专题05相交线与平行线题型突破讲义(2)(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题05相交线与平行线题型突破讲义(2) 一、 核心重点内容 1.三种角的识别:两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角，需明确三类角的位置特征： 同位角：截线同旁、被截直线同侧，呈 “F” 型 内错角：截线两侧、被截直线之间，呈 “Z” 型 同旁内角：截线同旁、被截直线之间，呈 “U” 型识别关键是先确定截线和被截线。 2.直线平行的判定条件 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 补充：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 3.平行线的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 4.判定与性质的基本应用:判定用于由 “角的关系” 推导 “线的平行”；性质用于由 “线的平行” 推导 “角的关系”，二者可结合对顶角相等、邻补角互补等知识解题。 二、 核心难点内容 1.复杂图形的拆解:从复杂几何图形中分离出 “三线八角” 的基本图形，准确锁定相关的直线和角。 2.判定与性质的逻辑区分:明确二者的逻辑方向：判定是由角定线，性质是由线定角，这是综合推理的基础。 3.综合推理与规范书写 结合对顶角、邻补角等知识，进行多步推理，比如先判定平行，再利用性质求角度 用几何语言规范书写推理步骤，做到每一步有理有据。 基础 过关题 1.同位角.内错角.同旁内角 2.同位角相等两直线平行 3.用直尺.三角板画平行线 4.内错角相等.两直线平行 5.同旁内角互补.两直线平行 6.两直线平行.同位角相等. 7.两直线平行内错角相等 8.两直线平行.同旁内角互补 能力 提升题 9.由平行线的性质探究角的关系 10.由平行线的性质求角的度数 11.平行线的性质在生活中的应用 拓展 拔高题 12.由平行线判断与性质求角度 13.由平行线判定与性质证明 【题型1.同位角.内错角.同旁内角】 1．下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 2．下列说法中正确的有（   ） ①相等的角是对顶角； ②同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④如图，和是同旁内角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义、垂线的性质、点到直线距离、同旁内角的定义，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 根据对顶角的定义、垂线的性质、点到直线距离、同旁内角的定义逐项判断即可． 【详解】解：①不正确，相等的角不一定是对顶角； ②正确，同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③不正确，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离； ④不正确，和不是同旁内角； 故选：B． 3．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 4．如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .    【答案】① 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角． 【详解】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确； 与构成同位角的角的是，有1个，故②错误； 与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念． 解答题 5．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型2.同位角相等.两直线平行】 6．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 【答案】42 【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线b绕点A逆时针旋转． 故答案为：42． 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键． 7．如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法分析即可． 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可得，不符合题意； B、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不能判定，符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，可得，不符合题意； 故选：B． 8．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； 不能推出，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 综上所述，能判定的条件是①③④， 故答案为：①③④． 【题型3.用直尺.三角板画平行线】 9．小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 10．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 11．如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 【题型4.内错角相等.两直线平行】 12．如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：A．根据，只能判断； B．根据，不能判断； C．根据，不能判断； D．根据，能判断； 故选：D． 13．如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，故A选项符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵， 无法证明或，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：A 14．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可． 【详解】解：， ； ， ， 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 点，，在同一条直线上． 故选：D． 解答题 15．如图，将以点C为旋转中心旋转得到，过点A作，交的延长线于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转的性质得到，，再由平行线的判定得到，进而可证四边形是平行四边形，得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵将以点C为旋转中心旋转得到， ∴，，． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． 【题型5.同旁内角互补.两直线平行】 16．如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行可得要使直线，则，据此求解即可． 【详解】解：∵要使直线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 17．如图，下列说法中能够判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能判定，该选项不合题意； B、，不能判定，该选项不合题意； C、∵，， ∴ ∴，该选项符合题意； D、∵， ∴不能判定，该选项不符合题意； 故选：C． 解答题 18．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． 【题型6.两直线平行.同位角相等】 19．如图，，若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，求出，再根据邻补角的定义列式计算即可得解． 【详解】解：如图 ，， ， ． 故选B． 20．下列说法正确的是（   ） A．同位角相等 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．两直线相交，对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行线、对顶角，解决本题的关键是熟记相关性质，注意强调同一平面内．根据平行线的定义、性质以及对顶角相等，即可解答． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项说法错误，不符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故该选项说法错误，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故该选项说法错误，不符合题意； D、两直线相交，对顶角相等，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 21．如图，，交、于，平分，，则 ． 【答案】/30度 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据求出，然后求出，然后根据角平分线的概念求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 解答题 22．如图，直线，相交于点，于点，交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线性质．先根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”得，再根据垂直的定义得，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型7.两直线平行.内错角相等】 23．如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，先求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 24．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可． 【详解】解：， ； ， ， 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 点，，在同一条直线上． 故选：D． 25．如图，，平分，平分，如果，那么 ． 【答案】155 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 利用邻补角互补，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵和互补， ∴． 故答案为：155． 解答题 26．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，对顶角相等，邻补角互补，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）由角平分线可得，．由题意知，．由可得，进而结论得证； （2）由题意可知，由，可求，由对顶角相等可得，由角平分线可得，再根据邻补角互补即可计算． 【详解】（1）证明：∵分别平分和， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【题型8.两直线平行.同旁内角互补】 27．下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质与判定进行分析即可：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；反之，也成立，可判断①，②，③，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可判断④． 【详解】解∶ ①两直线平行，同旁内角互补 ，是性质，符合题意； ②同位角相等，两直线平行，是判定定理，不符合题意； ③内错角相等，两直线平行，是判定定理，不符合题意； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，是判定定理，不符合题意． 故选∶ A． 28．如图，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行同旁内角互补”可得，，再根据，即可得解． 【详解】解：， ，． ， ． 故选：D． 29．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理．由，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可求出，结合角平分线的定义，可求出，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ． 平分，平分， ，， ． 在中，， ． 故答案为：． 30．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据，，得到，根据平分，平分得到，，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴()， ∴， 同理可得：， ， ∴四边形的面积， 故答案为： ． 解答题 31．如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均落在格点上，请按下列要求用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，作，使； (2)在图2中，在直线上找点E，连接，使线段最短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，垂线段最短 【分析】本题考查了方格纸作图， （1）根据可得，过点A作平行线即可； （2）根据垂线段最短作垂线即可； 【详解】（1）解：如图1中，即为所求： （2）解：如图2中，线段即为所求．理由：垂线段最短 【题型9.由平行线的性质探究角的关系】 32．如图，在三角形中，于点，于点，，是的平分线，则图中与相等的角（不包含）的个数为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线，根据角平分线平分角，结合平行线的性质，进行判断即可．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即：图中与相等的角（不包含）的个数为4个； 故选D． 33．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是 °（用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】该题考查了折叠的性质，根据图a得出，，根据图b得出，再根据图c即可求解． 【详解】解：根据图a，， ， ， 根据图b，， 根据图c，， 故答案为：． 34．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 35．已知的两边与的两边互相平行，且比的两倍小，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，分两种情况：当与相等时；当与互补时；分别利用平行线的性质，列出一元一次方程，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， 如图：当与相等时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得，即； 如图，当与互补时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【题型10.由平行线的性质求角的度数】 36．如图，，平分交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的含义，平行线的性质，先根据角平分线可得，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵，平分， ， ， ， 故选：A． 37．如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与垂直的定义，掌握垂直的夹角为、邻补角的和为是解题的关键． 先根据垂直的定义得到直角，结合的度数、可求出的度数，再利用邻补角的关系求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∴， ∵与是邻补角， ∴． 故答案为：． 38．如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题关键在于掌握知识点的合理应用； 由折叠得到，由平行线的性质，可得，进而求得，再由角的和差关系即可解答． 【详解】解：由折叠得到， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：D． 解答题 39．已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)65 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 【题型11.平行线的性质在生活中的应用】 40．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据题意作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， ∴第二次需要向左拐，故A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， 第二次需要向右拐，故C错误；D正确． 故选：D． 41．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是 °． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，得，结合，计算即可， 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据平行线的性质，得， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 42．如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，，， 如图，过C作，则， ∴，， ∴． 故选：B． 43．如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型12.由平行线判定与性质求角度】 44．如图，若，和互余，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是能够结合条件得出角的关系． 先根据平行线的判定得到，再根据和互余，求得的度数，最后根据平行线的性质求得即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∵与互余， ∴． ∴． 故答案为：． 45．如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角性质，熟知平行线的判定和性质是解题的关键．先证明，得出，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 46．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：90． 47．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，，射线、分别绕点，点以2度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间的值为多少时，与平行．（   ） A．5秒 B．秒 C．5或秒 D．5或秒 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：当与在的两侧时，如图， ，， ，， 要使，则， 即， 解得：； 此时， ； 当旋转到与都在的上方时，如图②， ，， 要使，则， 即， 解得：， 此时， ， 秒的情形不存在，此时、、在一条直线上，不符合题意； 当旋转到与都在的下方时，如图， ，， 要使，则， 即， 解得：， 此时， 而， 此情况不存在． 综上所述，当时间的值为5秒时，与平行． 故选：A． 解答题 48．已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)①，；②的大小不变，是 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，则有C，B，D共线，然后根据角平分线的定义可得，，进而问题可求解； （2）①过点C作，则有，由题意易得，然后可得，，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；②设，同理①可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴C，B，D共线， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：①如图，过点C作， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ②不改变，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的大小不变，是． 【题型13.由平行线判定与性质证明】 49．如图，下列推理不正确的是（    ） A．，∴ B．∵， C．∵，∴ D．∵， 【答案】B 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】解：A、∵，∴，同旁内角互补，两直线平行，正确； B、∵，∴，两直线平行，内错角相等，错误； C、∵，∴，内错角相等，两直线平行，正确； D、∵，∴，两直线平行，同旁内角互补，正确； 故选：B． 50．如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．下列结论符合题意结论的是（   ） A． B． C．平分 D．平分 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质和垂直的定义得到，，，设，表示出和，利用平角的定义列出方程解出，可判断B选项；由可判断A选项；根据角平分线的定义，结合题意可判断C和D选项，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， 设，则，， ， ， 解得：，即，故B符合题意； ， ，故A不符合题意； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故C不符合题意； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故D不符合题意； 故选：B． 解答题 51．如图，在中，D，E分别是边上的点，点F，G在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，，从而得到，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05相交线与平行线题型突破讲义(2) 一、 核心重点内容 1.三种角的识别:两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角，需明确三类角的位置特征： 同位角：截线同旁、被截直线同侧，呈 “F” 型 内错角：截线两侧、被截直线之间，呈 “Z” 型 同旁内角：截线同旁、被截直线之间，呈 “U” 型识别关键是先确定截线和被截线。 2.直线平行的判定条件 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 补充：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 3.平行线的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 4.判定与性质的基本应用:判定用于由 “角的关系” 推导 “线的平行”；性质用于由 “线的平行” 推导 “角的关系”，二者可结合对顶角相等、邻补角互补等知识解题。 二、 核心难点内容 1.复杂图形的拆解:从复杂几何图形中分离出 “三线八角” 的基本图形，准确锁定相关的直线和角。 2.判定与性质的逻辑区分:明确二者的逻辑方向：判定是由角定线，性质是由线定角，这是综合推理的基础。 3.综合推理与规范书写 结合对顶角、邻补角等知识，进行多步推理，比如先判定平行，再利用性质求角度 用几何语言规范书写推理步骤，做到每一步有理有据。 基础 过关题 1.同位角.内错角.同旁内角 2.同位角相等两直线平行 3.用直尺.三角板画平行线 4.内错角相等.两直线平行 5.同旁内角互补.两直线平行 6.两直线平行.同位角相等. 7.两直线平行内错角相等 8.两直线平行.同旁内角互补 能力 提升题 9.由平行线的性质探究角的关系 10.由平行线的性质求角的度数 11.平行线的性质在生活中的应用 拓展 拔高题 12.由平行线判断与性质求角度 13.由平行线判定与性质证明 【题型1.同位角.内错角.同旁内角】 1．下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的有（   ） ①相等的角是对顶角； ②同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④如图，和是同旁内角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 4．如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .    解答题 5．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【题型2.同位角相等.两直线平行】 6．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 7．如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【题型3.用直尺.三角板画平行线】 9．小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 10．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 11．如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【题型4.内错角相等.两直线平行】 12．如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 13．如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 14．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 解答题 15．如图，将以点C为旋转中心旋转得到，过点A作，交的延长线于点F，求证：． 【题型5.同旁内角互补.两直线平行】 16．如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 17．如图，下列说法中能够判断的是（   ） A． B． C． D． 解答题 18．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【题型6.两直线平行.同位角相等】 19．如图，，若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 20．下列说法正确的是（   ） A．同位角相等 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．两直线相交，对顶角相等 21．如图，，交、于，平分，，则 ． 解答题 22．如图，直线，相交于点，于点，交于点．若，求的度数． 【题型7.两直线平行.内错角相等】 23．如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 24．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 25．如图，，平分，平分，如果，那么 ． 解答题 26．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型8.两直线平行.同旁内角互补】 27．下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 28．如图，，那么（   ） A． B． C． D． 29．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，则 ． 30．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 解答题 31．如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均落在格点上，请按下列要求用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，作，使； (2)在图2中，在直线上找点E，连接，使线段最短，并说明理由． 【题型9.由平行线的性质探究角的关系】 32．如图，在三角形中，于点，于点，，是的平分线，则图中与相等的角（不包含）的个数为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 33．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是 °（用含α的代数式表示）． 34．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 35．已知的两边与的两边互相平行，且比的两倍小，则 ． 【题型10.由平行线的性质求角的度数】 36．如图，，平分交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 37．如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是 ． 38．如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解答题 39．已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【题型11.平行线的性质在生活中的应用】 40．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 41．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是 °． 42．如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 43．如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【题型12.由平行线判定与性质求角度】 44．如图，若，和互余，则的度数为 ． 45．如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 46．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 47．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，，射线、分别绕点，点以2度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间的值为多少时，与平行．（   ） A．5秒 B．秒 C．5或秒 D．5或秒 解答题 48．已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【题型13.由平行线判定与性质证明】 49．如图，下列推理不正确的是（    ） A．，∴ B．∵， C．∵，∴ D．∵， 50．如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．下列结论符合题意结论的是（   ） A． B． C．平分 D．平分 解答题 51．如图，在中，D，E分别是边上的点，点F，G在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $