专题03 一元一次不等式组（计算题专项训练）数学沪科版新教材七年级下册

专题02 一元一次不等式组（计算题专项训练） 【适用版本：沪科版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 解一元一次不等式组 1. 解单个不等式：分别求解不等式组中的每一个一元一次不等式，步骤同解一元一次方程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），注意系数化为1时，若两边乘/除以负数，不等号方向需反向，最终写出每个不等式的解集。 2. 找公共解集：将所有不等式的解集表示在同一数轴上（定界点：含等号画实心点，不含等号画空心点；定方向：大于向右、小于向左），观察数轴上所有解集重叠的区域，即为不等式组的公共解集。 3. 写最终结果：根据数轴上的重叠区域，用不等式表示出不等式组的解集；若无重叠区域，说明不等式组无解；若整个数轴都是重叠区域，说明不等式组的解集为全体实数。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．解下列不等式组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）解不等式3x﹣2＜2x+2得x＜4； 解不等式6﹣x≥1﹣3（x﹣1）得x≥﹣1， 故不等式组的解集为：﹣1≤x＜4； （2）． 解不等式（1）得； 解不等式（2）得x≥0． 故不等式组的解集为：x≥0． 2．解不等式组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 解不等式2x+7≥3（x﹣2），得x≤13， 解不等式2，得x＞﹣5， ∴不等式组的解集为﹣5＜x≤13； （2）， 解不等式1＞﹣x，得， 解不等式3（x﹣1）﹣2（2x﹣5）＞6，得x＜1， ∴不等式组的解集为． 3．解下列不等式组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 解不等式①得，x≤3， 解不等式②得，x＜﹣1， 所以不等式组的解集为x＜﹣1； （2）， 解不等式①得，x＞﹣2， 解不等式②得，x≤2， 所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2． 4．解不等式组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）解不等式5x﹣2＞3（x+1）得，x＞2.5， 解不等式得，x≤4， 所以不等式组的解集为2.5＜x≤4； （2）解不等式得，x≤1， 解不等式3（﹣1）＜x﹣5得，x＜﹣1， 所以不等式组的解集为x＜﹣1． 5．解不等式组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 由①得：x≥13， 由②得：x＞﹣2， ∴不等式组的解集为x≥13； （2）， 由①得：x＞2， 由②得：x≤4， ∴不等式组的解集为2＜x≤4． 6．解不等式组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 解不等式①得：x＜5， 解不等式②得：x， ∴原不等式组的解集为：x； （2）， 解不等式①得：x， 解不等式②得：x＜3， ∴原不等式组的解集为：x＜3． 7．解不等式组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）由2x+5≤3（5﹣x）得：x≤2， 由2得：x＜﹣1， 则不等式组的解集为x＜﹣1； （2）由3x﹣1＜x+3得：x＜2， 由1得：x≥﹣2， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜2． 8．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【解答】解：（1） 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜5， ∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜5； （2） 解得 ∴原不等式组无解． 9．解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 解①得x≥﹣2， 解②得x＜2， ∴﹣2≤x＜2， 如图， （2）， 解①得x≥﹣2， 解②得， ∴， 如图： 10．解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 解不等式①，得x≤4， 解不等式②，得x＞﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤4， 不等式组的解集在数轴上表示如下： （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得x≥﹣1， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 训练2 根据不等式组有解无解求参 1. 基础求解：先将不等式组中所有不含参数的一元一次不等式解出，再把含参数的不等式整理为x＞a+m、x＜a-m（m为参数）类最简形式，明确每个不等式的解集（含参数的解集保留参数即可）。 2. 确定依据：根据“有解/无解”，结合同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到的核心规则，判断含参数的解集与已知解集的边界关系，列出关于参数的不等式（关键：区分等号能否取到，若边界点重合时不等式组无公共解，等号不取；若重合时有公共解，等号可取）。 3. 求解参数：解关于参数的一元一次不等式，得到参数的取值范围；可通过数轴验证（将已知解集和含参数的解集边界标在数轴上，直观判断有解/无解时参数的临界值），避免漏解、错解。 4. 检验临界：对解出的参数取值范围的临界值单独检验，代入原不等式组，验证是否符合“有解/无解”的题干要求，确认临界值的取舍。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 【解答】解：关于x的不等式组有解， 由x+a＞0，得：x＞﹣a， 由x﹣5≤1﹣2x，得：x≤2， ∴﹣a＜x≤2， ∴a＞﹣2， 2．已知关于x的不等式组无解，求m的取值范围． 【解答】解：由2x﹣m＞1得：， 由3x﹣2m＜1得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得，m≤1； 3．若关于x的不等式组无解，求所有满足条件的正整数a的和 ． 【解答】解：， 解不等式得x≥3， ∵不等式组无解， ∴a＜3， ∴正整数a的值为1或2． ∴所有满足条件的正整数a的和为1+2＝3； 4．已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜1，求（a+1）（b﹣1）的值． 【解答】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，x＞2b+3， ∵不等式的解集为﹣1＜x＜1， ∴，2b+3＝﹣1， 解得：a＝1，b＝﹣2， ∴（a+1）（b﹣1）＝（1+1）（﹣2﹣1）＝﹣6． 5．若数a使关于x的不等式组的解集为x＜2，求a的取值范围． 【解答】解：解不等式，得x＜a， 解不等式x﹣2＞3（x﹣2），得x＜2， ∵数a使关于x的不等式组的解集为x＜2， ∴a≥2， 6．已知关于x的不等式组的解集是x＞2，求关于x的不等式组的解集． 【解答】解：由题知， 因为关于x的不等式组的解集是x＞2， 所以3a＞0，2a﹣1＞0，且， 解得a＝1， 所以第二个不等式组为， 解得x． 7．已知关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，求（m+n）2025的值． 【解答】解：解不等式组，得， ∵解集为﹣1＜x＜2， ∴， 解得， ∴. 8．关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在2≤x≤4的范围内，求m的取值范围． 【解答】解：解不等式x+2m＞4，得x＞4﹣2m， 解不等式（x﹣m）＜2﹣m，得x＜6﹣2m， 所以不等式组的解集为4﹣2m＜x＜6﹣2m， ∵不等式的解集中任意一个x的值均不在2≤x≤4的范围内， ∴6﹣2m≤2或4﹣2m≥4， ∴m≥2或m≤0． 9．不等式组的解集中，任一个x的值均在3≤x＜7的范围内，求a的取值范围 ． 【解答】解：解不等式x﹣a＞﹣1，得：x＞a﹣1， 解不等式x﹣a≤2，得：x≤a+2， 由任一个x的值均在3≤x≤7的范围中， 得到， 解得：4≤a＜5． 10．如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，求符合条件的所有整数a的个数． 【解答】解：解不等式组， 解第一个不等式：，两边乘5得3y+1≤10，即3y≤9，y≤3； 解第二个不等式：2a+1﹣3y≤0，即﹣3y≤﹣2a﹣1，两边乘﹣1（不等号方向改变）得3y≥2a+1，即； 不等式组的解集为． 不等式组有解，当且仅当，解得2a+1≤9，即a≤4． 解方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x， 展开得ax﹣3x﹣3＝1﹣x， 移项得ax﹣3x+x＝1+3，即（a﹣2）x＝4． 当a≠2时，． 方程有整数解，则为整数，故a﹣2是4的因数，即a﹣2＝±1，±2，±4， 解得a＝3，4，6，1，0，﹣2． 结合a≤4且a≠2，得a＝﹣2，0，1，3，4，共5个整数． 训练3 根据不等式组整数解求参 1. 先化简求解：把不等式组中每个不等式化为最简，解出不含参数的解集，将含参数的整理成x＞参数式、x＜参数式的形式，合并得到含参数的公共解集（统一左小右大形式）。 2. 明确整数解边界：根据题干给出的整数解个数，找出所有符合条件的整数解并按顺序排好，确定这些整数解的最小、最大边界值。 3. 数轴定参数范围：把整数解和含参解集的边界标在数轴上，让含参数的边界卡在“刚好包含所有目标整数解、不包含额外整数解”的区间内，核心判断参数边界的等号能否取到（等号取到与否，以是否改变整数解的个数为标准）。 4. 列参数不等式：根据数轴上的边界位置，列出关于参数的一元一次不等式（或不等式组），精准限定参数的取值范围，不遗漏、不扩大。 5. 验证临界值：解出参数范围后，把所有临界值单独代入原不等式组，检查代入后整数解的个数是否和题干要求一致，一致则保留等号，不一致则舍去，最终确定参数的准确取值范围。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知不等式组有且仅有一个整数根x＝2，求a的取值范围． 【解答】解：， 解不等式②可得：， 解不等式①可得：x＞a， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下： ∵不等式组有且仅有一个整数根x＝2， ∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解， ∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1）， ∴1≤a＜2． 2．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，求m的取值范围． 【解答】解：解不等式，得x＞﹣4； 解不等式2x+1≤m，得； 因此不等式组的解集为． 关于x的不等式组的整数解有且只有2个， 可知整数解为﹣3和﹣2， 故需满足， 解得﹣3≤m＜﹣1． 3．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，求满足条件的整数a的和． 【解答】解：， 解不等式①，得：x， 解不等式②，得：x， ∵该不等式组有且只有3个整数解， ∴该不等式组的三个整数解为﹣1，0，1， ∴12， 解得2＜a≤4， ∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4＝7． 4．关于x的不等式组有4个整数解，求a的取值范围． 【解答】解：解不等式2x+2≥3x﹣1得x≤3， 解不等式2a﹣3x≤1得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有4个整数解，且x≤3， ∴整数解为0，1，2，3， ∴， 解得． 5．如果关于x的不等式组有且只有5个整数解，求符合条件的所有整数a的和． 【解答】解：如果关于x的不等式组有且只有5个整数解， 由，得x≤5， 由3x+6＞a+4，得， ∵关于x的不等式组有且只有5个整数解， ∴这5个整数解是1，2，3，4，5， ∴， 解得：2≤a＜5， ∴满足条件的整数a的值为2，3，4， ∴符合条件的所有整数a的和为9， 6．若关于x的不等式组的所有整数解的和为12，求整数a的值． 【解答】解：， 解①得x≥a， 解②得x， ∵所有整数解的和为12， ∴整数解是3，4，5或﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5． ∴整数a的值为3或﹣2． 7．若关于x的不等式组至少有2个整数解，求a的最大整数值． 【解答】解：解不等式， 4x﹣1＜3x+3， x＜4， 解不等式2（x+1）≥﹣x+a， 2x+2≥﹣x+a， 3x≥a﹣2， ， 所以不等式组的解集为， 又至少有2个整数解， 所以，解得a≤8， 则a的最大整数值为8． 故答案为：8． 8．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，求满足条件a所有的整数解的和． 【解答】解：不等式组， 解不等式①，得x≤9； 解不等式②，得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的最大整数解是9， ∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3， ∴最小整数解是6， ∴， 即， 解得21＜a≤25， ∵a为整数， ∴a＝22，23，24，25， ∴22+23+24+25＝94， 即满足条件a所有的整数解的和是94． 9．不等式组的整数解均满足不等式组x≤a，求a的取值范围． 【解答】解：解不等式3x＞2x﹣1得，x＞﹣1； 解不等式2x+3≤5得，x≤1， 所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组x≤a， 所以， 解得1≤a＜6． 10．若关于x的不等式组的所有整数解的和大于0且小于4，求a的取值范围． 【解答】解：， 由5x+1＞3（x﹣1）得：x＞﹣2， 由得：x≤a+4． 则不等式组的解集是：﹣2＜x≤4+a． 不等式组的所有整数解的和大于0且小于4， 则不等式组的整数解，是﹣1和0，1，2． ∴2≤4+a＜3． 解得：﹣2≤a＜﹣1． 训练4 方程（组）与不等式组结合 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知方程组的解满足﹣4＜x+2y≤0，求a的取值范围． 【解答】解：已知方程组的解满足﹣4＜x+2y≤0， ， ①﹣②得x+2y＝﹣a﹣5， ∵﹣4＜x+2y≤0， ∴﹣4＜﹣a﹣5≤0， 解得﹣5≤a＜﹣1． 2．已知方程组的解满足x为正数，y为非负数． （1）求m的取值范围； （2）若不等式（2m﹣1）x﹣2m＜﹣1的解为x＞1．求m的整数值． 【解答】解：（1）， 由①+②得：2x＝4+2m， 则x＝2+m， 将x＝2+m代入①得：2+m+y＝6﹣m， 则y＝4﹣2m， ∵x为正数，y为非负数， ∴， 故不等式组的解集为：﹣2＜m≤2； （2）∵（2m﹣1）x﹣2m＜﹣1 ∴（2m﹣1）x＜2m﹣1， ∵不等式的解为x＞1， ∴2m﹣1＜0， ∴， ∴， ∴m的整数值为﹣1，0． 3．已知关于x，y的方程组的解为非负数． （1）解关于x，y的方程组，并用m的代数式表示出来； （2）求m的取值范围． 【解答】解：（1）， ①×2﹣②，消去x： 2（x﹣2y）﹣（2x+3y）＝2×3m﹣（﹣m+4） 2x﹣4y﹣2x﹣3y＝6m+m﹣4 ﹣7y＝7m﹣4 y＝﹣m 将y＝﹣m代入①，求x： x﹣2（﹣m）＝3m x+2m3m x＝m， ∴方程组的解为； （2）∵解为非负数， ∴x≥0，y≥0，即： 解不等式③： m， 解不等式④： ﹣m， m， 结合两个不等式的解，得m的取值范围： m． 4．已知关于x，y的方程组． （1）若方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围，并写出a的最小整数解； （2）若﹣1＜x≤4，求y的取值范围． 【解答】解：（1）解方程组得， ∵方程组中x为非正数，y为负数， ∴， 解得：a， 即a的取值范围是a； （2）∵﹣1＜x≤4， ∴﹣1＜﹣3+2a≤4， ∴1＜a， ∴a＜﹣1， ∴a， ∴y． 5．已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解满足x+y＝3，求a的值； （2）小颖说：“当0＜x﹣y≤4a+3时，若对于符合此不等式的任意a的值都落在2m﹣3≤a＜3m+5内，则m的取值范围为.”试判断小颖的说法是否正确，并说明理由． 【解答】解：（1）， ①+②得：x+y＝﹣a， ∵x+y＝3， ∴﹣a＝3， 解得：a＝﹣3； （2）小颖的说法不正确，理由如下： ， ①﹣②得：2x﹣2y＝10a， x﹣y＝5a， ∵0＜x﹣y≤4a+3， ∴0＜5a≤4a+3， ∴， 由①得：a＞0， 由②得：a≤3， ∴0＜a≤3， ∵此不等式的任意a的值都落在2m﹣3≤a＜3m+5内， ∴3m+5＞3且2m﹣3≤0，、 解得：， ∵小颖说的m的取值范围是， ∴她的说法不正确． 6．若关于x、y的方程组的解满足2＜x﹣2y≤10． （1）求a的取值范围； （2）若3a+b＝1，求b的取值范围． 【解答】解：（1）∵， ∴， 代入2＜x﹣2y≤10， 得2＜4a﹣10≤10， ∴3＜a≤5． （2）∵3a+b＝1， ∴， 代入3＜a≤5， 得， ∴﹣14＜b≤﹣8． 7．如果关于x的方程（1）的解也是不等式组（2）的一个解，求m的取值范围． 【解答】解：方程去分母得：2x+4＝3m，即x（3m﹣4）， 解不等式组得：x≤﹣2，即（3m﹣4）≤﹣2， 解得：m≤0． 故m的取值范围是m≤0． 8．已知关于x，y的方程组的解满足不等式组求满足条件的m的整数值． 【解答】解：， ①×2，得2x﹣4y＝2m，③ ②﹣③，得7y＝4， 所以y， 把y代入①，得x＝m， 所以． 将代入不等式组， 得， 即， 解得﹣4＜m， 则m的整数值为﹣3或﹣2． 9．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于x的不等式组有解，求所有符合条件的整数a． 【解答】解：解方程组得：， ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x≥y， ∴2a+1≥a﹣2， 解得：a≥﹣3， 不等式组整理得， 又∵关于x的不等式组有解， ∴3.5＞a， 解得：a＜4， 即﹣3≤a＜4， ∴所有符合条件的整数a为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3． 10．已知关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，求整数m的值． 【解答】解：， ①+②得2x＝21﹣3m，即x， ①﹣②得2y＝5m﹣21，即y， ∵二元一次方程组解是正整数， ∴， 解得，m， ∴m＝5或6， m＝5时，x＝3，y＝2， 当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去； ∴m＝5． 由不等式组得x≤6， ∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解， ∴45， 解得，5≤m， ∴m的值是5． 故m的值是5． 训练5 不等式组新定义问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．对于实数a、b，定义一种新运算“☆”为：． （1）若x☆2y＝12，3☆y＝2x，求xy的值； （2）若4m＜3☆x＜8，且解集中恰有5个整数解，求m的取值范围． 【解答】解：（1）根据新运算对条件式进行变形可知：若x☆2y＝12，3☆y＝2x，则， 整理得， 解得， 则； （2）由条件可知， ， 32m＜2﹣x＜64， 则﹣62＜x＜2﹣32m， 由条件可知x＝﹣61、﹣60、﹣59、﹣58、﹣57， ∴﹣57＜2﹣32m≤﹣56， 解得：． 2．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程x﹣1＝2的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，可以发现x＝3在1＜x＜4的范围内，所以方程x﹣1＝2是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 （1）在方程①3﹣x＝0，②3x＝﹣1中，不等式组的“相伴方程”是　 　 （填序号）； （2）若关于x的方程3x﹣k＝6是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程2x+4＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 【解答】解：（1）由3﹣x＝0得，x＝3； 由3x＝﹣1得，x． 解不等式组得，﹣4＜x＜1． 因为3＞1，﹣41， 所以不等式组的“相伴方程”是②． 故答案为：②． （2）由3x﹣k＝6得，x． 解不等式组得，﹣1＜x≤1， 则﹣1， 解得﹣9＜k≤﹣3． （3）由2x+4＝0得，x＝﹣2； 由得，x； 由得，m﹣5≤x． 因为所给方程都是不等式组的“相伴方程”， 所以， 解得﹣5＜m≤3． 3．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，当x＝2时，2×2﹣3＝1与2+3＝5＞0同时成立，则称x＝2是方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“梦想解”． （1）已知①，②2（x+3）＜4，③，则方程2x+3＝1的解是它与不等式 　 　 的“梦想解”．（填序号） （2）若关于x，y的二元一次方程组和不等式﹣5≤x+y≤1有“梦想解”，求m的取值范围． 【解答】解：（1）解方程2x+3＝1得x＝﹣1， 解不等式得x＞2，故方程2x+3＝1的解不是不等式①的梦想解； 解不等式2（x+3）＜4得x＜﹣1，故方程2x+3＝1的解不是不等式②的梦想解； 解不等式得x＜7，故方程2x+3＝1的解是不等式③的梦想解﹒ 故答案为：③； （2）二元一次方程组变形可得： ， ∴x+y＝2m﹣31， ∵方程组和不等式﹣5≤x+y≤1有“梦想解”， ∴﹣5≤2m﹣31≤1， ∴13≤m≤16﹒ 4．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程2x﹣1＝1的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x+1＞0的解，则称方程2x﹣1＝1是不等式x+1＞0的“智惠方程”． （1）在下列方程①5（x+2）﹣（x+4）＝26；②9x﹣7＝20；③6﹣2（x﹣3）＝0中，不等式3（x﹣1）﹣x≤5的“智惠方程”是　 　 ；（填序号） （2）若关于x的方程是关于x的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 【解答】解：（1）①方程5（x+2）﹣（x+4）＝26的解为x＝5；②9x﹣7＝20的解是x＝3；③6﹣2（x﹣3）＝0的解x＝6， 不等式3（x﹣1）﹣x≤5的解集为x≤4， ∴不等式3（x﹣1）﹣x≤5的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解方程2x+5﹣3m＝0，得x＝6m﹣5． 解①2x+2m＞m，得x＞0． 解②x﹣m≤2m+1，得x≤3m+1． ∴不等式组的解集为0＜x≤3m+1．， 根据“智惠方程”的定义， ∴0＜6m﹣5≤3m+1，得 ， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴3≤3m+1＜4，解得， 综上，m的取值范围是 ． 5．对于任意有理数x、y定义一种新运算f，规定f（x，y）＝ax+by（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：f（2，1）＝2a+b． （1）已知f（2，﹣1）＝4，f（，）＝2，求a、b的值； （2）已知f（5，0）＞5，f（﹣3，0）＞﹣9，且a+b＝﹣1．求出符合条件的a、b整数值； （3）当a＝2，b＝1时，若关于m的不等式组，恰有两个整数解，求n的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得， 解得； （2）由条件可得， 解得1＜a＜3， ∵a为整数， ∴a＝2， ∵a+b＝﹣1， ∴b＝﹣3， ∴符合条件的a、b的整数值为a＝2，b＝﹣3； （3）由题意可知，f（x，y）＝2x+y， ∴原不等式组整理为， 解得2＜m， 由条件可知45， 解得：25＜n≤31， ∴n的取值范围是25＜n≤31． 6．对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n＝am﹣bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6＝5a﹣6b+5． （1）已知2▽3＝1，3▽（﹣1）＝10． ①求a、b的值； ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围； （2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m▽n＝n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系． 【解答】解：（1）①∵2▽3＝1，3▽（﹣1）＝10， ∴， 解得：a＝1，b＝2； ②∵，a＝1，b＝2， ∴xa﹣（2x﹣3）b+5＝﹣3x+11＜9， 3xa﹣（﹣6）b+5＝3x+17≤t， 即， 解得：， ∵关于x的不等式组，有且只有两个整数解， ∴23， 解得：23≤t＜26， 即字母t的取值范围是23≤t＜26； （2）∵m▽n＝n▽m， ∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5， ∴ma﹣nb﹣na+mb＝0， ∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0， ∴（a+b）（m﹣n）＝0， ∵m、n为任意数， ∴m﹣n不一定等于0， ∴a+b＝0， 即a、b应满足的关系式是a+b＝0． 7．定义运算：f（x，y）＝ax+by，已知f（2，3）＝7，f（3，4）＝10． （1）直接写出：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； （3）若f（mx+3n，2m﹣nx）≥3m+4n的解集为，求不等式f（mx﹣m，3n﹣nx）≥m+n的解集． 【解答】解：（1）由题意得： ， 解得：， 故答案为：2；1； （2）把a＝2，b＝1代入f（x，y）＝ax+by得f（x，y）＝2x+y， ∴不等式组可转化为， 解得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：t≤﹣20， ∴t的取值范围是t≤﹣20； （3）不等式f（mx+3n，2m﹣nx）≥3m+4n转化为2（mx+3n）+2m﹣nx≥3m+4n， 整理，得：（2m﹣n）x≥m﹣2n， ∵f（mx+3n，2m﹣nx）≥3m+4n的解集为， ∴2m﹣n＜0，解得：， ∴， ∴m＝5n， ∴2×5n﹣n＜0， 解得：n＜0， 不等式f（mx﹣m，3n﹣nx）≥m+n转化为2（mx﹣m）+3n﹣nx≥m+n， 整理，得：（2m﹣n）x≥3m﹣2n， ∴（2×5n﹣n）x≥3×5n﹣2n， ∴9nx≥13n， ∴， ∴不等式f（mx﹣m，3n﹣nx）≥m+n的解集为． 8．定义：[x]表示不大于x的最大整数，如[2.6]＝2，[﹣2.6]＝﹣3．我们把满足[x]＝a（a为常数）的x的取值范围叫作x的核心范围，如[x]＝4的x的核心范围为4≤x＜5，[x]＝﹣4的x的核心范围为﹣4≤x＜﹣3． （1）请直接写出：[3.1]＝　 　 ，若[x]＝1，则x的核心范围是　 　 ． （2）若关于x的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出a的取值范围． （3）已知x，y满足方程组，且x＞y，对于任意y都成立，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵[3.1]表示不大于3.1的最大整数， ∴[3.1]＝3． ∵[x]表示不大于x的最大整数， ∴当[x]＝1，则x的核心范围是1≤x＜2． 故答案为：3；1≤x＜2． （2）由题意，∵[﹣2.7]＝﹣3， ∴不等式组有且只有三个正整数解，即为不等式组有且只有三个正整数解． ∴不等式组的解集为﹣3≤x＜a． ∴其正整数解为1，2，3． ∴3＜a≤4． （3）解方程组， ∴． ∴m﹣1≤y＜m． 又∵x＝﹣m+3＞y， ∴﹣m+3≥m． ∴m，且m为整数． 9．定义：对于实数x，y，若满足x+y＝2m（m为常数），则称x与y是关于m的“关联数”． （1）已知3与a是关于2的“关联数”，求a的值； （2）已知y2+6与|2x+1|是关于3的“关联数”，求4x+y的值； （3）已知x与y是关于m的“关联数”，若关于x，y的不等式组中x的整数解恰为1，2，3，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵3与a是关于2的“关联数”， ∴3+a＝2×2． ∴a＝1． （2）由题意，∵y2+6与|2x+1|是关于3的“关联数”， ∴y2+6+|2x+1|＝2×3． ∴y2+|2x+1|＝0． ∴y＝0，2x+1＝0． ∴x，y＝0． ∴4x+y＝4×（）+0＝﹣2． （3）∵x与y是关于m的“关联数”， ∴x+y＝2m． ∴y＝﹣x+2m． 又∵， ∴． ∴6m﹣11≤x． 又∵若关于x，y的不等式组中x的整数解恰为1，2，3， ∴． ∴m≤2． 10．定义新运算：，例如，因为2＜3，所以2⊕3＝2+3＝5，3⊕2＝2×3﹣2＝4． （1）计算：2⊕1＝　 　 ，1⊕2＝　 　 ，当a＞b时，若a⊕b＝b⊕a，则a与b满足的关系式为 ； （2）若点P（x，y）在第四象限，且满足，求点P的坐标； （3）t为常数，若关于x的不等式组有整数解，求t的取值范围． 【解答】解：（1）∵2＞1， ∴2⊕1＝2×2﹣1＝3；1⊕2＝1+2＝3； a⊕b＝b⊕a， 故2a﹣b＝a+b， 即a＝2b； 故答案为：3，3，a＝2b； （2）由条件可知x＞0＞y， ∴x⊕y＝2x﹣y＝5， ∴x﹣y＝5﹣x＜5， ∴（x﹣y）⊕5＝x﹣y+5＝9， 联立解得， ∴点P坐标为（1，﹣3）； （3）解不等式得x≤5， 由定义，， 分情况讨论：当x≤2.5时，不等式﹣x+8+t≤2的解集为x≥6+t． 不等式组有整数解，故一定有解x＝2，代入解得t≤﹣4； 当2.5＜x≤5时，不等式4x+1+2t≤2的解集为， 不等式组有整数解，故一定有解x＝3，代入解得． 综上，t≤﹣4． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式组（计算题专项训练） 【适用版本：沪科版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 解一元一次不等式组 1. 解单个不等式：分别求解不等式组中的每一个一元一次不等式，步骤同解一元一次方程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），注意系数化为1时，若两边乘/除以负数，不等号方向需反向，最终写出每个不等式的解集。 2. 找公共解集：将所有不等式的解集表示在同一数轴上（定界点：含等号画实心点，不含等号画空心点；定方向：大于向右、小于向左），观察数轴上所有解集重叠的区域，即为不等式组的公共解集。 3. 写最终结果：根据数轴上的重叠区域，用不等式表示出不等式组的解集；若无重叠区域，说明不等式组无解；若整个数轴都是重叠区域，说明不等式组的解集为全体实数。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．解下列不等式组： （1）； （2）． 2．解不等式组： （1）； （2）． 3．解下列不等式组： （1）； （2）． 4．解不等式组： （1）； （2）． 5．解不等式组： （1）； （2）． 6．解不等式组： （1）； （2）． 7．解不等式组： （1）； （2）． 8．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 9．解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 10．解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 训练2 根据不等式组有解无解求参 1. 基础求解：先将不等式组中所有不含参数的一元一次不等式解出，再把含参数的不等式整理为x＞a+m、x＜a-m（m为参数）类最简形式，明确每个不等式的解集（含参数的解集保留参数即可）。 2. 确定依据：根据“有解/无解”，结合同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到的核心规则，判断含参数的解集与已知解集的边界关系，列出关于参数的不等式（关键：区分等号能否取到，若边界点重合时不等式组无公共解，等号不取；若重合时有公共解，等号可取）。 3. 求解参数：解关于参数的一元一次不等式，得到参数的取值范围；可通过数轴验证（将已知解集和含参数的解集边界标在数轴上，直观判断有解/无解时参数的临界值），避免漏解、错解。 4. 检验临界：对解出的参数取值范围的临界值单独检验，代入原不等式组，验证是否符合“有解/无解”的题干要求，确认临界值的取舍。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 2．已知关于x的不等式组无解，求m的取值范围． 3．若关于x的不等式组无解，求所有满足条件的正整数a的和 ． 4．已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜1，求（a+1）（b﹣1）的值． 5．若数a使关于x的不等式组的解集为x＜2，求a的取值范围． 6．已知关于x的不等式组的解集是x＞2，求关于x的不等式组的解集． 7．已知关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，求（m+n）2025的值． 8．关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在2≤x≤4的范围内，求m的取值范围． 9．不等式组的解集中，任一个x的值均在3≤x＜7的范围内，求a的取值范围 ． 10．如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，求符合条件的所有整数a的个数． 训练3 根据不等式组整数解求参 1. 先化简求解：把不等式组中每个不等式化为最简，解出不含参数的解集，将含参数的整理成x＞参数式、x＜参数式的形式，合并得到含参数的公共解集（统一左小右大形式）。 2. 明确整数解边界：根据题干给出的整数解个数，找出所有符合条件的整数解并按顺序排好，确定这些整数解的最小、最大边界值。 3. 数轴定参数范围：把整数解和含参解集的边界标在数轴上，让含参数的边界卡在“刚好包含所有目标整数解、不包含额外整数解”的区间内，核心判断参数边界的等号能否取到（等号取到与否，以是否改变整数解的个数为标准）。 4. 列参数不等式：根据数轴上的边界位置，列出关于参数的一元一次不等式（或不等式组），精准限定参数的取值范围，不遗漏、不扩大。 5. 验证临界值：解出参数范围后，把所有临界值单独代入原不等式组，检查代入后整数解的个数是否和题干要求一致，一致则保留等号，不一致则舍去，最终确定参数的准确取值范围。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知不等式组有且仅有一个整数根x＝2，求a的取值范围． 2．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，求m的取值范围． 3．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，求满足条件的整数a的和． 4．关于x的不等式组有4个整数解，求a的取值范围． 5．如果关于x的不等式组有且只有5个整数解，求符合条件的所有整数a的和． 6．若关于x的不等式组的所有整数解的和为12，求整数a的值． 7．若关于x的不等式组至少有2个整数解，求a的最大整数值． 8．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，求满足条件a所有的整数解的和． 9．不等式组的整数解均满足不等式组x≤a，求a的取值范围． 10．若关于x的不等式组的所有整数解的和大于0且小于4，求a的取值范围． 训练4 方程（组）与不等式组结合 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知方程组的解满足﹣4＜x+2y≤0，求a的取值范围． 2．已知方程组的解满足x为正数，y为非负数． （1）求m的取值范围； （2）若不等式（2m﹣1）x﹣2m＜﹣1的解为x＞1．求m的整数值． 3．已知关于x，y的方程组的解为非负数． （1）解关于x，y的方程组，并用m的代数式表示出来； （2）求m的取值范围． 4．已知关于x，y的方程组． （1）若方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围，并写出a的最小整数解； （2）若﹣1＜x≤4，求y的取值范围． 5．已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解满足x+y＝3，求a的值； （2）小颖说：“当0＜x﹣y≤4a+3时，若对于符合此不等式的任意a的值都落在2m﹣3≤a＜3m+5内，则m的取值范围为.”试判断小颖的说法是否正确，并说明理由． 6．若关于x、y的方程组的解满足2＜x﹣2y≤10． （1）求a的取值范围； （2）若3a+b＝1，求b的取值范围． 7．如果关于x的方程（1）的解也是不等式组（2）的一个解，求m的取值范围． 8．已知关于x，y的方程组的解满足不等式组求满足条件的m的整数值． 9．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于x的不等式组有解，求所有符合条件的整数a． 10．已知关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，求整数m的值． 训练5 不等式组新定义问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．对于实数a、b，定义一种新运算“☆”为：． （1）若x☆2y＝12，3☆y＝2x，求xy的值； （2）若4m＜3☆x＜8，且解集中恰有5个整数解，求m的取值范围． 2．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程x﹣1＝2的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，可以发现x＝3在1＜x＜4的范围内，所以方程x﹣1＝2是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 （1）在方程①3﹣x＝0，②3x＝﹣1中，不等式组的“相伴方程”是　 　 （填序号）； （2）若关于x的方程3x﹣k＝6是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程2x+4＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 3．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，当x＝2时，2×2﹣3＝1与2+3＝5＞0同时成立，则称x＝2是方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“梦想解”． （1）已知①，②2（x+3）＜4，③，则方程2x+3＝1的解是它与不等式 　 　 的“梦想解”．（填序号） （2）若关于x，y的二元一次方程组和不等式﹣5≤x+y≤1有“梦想解”，求m的取值范围． 4．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程2x﹣1＝1的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x+1＞0的解，则称方程2x﹣1＝1是不等式x+1＞0的“智惠方程”． （1）在下列方程①5（x+2）﹣（x+4）＝26；②9x﹣7＝20；③6﹣2（x﹣3）＝0中，不等式3（x﹣1）﹣x≤5的“智惠方程”是　 　 ；（填序号） （2）若关于x的方程是关于x的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 5．对于任意有理数x、y定义一种新运算f，规定f（x，y）＝ax+by（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：f（2，1）＝2a+b． （1）已知f（2，﹣1）＝4，f（，）＝2，求a、b的值； （2）已知f（5，0）＞5，f（﹣3，0）＞﹣9，且a+b＝﹣1．求出符合条件的a、b整数值； （3）当a＝2，b＝1时，若关于m的不等式组，恰有两个整数解，求n的取值范围． 6．对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n＝am﹣bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6＝5a﹣6b+5． （1）已知2▽3＝1，3▽（﹣1）＝10． ①求a、b的值； ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围； （2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m▽n＝n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系． 7．定义运算：f（x，y）＝ax+by，已知f（2，3）＝7，f（3，4）＝10． （1）直接写出：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； （3）若f（mx+3n，2m﹣nx）≥3m+4n的解集为，求不等式f（mx﹣m，3n﹣nx）≥m+n的解集． 8．定义：[x]表示不大于x的最大整数，如[2.6]＝2，[﹣2.6]＝﹣3．我们把满足[x]＝a（a为常数）的x的取值范围叫作x的核心范围，如[x]＝4的x的核心范围为4≤x＜5，[x]＝﹣4的x的核心范围为﹣4≤x＜﹣3． （1）请直接写出：[3.1]＝　 　 ，若[x]＝1，则x的核心范围是　 　 ． （2）若关于x的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出a的取值范围． （3）已知x，y满足方程组，且x＞y，对于任意y都成立，求m的取值范围． 9．定义：对于实数x，y，若满足x+y＝2m（m为常数），则称x与y是关于m的“关联数”． （1）已知3与a是关于2的“关联数”，求a的值； （2）已知y2+6与|2x+1|是关于3的“关联数”，求4x+y的值； （3）已知x与y是关于m的“关联数”，若关于x，y的不等式组中x的整数解恰为1，2，3，求m的取值范围． 10．定义新运算：，例如，因为2＜3，所以2⊕3＝2+3＝5，3⊕2＝2×3﹣2＝4． （1）计算：2⊕1＝　 　 ，1⊕2＝　 　 ，当a＞b时，若a⊕b＝b⊕a，则a与b满足的关系式为 ； （2）若点P（x，y）在第四象限，且满足，求点P的坐标； （3）t为常数，若关于x的不等式组有整数解，求t的取值范围． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $