认为最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，取重力加速度g=10m/s2。 (1)画出小物体在图示位置的受力示意图； (2)求小物体受到的摩擦力f的大小； (3)若小物体与圆盘间的动摩擦因数μ=0.36，为使小物体相对圆盘不滑动，圆盘转动的角速度ω最大不超过多少。 17．无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为的半圆弧与长的直线路径相切于B点，与半径为的半圆弧相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过和。为保证安全，小车速率最大为。在段的加速度最大为，段的加速度最大为。小车视为质点。求： (1)小车在段做匀速直线运动的最长距离L； (2)小车从A到D所需最短时间t（结果可保留字母π）。 18．一个竖直放置的圆锥筒可绕其竖直中心轴转动，筒内壁粗糙，圆锥筒面与中心轴线的夹角为。质量为可视为质点的小物体置于筒内点，点距离点的竖直高度为，物体与圆锥筒面间的动摩擦因数为。已知重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，空气阻力不计。求： (1)若圆锥筒匀速转动，小物体始终相对A点静止，恰好不受摩擦力作用，圆锥筒转动的周期为多大？ (2)缓慢改变圆锥筒角速度，要使小物体始终相对A点静止，试讨论圆锥筒角速度。 【链接高考】 1．（2025·江苏·高考真题）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以、为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与、恰好在同一条直线上。则（    ） A．A点做匀速圆周运动 B．点做匀速圆周运动 C．此时A点的速度小于点 D．此时A点的速度等于点 2．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东·高考真题）（多选）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为 B．线速度大小为 C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为 4．（2025·山东·高考真题）（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 5．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。 （2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆周运动 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 圆周运动 1 题型2 向心力 7 题型3 向心加速度 13 题型4 生活中的圆周运动 17 【能力培优练】 24 【链接高考】 37 【重难题型讲解】 题型1 一、圆周运动的定义和特点 1、圆周运动的定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫作圆周运动。分为匀速圆周运动和变速圆周运动。因为圆周运动的向心力与线速度始终垂直，并指向圆心，所以圆周运动是变加速曲线运动。 2、匀速圆周运动：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 （1）匀速圆周运动特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 （2）匀速圆周运动条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 二、线速度 1、线速度的定义：质点做圆周运动通过的弧长 Δs和所用时间 Δt 的比值叫做线速度。 2、线速度的物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。 3、线速度的大小：。期中ΔS是弧长，不是位移；当Δt 很小很小时（趋近零），弧长ΔS就等于物体的位移，式中的v，就是直线运动中学过的瞬时速度。 4、线速度的方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向。 三、角速度 1、角速度的定义:物体做圆周运动，连接物体和圆心的半径转过的角度Δθ和所用时间Δt的比值叫做角速度。 2、角速度的物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。 3、角速度的大小：。 4、角速度的单位：rad/s (弧度/秒)。 5、弧度与角度公式：，运动一周，即360°=2πrad； 6、匀速圆周运动是角速度不变的运动。 四、周期、频率和转速 1、周期的定义:物体运动一周所用的时间；符号是T；单位是s。 2、频率的定义:物体在单位时间（每秒）转的圈数；符号是f；单位是Hz或s-1。 3、转速的定义:物体在单位时间（每秒或每分）转的圈数；符号是n；单位是r/s或r/min。 4、周期、频率和转速的关系：；描述物体做圆周运动的快慢。 五、各物理量间的关系 六、三类传动问题 1、同轴传动特点：任意两点的角速度相同，周期相同。转动方向相同。 （1）线速度与半径成正比：v=ωr。 （2）向心加速度与半径成正比：a=ω2r 2、皮带传动特点：边缘两点的线速度大小相等。转动方向相同。 （1）角速度与半径成反比：。 （2）向心加速度与半径成反比：。 3、齿轮传动特点：啮合的两点线速度相同（边缘任意两点线速度大小相等）。转动方向相反。 （1）角速度与半径成反比：。 （2）向心加速度与半径成反比：。 4、求解传动问题的思路 （1）确定传动类型及特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度的大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。 （2）确定半径|关系；根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题|意确定半径关系。 （3）公式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析；若角速度大小相等，则根据ω∝r分析。 【探究归纳】质点沿圆周运动，具有线速度、角速度和向心加速度，合力需提供向心力。 【典例1-1】自行车主要构成部件有前后轮、链条、大小齿轮等，其部分示意图如图所示，其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为，和，假设脚踏板的转速为，则该自行车前进的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】大齿轮转动的角速度为 大齿轮边缘点转动的线速度为 小齿轮边缘点转动的线速度与大齿轮边缘点转动的线速度相等，即 小齿轮和车轮的角速度相等，则 所以自行车前进的速度大小 故选D。 【典例1-2】（多选）如图所示，带有一白点的灰色圆盘绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速。在暗室中用每秒闪光21次的频闪光源照射圆盘，则下列说法正确的是（　　） A．白点逆时针旋转 B．白点顺时针旋转 C．白点转动频率为 D．白点转动周期为 【答案】AD 【详解】由题意灰色圆盘，可绕过其中心，垂直于盘面的轴匀速转动，每秒沿顺时针方向旋转20圈，即频率为 在暗室中用每秒闪光21次的频闪光源照射圆盘，即 则 所以观察到白点逆时针旋转，则 所以观察到白点转动频率1Hz，即转动周期为T=1s 故选AD。 【典例1-3】如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方高h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，B为圆盘边缘上的点，求小球的初速度v的大小及圆盘转动的角速度ω。 【详解】对于小球做平抛运动，则有 可解得 又因小球平抛的时间和圆盘的周期满足 又因 所以可解得 跟踪训练1无级变速是自动挡车型变速箱的一种，比普通的自动变速箱换挡更平顺，没有冲击感。图为其原理图.通过改变滚轮位置实现在变速范围内任意连续变换速度。、为滚轮轴上两点，变速过程中主动轮的转速不变，各轮间不打滑，则下列说法正确的是（    ） A．从动轮和主动轮的转动方向始终相同 B．滚轮在处，从动轮的角速度大于主动轮的角速度 C．滚轮从到，从动轮的线速度先变小再变大 D．滚轮从到，从动轮的转速一直在变大 【答案】A 【详解】A．因为从动轮和主动轮的转动方向都和滚轮的转动方向相反，所以从动轮和主动轮的转动方向始终相同，选项A正确； B．滚轮在处，从动轮和主动轮与滚轮接触的点的线速度相等，而从动轮的半径大于主动轮的半径，根据可知，从动轮的角速度小于主动轮的角速度，选项B错误； C．主动轮的转速不变，滚轮从到，主动轮的半径越来越小，主动轮与滚轮接触的点的线速度一直减小，从动轮的线速度与滚轮的线速度相同，一直变小，选项C错误； D．滚轮从到，从动轮的线速度一直减小，又因为从动轮的半径在变大，且 滚轮从到，从动轮的转速一直减小，选项D错误。 故选A。 跟踪训练2（多选）如图所示是利用轮轴原理制成的古代汲水装置——辘轳，把手边缘上a点到转轴的距离为R1，辘轳边缘上b点到转轴的距离为R2，通过转动把手带动辘轳转动从而将水桶提起，在水桶离开水面后上升的过程中，则（　　） A．a点与b点的角速度之比为R2∶R1 B．a点与b点的角速度之比为1∶1 C．a点与b点的线速度之比为R1∶R2 D．a点与b点的线速度之比为1∶1 【答案】BC 【详解】AB．根据共轴转动的特点，可知a点和b点的角速度之比，故A错误，B正确； CD．由线速度表达式，可得，故C正确，D错误。 故选BC。 跟踪训练3 一半径为R的雨伞绕柄以角速度匀速旋转，如图所示，伞边缘距地面高h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，则此圆半径r为多少？ 【详解】间距关系如图所示（俯视图） 水滴飞出的速度大小为 水滴做平抛运动，在竖直方向上有 在水平方向上有 由几何关系知，甩出的水滴在地面上所形成圆的半径 联立解得 题型2 一、向心力 1、向心力定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力，符号为Fn。 2、向心力方向：指向圆心，向心力方向与速度方向垂直，是变力。圆周运动的向心力方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。 3、向心力作用效果：只改变速度的方向，不改变速度的大小。由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。 4、向心力的性质：向心力是按效果命名的力，在受力分析的时候不能单独分析。向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。 5、向心力的大小公式：Fn＝mrω2；又因为及和，所以。 （1）在其他因素不变时，向心力与质量成正比。 （2）在质量和半径不变时，向心力与角速度的平方成正比，与线速度的平方成正比，与周期的平方成反比。 （3）在质量和角速度不变时，向心力与半径成正比。 （4）在质量和线速度不变时，向心力与半径成反比。 （5）在质量和周期不变时，向心力与半径成正比。 二、变速圆周运动和一般的曲线运动 1、变速圆周运动：当沿圆周运动的物体所受的合力不指向圆心（合力不指向圆心物体做变速圆周运动的受力条件）时，物体做变速圆周运动。 2、一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动。把一般曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧。这些圆弧的弯曲程度不一样，表明它们具有不同的曲率半径。在分析质点经过曲线上某位置的运动时可以采用圆周运动的分析方法进行处理。 三、探究向心力大小的表达式 一、实验仪器：1.转动手柄；2、3.变速塔轮；4.长槽；5.短槽；6.横臂；7.弹簧测力套筒；8.标尺。 二、实验步骤：匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也随之做匀速圆周运动。这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套简里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小。 （1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。 （2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。 （3）换成质量不同的小球，分别使两个小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。 （4）重复几次以上实验。 三、实验结论 （1）在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比； （2）在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比； （3）在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。 四、牛顿第二定律与向心力结合解决问题 1、牛顿第二定律与向心力结合解决问题：表达式也是牛顿第二定律的变形，因此可以将牛顿第二定律与向心力结合起来求解圆周运动的相关问题。 2、圆周运动中的动力学问题分析 （1）向心力的确定 ①确定圆周运动的轨道所在的平面及圆心的位置。 ②分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力。 （2）向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力。 （3）解决圆周运动问题步骤 ①审清题意，确定研究对象。 ②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等。 ③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源。 ④根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。 【探究归纳】向心力是指向圆心的合力，只改变速度方向，不改变速度大小。 【典例2-1】进入冬季后，哈尔滨冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏，人乘坐雪圈总质量为50kg，绕轴以2rad/s的角速度在水平雪地上做匀速圆周运动，已知水平杆长为2m，离地高为2m，绳长为4m，且绳与水平杆垂直。则人和雪圈（　　） A．所受的合外力不变 B．圆周运动的半径为3m C．线速度大小为4m/s D．所受合力大小为800N 【答案】D 【详解】A．雪圈（含人）做匀速圆周运动合外力一直指向圆心，方向在时刻发生变化，因而合外力在不断变化，故A错误； B．根据几何关系可知，雪圈（含人）做匀速圆周运动的半径为 ，故B错误； C．线速度大小为，故C错误； D．雪圈（含人）所受的合外力提供所需的向心力，则有 ，故D正确。 故选D。 【典例2-2】如图甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。 (1)在该实验中，主要利用了__________来探究向心力与质量、半径、角速度之间的关系； A．理想实验法 B．微元法 C．控制变量法 D．等效替代法 (2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第__________层塔轮。（选填“一”、“二”或“三”） (3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为__________ 【答案】(1)C (2)一 (3) 【详解】（1）在该实验中，研究向心力与质量、半径、角速度之间的关系，则主要利用了控制变量法来探究向心力，故选C。 （2）在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要保持角速度不变，需将传动皮带调至第一层塔轮。 （3）在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，则转动半径相等，传动皮带位于第二层，两塔轮转动半径之比2：1，两塔轮边缘的线速度相等，根据可知转动的角速度之比为1:2，根据可知，两钢球受的向心力之比为1:4，即左右两标尺露出的格子数之比约为1:4。 跟踪训练1（多选）我们可以用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素。长槽横臂的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽横臂的挡板A和短槽横臂的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的相对大小。则关于这个实验，下列说法正确的是（　　） A．探究向心力和角速度的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板B和挡板C处 B．探究向心力和角速度的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C处 C．探究向心力和半径的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板B和挡板C处 D．探究向心力和质量的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，将质量不同的小球分别放在挡板A和挡板B处 【答案】BC 【详解】AB．探究向心力和角速度的关系时，应将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C处，则两小球做圆周运动的半径相同，传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，则角速度不同，故A错误、B正确； C．探究向心力和半径的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，则小球做圆周运动的角速度相同，将质量相同的小球分别放在挡板B和挡板C处，则两球做圆周运动的半径不同，故C正确； D．探究向心力和质量的关系时，要保持半径和角速度相同，质量不同；应将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上，将质量不同的小球分别放在挡板A和挡板C处，故D错误。 故选BC。 跟踪训练2如图甲所示，实验小组用向心力演示仪探究影响向心力大小的因素。已知小球在槽中A、B、C位置做圆周运动的半径之比为。 (1)本实验采取的主要研究方法是________ A．微元法 B．控制变量法 C．等效替代法 D．理想实验法 (2)某次实验时，选择两个质量相等的球分别放置于甲图中A、C位置，选用的变速塔轮如图中所示，该实验是探究哪两个物理量之间的关系________ A．探究向心力与角速度之间的关系 B．探究向心力与质量之间的关系 C．探究向心力与半径之间的关系 D．探究向心力与半径的倒数之间的关系 (3)某次实验时，将两个球分别放置于甲图中B、C位置，所用两个球的质量之比为，左右变速塔轮的半径之比为，则左右两球做圆周运动的角速度之比为________，向心力之比为________。 【答案】(1)B (2)A (3) 【详解】（1）探究影响向心力大小的因素，采取的主要研究方法是控制变量法。 故选B。 （2）某次实验时，选择两个质量相等的球分别放置于甲图中A、C位置，选用的变速塔轮如图中所示，可知两球做圆周运动的半径相同，该实验是探究向心力与角速度之间的关系。 故选A。 （3）[1][2]某次实验时，将两个球分别放置于甲图中B、C位置，则两球做圆周运动的半径之比为 所用两个球的质量之比为，左右变速塔轮的半径之比为，根据，可知左右两球做圆周运动的角速度之比为 根据，可知左右两球做圆周运动的向心力之比为 题型3 一、向心加速度的概念、方向及物理意义 1、向心加速度：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度，符号an。 2、向心加速度的方向：始终指向圆心。 （1）指向圆心：无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心（或者说与线速度方向垂直）。 （2）时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变，所以圆周运动的向心加速度是时刻改变的。 3、向心加速度的物理意义：描述速度方向变化的快慢。向心加速度描述匀速圆周运动中线速度改变的快慢，只能表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。 注意：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动。 4、变速圆周运动中的加速度：变速圆周运动中，线速度的大小与方向均在变化，加速度的大小与方向均在变化，且加速度的方向不再指向圆心。 注意：该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。 5、圆周运动中的外力与加速度：牛顿第二定律适用于任何运动形式，圆周运动也不例外。匀速圆周运动中向心力即是合力，向心加速度即是总的加速度，故有Fn=man。 6、匀速圆周运动中的“变”与“不变” （1）“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期.转速不变，线速度，加速度这两个矢量的大小不变。 （2）“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻在改变，故线速度、加速度在时刻改变。 二、匀速圆周运动的加速度的大小与计算 1、向心加速度的产生：由向心力产生。 2、向心加速度的大小：根据牛顿第二定律和向心力表达式F=ma和向心力的大小公式 ，可得出向心加速度的大小：或者。 推导过程：。 3、对于公式：该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当运动半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。 4、对于公式an=ω2r：该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。 5、向心加速度与半径的关系：根据上面的讨论，加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度（或周期、转速）一定，an与r成正比。 【归纳总结】向心加速度由向心力产生，方向始终指向圆心，描述速度方向变化的快慢。 【典例3-1】我国正在研发的“高速飞车”结合了磁悬浮技术与低真空管道技术，使飞车的速度可达1000km/h。低真空管道技术是通过抽取管道内空气，形成低真空环境。下列说法正确的是（   ） A．飞车质量越大，在管道中运行时惯性越小 B．低真空管道技术可减小飞车所受空气阻力 C．磁悬浮可使飞车的重力消失从而悬浮起来 D．飞车在匀速通过弯道时，运动加速度为零 【答案】B 【详解】A．惯性是物体抵抗运动状态改变的性质，只与质量有关，质量越大，惯性越大，故A错误； B．空气阻力与空气密度有关，低真空管道技术通过抽取空气降低管道内空气密度，从而减小飞车所受空气阻力，故B正确； C．磁悬浮技术利用磁力平衡重力，但重力是地球对物体的引力，不会消失，故C错误； D．飞车在匀速通过弯道时做曲线运动，速度方向改变，存在向心加速度（），加速度不为零，故D错误。 故选B。 【典例3-2】（多选）关于向心力，下列说法正确的是（　　） A．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各力的合力，也可以是某个力的分力 B．向心力一定是由做圆周运动的物体所受的合力提供的 C．对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 D．向心力是指向圆心方向的合外力，它是根据力的作用效果命名的 【答案】AD 【详解】A．向心力由实际存在的力（如重力、弹力、摩擦力）的合力或分力提供，例如圆锥摆中拉力和重力的合力提供向心力，故A正确； B．向心力是合外力在指向圆心方向的分量，非匀速圆周运动中合外力还有切向分量，因此向心力不一定是合外力的全部，故B错误； C．向心力是效果力，受力分析时只需分析实际存在的力（如重力、弹力等），而非额外添加“向心力”，故C错误； D．向心力是合外力在法向（指向圆心）的分量，根据力的作用效果命名，例如绳子的拉力在指向圆心方向的分量即为向心力，故D正确。 故选AD。 跟踪训练1某摩天轮模型如图所示，A、B、C是三个可转动圆盘，其中A和B通过一根不打滑的皮带传动，B和C同轴转动。已知，则下列关于A、B、C三个圆盘边缘点的运动描述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．A与B皮带传动， B与C同轴转动， 根据 得 所以，AB错误； CD．根据 得 根据 得 所以，C错误，D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）如图所示为雨刮器的简化图，为雨刮臂，、为刮水片的两个端点。若始终竖直，在绕点做匀速圆周运动的过程中，下列说法正确的是（    ） A．点的运动方向保持不变 B．点和点的运动速度始终相同 C．点的向心加速度始终不变 D．点的速度大小保持不变 【答案】BD 【详解】ABD．P点以O为圆心做匀速圆周运动，由于刮水片始终保持竖直，所以刮水片各点的线速度与P点的相同，所以M、N两点的线速度相同，即M、N两点均做圆周运动，速度大小不变，但速度方向时刻改变，故A错误，BD正确； C．点的线速度大小不变，r也不变，根据向心加速度 可知点的向心加速度大小不变，但方向时刻在指向圆心，时刻改变，故C错误。 故选BD。 题型4 一、车辆转弯问题（火车转弯、汽车转弯） 1、汽车转弯问题模型 （1）一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力。所以当汽车转弯时,存在一个安全通过的最大速度，如果超过了这个速度，汽车将发生侧滑现象。 （2）改进措施:①增大转弯半径；②增加路面的粗糙程度；③最重要的一点:司机应该减速慢行；④增加路面高度差——外高内低。 2、火车转弯模型 （1）与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。 速度v推断：如图所示，受力分析可得F合＝mg tanθ；火车转弯时所需的向心力， 当F合=Fn时，。 （2）当v＜这一速度时，轮缘受到内轨向外的弹力。 （3）当v＞这一速度时。轮缘受到外轨向内的弹力。 二、汽车过拱形桥与航天器中的失重现象 1、汽车过拱形桥 （1）汽车静止在桥上或通过平桥时，受力情况：F压＝FN＝mg。 （2）汽车过拱形桥时，在最高点时：向心力；；； 所以：F压＝FN＜mg；汽车对桥的压力小于其所受重力，即处于失重状态；当 FN = 0 时，汽车脱离桥面，做平抛运动，汽车及其中的物体处于完全失重状态。 （3）汽车过凹形桥时，在最低点时：向心力；；； 所以：F压＝FN＞mg；汽车对桥的压力大于其所受重力，即处于超重状态。 2、航天器中的失重现象 （1）向心力分析:宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供向心力：。 （2）失重状态:当v=gR 时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。 三、绳球类杆球类模型 比较项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 过最高点的临界条件 小球恰能做圆周运动时，由 得v临= 小球恰能做圆周运动时，得v临=0。 讨论分析 ★特别提醒 对于竖直平面内的圆周运动，一般题目都会给出关键词“恰好”，当物体恰好过圆周运动最高点时，物体自身的重力完全充当向心力，，从而可以求出最高点的速度v=。 四、离心运动 1、离心运动 （1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 （2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。 （3）受力特点：当F=mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F=0时，物体沿切线方向飞出； 当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。 2、向心运动：当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近；如图上图所示。 注意： （1）物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。 （2）近心运动和离心运动本质上并不是因为受到了近心力或离心力的作用，而是物体实际受到的向心力力与所需向心力之间的差异引起的现象。 （3）当物体受到的向心力小于物体所需的向心力，物体做离心运动；当物体受到的向心力大于所需的向心力，物体做近心运动。 3、离心运动应用举例：洗衣机脱水、棉花糖机、离心干燥器、离心机等。 4、离心运动举例 （1）水平公路转弯限速：在水平公路上转弯时，如果速度过大，车辆会因为所需的向心力超过车轮与地面间的最大静摩擦力而做离心运动，容易造成事故。因此，需要限制速度以防止离心运动带来的危害。 （2）高速转动的砂轮防护：高速转动的砂轮如果转速过高，其内部的分子间相互作用力不足以提供所需的向心力时，砂轮会破裂。因此，需要控制砂轮的转速，并使用防护罩来防止砂轮破裂造成的伤害。 这些应用和防止措施展示了离心运动在实际生活中的重要作用，既可以利用其原理服务于日常生活，又需要注意控制条件以避免其带来的潜在风险。 【归纳总结】汽车转弯、火车拐弯、圆锥摆等都是圆周运动，均由相应合力提供向心力。 【典例4-1】（多选）如图所示，下列有关生活中圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　） A．甲图中，汽车通过拱桥的最高点处于失重状态 B．乙图中，“水流星”匀速转动过程中，在最低处水对桶底的压力最小 C．丙图中，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用 D．丁图中，圆锥筒静止且内壁光滑，同一小球分别在筒内壁的A、B两位置所处平面做匀速圆周运动，则在两位置小球的向心加速度大小相等 【答案】AD 【详解】A．甲图中，汽车通过拱桥的最高点时，向心加速度方向竖直向下，处于失重状态，故A正确； B．“水流星”匀速转动过程中，桶对水的压力和水的重力的合力提供向心力，当“水流星”在最低处时，重力背向圆心，根据牛顿第二定律可得 可知水受到的支持力最大，则水对桶底的压力最大，故B错误； C．丙图中，火车转弯超过规定速度行驶时，火车重力和铁轨对火车的支持力的合力不足以提供向心力，火车有离心趋势，则外轨对外轮缘会有挤压作用，故C错误； D．丁图中，圆锥筒静止且内壁光滑，同一小球分别在筒内壁的A、B两位置所处平面做匀速圆周运动，设小球与锥顶连线与竖直方向的夹角为θ，小球所受重力与内壁支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 可知在两位置小球的向心加速度大小相等，故D正确。 故选AD。 【典例4-3】如图小球质量m=2kg，轻绳长L=2.5m，小球在竖直平面内做圆周运动。重力加速度，求： (1)小球恰能做完整的圆周运动，其在最高点的速度大小； (2)若在最高点时小球的速度大小v=10m/s，绳对小球的拉力F的数值； (3)若在最高点小球的速度v=10m/s，绳突然断裂，落地时间和水平位移分别为多少？ 【详解】（1）小球恰能做完整的圆周运动，其在最高点时速度满足 解得最高点的速度大小为 （2）若在最高点时小球的速度大小v=10m/s，则对小球分析可知 解得绳对小球的拉力大小F=60N （3）落地的时间 水平位移 跟踪训练1如图所示，把一个可视为质点的小球放在光滑的球形容器中，使小球沿容器壁在某一水平面内做匀速圆周运动。已知圆周运动的轨道半径R=0.625m，小球所在位置切面与水平面夹角，小球质量为m=0.2kg，重力加速度取。关于小球的下列说法正确的是（　　） A．角速度大小为4rad/s B．线速度大小为5m/s C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为N 【答案】A 【详解】A．对小球进行分析，根据牛顿第二定律有 解得，故A正确； B．小球运动的线速度大小 结合上述解得，故B错误； C．小球向心加速度大小 结合上述解得，故C错误； D．对小球进行分析，小球所受支持力大小为，故D错误。 故选A。 跟踪训练2（多选）如图所示，水平圆台中央O点固定着一根竖直细杆，一轻质细管管底通过光滑铰链固定在细杆P点，细管可绕P点在竖直面内转动，OP间距离为d，管长为，管口靠在圆台上。细管内有一根原长为的轻质弹簧，弹簧一端固定在管底，另一端连接一质量为m的小球，现让整个装置绕竖直杆缓慢加速转动。已知细管内壁光滑，弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为，重力加速度为g，则（    ） A．当转动的角速度为时，管口刚好离开台面 B．当转动的角速度为时，管口刚好离开台面 C．当转动的角速度为时，小球到达管口 D．当转动的角速度为时，小球到达管口 【答案】AC 【详解】AB．开始时弹簧与竖直方向的夹角为，则 当弹簧弹力竖直分力等于小球重力，水平分力提供向心力时，管口刚好离开台面，则， 其中 解得，故A正确，B错误； CD．小球到达管口时，弹簧与竖直方向的夹角为，此时弹簧的弹力大小为 则， 其中 解得，故C正确，D错误。 故选AC。 跟踪训练3 某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，下方水面上漂浮着一个半径为R铺有海绵垫的转盘，转盘轴心在AB正下方且离平台的水平距离为L，平台与转盘平面的高度差为H，A点位于平台边缘的正上方，水平直轨道与平台间的高度差可忽略不计。选手抓住悬挂器后，按动开关，在电动机的带动下从A点沿轨道做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，起动后2s人脱离悬挂器。设人的质量为m（人可看成质点），人与转盘间的最大静摩擦力为，重力加速度为g。求： (1)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度最大值； (2)当时选手离开悬挂器的速度大小； (3)若，，，取，选手要想成功落在转盘上，加速度a的范围。 【详解】（1）设人落在转盘边缘处恰好不被甩下，此时最大静摩擦力提供向心力，则有 解得 （2）人处于匀加速过程 （3）分析知最小时人落在转盘左端，最大时人落在转盘右端，由 人落在转盘左端时 解得 人落在转盘右端时 解得 故加速度的范围是 【能力培优练】 1．如图所示，在公路的弯道处，常会挂有减速标牌，提醒驾驶员急弯下坡减速。则汽车（　　） A．过急弯惯性会减小 B．下坡过程中惯性会增大 C．减速可增大过急弯处所受的摩擦力，避免侧滑 D．减速可减小过急弯处所需的向心力，避免侧滑 【答案】D 【详解】AB．惯性由质量决定，与速度大小无关，故过急弯、下坡过程惯性不变，故AB错误； CD．根据可知，减速可减小过急弯处所需的向心力，避免侧滑，并不能增大所受的摩擦力，故C错误，D正确。 故选D。 2．如图，采集来的血液滴入试管中，管口向上斜放入血液离心机中，离心机通过高速旋转，能将血液中的不同成分进行分离，以便于进行血液分析。血液中的红细胞密度最大，增加离心机的转速，可使红细胞（   ） A．更快地沉到试管底部 B．更快地浮到试管上部 C．更慢地沉到试管底部 D．更慢地浮到试管上部 【答案】A 【详解】离心机的转速越大，根据可得角速度越大，根据可得质量越大，做圆周运动需要的向心力越大，红细胞密度最大，质量大，受到的实际力不足以提供所需的向心力，更易做离心运动，更快地沉到试管底部。 故选A。 3．如图所示，一激光笔以角速度ω绕O点在纸面内逆时针匀速转动。O点距平面MN的距离为h。当激光光束与平面MN的夹角θ=30°时，光点在MN上移动速度为（　　） A．4hω B． C． D．hω 【答案】A 【详解】由几何关系 光束在M点的线速度 方向垂直于OM方向；将光点在MN上移动速度分解为垂直OM方向和沿OM方向的速度，可知光斑移动的速度为 故选A。 4．滚筒式洗衣机的脱水功能是利用高速离心运动实现衣物干燥。如图所示，脱水时，筒内一件质量为m的棉质衣物紧贴筒壁，在竖直平面内做匀速圆周运动，滚筒截面半径为r，A、C分别为滚筒的最高和最低点，B、D为与圆心等高的位置。衣物可视为质点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．衣物在C处和A处对筒壁的压力相等 B．滚筒转动一周的过程中，衣物在B点和D点向心加速度的大小相等 C．衣物A、B、C、D四点的线速度相同 D．衣物在B、D两处所受摩擦力方向相反 【答案】B 【详解】A．根据牛顿第二定律 ，在最高点A点时有 在最低点C点时有 衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，说明速度v大小不变，衣物在每个点的合力的大小不变，即 因此，故A错误； B．衣物做匀速圆周运动，根据 所以在B点和D点向心加速度的大小相等，故B正确； C．衣物在A、B、C、D位置的线速度大小相等，但方向不同，故C错误； D．匀速圆周运动的合外力大小不变，方向始终垂直于速度方向且指向圆心，因此衣物在B、D两处的合外力方向都是水平指向圆心的，竖直方向上摩擦力平衡重力，合力为零，即摩擦力的方向都与重力方向相反，都竖直向上，故D错误。 故选B。 5．气嘴灯安装在自行车的气嘴上，骑行时会发光，一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，一重物套在光滑杆上，重物上的触点M与固定在B端的触点N接触后，LED灯就会发光。下列说法不正确的是（　　） A．正确安装使用时，装置A端的线速度比B端的大 B．感应装置的原理是利用离心现象 C．自行车匀速行驶时，感应装置运动到最下端时比最上端更容易发光 D．要在较低的转速时发光，可以更换劲度系数更小的弹簧 【答案】A 【详解】A．由离心运动的原理，可知B端应在外侧，A端应在内侧，由可知，装置A端的线速度比B端的小，A错误，符合题意； B．感应装置的原理是利用离心现象，使两触点接触点亮LED灯，B正确，不符合题意； C．自行车匀速行驶时，装置运动到最下端时，由于重物的重力作用，两触点更容易接触，因此比最上端更容易发光，C正确，不符合题意； D．当转速较低时，向心力较小，可以更换劲度系数更小的弹簧或增加重物的质量，从而使N点更容易与M点接触点亮LED灯，D正确，不符合题意。 故选A。 6．质量的小球悬挂在轻弹簧下端，静止时弹簧的长度。如图所示，当小球在水平面内做匀速圆周运动时，弹簧轴线与竖直方向的夹角为60°，弹簧拉力大小为F，周期为1s，加速度大小为a。已知重力加速度，不计空气阻力，弹簧未超出弹簧限度。下列判断正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数为150N/m B．弹簧的原长为0.4m C． D． 【答案】B 【详解】ABC．设弹簧的原长为，劲度系数为，小球悬挂在轻弹簧下端静止 当小球在水平面内做匀速圆周运动时，设弹簧的长度为，根据胡克定律 竖直方向 水平方向 又 解得，，，A错误，B正确，C错误； D．当小球在水平面内做匀速圆周运动时，水平方向 可得，D错误。 故选B。 7．如图，用短棒在左侧将竹筛支撑住，小鸟在竹筛落地时的底面圆心处偷吃谷子，t=0时刻绳子拉动，拉走短棒，竹筛开始绕着右端支点转动，同时小鸟被惊动，立刻开始沿着半径向外逃窜。已知竹筛底面半径R=0.5m，初始竹筛底面与地面夹角为30°，竹筛的角速度随时间变化的图像简化为如右图所示，小鸟（可视为质点）做速度为0.2m/s的匀速直线运动，则（　　） A．竹筛开始转动后，竹筛上面各点做匀速圆周运动 B．竹筛开始运动后，竹筛上面各点的加速度大小不变 C．拉走短棒后，竹筛从开始运动到落地经历的时间为1s D．最终小鸟能够成功逃离竹筛 【答案】C 【详解】A．根据图可知，角速度在变大，不是匀速圆周运动，故A错误； B．根据 角速度在变大，所以向心加速度大小在变大，故B错误； C．竹筛转动30°后落地，根据图像与时间轴围成的面积表示转动的圆心角，可知竹筛从开始运动到落地需要的时间为t=1s，故C正确； D．小鸟成功逃离的最小速度 最终小鸟不能成功逃离竹筛，故D错误。 故选C。 8．如图所示，以为圆心的光滑圆弧上有、两个挡板，挡板处各有一个可沿圆弧滑动的带孔小球，圆弧可绕竖直杆在水平面内转动。现将转动的角速度从0缓慢增大（　　） A．两个小球相对圆弧总保持静止 B．两个小球同时沿圆弧向上运动 C．处小球最先沿圆弧向上运动 D．处小球最先沿圆弧向上运动 【答案】C 【详解】A．设圆弧半径为R，小球与小球的连线与竖直方向的夹角为，对小球受力分析如图所示 向心加速度大小为，将向心加速度沿着切线方向和半径方向分解，则沿圆弧切线方向根据牛顿第二定律有 得 显然越大则就越小，当减小到0时，若继续增大，则小球将沿圆弧上移，故A错误； BCD．当时设角速度为，有 解得 即越大则就越大，故小的先沿圆弧向上滑动，即处小球最先沿圆弧向上运动，故BD错误，C正确。 故选C。 9．（多选）下列说法正确的是（　　） A．曲线运动的合力一定是变力 B．变速运动不一定是曲线运动，但曲线运动一定是变速运动 C．物体做圆周运动所需的向心力是恒力 D．匀变速运动的轨迹可以是直线也可以是曲线 【答案】BD 【详解】A．匀变速曲线运动受到的合力为恒力，故A错误； B．变速运动可以仅改变速度大小，也可为直线运动，不一定是曲线运动，但曲线运动一定是变速运动，故B正确； C．物体做圆周运动所需的向心力的方向一定在改变，为变力，故C错误； D．匀变速运动可分为匀变速直线运动和匀变速曲线运动，故D正确。 故选BD。 10．（多选）乘坐游乐园中的翻滚过山车时，质量为m的人随车一起在竖直面内旋转，车在最高点时人处于倒立状态。则（　　） A．人在最高点时对座位可能没有压力 B．人在最高点时对座位一定没有压力 C．人在最低点时对座位的压力大于mg D．人在最低点时对座位的压力等于mg 【答案】AC 【详解】A．人在最高点时对座位可能没有压力，此时，重力提供向心力，故A正确； B．如果人在最高点速度很大，重力不足以提供向心力，则人在最高点时对座位有压力，故B错误； CD．人在最低点时，加速度向上，处于超重状态，对座位的压力大于mg，故C正确D错误； 故选AC。 11．（多选）如图所示，水平放置餐桌的桌面为圆形，半径为R。为方便用餐，中心放置一个可绕其中心轴转动的圆盘，圆盘半径为r，圆心与餐桌圆心重合。在圆盘的边缘放置一个质量为m的小物块，小物块与圆盘间的动摩擦因数为μ1，小物块与餐桌间的动摩擦因数为μ2。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，圆盘厚度及圆盘与餐桌间的间隙不计，小物块可看作质点。由静止开始，缓慢增加圆盘转速，则下列说法正确的是（　　） A．当圆盘的角速度增大到时，小物块恰好不从圆盘上滑落 B．小物块从圆盘上滑落后，小物块在餐桌上做匀速直线运动 C．小物块从圆盘上滑落后，小物块在餐桌上做匀减速直线运动 D．小物块在圆盘上的最大加速度一定小于小物块在桌面上运动时的加速度 【答案】AC 【详解】A．当小物块所受静摩擦力最大时，设角速度为ω1，则 解得 此时小物块恰好不从圆盘上滑落，故A正确； BC．小物块从圆盘上滑落后，在餐桌上受到阻力作用，将做匀减速直线运动，故B错误，C正确； D．小物块在圆盘上的最大加速度 小物块在桌面上的加速度大小 由于不知道两个动摩擦因数之间的关系，因此小物块在圆盘上的最大加速度可能大于小物块在桌面上运动时的加速度，故D错误。 故选AC。 12．（多选）如图，质量为的质量分布均匀的圆盘做水平面内的匀速圆周运动，其中三点共线，三点在圆盘边缘上均匀分布，等长且与的夹角均为为悬点，与竖直方向夹角为所能承受的最大拉力均为。下列说法正确的是（　　） A．绳上拉力大小为 B．绳上拉力大小为 C．若角速度增大，绳先断 D．若角速度增大，比绳先断 【答案】AC 【详解】AB．对圆盘整体分析，竖直方向则有 对结点受力分析，沿方向则有 联立解得，故A正确，B错误； CD．当角速度增大时，根据向心力可知，圆盘所需的向心力增大，因此和水平方向的分力都随之增大，但竖直方向需要承担在竖直方向的分力（即圆盘的重力），因此首先达到绳子能承受的最大拉力，即角速度增大时，绳先断，故C正确，D错误。 故选AC。 13．（多选）如图甲，一种自动计数的智能呼啦圈，腰带外侧带有轨道，带有短杆的滑轮穿过轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其模型简化如图乙所示。将腰带水平套在腰上，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动，此时轻绳与竖直方向夹角为。若在时间内，计数器显示的圈数为，配重的质量为，重力加速度为，忽略腰带变形，配重可视为质点，则（    ）    A．配重的角速度为 B．配重所受轻绳拉力大小为 C．配重做圆周运动的半径为 D．若减小配重的转速，则轻绳与竖直方向夹角变小 【答案】AD 【详解】A．配重的周期为，则角速度，故A正确； B．竖直方向根据受力平衡可得，故B错误； C．设配重做匀速圆周运动的半径为，则，解得 ，故C错误； D．若减小配重的转速，角速度减小，则轻绳与竖直方向夹角变小，故D正确。 故选AD。 14．如图甲为向心力演示仪的示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。a、b两轮在皮带的传动下匀速转动。 现将两个小钢球分别放入A、B槽中，①球的质量是②球的2倍，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为，如图乙所示，则钢球①，②的角速度之比为___________，钢球①，②的线速度大小之比为___________，向心力大小之比为___________。 【答案】 【详解】[1]a、b两轮在皮带的传动下匀速转动，且a、b轮半径相同，可知，则钢球①，②的角速度之比为。 [2]根据，可知钢球①，②的线速度大小之比为。 [3]根据向心力表达式，可知钢球①，②的向心力大小之比为。 15．在“探究向心力大小与哪些因素有关”的实验中，所用向心力演示仪如图甲所示，A、B、C为三根固定在转臂上的短臂，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，其中A和C的半径相同。图乙是变速塔轮的原理示意图：其中塔轮第一层半径之比1∶1，第二层半径之比2∶1；第三层半径之比3∶1。可供选择的实验小球有：质量均为2m的球I和球II，质量为m的球III。 (1)这个实验主要采用的方法是 。 A．等效替代法 B．控制变量法 C．理想实验法 D．放大法 (2)选择球I和球II分别置于短臂C和短臂A，是为了探究向心力大小与 。 A．质量之间的关系 B．半径之间的关系 C．标尺之间的关系 D．角速度之间的关系 (3)为探究向心力大小与圆周运动轨道半径的关系，应将实验小球I和_____________（选填“II”或“III”）分别置于短臂C和短臂___________处（选填“A”或“B”），实验时应将皮带调整到第_____________（选填“一”“二”或“三”）层塔轮组。 【答案】(1)B (2)D (3) Ⅱ B 一 【详解】（1）探究向心力与质量、角速度、半径的关系时，需控制其他变量不变，只改变一个变量研究其影响，此为控制变量法。 故选B。 （2）选择球I和球Ⅱ分别置于短臂C和短臂A，两球的质量相等，A和C的半径相同，则根据 可知是为了探究向心力大小与角速度之间的关系。 故选D。 （3）[1]为探究向心力大小与圆周运动轨道半径的关系，需致力于角速度相同，则需选用实验小球I和Ⅱ。 [2]由于A和C的半径相同，故将小球置于短臂C和短臂B处。 [3]皮带转动线速度相等，根据 可知为了保证角速度相同，选取的轮半径需相等，故实验时应将皮带调整到第一层塔轮组。 16．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度ω0=2.0rad/s，盘面上距圆盘中心r=0.10m的位置有一个质量m=0.10kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动。可认为最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，取重力加速度g=10m/s2。 (1)画出小物体在图示位置的受力示意图； (2)求小物体受到的摩擦力f的大小； (3)若小物体与圆盘间的动摩擦因数μ=0.36，为使小物体相对圆盘不滑动，圆盘转动的角速度ω最大不超过多少。 【详解】（1）小物体在图示位置的受力示意图； （2）小物体受到的摩擦力提供所需的向心力，则有 代入数据得 （3）若小物体与圆盘间达到最大静摩擦力，则有 可得 则为使小物体不滑动，圆盘转动的角速度最大不超过6rad/s。 17．无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为的半圆弧与长的直线路径相切于B点，与半径为的半圆弧相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过和。为保证安全，小车速率最大为。在段的加速度最大为，段的加速度最大为。小车视为质点。求： (1)小车在段做匀速直线运动的最长距离L； (2)小车从A到D所需最短时间t（结果可保留字母π）。 【详解】（1）在BC段的最大加速度为a1=2m/s2，则根据向心加速度公式 可得在BC段的最大速度为 在CD段的最大加速度为a2=1m/s2，则根据向心加速度公式 可得在CD段的最大速度为 可知在BCD段运动时的速度为v=2m/s AB段从最大速度vm减速到v的位移 在AB段匀速的最长距离为l=8m-3m=5m （2）AB段从最大速度vm减速到v的时间 匀速运动的时间 在BCD段运动的时间为 则从A到D最短时间为 18．一个竖直放置的圆锥筒可绕其竖直中心轴转动，筒内壁粗糙，圆锥筒面与中心轴线的夹角为。质量为可视为质点的小物体置于筒内点，点距离点的竖直高度为，物体与圆锥筒面间的动摩擦因数为。已知重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，空气阻力不计。求： (1)若圆锥筒匀速转动，小物体始终相对A点静止，恰好不受摩擦力作用，圆锥筒转动的周期为多大？ (2)缓慢改变圆锥筒角速度，要使小物体始终相对A点静止，试讨论圆锥筒角速度。 【详解】（1）小物体随圆锥筒匀速转动不受摩擦力时，受力如图所示 则 而 联立解得 （2）若圆锥筒的角速度较大，则小物体受到的摩擦力沿圆锥面向下 则沿半径方向有 垂直半径方向有 且， 联立解得 若圆锥筒的角速度较小，则小物体受到的摩擦力沿圆锥面向上 则沿半径方向有 垂直半径方向有 且， 联立解得 所以要使小物体始终相对A点静止，角速度需满足 【链接高考】 1．（2025·江苏·高考真题）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以、为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与、恰好在同一条直线上。则（    ） A．A点做匀速圆周运动 B．点做匀速圆周运动 C．此时A点的速度小于点 D．此时A点的速度等于点 【答案】B 【详解】A．A点运动为A点绕的圆周运动和相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不做匀速圆周运动，故A错误； B．根据题意固定在底盘上，故可知围绕O点做匀速圆周运动，故B正确； CD．杯上A点与、恰好在同一条直线上时且在延长线上，点和点运动运动方向相同，又A点相对点做圆周运动，故此时A的速度大于的速度，故CD错误。 故选B。 2．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得 故选C。 3．（2025·广东·高考真题）（多选）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为 B．线速度大小为 C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为 【答案】AC 【详解】A．对小球受力分析可知 解得 故A正确； B．线速度大小为 故B错误； C．向心加速度大小为 故C正确； D．所受支持力大小为 故D错误。 故选AC。 4．（2025·山东·高考真题）（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【答案】BC 【详解】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向 可得 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 最大角速度等于 联立可得 故A错误，B正确； CD．无人机从A到B的时间 由于t′>t 可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。 故选BC。 5．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。 （2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。 【详解】（1）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得 联立解得 （2）设此时轻绳拉力为，沿和垂直竖直向上的分力分别为 ， 对转椅根据牛顿第二定律得 沿切线方向 竖直方向 联立解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $