专题03 矩形6重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题03 矩形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用矩形的性质求角度 1 题型二、证明四边形是矩形 3 题型三、根据矩形的性质与判定求值 5 题型四、矩形中的最值问题 6 题型五、矩形中的翻折问题 6 题型六、矩形中的旋转问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用矩形的性质求值 1．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是 ． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，对角线、交于点，已知，，那么的长是 ． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（1步尺） 这段话的意思是：秋千静止时，踏板离地面1尺高；将秋千的踏板向前推动2步10尺时，踏板就和推秋千的人一样高，同为5尺．小明根据上述信息画出了如图所示的示意图，则可求秋千的绳索长为 尺． 4．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在矩形中，，点、分别是边、的中点，点、在对角线上．如果四边形是矩形，那么的长等于 ． 5．（24-25八年级下·上海闵行·月考）在矩形中，，对角线、交于，为的中点，将绕点顺时针旋转，使点恰好落在点处，点落在点，那么 ． 6．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，垂足为E，且，，则 ． 7．（24-25八年级下·上海·月考）已知在矩形中，对角线相交于点，，，那么 8．（22-23八年级下·上海静安·期末）如果将矩形沿一内角的平分线对折，折痕将矩形一边分为1厘米和3厘米两部分，那么这个矩形的面积为 平方厘米． 9．（24-25八年级下·上海·期中）如图，中，与，于，是三条高的交点，已知，，，求的长度（用含，，的代数式表示） 题型二、证明四边形是矩形 10．（22-23八年级上·上海奉贤·月考）如图，已知四边形和四边形都是平行四边形，分别联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)设与交于点G，如果，，求证：四边形是矩形． 11．（22-23八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，点E为中点，延长交于点F， 联结．    (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 12．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，M、N分别是边的中点，点E、F在对角线上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是矩形． 13．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，已知在等腰梯形中，，点E、F分别在底边上，连接、，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 14．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 题型三、根据矩形的性质与判定求值 15．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，在等腰梯形中，，点为中点，联结，作交于点．如果，且，那么的长为．（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）已知直角梯形的一条底边长为8，一条腰长为，且它与底边的夹角是，那么另一条底边的长为 ． 17．（24-25八年级下·上海闵行·期末）三角尺是学习数学的工具，三角尺一般是每套两把，其中一把是两个底角都是的等腰直角三角尺，另一把是有一个内角为的三十度直角三角尺，且等腰直角三角尺的斜边与三十度直角三角尺较长的直角边等长．如图放置三十度直角三角尺（），使得直角顶点落在等腰直角三角尺（）的腰上，斜边与腰垂直，垂足为点．当时，线段的长为 ． 18．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，，，，P为边上一动点（不与端点重合），，，垂足分别为E、F，M为的中点，设的长为x，则x的取值范围是 ． 19．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）含有相同角的三角板都全等，同一套三角板中的三角形斜边上的高均为6厘米，那么中间留白部分的平行四边形面积为 ． 题型四、矩形中的最值问题 20．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点P为斜边上一动点，过点P作，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值为 ． 21．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，平分交于点，为线段上一动点，动点，分别在边，上，且，连接，．则的最小值是 ． 22．（24-25八年级下·上海·期末）已知如图，直角梯形中，，，，，点P在上移动，则当取最小值时，中边上的高为 ． 题型五、矩形中的翻折问题 23．（23-24八年级下·上海静安·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G，连接（如图所示），当时，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23八年级下·上海·期末）如图，已知矩形的长，，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后折痕的长是 ； 25．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如图，在直角梯形中，，，点F是边上一点，将该直角梯形纸片沿折叠，点C落在点E，且直线恰好经过点D，若，，则折痕的长为 ． 26．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在矩形中，，，点E为边中点，将沿翻折，点A落到点F处，延长交边于点G，则线段的长度为 ．    27．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，矩形中，将沿折叠，使得点A落在对角线上，若，，则＝ ．    28．（22-23八年级下·上海松江·期末）已知：如图，在矩形中，．点P是边上一点，且．连接，将四边形沿所在直线翻折，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．则 ；    29．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，矩形，将它分别沿和折叠，恰好使点，落到对角线上点，处，已知，，则矩形的面积是 ． 30．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，是矩形的对角线，已知，，点E在边上，将矩形沿直线翻折，如果点B恰好落在对角线上，那么的长是 ． 31．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 32．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，一张矩形纸片的长，宽，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长是 ． 33．（24-25八年级下·上海·期中）已知四边形是矩形，点是边的中点，以直线为对称轴将翻折至，联结，那么图中与相等的角（除外）的个数为 ． 34．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，矩形中，，点F在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处，若，那么的长为 ． 35．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知矩形，把矩形沿直线翻折，点A落在点E处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么 ． 36．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，已知矩形中，，，是射线上一点，将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上，则的长为 ． 37．（24-25八年级下·上海青浦·期末）在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，联结． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当时，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 题型六、矩形中的旋转问题 38.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG． (1)当点E落在对角线AC上时，AF、EF分别交DC于点M、N． ①求证：MA＝MC； ②求MN的长； (2)在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，请直接写出线段PE的长度． 39．（25-26八年级上·上海·期末）将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在矩形中，，点在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处．如果，那么的长为 ． 2．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于 度． 3．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，矩形中，，点在上，且，则 ． 4．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 5．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则 ． 6．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点E．如果是直角三角形，那么的长为 ． 7．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，分别为边上的点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着翻折得到四边形．如果点在内部，那么的取值范围为 ． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是 ． 9．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：在梯形中，，，过点作，垂足为，延长至，使，连接、，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：四边形是矩形． 10．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 11．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 12．如图，矩形（长方形）中，对角线的垂直平分线分别交于点O，E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（24-25八年级下·上海松江·期末）已知梯形，，，点为射线上一动点，联结，过点作，交射线于点，且． (1)①如图1，如果，求的长； ②如图2，点为边上一点，且，求的值； (2)如果，是等腰三角形，求的长． 14．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中，，将矩形绕着点B逆时针旋转后得到矩形，点C恰好落在边上，点C的对应点是点E，点D的对应点是点F，点A的对应点是点G． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，延长交边于点H，设，用m的代数式表示线段的长； (3)连结，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03矩形 目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用矩形的性质求角度.1 题型二、证明四边形是矩形… 题型三、根据矩形的性质与判定求值 13 题型四、矩形中的最值问题… 19 题型五、矩形中的翻折问题 21 题型六、矩形中的旋转问题 37 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用矩形的性质求值 1.(24-25八年级下.上海徐汇·月考)在矩形ABCD中，点0为对角线的交点，∠A0D=120°，AE平分 ∠BAD交BC于点E,则∠AEO的度数是 【答案】30 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， :OA=OB=OC=OD,∠BAD=90°，∠ABC=90°， .∠A0D=120°， ∴∠A0B=60°， ∴.AOB为等边三角形， LAB0=60°，AB=0B, ∠OBE=∠ABC-∠AB0=30°， :AE平分∠BAD交BC于点E, :∠BAE=∠BAD=450, ·△ABE为等腰直角三角形， :AB=BE,∠BEA=45°， :OB=BE, ∠BEO=5(180°-∠OBE)=75°， .∠AEO=∠BEO-∠AEB=30°： 1/60 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O B 故答案为：30° 2.(24-25八年级下.上海徐汇期末)在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0，己知LA0B=60°， AD=√5，那么BD的长是_ 【答案】2 【详解】如图所示， D :在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O, .0A=0C=0B=0D,∠ADC=90° :∠A0B=609 ∴∠0AD=∠0DA=30° .AC=2CD, :∠ADC=90° :4D2+CD=4C2,+CD=(2CD)2 .CD=1 .AC=2 .BD AC=2. 故答案为：2. 3.(24-25八年级下.上海徐汇期末)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起， 踏板离地一尺.送行二步与人齐，五尺人高曾记.良工高士素好奇，算出索长有几？(1步=5尺) 这段话的意思是：秋千静止时，踏板离地面1尺高；将秋千的踏板向前推动2步10尺时，踏板就和推秋千 的人一样高，同为5尺.小明根据上述信息画出了如图所示的示意图，则可求秋千的绳索长为尺。 2/60 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ⊙ A占 C D 【答案】14.5 【详解】解：如图，过点B作BE⊥OA于点E,则LBEC=∠OEB=90°， 0 EF--------B A片 由题意可得，AC=1尺，BD=5尺，CD=10尺， :EC⊥I,BD⊥I, ∴LECD=∠CDB=90°， :四边形ECDB是矩形， EB=CD=10尺，EC=BD=5尺， 设秋千的绳索长为x尺，则0A=0B=x,0E=0A+AC-EC=x+1-5=x-4, 在Rt△OEB中，OB2=OE2+EB2, x2=(x-42+102, 解得x=14.5, 答：秋千的绳索长为14.5尺. 故答案为：14.5. 4.(24-25八年级下.上海徐汇期末)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=10,点E、F分别是边AB、 CD的中点，点G、H在对角线AC上.如果四边形EGFH是矩形，那么AG的长等于一 D B 【答案】55-5 3/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：连接EF,AF,CE,设AC,EF交于点O,如图所示： D :四边形ABCD为矩形， .AB=CD,AB∥CD,∠B=90°， AC=VAB2+BC2=V52+102=5V5, :E、F分别是边AB、DC的中点， :.BE=AE=AB,CF=DF=CD, .AE =BE =CF FD, :BE CF, :BE∥CF, :四边形BEFC为平行四边形， .EF=BC=10, :AE=CF,AE∥CF, :.四边形AECF为平行四边形， 1 。55 .A0=CO=-AC= 2 2 :四边形GEFH为矩形， G0专G0,GH=EP0N .G0=5, AG=5 2 5 故答案为： 5 21 5,(24-25八年级下.上海闵行月考)在矩形ABCD中，AD=3,对角线AC、BD交于O,P为AB的中点， 将△ADP绕点A顺时针旋转，使点D恰好落在点O处，点P落在点P,那么P'B=一· 4/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C 【答案】 2 【详解】解：如图所示， D D B 由旋转的性质可知AD=AO, 由矩形的性质可知AO=OD, △A0D为等边三角形， .AD=A0=0D=3, BD=6, 在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB=VBD2-AD2=3√万， AP'=AP=AB=3 2 又：旋转角∠PAP=∠DA0=60°， 3V5 :PP'=PA=PB= 2 ∠PAP'=∠PP'A,∠PBP'=∠PP'B, 且∠PAP'+∠PP'A+∠PBP'+∠PP'B=180°， ∠AP'B=∠PP'B+∠PP'A=90°， :△ABP为直角三角形， 在Rt△ABP'中，PB=VAB2-PF=9 故答案为： 2 5/60 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(24-25八年级下.上海期末)如图，矩形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E,且BE:ED=1:3,AB=4cm ,则AD= cm 【答案】43 【详解】解：~四边形ABCD是矩形， ∠B40=90,01=0C=4C,0B=0D-D,且4C=BD, 2 .0A=OB=OD=-BD, ~AE⊥BD,且BE:ED=1:3, .OE=OB-BE=1BD-1BD=1BD, 2 4 4 .BE=0E, ·AE垂直平分OB, .0A=0B AB =4cm ∴BD=2OB=8cm, ÷AD=√BD2-AB2=V82-42=4V3(cm), 故答案为：45. 7.(24-25八年级下.上海月考)已知在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，∠A0D=120°， AB=4,那么BC= 【答案】4√5 【详解】解：如图， D :矩形ABCD, B .0A=OC,OB=OD,AC=BD, 0A=0C=0B, .∠A0D=120°， ∠A0B=60°， 6/60 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △AOB是等边三角形， :AB=0A=0C=0B=4, AC=8, :矩形ABCD, ∠ABC=90°， 由勾股定理得：BC=VAC2-AB2=4V5, 故答案为：4√5， 8.(22-23八年级下·上海静安期末)如果将矩形沿一内角的平分线对折，折痕将矩形一边分为1厘米和3 厘米两部分，那么这个矩形的面积为平方厘米. 【答案】4或12 【详解】如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC,点E把AD分为1厘米和3厘米两部分， :四边形ABCD是矩形， AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∠ABC=90° .ZAEB ZCBE :BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE=45°， ∠AEB=∠ABE=45°， .AB=AE, ①如图，当AE=3时，AB=3,AD=1+3=4, 此时矩形的面积是： ②同理可得，当AE=1时，AB=1,AD=4, 此时矩形的面积是1×4=4： 故答案为：4或12 9.（24-25八年级下.上海期中)如图，口ABCD中，AE⊥BC与E,AF⊥CD于F,H是△AEF三条高的 交点，已知AE=a,EC=b,EF=c,求AH的长度（用含a,b,C的代数式表示） 7/60 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D B E C 【答案】AH=√a2+b2-c2 【详解】解：如图，连结AC,过点C作CM⊥AD于点M,连结ME,MF, M D 4 B E C :EH⊥AF,AF⊥CD, .EH∥CF, 同理，FH∥EC, :.四边形ECFH是平行四边形， ·FH=EC, :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, :AE⊥BC,CM⊥AD, ∴∠AEC=90°，AE∥CM, :.四边形AECM是矩形， AM EC,AC EM, :AM∥FH,AM=FH, :四边形AHFM是平行四边形， .AH‖FM,AH=FM, :H是△AEF三条高的交点， AH⊥EF, FM⊥EF, 在Rt△AEC中，AE=a,EC=b, .AC2=AE2+EC2=a2+b2, EM2=a2+b2, 在Rt△EFM中，EF=C, 8/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 FM=EM2-EF2=a2+b2-c2, .AH =a2+b2-c2, 题型二、证明四边形是矩形 10.(22-23八年级上上海奉贤·月考)如图，已知四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，分别联结 FD.EC D (1)求证：四边形CDFE是平行四边形： (2)设AB与EC交于点G,如果EG=CG,∠AFD=∠ADF,求证：四边形CDFE是矩形， 【详解】(1)证明：：四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形， ∴AB∥EF,AB=EF,AB∥CD,AB=CD, ·.CD∥EF,CD=EF, .四边形CDFE是平行四边形 (2)证明：：∠AFD=∠ADF, .AF AD. :四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形， BE=AF,BC=AD,AB∥EF, :BE=BC, EG=CG, BG⊥CE, .EF⊥EC, :四边形CDFE是平行四边形， :四边形CDFE是矩形 11.(22-23八年级下·上海普陀期中)如图，在。ABCD中，点E为AD中点，延长CD、BE交于点F,联 结AF、BD E D 9/60 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：DC=DF; (2)当∠BED=2∠C时，求证：四边形ABDF是矩形. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB∥CD, ∴.∠EAB=∠EDF, :点E是AD中点， :AE ED, :∠AEB=∠DEF, .△AEB≌△DEF(ASA, :AB=FD, :FD=CD; (2)证明：：AB=DF且AB∥DF, 四边形ABDF是平行四边形， .AD =2AE,BF=2BE, :四边形ABCD是平行四边形， .∠DAB=LC, :∠BED=2∠C, ∠BED=2∠DAB, 又：∠BED=∠DAB+∠EBA, ∠DAB=∠EBA, AE=EB, :AD=BF, :四边形ABDF是矩形 12.（22-23八年级下.上海虹口期末)如图，在。ABCD中，M、N分别是边AD,BC的中点，点E、F在对 角线BD上，且MF∥EN. M D F E B N (1)求证：△DMF=△BNE; (2)如果EF=AB,求证：四边形ENFM是矩形. 【详解】(1)：四边形ABCD是平行四边形， 10/60