专题04相交线与平行线寒假预习闯关必备讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题04相交线与平行线寒假预习闯关必备讲义 1.理解相交线、对顶角、邻补角的概念，掌握对顶角相等、邻补角互补的性质，能准确识别和计算相关角度。 2.认识垂线、垂线段的定义，掌握垂线的性质，会用三角尺、量角器画已知直线的垂线，理解点到直线的距离。 3.了解同位角、内错角、同旁内角的概念，能在复杂图形中准确识别这三类角。 4.掌握平行线的定义、判定方法与性质，能结合图形进行简单的推理和计算，初步形成几何推理意识。 5.学会用尺规作一个角等于已知角，理解作图的基本原理和步骤。 预习必 备知识 点梳理 1.相交线的定义与相关概念 2.垂线的定义与性质 3.三线八角 4.平行线的判定及性质 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.对顶角的性质 2.余角的求解方法 3.余角与补角的综合计算 4.垂线的定义及理解 5.垂线段最短的性质应用 6.同位角.内错角.同旁内角的识别 7.平行线判定:同位角相等两直线平行 8.平行线判定:内错角相等两直线平行 9.平行线判定:同旁内角互补两直线平行 10.平行线判定:两直线平行内错角相等 . 11.利用平行线性质探究角的关系 12..结合平行线的性质求角的度数 13.平行判定与性质的综合角度计算 14.平行线判定与性质的综合证明 强化巩固 题型通关 (21题) 【知识点01.相交线的定义与相关概念】 相交线的定义 在同一平面内，若两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线叫做相交线，这个唯一的公共点叫做交点。 1. 对顶角 定义：两条直线相交时，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 核心性质：对顶角相等。 示例：直线AB与CD相交于O，则∠AO与∠BOD是对顶角，∠AOD与∠BOC是对顶角，且∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC。 2. 邻补角 定义：两条直线相交时，相邻且互补的两个角叫做邻补角。 核心性质：邻补角之和等于180。 示例：直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠AOD是邻补角，∠AOC+∠AOD=180。 【知识点02.垂线的定义与性质】 (1）垂线定义 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；其中一条直线是另一条的垂线，交点叫做垂足。 符号表示：直线 a 和 b 垂直，写作 a⊥b。 （2）垂线的 2 个关键性质 ① 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ② 直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （3）点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【知识点03.三线八角】 前提：两条直线被第三条直线所截（第三条直线叫做截线）。 角的类型 位置特征（通俗表述） 形状特征 同位角 截线的同旁，被截两直线的同一侧 “F” 型 内错角 截线的两旁，被截两直线的中间 “Z” 型 同旁内角 截线的同旁，被截两直线的中间 “U” 型 简单判断：先找截线（穿过两个角的那条线），再看两个角在截线和被截直线的位置。 【知识点04.平行线的定义及判定】 1. 平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 符号表示：直线 a 和 b 平行，写作 a∥b。 关键提醒：必须强调 “同一平面内”，空间里有不相交也不平行的直线。 2. 平行公理及推论 （1）平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 （2）平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 通俗表述：若直线 a∥b，直线 c∥b，则直线 a∥c。 3. 平行线的判定方法（核心） 由角的关系推直线平行，共 3 种： 1 同位角相等，两直线平行； 2 内错角相等，两直线平行； 3 同旁内角互补，两直线平行。 4. 平行线的性质（核心） 由直线平行推角的关系，共 3 种： 1 两直线平行，同位角相等； 2 两直线平行，内错角相等； 3 两直线平行，同旁内角互补。 5. 平行线判定与性质的区别. 类别 条件 结论 用途 判定 角的关系 直线平行 证明两条直线平行 性质 直线平行 角的关系 证明角相等或互补 【知识点05.易错点警示】 1.对顶角概念混淆： 误将共顶点角、相等角当作对顶角。 警示：对顶角需满足“共顶点+两边互为反向延长线”，相等是性质非判定依据。 2.邻补角判定 错误：仅看公共边，忽略和为180°及另一边互为反向延长线。 警示：邻补角需同时满足共顶点、共一边、另一边反向延长线、和为180°。 3.垂线性质理解偏差： 忽略“同一平面内”前提，混淆垂线与垂线段。 警示：同一平面内过一点有且只有一条垂线；垂线段是图形，垂线是直线，垂线段最短。 4.平行线判定定理滥用： 忽略“被第三条直线所截”，或误把同旁内角相等当作判定条件。 警示：两角需被第三条直线所截，满足同位角/内错角相等、同旁内角互补才可判平行。 5.平行线性质与判定混淆： 因果倒置。 警示：判定由角推线平行，性质由线平行推角关系，明确已知与求证。 6.“三线八角”识别错误： 复杂图形中无法区分。 警示：先定截线（公共边所在直线）和被截线（另两边所在直线）。 7.平行线传递性漏条件： 忽略“同一平面内”。 警示：仅同一平面内，平行于同一直线的两条直线才平行。 8.尺规作图不规范： 未留痕迹或用带刻度直尺。 警示：仅用圆规和无刻度直尺，必须保留作图痕迹。 【题型1.对顶角的性质】 【典例】如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2.余角的求解方法】 【典例】已知与互为余角，若，则等于 ． 【跟踪专练1】如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【题型3.余角与补角的综合计算】 【典例】将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】一个角的余角是，则这个角的补角的度数是 ． 【跟踪专练2】已知与互为补角，与互为余角，比的大，则的度数是（） A． B． C． D． 【题型4.垂线的定义及理解】 【典例】如图，用三角板经过直线外一点画这条直线的垂线，这样的垂线只能画出一条．这里面蕴含的数学道理是 ． 【跟踪专练1】如图所示，相交于点O，，下列说法错误的是（    ） A．与互余 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【跟踪专练2】如图，已知，，是的平分线，，则（   ） A．射线的方向为东偏北 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为西偏南 D．射线的方向为南偏西 【题型5.垂线段最短的性质应用】 【典例】如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 【跟踪专练1】如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【跟踪专练2】如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型6.同位角.内错角.同旁内角的识别】 【典例】观察图，并完成下面的填空： （1）与 是同位角； （2）与 是内错角； （3）与 是同旁内角． 【跟踪专练1】如图，直线被直线所截，则的同位角是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，若，则的同位角的度数为 ，的内错角的度数为 ，的同旁内角的度数为 ． 【题型7.平行线判定:同位角相等两直线平行】 【典例】将一张纸条按如图所示方式折叠，下列条件能说明纸条两边平行的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定条件有 （填写所有正确条件的序号）． 【跟踪专练2】下图所示，在下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【题型8.平行线判定:内错角相等两直线平行】 【典例】.如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是 ． 【跟踪专练1】如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有 ． 【题型9.平行线判定:同旁内角互补.两直线平行】 【典例】如图所示，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有 ． 【跟踪专练2】如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．③⑤ D．②④⑤ 【题型10.平行线判定:两直线平行内错角相等】 【典例】如图，四边形中，，则图中所标的四个角中 ． 【跟踪专练1】如图，直线被直线所截，交点分别为点E，F．若，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】一副三角板如图所示摆放，，，，则的度数为 . 【题型11.利用平行线的性质探究角的关系】 【典例】将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为 ． 【跟踪专练2】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【题型12.结合平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，， ，则 度． 【跟踪专练1】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在同一平面内，与一边互相垂直，另一边互相平行，且比大，则的度数为 °． 【题型13.平行线判定与性质的综合角度计算】 【典例】如图，已知，，则 度． 【跟踪专练1】如图，，点在与之间，，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【题型14.平行线判定与性质的综合证明】 【典例】如图，当 时，． 【跟踪专练1】如图，下列能判断的条件是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有 ．（填序号） 1．下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 2．下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，则点是的中点 3．如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 4．如图，直线、相交于点，，垂足为，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 7．如图，，平分，平分，则 ． 8．如图，平分，，，则 ．    9．如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 10．如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11.．如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断的条件有 （填序号）． 12．如图，要修建一条公路，从村沿北偏东70°方向到村，从村沿北偏西30°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为 ． 13．如图，， ，，则 ． 14．一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 15．如图，四边形为平行四边形，，，对角线，P为上一动点，Q为上一定点，则的最小值为 ． 16．如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 17．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 18．如图，直线交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明 的理由． 19．点是直线上一点，线段绕点旋转，平分，过点作（在的右侧），平分． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数． 20．问题情境综合与实践课上，同学们以一副直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学探究活动． 操作发现如图①，小华把三角尺角和角的顶点，分别放在直线，上，若，则________； 迁移探究如图②，小红改变三角尺的位置，把三角尺角的顶点放在直线上，若，求的度数； 拓展应用如图③，小明把三角尺角的顶点，分别放在直线，上，把另一个三角尺角的顶点放在处，点为角三角尺的直角顶点，即，与的平分线，分别交，于点，，小明不断改变的大小，使始终在的内部，的度数发生变化吗？若不变，请直接写出它的度数；若变化，请说明理由． 21．综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则 ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04相交线与平行线寒假预习闯关必备讲义 1.理解相交线、对顶角、邻补角的概念，掌握对顶角相等、邻补角互补的性质，能准确识别和计算相关角度。 2.认识垂线、垂线段的定义，掌握垂线的性质，会用三角尺、量角器画已知直线的垂线，理解点到直线的距离。 3.了解同位角、内错角、同旁内角的概念，能在复杂图形中准确识别这三类角。 4.掌握平行线的定义、判定方法与性质，能结合图形进行简单的推理和计算，初步形成几何推理意识。 5.学会用尺规作一个角等于已知角，理解作图的基本原理和步骤。 预习必 备知识 点梳理 1.相交线的定义与相关概念 2.垂线的定义与性质 3.三线八角 4.平行线的判定及性质 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.对顶角的性质 2.余角的求解方法 3.余角与补角的综合计算 4.垂线的定义及理解 5.垂线段最短的性质应用 6.同位角.内错角.同旁内角的识别 7.平行线判定:同位角相等两直线平行 8.平行线判定:内错角相等两直线平行 9.平行线判定:同旁内角互补两直线平行 10.平行线判定:两直线平行内错角相等 . 11.利用平行线性质探究角的关系 12..结合平行线的性质求角的度数 13.平行判定与性质的综合角度计算 14.平行线判定与性质的综合证明 强化巩固 题型通关 (21题) 【知识点01.相交线的定义与相关概念】 相交线的定义 在同一平面内，若两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线叫做相交线，这个唯一的公共点叫做交点。 1. 对顶角 定义：两条直线相交时，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 核心性质：对顶角相等。 示例：直线AB与CD相交于O，则∠AO与∠BOD是对顶角，∠AOD与∠BOC是对顶角，且∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC。 2. 邻补角 定义：两条直线相交时，相邻且互补的两个角叫做邻补角。 核心性质：邻补角之和等于180。 示例：直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠AOD是邻补角，∠AOC+∠AOD=180。 【知识点02.垂线的定义与性质】 (1）垂线定义 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；其中一条直线是另一条的垂线，交点叫做垂足。 符号表示：直线 a 和 b 垂直，写作 a⊥b。 （2）垂线的 2 个关键性质 ① 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ② 直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （3）点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：距离是长度，是一个数值，不是线段本身。 【知识点03.三线八角】 前提：两条直线被第三条直线所截（第三条直线叫做截线）。 角的类型 位置特征（通俗表述） 形状特征 同位角 截线的同旁，被截两直线的同一侧 “F” 型 内错角 截线的两旁，被截两直线的中间 “Z” 型 同旁内角 截线的同旁，被截两直线的中间 “U” 型 简单判断：先找截线（穿过两个角的那条线），再看两个角在截线和被截直线的位置。 【知识点04.平行线的定义及判定】 1. 平行线的定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 符号表示：直线 a 和 b 平行，写作 a∥b。 关键提醒：必须强调 “同一平面内”，空间里有不相交也不平行的直线。 2. 平行公理及推论 （1）平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 （2）平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 通俗表述：若直线 a∥b，直线 c∥b，则直线 a∥c。 3. 平行线的判定方法（核心） 由角的关系推直线平行，共 3 种： 1 同位角相等，两直线平行； 2 内错角相等，两直线平行； 3 同旁内角互补，两直线平行。 4. 平行线的性质（核心） 由直线平行推角的关系，共 3 种： 1 两直线平行，同位角相等； 2 两直线平行，内错角相等； 3 两直线平行，同旁内角互补。 5. 平行线判定与性质的区别. 类别 条件 结论 用途 判定 角的关系 直线平行 证明两条直线平行 性质 直线平行 角的关系 证明角相等或互补 【知识点05.易错点警示】 1.对顶角概念混淆： 误将共顶点角、相等角当作对顶角。 警示：对顶角需满足“共顶点+两边互为反向延长线”，相等是性质非判定依据。 2.邻补角判定 错误：仅看公共边，忽略和为180°及另一边互为反向延长线。 警示：邻补角需同时满足共顶点、共一边、另一边反向延长线、和为180°。 3.垂线性质理解偏差： 忽略“同一平面内”前提，混淆垂线与垂线段。 警示：同一平面内过一点有且只有一条垂线；垂线段是图形，垂线是直线，垂线段最短。 4.平行线判定定理滥用： 忽略“被第三条直线所截”，或误把同旁内角相等当作判定条件。 警示：两角需被第三条直线所截，满足同位角/内错角相等、同旁内角互补才可判平行。 5.平行线性质与判定混淆： 因果倒置。 警示：判定由角推线平行，性质由线平行推角关系，明确已知与求证。 6.“三线八角”识别错误： 复杂图形中无法区分。 警示：先定截线（公共边所在直线）和被截线（另两边所在直线）。 7.平行线传递性漏条件： 忽略“同一平面内”。 警示：仅同一平面内，平行于同一直线的两条直线才平行。 8.尺规作图不规范： 未留痕迹或用带刻度直尺。 警示：仅用圆规和无刻度直尺，必须保留作图痕迹。 【题型1.对顶角的性质】 【典例】如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴    ， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 【跟踪专练2】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 【题型2.余角的求解方法】 【典例】已知与互为余角，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角． 根据余角的定义，与互为余角，则，因此． 【详解】解：∵与互为余角，， ∴ 故答案为． 【跟踪专练1】如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的和差运算，互余关系及互余的性质；由及，得，再由互余关系即可求解． 【详解】解：由题意知：， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【题型3.余角与补角的综合计算】 【典例】将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角的定义，三角板中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点求解即可． 【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意； B、由图可得，与互补，该选项不合题意； C、由图可得，该选项不合题意； D、由图可得，与互余，该选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】一个角的余角是，则这个角的补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查余角、补角，根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角的度数即可．解题的关键是掌握：如果两个角的和为，则这两个角互为补角；如果两个角的和为，则这两个角互为余角． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角为：， ∴这个角的补角的度数是：． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知与互为补角，与互为余角，比的大，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关补角和余角的计算，根据补角和余角的定义以及给出的角度关系，首先求解，再求的度数即可． 【详解】解：∵与互为补角， ∴①， ∵与互为余角， ∴②， ∵比的大， ∴， ∴， 将代入①，可得， 解得， 将代入②，可得， 解得． 故选：C． 【题型4.垂线的定义及理解】 【典例】如图，用三角板经过直线外一点画这条直线的垂线，这样的垂线只能画出一条．这里面蕴含的数学道理是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行作答即可． 【详解】解：由题意，蕴含的数学道理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【跟踪专练1】如图所示，相交于点O，，下列说法错误的是（    ） A．与互余 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【答案】C 【分析】本题主要考查互余、互补的概念及计算，掌握互余、互补的概念，结合图形分析是关键． 互余：在同一平面内，两角之和为，那么我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角；互补：在同一平面内，两角之和为，那么我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角；根据定义，结合图形分析即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴与互余，故正确； B、∵， ∴， ∴与互余，故正确； C、∵， ∴与互补， ∵无法确定， ∴与不一定互补，故错误； D、∵， ∴与互补， ∵， ∴与互补，故正确； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知，，是的平分线，，则（   ） A．射线的方向为东偏北 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为西偏南 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【分析】本题主要考查了方向角，角平分线的定义，垂直的定义，熟悉掌握角度的运算是解题的关键． 根据，，是的平分线，求出的度数，即可判断A和B，再求出的度数，通过垂直的定义求出即可判断C和D． 【详解】解：∵，，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴射线的方向为北偏东或东偏北，故A和B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向为西偏南或南偏西，故C错误，D正确； 故选：D． 【题型5.垂线段最短的性质应用】 【典例】如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：根据题意，若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：． 【跟踪专练1】如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【答案】5 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 【跟踪专练2】如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4， 故选：D． 【题型6.同位角.内错角.同旁内角的识别】 【典例】观察图，并完成下面的填空： （1）与 是同位角； （2）与 是内错角； （3）与 是同旁内角． 【答案】 【分析】本题考查了同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同旁内角；熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键． （1）根据同位角的定义即可得； （2）根据内错角的定义即可得； （3）根据同旁内角的定义即可得． 【详解】解：（1）与是同位角； 故答案为：． （2）与是内错角； 故答案为：． （3）与是同旁内角； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线被直线所截，则的同位角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，由此判断即可． 【详解】解：的同位角是， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，若，则的同位角的度数为 ，的内错角的度数为 ，的同旁内角的度数为 ． 【答案】 /80度 /80度 /100度 【分析】本题考查了相交线及其所成的角（同位角、内错角、同旁内角），熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 由同位角、内错角、同旁内角的定义即可直接得出答案． 【详解】解：， 的同位角的度数为， 的内错角的度数为， 的同旁内角的度数为， 故答案为：，，． 【题型7.平行线判定:同位角相等两直线平行】 【典例】将一张纸条按如图所示方式折叠，下列条件能说明纸条两边平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A.由不能得到对边平行，故不正确； B. 由不能得到对边平行，故不正确； C. 由，可得，根据内错角相等，两直线平行即可得到对边平行，故正确； D. 由不能得到对边平行，故不正确； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定条件有 （填写所有正确条件的序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，故①符合题意； ， ∴，不能判定，故②不符合题意； ， ∴，不能判定，故③不符合题意； ， ，故④符合题意； 综上所述，①④能得到． 故答案为：①④． 【跟踪专练2】下图所示，在下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握几个判定方法是解题的关键；根据平行线的判定方法逐项判定即可． 【详解】解：A、，由内错角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意； B、，由同旁内角互补两直线平行，得，故选项正确，不符合题意； C、是一对邻补角，不是同旁内角互补，不能判定，故选项不正确，符合题意； D、，由同位角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 【题型8.平行线判定:内错角相等两直线平行】 【典例】.如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴； 或∵， ∴； 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是正确答题的关键． 利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以 (内错角相等，两直线平行)，故A选项符合题意． B、因为，所以 (内错角相等，两直线平行)，故B选项不符合题意． C、因为，所以 (同位角相等，两直线平行)，故C选项不符合题意． D、因为，所以 (同旁内角互补，两直线平行)，故D选项不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据三角板各角角度、三角形内角和定理求出角的度数，再根据角之间的关系逐一判断即可． 【详解】解：， ， ， 故正确； ，， ， 又， ， ， 故正确； 如下图所示， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 与不平行， 故不成立； 如下图所示，， ， 又， ， ， 故正确； 故答案为： ． 【题型9.平行线判定:同旁内角互补.两直线平行】 【典例】如图所示，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定；熟练掌握平行线的判定方法和两个角的位置关系是解题的关键．根据平行线的判定方法逐项判断即可； 【详解】解：A. ∵， ∴，故该选项不符合题意； B. ∵， ∴，故该选项不符合题意；     C.由不能得到两直线平行， D. ∵， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，理解判定是关键；由折纸过程即可得过点P的直线均与直线a，b垂直，则由平行线的判定可判定直线a的平行线b． 【详解】解：由题意知，过点P作直线a的垂线c，再过点P作直线c的垂线b，则直线c分别与直线a，直线b垂直，由同位角相等，两直线平行；或内错角相等，两直线平行；或同旁内角互补，两直线平行；均可判定． 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．③⑤ D．②④⑤ 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ， ，故③不符合题意； ， ，故④符合题意； 由，不能判定， 故⑤不符合题意； 综上所述：能判定的有①②④， 故选：A． 【题型10.平行线判定:两直线平行内错角相等】 【典例】如图，四边形中，，则图中所标的四个角中 ． 【答案】 2 3 【分析】题目主要考查平行线的性质，结合图形，利用两直线平行，内错角相等求解即可，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2；3 【跟踪专练1】如图，直线被直线所截，交点分别为点E，F．若，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质．利用平行线的性质以及对顶角相等逐项分析即可得到正确结果． 【详解】解：∵，∴，，， 不能得到， 故C选项错误，符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】一副三角板如图所示摆放，，，，则的度数为 . 【答案】19 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由已知得，所以，根据平行线的性质，可得，即可得答案． 【详解】解：由已知得，，， ， ， ， ． 故答案为：19． 【题型11.利用平行线的性质探究角的关系】 【典例】将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，对题目的结论逐项分析即可得出答案． 【详解】解：纸条的两边平行， ，，，故①②④正确； 三角板是直角三角板， ， 又， ，故③正确； 综上所述，其中正确的个数是4个． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，过点作，过点作，则，由平行线的性质可得出，，，再得出，，用再结合即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【题型12.结合平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，， ，则 度． 【答案】66 【分析】本题主要考查平行线的性质．根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：66． 【跟踪专练1】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角定义得，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】在同一平面内，与一边互相垂直，另一边互相平行，且比大，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和垂直的性质，解题的关键在于能够画图，数形结合进行分析求解．根据平行线的性质和垂直的性质分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：① 如图所示： 令， 依题意，，， ∴， ∴， 又∵比大， ∴， ∴； ②如图所示： 令， 依题意，，， ∴，， ∴， ∵比大， ∴此种情况不符合题意， 故答案为：． 【题型13.平行线判定与性质的综合角度计算】 【典例】如图，已知，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由可得，进而根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，点在与之间，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． 过点O作，可得，根据平行线的性质可得，即可求出，再根据得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点E，F分别作，．然后运用平行线的性质进行推导． 【详解】解：如图所示，过点E，F分别作，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型14.平行线判定与性质的综合证明】 【典例】如图，当 时，． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 可先假设得到，继而可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故当时，， 故答案为：1，4． 【跟踪专练1】如图，下列能判断的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理，关键在于找准两个角之间的位置关系． 先确定两角的位置关系，再直接利用平行线的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，这两个角不是同位角、内错角或同旁内角的关系，不能判定． B、，此时可判定（内错角相等，两直线平行），不能判定． C、与是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可以判定． D、，不能判定． ∴能判断的条件是， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的有关计算，求一个角的余角，对顶角的性质等；①可得，由平行线的判定方法，即可判断；②由平行线的性质得，由角平分线的定义，即可判断；③由余角的定义得，由对顶角相等，即可判断；④设，，由角平分线的定义得，即可判断； 掌握平行线的判定及性质，能熟练利用角平分线的定义求解是解题的关键． 【详解】解：①，， ， ， 故此项正确； ②， ， ， ， 平分； 故此项正确； ③的余角比大， ， ， ， ， 故此项错误； ④设，， ， 平分， ， ， ， 解得：， ， 故此项错误； 故答案为：①②． 1．下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，则点是的中点 【答案】C 【分析】本题考查线段的概念以及所学的基本事实．解题的关键是熟练运用这些概念． 根据线段的概念，以及所学的基本事实，对选项一一分析，选择正确答案． 【详解】解：A、两点之间线段最短，选项错误，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，选项错误，不符合题意； C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直，正确，符合题意； D、，但点A、B、C不一定共线，或B不一定在线段上，选项错误，不符合题意； 故选：C 3．如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了补角、余角的定义，对顶角的性质，以及角平分线和垂直的性质，解题的关键是结合图形在钝角内部）利用相关定义和性质逐一分析各选项． ​根据邻补角定义判断与的关系；结合和平分，推导与的和是否为；依据补角定义和图形中角的位置关系分析与相关角的补角关系；根据对顶角定义判断的对顶角． 【详解】解：∵、相交于点O平分，且在钝角内部，​ ∴． A、∵与组成平角，即， ∴与互为补角，此选项不符合题意； B、∵， ∴，即互为余角，此选项不符合题意； C、∵， ∴，互为补角，此选项不符合题意； D、∵的对顶角是，而非， ∴此选项符合题意． 故选：D． 4．如图，直线、相交于点，，垂足为，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂线和对顶角，根据垂直定义可得，再根据角的和差关系可得，再根据对顶角相等可得结论．解题的关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 6．已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了点到直线的距离． 分当P在a、b之间和当P在a、b同侧两种情况作答即可． 【详解】解：当P在a、b之间时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 当P在a、b同侧时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 故答案为：3或7． 7．如图，，平分，平分，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据角的和差、等量代换求解即可得． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，平分，，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据题意得到，，即可得到答案． 【详解】解：平分，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：平分，， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 10．如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，掌握相关知识是是解题的关键．根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 【详解】解：①， ， ，故正确； ②由题意可得：， ， ，即， ， ，即射线经过刻度线160，故错误； ③如图： ，， ， 和互为余角， 射线经过刻度线90， ， 和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故正确； 正确的有①③， 故选：C． 11.．如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断的条件有 （填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据平行线的判定定理即可直接作出判断． 【详解】解：①，不能判断，不合题意； ②， ，不合题意； ③， ，符合题意； ④， ，符合题意； ⑤， ， ， ， ， ，符合题意． 故答案为：③④⑤． 12．如图，要修建一条公路，从村沿北偏东70°方向到村，从村沿北偏西30°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查方向角及平行线的性质， 利用平行线的性质，即可得到，再根据，可得，进而得出答案． 【详解】解：如图： 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 故答案为：． 13．如图，， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴  ， 即． 故答案为：． 14．一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据五棱柱的性质，确定互相平行的棱最多的情形，即可求解． 【详解】解：五棱柱的侧棱互相平行，侧面均为平行四边形，当同一底面上有两对棱互相平行时，平行的棱的对数最多， 如图，在五棱柱中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有对， ∴ 一个五棱柱中，互相平行的棱最多有对． 故选：D． 15．如图，四边形为平行四边形，，，对角线，P为上一动点，Q为上一定点，则的最小值为 ． 【答案】30 【分析】过点作射线的垂线，垂足分别为，由平行四边形得到，可证明，则，那么，故，而，故，由，则的最小值为，而即可求解． 【详解】解：过点作射线的垂线，垂足分别为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，解直角三角形，垂线段最短，难点在于需要利用“胡不归模型”进行转化． 16．如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 17．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．如图，直线交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明 的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判断，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由题意可得，再由平角的定义可得，据此可得答案． （2）由角平分线的定义可得，，则由平角的定义可得，即，据此可证明，则． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．点是直线上一点，线段绕点旋转，平分，过点作（在的右侧），平分． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线定义的理解，余角的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）根据及平分，可求出的度数，进而求出的度数，再根据平分，求出的度数，最后根据解答即可； （2）根据，表示出，再结合平分可表示出、，从而表示，根据平分，表示出，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ，， ， 平分， ， ． 20．问题情境综合与实践课上，同学们以一副直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学探究活动． 操作发现如图①，小华把三角尺角和角的顶点，分别放在直线，上，若，则________； 迁移探究如图②，小红改变三角尺的位置，把三角尺角的顶点放在直线上，若，求的度数； 拓展应用如图③，小明把三角尺角的顶点，分别放在直线，上，把另一个三角尺角的顶点放在处，点为角三角尺的直角顶点，即，与的平分线，分别交，于点，，小明不断改变的大小，使始终在的内部，的度数发生变化吗？若不变，请直接写出它的度数；若变化，请说明理由． 【答案】操作发现：；迁移探究：；拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键． 操作发现：根据平角定义和平行线的性质求解即可； 迁移探究：过点E作，则，根据平行线的性质得到，，进而可得，设,，由求解，进而可求解； 拓展应用：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：操作发现：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：119； 迁移探究：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由设,，则， ∴， 解得， ∴； 拓展应用：不变， 理由如下：过点E作， ， ， 设，则， 、分别平分、 ， ． 21．综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则 ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等，， (2)的度数为 (3)的度数为或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义．熟练掌握“作平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补”的辅助线方法，以及分类讨论点的位置情况，是解题的关键． （1）通过作平行线，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合已知角度计算． （2）先利用角平分线得到半角，再作平行线，结合平行线的性质（内错角相等），通过角度差计算． （3）分点的位置情况，作平行线，利用平行线的性质和角平分线的定义，推导与、β的关系． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 则（两直线平行，内错角相等） ∵已知， ∴平行于同一直线的两条直线平行． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，； （2）解：是的平分线，是的平分线， ， 如图，过点作 ， ， 的度数为 （3）解：的度数为或或或 分以下情况： ①如图，当点在上方时，直线交于点，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在下方时，同理可得 ②如图，当点在和之间且点在右侧时，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在和之间且点在左侧时，同理可得 综上，的度数为或或或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $