第七章 复数（单元测评卷）高一数学人教A版必修第二册

第七章 复数综合检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 2．若复数，则在复平面内对应的点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．4 4．若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 5．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 6．设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 7．数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（，为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为（    ） A．2 B． C． D． 8．已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则下列选项正确的是（    ） A． B．复数的虚部为 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 10．对于复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．表示复平面上对应的点到点的距离 11．设，，为复数，，下列命题正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，复数，则 . 13．已知、，且是关于的方程的一个根， ． 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 计算： (1)； (2). 16．（15分） 已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 17．（15分） 已知，其中i是虚数单位，. (1)求； (2)设（），若，证明：. 18．（17分） 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数. (1)求； (2)设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点） 19．（17分） 任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数综合检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 2．若复数，则在复平面内对应的点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算法则可求得，从而可得对应的点坐标，可得结论. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，该点在第四象限. 故选：D. 3．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算以及模长公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 所以. 故选：A 4．若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据虚数单位的性质和模长可得，结合复数的除法运算求解即可. 【详解】因为，， 可得，所以. 故选：C. 5．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法化简可得，根据复数的概念即可求解. 【详解】复数满足，则， 所以复数的虚部是. 故选：D 6．设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出，逐项判断. 【详解】由方程得， 对于A：显然不对，A错误； 对于B：若，则；若，则；B错误； 对于C：法1，若，，则； 若，，则；C错误； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，C错误； 对于D：法1，若，，则； 若，，则；D正确； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，D正确； 故选：D． 7．数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（，为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据（，为虚数单位），分别求得即可. 【详解】解：因为， 又， 所以. 故选：B. 8．已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则下列选项正确的是（    ） A． B．复数的虚部为 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 【答案】AD 【分析】对A，由复数除法求得，根据共轭复数的概念判断；对B，根据复数的虚部的概念判断；对C，计算，根据复数的几何意义判断；对D，根据计算判断. 【详解】对于A：由得，所以，A正确； 对于B：复数的虚部是，B错误； 对于C：，对应的点为，在第四象限，C错误； 对于D：，D正确； 故选：AD. 10．对于复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．表示复平面上对应的点到点的距离 【答案】ABD 【分析】根据复数的运算公式，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】A.设，，，即，得，故A正确； B.若，则，则，故B正确； C.若，得或，故C错误； D. 表示复平面上对应的点到点的距离，故D正确. 故选：ABD. 11．设，，为复数，，下列命题正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．，则 【答案】ABC 【分析】设，，，利用复数的模的运算法则计算可判断A；利用复数的乘法法则运算可判断B；由题意可得判断C；利用赋值法可判断D. 【详解】对于A，，， 所以， 所以 ， 又，，所以， 所以，故A正确； 对于B，设，，， 所以 又， 所以 ， 所以，故B正确； 对于C，由，可得， 又因为，所以，所以，故C正确； 对于D，取， 则，， 满足，但，故D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，复数，则 . 【答案】5 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等求得，再根据复数模的公式求解即可. 【详解】由， 则，解得， 所以. 故答案为：5. 13．已知、，且是关于的方程的一个根， ． 【答案】34 【分析】利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即得． 【详解】由是关于的方程的一个根， 则， 整理得， 则，解得， 所以． 故答案为：34． 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设，依题意，列出关于的方程组，解之得，求出，利用三角形面积公式计算即得. 【详解】设，依题意，， 即，解得.则有， 则, 由可得为直角三角形， 故的面积为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查复数与复平面内的点、对应向量之间的一一对应关系的应用，属于较难题. 解题思路，即是将复数对应的点或者向量在复平面内表示出来，通过图形理解，列出与复数的实部与虚部关联的方程组，求出点的坐标，得到相应的边长和角即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用复数加减、乘法运算即可． （2）运用复数的代数运算及复数的周期性求解即可． 【详解】（1） （2） 16．（15分） 已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1或2 (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【详解】（1）由题意 ， 若是实数，则，解得或 （2）若是纯虚数，则，解得； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 17．（15分） 已知，其中i是虚数单位，. (1)求； (2)设（），若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据复数的四则运算化简已知复数，结合复数相等列方程组即可得的值； （2）根据复数复数模长关系转化证明即可. 【详解】（1）由复数的四则运算法则，得， 则解得； （2）证明：因为，，， 所以可化为， 即， 所以， 整理得，得证. 18．（17分） 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数. (1)求； (2)设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点） 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先利用复数除法运算和乘法运算，求解，然后设出，再根据为实数求解即可； （2）先根据题（1）条件求出、两点坐标，再求解，然后根据，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 设，所以， 因为为实数，所以即，所以， （2）因为，， 所以对应点坐标，， 所以，， 因为，， 所以、与轴所成角相等，设为， 所以，，， 所以， 所以. 19．（17分） 任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)的最大值是3，最小值是0. 【分析】（1）运用复数的三角形式得到； （2）数形结合，运用余弦定理求出，进而求出，结合定义求解即可. （3）设，，依题意，可得，从而可求得的最大值和最小值. 【详解】（1）运用复数的三角形式得到. （2）如图，设复数对应向量为，设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 又， （3），设，， 则， ，，， ，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是转化，从而得到三角函数问题，进而得解. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $