2026届江苏南京高考数学自编模拟卷

2026届江苏南京高考数学自编模拟卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得 分 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）复数z＝﹣2i（﹣2+i）的虚部为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 2．（5分）已知全集U＝{（1，2），（3，4），（5，6）}，集合A＝{（1，2），（3，4）}，则∁UA＝（　　） A．{5，6} B．{（5，6）} C．{3，4，5，6} D．{（3，4），（5，6）} 3．（5分）若双曲线C的实轴长是虚轴长的一半，则C的离心率为（　　） A． B．4 C． D．2 4．（5分）已知点（a，0）（a＞0）是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣x2，则f（﹣2）＝（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2 6．（5分）如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角．已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：km/h）为（　　） （参考数据：，，） A．252.8 B．349.2 C．425.6 D．492.8 7．（5分）若圆x2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（5分）已知实数x，y，z满足ex﹣e2＝e（x﹣2）≠0，ey﹣ee＝e（y﹣e）≠0，ex﹣e3＝e（z﹣3）≠0，其中e为自然对数的底数，则x，y，z的大小关系是（　　） A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x 评卷人 得 分 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）下列命题正确的是（　　） A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C．过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直 D．过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行 （多选）10．（6分）过抛物线y2＝6x的焦点作一直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，则（　　） A．x1x2＝18 B．y1y2＝﹣9 C．直线OA，OB的斜率满足kOA•kOB＝﹣4 D． （多选）11．（6分）已知△ABC的面积为，且cos2A+cos2B+2sinC＝2，cosAcosBsinC，则（　　） A．sinC＝sin2A+sin2B B． C． D．AC2+BC2＝8 评卷人 得 分 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）曲线y在点（2，）处的切线方程为　 　 13．（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a3•a5＝16，则　 　 ． 14．（5分）一个箱子里有4个相同的球，分别以1～4标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E（X）＝ 　 　 ． 评卷人 得 分 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）： 每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求P（A）和P（B）； （2）根据α＝0.01的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？附：． P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16．（15分）已知数列{an}的首项a1＝1，{an}的前n项和为Sn且满足． （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列{bn}的前n项和Rn． 17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2，CD＝CB＝2，PA＝PD，∠ADC＝∠APD＝90°，F是AP的中点． （1）证明：平面PAB⊥平面PCD． （2）证明：BF∥平面PCD． （3）求直线BF与直线PC所成角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，其左，右焦点分别是F1，F2，过F1的直线AB与椭圆相交于A，B两点，且△ABF2的周长为8． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：y＝x+t与椭圆相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求t的取值范围． 19．（17分）已知函数y＝f（x）的图象在定义域R上连续不断，f（﹣x）＝f（x），f（x）+f（2﹣x）＝0，f（x）在区间[0，2]上单调递减，f′（x）是f（x）的导数． （1）证明：f（x）是周期函数； （2）给定t∈（0，2），设a∈R，证明：存在k∈[a﹣t，a+t]，使得f（k）≤f（t）； （3）若，设函数F（x）＝3f（x）﹣f（3x）． （i）求F（x）的最大值； （ii）若存在θ∈R，使得3f（x）﹣f（3x+θ）≤b对∀x∈R恒成立，求实数b的最小值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）复数z＝﹣2i（﹣2+i）的虚部为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【解答】解：复数z＝﹣2i（﹣2+i）＝2+4i， 则其虚部为4． 故选：D． 2．（5分）已知全集U＝{（1，2），（3，4），（5，6）}，集合A＝{（1，2），（3，4）}，则∁UA＝（　　） A．{5，6} B．{（5，6）} C．{3，4，5，6} D．{（3，4），（5，6）} 【解答】解：全集U＝{（1，2），（3，4），（5，6）}，集合A＝{（1，2），（3，4）}，则∁UA＝{（5，6）}． 故选：B． 3．（5分）若双曲线C的实轴长是虚轴长的一半，则C的离心率为（　　） A． B．4 C． D．2 【解答】解：设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a，2b，2c， 因为双曲线C的实轴长是虚轴长的一半， 所以b＝2a， 此时a2+b2＝c2＝a2+4a2＝5a2， 解得， 则双曲线C的离心率． 故选：C． 4．（5分）已知点（a，0）（a＞0）是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan的图象的一个对称中心， 得， 得， 当k＝1时，， 得a的最小值为． 故选：D． 5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣x2，则f（﹣2）＝（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2 【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x﹣x2，则f（2）＝2﹣4＝﹣2， 又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝2； 故选：D． 6．（5分）如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角．已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：km/h）为（　　） （参考数据：，，） A．252.8 B．349.2 C．425.6 D．492.8 【解答】解：设飞机实际运动速度向量和风速向量分别为，飞机的地面速度向量为， 由题意得，，且， 所以， 可得． 故选：B． 7．（5分）若圆x2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由圆x2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）， 则圆心为（0，1），半径为r， 则圆心（0，1）到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个， 所以， 即， 解得， 即r的取值范围是． 故选：C． 8．（5分）已知实数x，y，z满足ex﹣e2＝e（x﹣2）≠0，ey﹣ee＝e（y﹣e）≠0，ex﹣e3＝e（z﹣3）≠0，其中e为自然对数的底数，则x，y，z的大小关系是（　　） A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x 【解答】解：设函数f（t）＝et﹣et，其定义域为R，且f'（t）＝et﹣e， 当t＞1时，可得f′（t）＞0，f（t）在（1，+∞）上单调递增； 当t＜1时，可得f'（t）＜0，f（t）在（﹣∞，1）上单调递减， 因为ex﹣e2＝e（x﹣2）≠0，ey﹣ee＝e（y﹣e）≠0，ez﹣e3＝e（z﹣3）≠0， 可得ex﹣ex＝e2﹣2e；ey﹣ey＝ee﹣e2，ez﹣ez＝e3﹣3e， 即f（x）＝f（2），f（y）＝f（e），f（z）＝f（3）且x≠2，y≠e，z≠3， 所以f（x）＜f（y）＜f（z）且x＜1，y＜1，z＜1，所以z＜y＜x． 故选：D． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）下列命题正确的是（　　） A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C．过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直 D．过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行 【解答】解：对于A，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线， 有且只有一条，故A正确； 对于B，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行， 在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已知平面平行， 故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B错误； 对于C，由直线与平面垂直的性质得： 过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C正确； 对于D，由线面平行判定定理得： 过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D错误． 故选：AC． （多选）10．（6分）过抛物线y2＝6x的焦点作一直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，则（　　） A．x1x2＝18 B．y1y2＝﹣9 C．直线OA，OB的斜率满足kOA•kOB＝﹣4 D． 【解答】解：设抛物线方程为y2＝2px，焦点为， 因为过焦点的直线与抛物线有两个交点， 所以所以直线斜率不为0， 设直线方程为， 联立，消去x并整理得y2﹣2pmy﹣p2＝0， 由韦达定理得， 所以， 因为p＝3， 由焦点弦的性质可知，，故选项A错误，选项B正确； 因为，， 所以4，故选项C正确； 因为，， 所以，故选项D正确． 故选：BCD． （多选）11．（6分）已知△ABC的面积为，且cos2A+cos2B+2sinC＝2，cosAcosBsinC，则（　　） A．sinC＝sin2A+sin2B B． C． D．AC2+BC2＝8 【解答】解：由cos2A+cos2B+2sinC＝2，可得1﹣2sin2A+1﹣2sin2B+2sinC＝2，故sinC＝sin2A+sin2B，故A正确； 根据正弦定理，结合sinC＝sin2A+sin2B①， 整理得BC2+AC2＝AB•2R≥AB2， 若BC2+AC2＞AB2， 由余弦定理可得cosC＞0，即C为锐角， 由cosAcosBsinC0，可得A，B为锐角， 则△ABC为锐角三角形， 则，即， 故，则sinA＞cosB，代入①可得sinC＝sin2A+sin2B＞cos2B+sin2B＝1，矛盾， 故BC2+AC2＝AB2，可得，故sinC＝1， cos（A+B）＝cosAcosB﹣sinA•sinB＝0，则， 因为S△ABCBC•ACsinCBC•AC，即有BC•AC＝2， 故，即， 所以，故，故B正确； （sinA+sinB）2＝sin2A+sin2B+2sinA，故，故C正确； 由于C，所以AC2+BC2＝AB2＝2，故D错误． 故选：ABC． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）曲线y在点（2，）处的切线方程为　6x+25y﹣32＝0　 【解答】解：由题意得， 则曲线在点（2，）处的切线斜率k＝y'|x＝2， 故曲线在（2，）处的切线方程为y（x﹣2），即6x+25y﹣32＝0． 故答案为：6x+25y﹣32＝0． 13．（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a3•a5＝16，则　2　 ． 【解答】解：设公比为q，由已知得an＞0，q＞0， 因为，所以a4＝4， 又a2＝1，所以公比， 故． 故答案为：2． 14．（5分）一个箱子里有4个相同的球，分别以1～4标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E（X）＝ 　　 ． 【解答】解：由题意得：X＝1，2，3， 总的选取可能数为43＝64， 当X＝1时，三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式， 因此， 当X＝2时，恰好两种不同球被取出， 选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能， 因此事件X＝2的可能情况有4×3×3＝36种， 因此， 当X＝3时，三种不同球被取出， 由排列数可知事件X＝3的可能情况有4×3×2＝24种， 因此， 因此． 故答案为：． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）： 每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求P（A）和P（B）； （2）根据α＝0.01的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？附：． P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【解答】解：（1）由题可得170+80+100+150＝500， 所以，； （2）零假设H0：中学生的专注力与阅读时长没有关系， 由表中数据可得39.452＞6.635， 根据α＝0.01的独立性检验，我们推断假设不成立， 所以认为中学生的专注力与阅读时长有关系． 16．（15分）已知数列{an}的首项a1＝1，{an}的前n项和为Sn且满足． （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列{bn}的前n项和Rn． 【解答】解：（1）证明：数列{an}的首项a1＝1，{an}的前n项和为Sn且满足， 可得， 所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列． （2）由等差数列的通项公式，可得， 所以， 当n≥2时，由，可得， 两式相减可得， 上式对n＝1也成立， 所以an＝n， 所以 ， 则Rn＝12﹣11+11﹣9+...， ＝12． 17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2，CD＝CB＝2，PA＝PD，∠ADC＝∠APD＝90°，F是AP的中点． （1）证明：平面PAB⊥平面PCD． （2）证明：BF∥平面PCD． （3）求直线BF与直线PC所成角的余弦值． 【解答】（1）证明：取AD的中点O，连接OP， 因为PA＝PD，所以OP⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP⊂平面PAD， 所以OP⊥平面ABCD， 因为CD⊂平面ABCD，所以OP⊥CD， 又∠ADC＝90°，即AD⊥CD，OP∩AD＝O，OP、AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD， 而AP⊂平面PAD，所以CD⊥AP， 由∠APD＝90°，知AP⊥PD， 又CD∩PD＝D，CD、PD⊂平面PCD， 所以AP⊥平面PCD， 因为AP⊂平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PCD． （2）证明：以D为原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，作Dz∥OP，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（，0，），C（0，2，0），D（0，0，0），A（2，0，0），F（，0，）， 连接AC， 在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝2，所以tan∠ACD，即∠ACD， 因为AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC， 所以△ABC≌△ADC， 所以∠ACB＝∠ACD， 所以∠BCy＝π， 又BC＝2，所以B（，3，0）， 所以（，﹣2，），（0，2，0），（，﹣3，）， 设平面PCD的法向量为（x，y，z），则， 取x＝1，则y＝0，z＝﹣1，所以（1，0，﹣1）， 而•00，所以⊥， 又BF⊄平面PCD， 所以BF∥平面PCD． （3）解：因为（，﹣2，），（，﹣3，）， 所以|cos，|， 故直线BF与直线PC所成角的余弦值为． 18．（17分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，其左，右焦点分别是F1，F2，过F1的直线AB与椭圆相交于A，B两点，且△ABF2的周长为8． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：y＝x+t与椭圆相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求t的取值范围． 【解答】解：（1）有椭圆的定义知4a＝8，∴a＝2． ∵，∴c＝1， 从而b2＝a2﹣c2＝3， ∴椭圆C的方程为． （2）设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由， 消去y得：7x2+8tx+4t2﹣12＝0， 由韦达定理得：， 由Δ＝64t2﹣28（4t2﹣12）＞0，解得t2＜7，① ∵坐标原点O位于以MN为直径的圆外， ∴，即x1x2+y1y2＞0， 则， 解得，② 综合①②可得，解得 或 ， ∴t的取值范围是． 19．（17分）已知函数y＝f（x）的图象在定义域R上连续不断，f（﹣x）＝f（x），f（x）+f（2﹣x）＝0，f（x）在区间[0，2]上单调递减，f′（x）是f（x）的导数． （1）证明：f（x）是周期函数； （2）给定t∈（0，2），设a∈R，证明：存在k∈[a﹣t，a+t]，使得f（k）≤f（t）； （3）若，设函数F（x）＝3f（x）﹣f（3x）． （i）求F（x）的最大值； （ii）若存在θ∈R，使得3f（x）﹣f（3x+θ）≤b对∀x∈R恒成立，求实数b的最小值． 【解答】解：（1）证明：由题知：f（﹣x）＝f（x），f（x）+f（2﹣x）＝0， 所以f（x）＝﹣f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）， 所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 所以f（x）是以4为周期的周期函数． （2）因为f（x）是周期为4的偶函数，且f（x）的图象关于点（1，0）中心对称， 先看f（x）在一个周期[﹣2，2]上的情况： x [﹣2，0] [0，2] f（x） ↑ ↓ 所以f（2）为f（x）的最小值， 根据周期性，不妨设a∈[﹣2，2]，显然区间[a﹣t，a+t]长度为2t＜4， 若a＝0，则f（x）在区间[﹣t，0]上单调递增，在区间[0，t]上单调递减， 所以取k＝±t，有f（k）≤f（t）， 若a∈（0，2]，则0＜t＜a+t＜4， 当a﹣t＜2＜a+t时，f（x）在区间[t，2]上单调递减，所以取k＝2，有f（k）≤f（t）， 当a﹣t＜a+t≤2时，f（x）在区间[t，a+t]上单调递减，所以取k＝a+t，有f（k）≤f（t）， 同理可证，a∈[﹣2，0）时，存在k∈[a﹣t，a+t]，使得f（k）≤f（t）， 综上，对∀a∈R，存在k∈[a﹣t，a+t]，使得f（k）≤f（t）． （3）（i）因为F（x+4）＝3f（x+4）﹣f（3x+12）＝3f（x）﹣f（3x）＝F（x）， 且F（﹣x）＝3f（﹣x）﹣f（﹣3x）＝3f（x）﹣f（3x）＝F（x）， 所以F（x）是周期为4的偶函数，不妨设x∈[0，2]， 因为， 令F′（x）＝0，则f（x+1）＝f（3x+1），又因为x+1∈[1，3]，3x+1∈[1，7]， 所以或3x+1＝﹣（x+1）+4k，k∈Z3． 即x＝2k，k∈Z或， 解得：x＝0或感或x＝2， 因为f（1）+f（2﹣1）＝0，得f（1）＝0，f（0）＞0，f（2）＜0， 又因为F（2）＝2f（2）﹣f（6）＝3f（2）﹣f（2）＝2f（2）＜0， F（0）＝3f（0）﹣f（0）＝2f（0）＞0， ， ， 所以F（x）的最大值为． （ii）当θ＝0时，由（i）知：，所以， 当θ≠0时，下面证明总存在x，使得成立， 不妨设x∈[﹣φ，φ]（3φ∈（0，2）），则3x+θ∈[θ﹣3φ，θ+3φ]， 因为f（x）在区间[﹣φ，0]上单调递增，在[0，φ]上单调递减，所以f（x）≥f（φ）恒成立， 由（2）知：存在3x+θ∈[θ﹣3φ，θ+3φ]使得f（3x+θ）≤f（3φ）， 所以∃x∈[﹣φ，φ]，有3f（x）﹣f（3x+θ）≥3f（φ）﹣f（3φ）成立， 由（i）知：当时，， 所以总存在x，使得，所以． 综上，b的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $