2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷02（全国1卷通用）

2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．1 B．2 C． D． 3．已知向量与满足，且，则（   ） A．4 B．10 C．20 D．36 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．若且，则“”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 8．若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（    ） A．当时，存在，使得平面 B．当时，存在，使得 C．当，且与相交时， D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．的外接圆半径的最小值为3 B．点P到E的两渐近线的距离之积为定值 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 13．如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________． 14．已知是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知复数，. (1)当时，求； (2)设，记（表示复数z的虚部）.将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的单调递增区间. 16．现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为． (1)求； (2)当时，求随机变量的分布列和数学期望； (3)求随机变量的数学期望． 17．如图，在三棱锥中，，都是以为斜边的等腰直角三角形，，Q为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 19．已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为． (1)求曲线的方程； (2)不过原点的直线与曲线交于不同的两点，若以为直径的圆过坐标原点． （i）证明：直线过定点； （ii）点是曲线上位于直线下方的一动点，若对于给定的直线，记的面积最大值为，对所有符合题设条件的动直线，求的最小值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．1 B．2 C． D． 3．已知向量与满足，且，则（   ） A．4 B．10 C．20 D．36 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．若且，则“”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 8．若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（    ） A．当时，存在，使得平面 B．当时，存在，使得 C．当，且与相交时， D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．的外接圆半径的最小值为3 B．点P到E的两渐近线的距离之积为定值 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 13．如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__________． 14．已知是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知复数，. (1)当时，求； (2)设，记（表示复数z的虚部）.将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的单调递增区间. 16．现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为． (1)求； (2)当时，求随机变量的分布列和数学期望； (3)求随机变量的数学期望． 17．如图，在三棱锥中，，都是以为斜边的等腰直角三角形，，Q为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 19．已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为． (1)求曲线的方程； (2)不过原点的直线与曲线交于不同的两点，若以为直径的圆过坐标原点． （i）证明：直线过定点； （ii）点是曲线上位于直线下方的一动点，若对于给定的直线，记的面积最大值为，对所有符合题设条件的动直线，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年3月12日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C A B B A AC AC 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】由题可得集合， 所以集合， 所以. 2．C 【分析】根据复数的四则运算可得，进而可求模长. 【详解】因为，即， 可得，所以. 3．C 【分析】将左右同时平方，化简整理即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以 4．C 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 5．A 【分析】先求定义域，再求出为偶函数，再得到当时，，A正确. 【详解】定义域为， 又，故为偶函数，排除BD； 当时，，故，排除C选项，A正确. 故选：A 6．B 【详解】由及等差数列的性质知， 若为等差数列，则，必要性成立； 数列：1，5，3，7满足，但不是等差数列，充分性不成立. 则“”是“为等差数列”的必要不充分条件. 7．B 【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值. 【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则：，，， 外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为， 故外接圆方程为：． 又因为，其中，， 则． 将代入圆的方程得， 即， ， ∴， 解得，当且仅当时取得的最大值2． 故选：B. 8．A 【分析】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点，即函数必为单调函数，结合，故只能，即，求出临界值，即可求出答案. 【详解】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点， 所以直线与曲线最多有一个交点， 所以函数必为单调函数，否则必存在直线与其有多个交点. 求导得到， 又因为，所以只能，即， 设曲线与直线相切时切点的横坐标为， 则，解得， 所以， 则的取值范围为. 故选：A. 9．AC 【分析】A：根据展开式最高次项的次数进行求解即可；B：利用二项式的通项公式，结合乘法的运算性质进行求解即可；C：利用赋值法进行求解即可；D：利用导数的运算性质，结合赋值法进行求解即可. 【详解】A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，因此本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：在中， 令，得， 令，得， 所以本选项说法正确； D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，所以本选项说法不正确. 故选：AC 10．AC 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A，求出平面的一个法向量，利用求解即可； 对于B，利用求解即可； 对于C，若与相交，则存在唯一使得即可求解； 对于D，根据三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆即可求解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 对于A，当时，，在上，则， 则，， 设平面的一个法向量，则 取，则，即， ，若平面，则， 即，故存在，故A正确； 对于B，当时，，，， 若，则， 即， 不满足，故B 错误； 对于C，当时，，， 若与相交，则存在唯一使得， 即：， 解得，故 C 正确； 对于D， 因为底面是直角三角形，外接圆半径​​， 因为平面，设外接球半径为，则： ， 三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆，截痕长为​，故D错误， 11．BCD 【分析】对于A选项，通过正弦定理得到，即可判断A；对于B选项，由点到直线的距离公式求解即可； 对于C选项，由两点间的距离公式求解即可；对于D选项，求解，，代入即可. 【详解】对于A，，所以，的外接圆半径的最小值为，故A错误； 对于B，渐近线方程为，则距离之积为．故B正确； 对于C，，所以C正确， 对于D，同理可得，于， 从而．所以D正确． 故选：BCD. 12．145 【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和. 【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种； 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为：145 13．/ 【分析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，，所以的最大值为. 14．2 【分析】由双曲线第三定义得，分别找到直线斜率计算即可 【详解】设，，由题意得，， 因为，所以，， 又，即，两边平方并整理得， 即，所以， 由双曲线第三定义得， 即，整理得， 解得 故答案为：2 15．(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法求解即可； （2）利用复数的乘法及三角函数图象的变换求出，再由正弦型三角函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时， 所以. （2）因为，所以 ， 所以， 将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得， 令， 解得， 所以的单调递增区间是 16．(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）应用组合数及古典概型概率求法求概率即可； （2）确定对应的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （3）首先求出各可能值对应的概率，再求对应可能值的概率，即可求期望. 【详解】（1）依题意，. （2）当时，若摸出红色卡片，则的值为1，若摸出蓝色卡片，则的值为3， 所以，， 所以的分布列为 1 3 数学期望为. （3）的取值为0，1，2，3． ，， ，． 的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以随机变量的数学期望为. 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）在三棱锥中，取中点，连接，令 由，都是以为斜边的等腰直角三角形，得， 且，而，则，， 而平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量，则，取，得， 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值. 18．(1) (2)（i）；（ii）8 【分析】（1）代入点的坐标，得出抛物线方程，即可求出准线方程； （2）（i）利用斜率可得，再由等差数列的定义判断数列为等差数列，即可求出前项和； （ii）法一：利用弦长公式、点到直线的距离求三角形面积，法二：利用向量外积求三角形面积即可. 【详解】（1）由题意知，则， 所以的准线方程为. （2）由（1）知的方程为， （i）， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列， 所以，所以. （ii）将代入得， 则， 法一： 直线的方程为， 点到直线的距离， ， 的面积. 法二： . 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）1 【分析】（1）设点，求出圆心坐标和半径，利用以为直径的圆与轴相切，列方程化简即可； （2）（i）设直线，，，与抛物线方程联立，结合“以为直径的圆过原点”转化为，利用韦达定理求参数证明直线过定点即可；（ii）通过弦长公式、点到直线距离公式表示面积，再利用换元法结合函数单调性求的最小值即可. 【详解】（1）设点，则以为直径的圆的圆心为，半径， 因为该圆与x轴相切，所以， 所以，整理得， 故曲线的方程为． （2）（i）设直线，，， 则，消去得，所以，， 以为直径的圆过原点，所以， 则， 因，解得，所以直线方程为，恒过定点． （ii）对于给定的，直线与交于， 则， 将，，代入得， 又点在上且位于下方，即， 点到直线的距离为， 由知，故， 令，则对于给定的，为开口向下的一元二次函数， 所以当时，取得最大值，此时最大，， 所以面积的最大值， 令，，易知单调递增， 所以当，即时，取得最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $