2.3平行线的性质寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

2.3平行线的性质寒假预习讲义（北师大版） 💧 课前预习★目标 ● 结合图形初步感知平行线的三条核心性质，能口述两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补的文字表述； ● 能识别平行线被截线所形成的同位角、内错角、同旁内角，为性质应用奠定基础。 ● 尝试结合简单几何图形，用平行线的性质进行基础角度计算，初步感知性质的应用方法。 ● 感知平行线性质在几何推理中的作用，建立“线平行→角相等/互补”的初步逻辑关系。 ✏ 重点知识★梳理归纳 【知识点】平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 简单描述： 两直线平行，同位角相等； 几何证明：∵AB∥CD ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 简单描述：两直线平行，内错角相等； 几何证明：∵AB∥CD ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单描述：两直线平行，同旁内角互补． 几何证明：∵AB∥CD ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【重点提醒】（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，前提是 “两直线平行”． （2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． ☘ 核心考点★精讲精练 题型1两直线平行同位角相等 【例1】．如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边相交，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，交、于，平分，，则 ． 【变式2】．如图，，，．求的度数． 题型2两直线平行内错角相等 【例2】．如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则的度数为 ． 【变式2】．如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    题型3两直线平行同旁内角互补 【例3】．如图，，那么（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 【变式2】．已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． 题型4根据平行线的性质探究角的关系 【例4】．如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 【变式2】．如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D． (1)______． (2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由． 题型5根据平行线的性质求角的度数 【例5】．将一副三角板按如图所示摆放，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图． （1）当 时，； （2）若，则当 °时， 【变式2】．如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 题型6平行线的性质在生活中的应用 【例6】．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是 ． 【变式2】．如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 题型7根据平行线判定与性质求角度 【例7】．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知，则 °． 【变式2】．问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 题型8根据平行线判定与性质证明 【例8】．将一副三角板按如图所示方式放置，则下列结论： ①如果，则有；②；③如果，则有④如果，必有； 正确的有 ． 【变式1】．如图，点E在线段上，，．请判断与是否平行，并说明理由． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．如图，已知，直线分别与交于点F、E，则与互补的角共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，，，垂足是D，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 3．下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 4．如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 7．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，，，则的度数是 ． 9．如图，在中，为内的一点，且，且，若点为的中点，，则的长 ． 10．如图，把长方形沿EF对折后使两部分重合，若，则 ． 11．如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有 ． 12．如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是 ． 13．已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则 ． 14．杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 15．如图，，若，则 ． 16．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是 （填序号）． 三、解答题 17．如图，已知，是延长线上一点，与交于点，，，求证：． 请你补全下面的证明过程，并在括号内填写相应的理由． 证明：，， ， （__________________）， ______． ， ， ______， （__________________）． 18．如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均落在格点上，请按下列要求用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，作，使； (2)在图2中，在直线上找点E，连接，使线段最短，并说明理由． 19．【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 20．如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． 【观察猜想】（1）与的数量关系是___________；与的数量关系是________________． 【类比探究】（2）若保持三角板不动，绕直角顶点顺时针转动三角板DCE．当等于多少度时，？ 【拓展应用】（3）若，求的度数，并直接写出此时与的位置关系． 21．自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 22．如图，，，，猜想直线和直线有怎样的位置关系？并说明理由． 23．如图，已知直线，，，． (1)求的度数． (2)试说明：直线． 学科网（北京）股份有限公司 $2.3平行线的性质寒假预习讲义（北师大版) 预习内容概览 课前预习目标 核心考点精讲精练 重点知识梳理归纳 强化巩固综合测试 口口课前预习★目标 ●结合图形初步感知平行线的三条核心性质，能口述两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补的文字表述： ●能识别平行线被截线所形成的同位角、内错角、同旁内角，为性质应用奠定 基础。 ●尝试结合简单几何图形，用平行线的性质进行基础角度计算，初步感知性质 的应用方法。 ●感知平行线性质在几何推理中的作用，建立“线平行→角相等/互补”的初步 逻辑关系。 8重点知识★梳理归纳 【知识点】平行线的性质 B D 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 简单描述：两直线平行，同位角相等； 几何证明：，AB∥CD ∴.∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 简单描述：两直线平行，内错角相等； 几何证明：，AB∥CD ∴.∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单描述：两直线平行，同旁内角互补 几何证明：，AB∥CD ∴.∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【重点提醒】(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行 线的性质的一部分内容，前提是“两直线平行”· (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互 补关系，是平行线的性质 思核心考点★精讲精练 题型1两直线平行同位角相等 【例1】.如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边CD上，直 角三角板的两直角边分别与直尺的边AB相交，则下列说法不一定正确的是() B A.∠1=∠3 B.∠2+∠3=180° C.∠2=∠5D ∠3+∠4=90 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质.根据平行线的性质和 直角三角形的性质进行判断即可 【详解】解：：AB∥CD, .∠1=∠3，∠2+∠3=180°，故选项A,B正确： 由题意得：∠3+∠4=90°，故选项D正确： ∠2与∠5的度数与直角三角板摆放位置有关，选项C不一定正确， 故选C. 【变式1】.如图，AB∥CD,AF交AB、CD于A,C,CE平分∠DCF, ∠1=120°，则∠2= 【答案】30°/30度 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，解题的关键是掌握以上知 识点 首先根据AB∥CD求出∠ACD=∠1=120°，然后求出∠DCF,然后根据角平 分线的概念求解即可· 【详解】：AB∥CD,∠1=120°， .∠ACD=∠1=120°， .∠DCF=180°-∠ACD=180°-120°=60°， :CE平分∠DCF, :∠2=1∠DCF=x600=300. 故答案为：30°. 【变式2】.如图，AB∥CD,AEICF，∠A=75°.求∠C的度数. B D 【答案】75° 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题关键是通过两组平行线， 找到中间角作为桥梁，建立已知角和未知角的等量关系 根据两直线平行线，同位角相等的性质，借助中间角构建∠A与∠C的数量关系， 进而求出∠C的度数， 【详解】解：如图，设AE与CD相交于点G, B :AB∥CD, .∠DGE=∠A=75°. AE‖CF, ∴.∠C=∠DGE=75°. 题型2两直线平行内错角相等 【例2】.如图，CD∥OB,交OA于点E.若∠AEC=130°，则∠O的度数 为() B A.40° B.50° C.60° D.130° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，先求出∠CEO=50°，然 后根据两直线平行，内错角相等即可求解， 【详解】解：∠AEC=130°， .∠CE0=180°-∠AEC=50°， :CD∥OB, ∴.∠0=∠CE0=50°. 故选B. 【变式1】.如图，在ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将ABC绕 点A旋转到△AB'C的位置，使得CC'∥AB,则∠BAB'的度数为一· B 【答案】50° 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转 的性质是本题的关键.由旋转的性质可得AC=AC',∠BAB'=∠CAC',由等 腰三角形的性质可求∠ACC'=∠AC'C=65°，即可求解 【详解】解：CC'∥AB, .∠C'CA=∠CAB=65°， :将ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置， .AC=AC',∠BAB'=∠CAC', .∠ACC'=∠ACC=65°， .∠BAB'=∠CAC=180°-65°×2=50°， 故答案为：50°. 【变式2】.如图，DB∥AG∥EC,∠ABD=70°，∠ACE=38°，AP是 ∠BAC的平分线，则∠BAP的度数是多少？并说明理由. D 【答案】∠BAP的度数是54°，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，先根据平行线的性质得出∠BAG与∠CAG的 度数，再由角平分线的性质即可得出结论.解题的关键是掌握：两直线平行，内 错角相等 【详解】解：∠BAP的度数是54°. 理由：：DB∥AG∥EC,∠ABD=70°，∠ACE=38°， ∴.∠BAG=∠ABD=70°，∠CAG=∠ACE=38°， .∠BAC=∠BAG+∠CAG=70°+38°=108°， :AP是∠BAC的平分线， :∠BAP=1∠BAC=1x108°=54°， 1 2 ·.∠BAP的度数是54 题型3两直线平行同旁内角互补 【例3】.如图，AB∥CD∥EF,那么∠1+∠ACE+∠2=() B D 2 F A.120° B.180 C.270° D.360° 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键， 根据“两直线平行同旁内角互补"可得∠1+∠ACD=180°，∠2+∠DCE=180°， 再根据∠ACE=∠ACD+∠DCE,即可得解 【详解】解：：ABICD‖EF, .∠1+∠ACD=180°，∠2+∠DCE=180°. :∠ACE=∠ACD+∠DCE, .∠1+∠ACE+∠2=360°. 故选：D 【变式1】.如图，ABCD,PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点 P,且与AB垂直，若AD=8cm,BC=I0cm,则四边形ABCD的面积是 cm2. B D 【答案】40 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质， 掌握相关知识点是解题的关键， 作PE⊥BC于点E,根据AB‖CD,AD⊥AB,得到∠BAP=∠CDP=90°， 根据BP平分∠ABC,CP平分∠DCB得到AP=PE=PD=4, △ABP≌△EBP,△DCP≌△ECP,即可得到答案. 【详解】解：过点P作PE⊥BC于点E, B D .∠BEP=∠CEP=90°， :AD⊥AB,ABCD, .∠BAP=∠CDP=90°， :BP平分∠ABC,CP平分∠DCB, .AP=PE,PE=DP, :AP=PE=PD=IAD-1x8-4cm. 1 2 BP=BP, .△EBP≌AABP(HL), .S.EBP=S.4BP 同理可得：△ECP≌△DCP, S.ECP SDCP: 1 四边形ABCD的面积=2S,Bcp=2×亏BCPE=10×4=40cm2, 2 故答案为：40· 【变式2】.已知AB∥CD,解答下列问题： A A E02 (1)如图①，∠1+∠2=-； (2)如图②，求∠1+∠2+∠3的度数： (3)如图③，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究：∠1+∠2+∠3+∠4+.…+∠n=- 【答案】(1)180° (2)360° (3)540° (4)180°n-1 【分析】(1)由平行线的性质即可求解； (2)过点E作EF∥AB,可得AB∥CD∥EF,再平行线的性质即可求解： (3)过点F作FG∥AB,可得FG∥CD,再根据平行线的性质及(2)的 结果即可求解； (4)根据(1)、(2)、(3)的结果找出规律即可求解： 本题考查了平行线的判定和性质，图形类规律变化问题，正确作出辅助线是解题 的关键， 【详解】(1)解：AB∥CD, .∠1+∠2=180°， 故答案为：180°； (2)解：过点E作EF∥AB, :AB∥CD, .AB∥CD∥EF, ∴.∠1+∠AEF=180°，∠CEF+∠3=180°， .∠1+∠AEF+∠CEF+∠3=180°+180°， 即∠1+∠2+∠3=360°： B E D (3)解：过点F作FG∥AB, AB∥CD, .FG∥CD, ∴.∠CFG+∠4=180°， 由(2)可得∠1+∠2+∠EFG=360°， ∴.∠1+∠2+∠EFG+∠CFG+∠4=360°+180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4=540° B E27 103. 4 ---------G D (4)解：由图①得∠1+∠2=180°=180°×2-1)， 由图②得∠1+∠2+∠3=360°=180°×(3-1)， 由图③得∠1+∠2+∠3+∠4=540°=180°×(4-1)， .∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=180°n-1）, 故答案为：180(n-1. 题型4根据平行线的性质探究角的关系 【例4】，如图，直线AB∥CD∥EF,点O在直线EF上，下列结论正确的 是()