拓展寒假作业 圆中各类最值12大题型专项训练（含隐圆、阿氏圆问题）（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 圆中各类最值12大题型专项训练 1、 阿氏圆模型 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法： 两定点在圆外：向内取点（系数小于1）； 两定点在圆内：向外取点（系数大于1）； 两定一内一外：提系数； 隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。 二、瓜豆模型 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 圆中勾股定理型最值 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 ﹣1 C．2 D．3 3．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 题型二 90度隐圆最值 4．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ）． A．4 B． C．3 D． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，是的直径，点是半圆的中点，且，点是上的一个动点，连接，过点作于点，连接，在点的运动过程中，长度的最小值是 ． 题型三 45度、60度和120度型最值 7．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 8．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，求的最大值为 ． 9．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为 ． 题型四 圆中线段最值问题 10．（25-26九年级上·北京西城·月考）已知，点C满足，作射线，使得，作于点H，则长的最大值是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 12．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为 ． 题型五 圆中线段和最值问题 13．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 14．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 15．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在矩形中，，，点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点，点是边上一个动点，连接，，则线段的最小值为 ． 题型六 圆中周长、面积最值问题 16．（24-25九年级上·贵州遵义·月考）如图，周长为12，面积为24的的内切圆为，且点、是的三等分点的其中两点，点、是上的两个动点，且在直线的异端．则四边形的最大面积是 ． 17．（2024·陕西西安·三模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    18．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是边长为的等边的外接圆，P是上一个动点，连接，则四边形面积的最大值是 ． 题型七 利用三角形的中位线定理求最值 19．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点B旋转一周，连接，点M为的中点，点N为的中点连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．6 C． D． 20．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 21．（2025·河南驻马店·三模）如图，中，，为边的中点，长度为的动线段绕点旋转，连接，取的中点，则长度的最大值为 ，最小值为 ． 题型八 圆中旋转最值 22．（2025·河南驻马店·一模）如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， °，线段长度的最大值是 cm． 23．（2025·江苏徐州·二模）菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 24．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为 ． 题型九 圆中翻折最值 25．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 26．（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，在正方形中，点在边上，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，点是线段上的一动点，连接，将沿翻折得到，连接．若，则长度的最小值是（    ） A． B． C．4 D． 27．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 题型十 运动路径长最值 28．（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）在矩形中，，，动点为矩形边上的一点，点沿着的路径运动（含点和点，则的外接圆的圆心的运动路径长是 ． 29．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点M在以为直径的半圆O上从点A运动到点B时停止，连接，点N是的中点，则点N的运动路径长为 ． 30．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 题型十一 阿氏圆问题 31．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 32．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 33．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 题型十二 瓜豆模型 34．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则当 时，切线长值最小，最小值为 ． 35．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在中，，点D是以点A为圆心，半径为1的圆上一点，连接BD并取中点M，则线段CM的长最大为 ，最小为 ． 36．（2024·陕西宝鸡·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，°，，点O是的中点，以点O为圆心，为半径向上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接，则线段的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图2，在等边中，，点P为内一点，连接，，求线段长度的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即），过点E作于点G，在的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由． 1．（25-26九年级上·海南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为1，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，圆的半径为，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 5．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，为的高，，，点是上一动点，连结，取的中点，连结．若的半径为2，则长的最大值为（    ） A． B． C．7 D．8 7．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点．A，B是半径为2的上的两动点，且，M为弦的中点，点．当A，B两点在圆上运动时，面积的最大值是 ． 9．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为 ． 10．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为 ． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为 ． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ． 13．（25-26九年级上·北京·月考）如图，A，B为圆O上两点，，C为圆O上一动点（不与A、B重合），D为的中点．若圆O的半径为2，则线段的长的最大值为 ． 14．（25-26九年级上·福建南平·月考）如图．已知正方形的四个顶点在上，点为线段上的动点，过点作于点、若正方形的边长为，则的最小值为 ． 15．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，正方形的边长为2，点分别在上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 16．（25-26九年级上·广东·期中）如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为 ． 17．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的直径，点在圆上，是圆上的一个动点（不与重合），连接．过点作于，连接和．若，则的最大值为 ． 18．（25-26九年级上·重庆潼南·期末）在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若平分交于点，连接，，过点作于点，交的延长线于点．用等式表示三条线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，点是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，当取得最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折得到，连接，，当取得最小值时，请直接写出的面积． 19．（24-25九年级上·陕西西安·月考）问题提出 （1）如图①，在中，，，则的最大面积为 ； （2）如图②在中，，，求的最大面积； 问题解决 （3）如图③，某公园准备修建一座四边形儿童游乐场，其中线段为儿童游乐场的入口，在点，处分别安装一个摄像头，对入口段实施监控（点，，，在同一平面），调研发现，为了监控效果最好，须满足，已知，，问儿童游乐场（即四边形）面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，以B为圆心作．点P是上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转90°得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若与相切，则的度数是；（直接写答案） (3)连接，，，求线段的最大长度． 21．（25-26九年级上·江苏常州·月考）阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到____________． 【深入理解】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点是轴上一点．若点，当最大时，点的坐标为____________． 1．（2023九年级上·浙江·竞赛）如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏·月考）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点，的半径为． （1）若，则的长为 ； （2）的最大值为 ． 6．（24-25九年级上·山东临沂·月考）已知是的直径，，是的弦，点D在内运动且满足，当，，连接，则线段长度的最小值为 ． 7．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值． 【探究证明】（1）如图①，是外的一点，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段． 证明：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、 则有（__________）请补全_________处缺失的依据 即 由得，即 从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． （2）小琳认为在图①中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 （3）如图③，在中，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是_________． （4）如图④，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为3，为轴上一动点，切于点，则最小值是_________． 【灵活运用】 （5）如图⑤，的半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是_________． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 拓展寒假作业 圆中各类最值12大题型专项训练 1、 阿氏圆模型 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法： 两定点在圆外：向内取点（系数小于1）； 两定点在圆内：向外取点（系数大于1）； 两定一内一外：提系数； 隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。 二、瓜豆模型 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 圆中勾股定理型最值 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值． 【详解】连接OP、OQ，如图所示， ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ， 根据勾股定理知：PQ2=OP2﹣OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=4， ∴AB==4， ∴S△AOB=OA•OB=AB•OP，即OP==2， ∴PQ= 故选B． 【点睛】本题圆的切线的性质，勾股定理，熟练掌握圆的切线性质及相关定理是本题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 ﹣1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】连接OP、OQ，根据勾股定理知 当PO⊥AB时，线段PQ最短，即线段PQ最小. 【详解】解：如图，连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 由勾股定理知， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（4，0）、B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴， ∴， ∵OQ＝2， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 3．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，过点C作于H，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解： 连接，过点C作于H， 是的切线， ， ， 当时，最小，取最小值， 为等边三角形， ， ， 的最小值为：， 故选：C． 题型二 90度隐圆最值 4．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ）． A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理及勾股定理：解决本题的关键是确定点在以为直径的上，从而利用两点之间线段最短解决问题．利用得，则，根据圆周角定理的推论可判定点在以为直径的上，连接交于，此时的长最小，然后利用勾股定理计算出即可得到长的最小值． 【详解】解：， 而， ， ， 点在以为直径的上， 连接交于，此时的长最小， ， 长的最小值为． 故选：A． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质．由，知点在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵， ∴点Q在以为直径的上， ∴当三点共线时，取得最小值，如图， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，是的直径，点是半圆的中点，且，点是上的一个动点，连接，过点作于点，连接，在点的运动过程中，长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的最值，涉及垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是确定动点H的轨迹；连接，取的中点M，连接，过M作于N，根据直角所对的弦是直径可得H是以M为圆心，以为直径的圆上上的动点，当三点共线时，长度最小，最小值为的值，再根据勾股定理和等腰三角形的性质和判定分别求出，即可得解． 【详解】解：连接，取的中点M，连接，过M作于N， ， ， 又点是上的一个动点， H是以M为圆心，以为直径的圆上上的动点， 当三点共线时，长度最小，最小值为的值， 点是半圆的中点， ， ， ， ， ， ， ， M是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 题型三 45度、60度和120度型最值 7．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理可知是的直径，圆心在上，利用勾股定理可以求出，以为斜边构造等腰直角，根据，利用勾股定理可知，以点为圆心为半径作圆，在优上取一点，连接、，则，因为，可知点、、、四点共圆，所以点在劣弧上运动，根据两点之间线段最短，可知当点在线段上时的值最小，其中的长度是的半径，则有，利用勾股定理可以求出，利用即可得到的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， 是的直径，圆心在上， ， ， ， ， 以为斜边构造等腰直角， 则有，， ， 以点为圆心，为半径作圆， 在优弧上取一点，连接、，则， ， 点在的劣弧上运动， 当点、、三点共线时，的值最小， ，， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键． 8．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，求的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查四点共圆的性质、垂径定理等性质，解题的关键是判断出四点共圆以及圆内最长的弦为直径． 根据角度关系判断出四点共圆，而为圆周角，为圆周角所对的弦，根据垂径定理等性质可求出圆的半径，最终求出的最大值． 【详解】解：在四边形中，，， ∴， ∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图： ∵圆周角， ∴圆心角， ∴为顶角的等腰三角形， ∴为锐角的直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，由勾股定理可得方程，解得， 为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设与交于点D，连接，过点O作于E，连接，由圆周角定理得到，则可证明是等边三角形，得到，则点E是的中点，，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据，可得当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示， 设与交于点D，连接，过点O作于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，能够正确作出辅助线是解题的关键． 题型四 圆中线段最值问题 10．（25-26九年级上·北京西城·月考）已知，点C满足，作射线，使得，作于点H，则长的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，切线的性质定理，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由四边形是矩形，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求得，从而可得，于是可得，从而可求得长的最大值． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点，连接， ∵，， ∴是圆的直径， ∴， 作于点，于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴长的最大值是， 故选：A． 11．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】作，由题意可知，是的中位线，那么，，由是直径，可知是直角，那么，那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，根据平行线之间距离处处相等，此时，，接着在中，算得，最后算得答案． 【详解】解：在正三角形中，， ， ，分别是，的中点， ，， 在上， ， 以为直径作半圆交于点， 那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短， 作，如图所示：    当时，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，度角直角三角形的性质，垂线段最短，直径所对的圆周角是90度，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到． 【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最大，即最大， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 题型五 圆中线段和最值问题 13．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 14．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段上，想到将军饮马，Q在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示： 则， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 即点Q在上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为， ∵， ∴O、C、F在同一直线上， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在矩形中，，，点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点，点是边上一个动点，连接，，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、将军饮马问题、勾股定理和隐形圆的动点问题，正确找到动点的轨迹是解题的关键．先根据旋转的性质，找到动点 的轨迹是以点F为圆心，半径为2的圆，作点关于的对称点，连接，此时线段的值最小，即的长，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点， 点Q的轨迹是以点F为圆心半径为2的圆， 连接交于点E，交于点，此时线段的值最小，即的长， 矩形，，， ，， 点C关于的对称点， ， 点绕点顺时针旋转得到点，圆的半径为2， 的半径为2，即，， ， 在中，， ， 则线段的最小值为8． 故答案为：． 题型六 圆中周长、面积最值问题 16．（24-25九年级上·贵州遵义·月考）如图，周长为12，面积为24的的内切圆为，且点、是的三等分点的其中两点，点、是上的两个动点，且在直线的异端．则四边形的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了内切圆的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质．设的半径为，利用面积法结合内切圆的性质求得，连接，，作于点，利用垂径定理结合勾股定理求得，过点F作交于点M，过点G作交于点N，求得，当点F和点G分别为劣弧和优弧的中点时，取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图，设的半径为，设与内切圆的切点分别为，连接，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 连接，，作于点， ∴，， ∵点、是的三等分点的其中两点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题可知， 过点F作交于点M，过点G作交于点N，如图， 则 ， 当点F和点G分别为劣弧和优弧的中点时，取得最大值， 此时共线，即为直径的长， ∴，即为面积最大值． 17．（2024·陕西西安·三模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    【答案】/ 【分析】连接，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质，易证四点共圆，由圆周角定理得到恒等于，从而得到点P在正方形对角线上运动，证明，得到，由，得到为定值，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，   四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， 四点共圆， 恒等于， 点P在正方形对角线上运动， ， ， ， ， 为定值， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为， ， 的周长的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，确定点P的运动轨迹是解题的关键． 18．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是边长为的等边的外接圆，P是上一个动点，连接，则四边形面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】先分析题意，过点作，结合等边三角形的性质，垂径定理得，求出，，运用圆周角定理，得，则故，把数值代入，解得，故，即可作答． 【详解】解：∵是边长为的等边的外接圆， ∴ 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， 则， 则四边形面积， ∵P是上一个动点，连接，且求四边形面积的最大值， ∴要取最大值， 当点在射线上时，此时， 即最大， ∵， ∴， 则 ∴， 在中，， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴四边形面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质，30度的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型七 利用三角形的中位线定理求最值 19．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点B旋转一周，连接，点M为的中点，点N为的中点连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】点F在以B为圆心，以2为半径的圆上运动，根据直径是圆中最大的弦，得到当A、B、F三点共线时，AF最大，根据三角形中位线定理，得到MN=，MN的最值与AF的最值一致，计算AF的长即可，即AF=AB+BF． 【详解】根据题意，得点F在以B为圆心，以2为半径的圆上运动， 根据直径是圆中最大的弦，得到当A、B、F三点共线时，AF最大， ∴ AF=AB+BF， ∵，， ∴， ∴ AF=， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴ MN是△AEF的中位线， ∴ MN==， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键． 20．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动路径． 21．（2025·河南驻马店·三模）如图，中，，为边的中点，长度为的动线段绕点旋转，连接，取的中点，则长度的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，延长至，使得，连接，可得是的中位线，即得，可知当取最大值或最小值时，的值最大或最小，再分别画出图形解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长至，使得，连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最大值或最小值时，的值最大或最小， 如图，当点在的延长线且共线时，的值最大， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即长度的最大值为； 如图，当点在之间且共线时，的值最小， ∴， ∴， 即长度的最小值为； 故答案为：，． 题型八 圆中旋转最值 22．（2025·河南驻马店·一模）如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， °，线段长度的最大值是 cm． 【答案】 90 14 【分析】因为和都是等腰直角三角形，可证，所以，又因为，根据三角形内角和定理可得．点F在以为直径的圆上运动，且弦位于下方；D、E在以C为圆心，长为半径的运动，当与相切时，最大；易得四边形是正方形，从而由勾股定理可求得，则由可求得的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设交于点O， ∵，， ∴． ∴点F在以为直径的圆上运动； ∵， ∴； ∵， ∴弦在直径的下方，如图； ∵D、E在以C为圆心，长为半径的运动， 当与相切时，最大； 则， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； 故答案为：90；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 23．（2025·江苏徐州·二模）菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转性质，中位线的判定和性质，掌握旋转的性质，数形结合分析是关键．如图所示，延长到点，使得，连接，则是等边三角形，，在中，是线段的中点，是线段的中点，，当取得最大值时，取得最大值，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，当共线，并经过的直径时，的值最大，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∴， ∴是等边三角形，， 在中，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， ∵将线段绕点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，当共线，并经过的直径时，的值最大， ∴， ∴， ∴旋转一周的过程中线段的最大值是 故答案为： ． 24．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，发现点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆是解题的关键． 先运用等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理说明，易得：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值，然后运用勾股定理以及圆的基本性质即可解答． 【详解】解：∵点P到的中点O的距离为1，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 题型九 圆中翻折最值 25．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．想办法求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J． ∵，， ∴，， ∵，， ∴． 同法可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 过点作交的延长线于T． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 根据对称性可知，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，垂径定理，翻折变换，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 26．（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，在正方形中，点在边上，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，点是线段上的一动点，连接，将沿翻折得到，连接．若，则长度的最小值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】如图，作于M，首先证明四边形是正方形，求出正方形的边长，以及的长，因为点P在线段上运动时，点在以C为圆心，为半径的圆上运动，所以当A、、C共线时，最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作于点． ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在中， ， 点在线段上运动时，点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当共线时，最小， 的最小值为． 故答案为：． 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换、正方形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法，构造全等三角形解决问题，学会求圆外一点到圆上的点的距离的最大值以及最小值，属于中考填空题中的压轴题． 27．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接、，，，作于点，求出，然后在中利用三角形的三边关系可得，从而求的最小值． 【详解】解：如图，连接、，，，作于点， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，连接， ∵为中点， ∴由三线合一性质可得：， ∵， ∴由垂径定理可得：为中点， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，圆的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是辅助线的作法． 题型十 运动路径长最值 28．（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）在矩形中，，，动点为矩形边上的一点，点沿着的路径运动（含点和点，则的外接圆的圆心的运动路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识．如图，连接、交于点．当点与或重合时，的外接圆的圆心与重合，当时，设的外接圆的圆心为，的延长线交于，设，因为的外心在线段的垂直平分线上，观察图象可知，点沿着的路径运动，的外接圆的圆心的运动路径长是，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、交于点． 当点与或重合时，的外接圆的圆心与重合， 当时，设的外接圆的圆心为，的延长线交于，则垂直平分，， 设， 中，， ， 解得， ， 在矩形中，， ， ， 的外心在线段的垂直平分线上， 观察图象可知，点沿着的路径运动，的外接圆的圆心的运动路径长是． 故答案为． 29．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点M在以为直径的半圆O上从点A运动到点B时停止，连接，点N是的中点，则点N的运动路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角；连接，分别取的中点E和F，连接，由是的直径可得，由三角形中位线的性质可得，进而得出点N在以为直径的半圆上运动，所以点N的运动路径长为以为直径的半圆弧的长. 【详解】解：如图所示，连接，分别取的中点E和F，连接， ， ∴， ∵是的直径， ，即， ∵在中，分别为的中点， ∴， ∵在中，分别为的中点， ， ∴，即， ∴点N在以为直径的半圆上运动， 在中，E为的中点，F为的中点， ∴， ∴点N的运动路径长为． 故答案为：． 30．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2） 【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案： （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解． 【详解】问题解决： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中， ， ∴， ∴； 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆； 结论应用： （1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为； （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小， ， 由题意得：，，，， ∴由勾股定理得：， ∴线段长度的最小值为； 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 题型十一 阿氏圆问题 31．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 32．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 33．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM， 当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 题型十二 瓜豆模型 34．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则当 时，切线长值最小，最小值为 ． 【答案】 【分析】作⊥直线垂足为，作的切线，切点为，在中，，当最小时，切线长最小，证明，求得，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作⊥直线垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小， ∵的坐标为 设直线与轴,轴分别交于，， ∴ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴， ∴ ∴ 故答案为：， 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，根据题意得出时，最小是解题的关键． 35．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在中，，点D是以点A为圆心，半径为1的圆上一点，连接BD并取中点M，则线段CM的长最大为 ，最小为 ． 【答案】 3 2 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围． 【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE． 在直角△ABC中，AB==5， ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CE=AB=2.5． ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴ME=AD=0.5． ∵2.5-0.5≤CM≤2.5+0.5，即2≤CM≤3． ∴最小值为2，最大值为3， 故答案为：3，2． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 36．（2024·陕西宝鸡·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，°，，点O是的中点，以点O为圆心，为半径向上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接，则线段的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图2，在等边中，，点P为内一点，连接，，求线段长度的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即），过点E作于点G，在的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）连接，，根据即可求解；（2）由题意可推出，结合，为定值以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解；（3）连接，延长，可推出，以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解； 【详解】解：（1）连接，，如图所示： ∵ ∴ 由题意得：， ∴ 故答案为： （2）由题意得： ∵ ∴ ∴ ∵，为定值 以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示： ∴ ， ∵ ∴ 即：线段长度的最小值为 （3）连接，延长，如图所示： ∵，点是的内心 ∴ ∵， ∴ ∵平分 ∴垂直平分线段 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为定值， 以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示： ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 作，则 ∴， ∴ 【点睛】本题考查了与线段最值有关的轨迹圆问题，难度较大，解题关键在于找到“定长+定角度”，从而确定动点的轨迹． 1．（25-26九年级上·海南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为1，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握切线的性质将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析是解题的关键． 此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解． 【详解】解：如图所示，连接，．    根据切线的性质定理，得； 根据勾股定理可得 要使最小，只需最小， 则根据垂线段最短，当轴时，最小， ∵点的坐标为， ∴此时点的坐标是． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵是上的一个动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为3， 故选：B 3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，圆的半径为，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，过点作的切线，此时切线的长度最小，根据一次函数的解析式求出点、的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度，证明，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作的切线， 当时，， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 在中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一次函数，解决本题的关键是作出的最短切线． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】作，于E，于M，连接．在中，，则，根据垂线段最短可知，点E与M重合时，的值最小，最小值为． 【详解】解：作，于E，于M，连接． ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ ∴ 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称最短路线问题等，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，可得，即得，即得到最小值为的长度，再利用已知条件和圆周角定理求得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，为的高，，，点是上一动点，连结，取的中点，连结．若的半径为2，则长的最大值为（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】B 【分析】连结，根据等腰三角形的三线合一得到，由勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，当取最大值时，长度最大，求出的最大值，即可求解． 【详解】解：如图，连结， ， 为等腰三角形， 为的高， 为的中点， ， 在中，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， 当取最大值时，长度最大， 点是上一动点， 当过圆心时，最大， 此时， 长的最大值为． 故选：． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理，明确当取最大值时，长度最大是解题的关键． 7．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的最值问题、中位线定理以及勾股定理，是一道有关圆的动点问题，确定点的运动轨迹是解题的关键．连接，，取的中点，连接，，构造的中位线，再利用中位线定理和勾股定理确定点的运动轨迹为圆，最后根据点圆距离的最值知识，得到的最大值和最小值，从而得到长的取值范围． 【详解】解：如图，连接，，取的中点，连接，， ，， ，， ， ， ， 的半径为5， ， ,分别为，的中点，， 为的中位线， ， 点的运动轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， ， ， 的取值范围为． 故选C． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点．A，B是半径为2的上的两动点，且，M为弦的中点，点．当A，B两点在圆上运动时，面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】如图所示，过点E作于Q，连接、，由垂径定理得到，，勾股定理求出，得到点M在以点E为圆心，为半径的圆上运动，当点M，E，Q三点共线时，点M到的距离最大，然后利用等面积法求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于Q，连接、， ∵A，B是半径为2的上的两动点， ∴ ∵，M为弦的中点， ∴， ∴ ∴点M在以点E为圆心，为半径的圆上运动 ∴当点M，E，Q三点共线时，点M到的距离最大 ∵直线与x轴、y轴分别交于D，C两点 ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴面积的最大值是16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点坐标，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（25-26九年级上·山东聊城·月考）如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质，找准最大值与最小值的点是解此题的关键． 作于，由勾股定理可求出，由等面积法得出，再结合当点与点重合时，最大，当与上的高，即点重合时，最小，分别利用勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ∵在中，，， ∴， 则， ， ∵， ∴当最大时，就最大， ∴如图，当点与点重合时，最大， 由勾股定理可得：， 如图，当与上的高，即点重合时，最小， 由勾股定理可得： ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为 ． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为 ． 【答案】 /90度 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质． （1）连接、，说明为等腰直角三角形，可得的度数，即可得到弧的度数； （2）说明，作的外接圆，可知点在上，设为中点，连接并延长，与圆交于点，连接、，可得此时点到的距离最大，说明，再求出的长度即为高，结合求出面积的最大值． 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并反向延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题设的中点为点，则以为圆心，为半径作圆，点就在这个圆上，作点关于直线的对称点，连接交圆于点，交于，连接，，通过两点之间线段最短，和轴对称的知识，分析得到，根据矩形的性质和勾股定理得到的长度，根据中点和轴对称知识得到，然后即可求解； 【详解】解：设的中点为点，则以为圆心，为半径作圆，点就在这个圆上，作点关于直线的对称点，连接交圆于点，交于，连接，，如图： ∴，， ，， ∴， ∵是矩形内部一动点，为边上的一个动点，两点之间线段最短， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴圆的半径， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∴， ∴， 故答案为：； 13．（25-26九年级上·北京·月考）如图，A，B为圆O上两点，，C为圆O上一动点（不与A、B重合），D为的中点．若圆O的半径为2，则线段的长的最大值为 ． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，得到，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，进一步再求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵D为线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点， ∴线段长度的最大值即是点B与上的点的最大距离， 如图，当点D在线段的延长线上时，即在的直径上，线段的长度取得最大值，    连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的定义及性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，能够通过性质得出点的轨迹是解题关键． 14．（25-26九年级上·福建南平·月考）如图．已知正方形的四个顶点在上，点为线段上的动点，过点作于点、若正方形的边长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理；作点关于的对称点，取的中点，以点为圆心，为半径作，根据题意在为圆心,为半径的一段圆弧上运动，进而根据，得出当在上时，取得最小值，即取得最小值，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，取的中点P，以为半径作， ∴ ∵ ∴ ∴在以为圆心,为半径的一段圆弧上运动， ∴ ∴当在上时，取得最小值，即取得最小值， ∵正方形的边长为， ∴， 在中， ∴取得最小值为， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，正方形的边长为2，点分别在上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明，可证，则点在以为直径的一段弧上运动，当点在与弧的交点处时，最短，然后根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解∶四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， 点在以为直径的一段弧上运动， 设的中点为，则当点在与弧的交点处时，最短， ， ， ∴， ， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·广东·期中）如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确判断出点M的运动轨迹，属于中考常考题型． 如图，设的中点为O，连接，判断出点M的运动轨迹，利用勾股定理求出进而求解． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，作于H， ， 是的中点， ， ， ， ∴点M的运动轨迹是以为直径的⊙T， 设⊙T交于点E，交于点F，连接，则是直径， ∴点M的运动轨迹在以为直径的上（即上）， ， ， ， ， ， 连接，与交于点M，    在中， ， ， 当时，此时最小， ， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的直径，点在圆上，是圆上的一个动点（不与重合），连接．过点作于，连接和．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到圆的距离，斜边上中线等于斜边一半，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 取的中点，连接，根据题意可得点在以点为圆心，长度为半径的圆上，则三点共线时，取最大值，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心，长度为半径的圆上， ， 当三点共线时，取最大值，如图， 此时， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·重庆潼南·期末）在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若平分交于点，连接，，过点作于点，交的延长线于点．用等式表示三条线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，点是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，当取得最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折得到，连接，，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理 （1）由旋转的性质得到，从而，则，再根据，，得到，即可解答； （2）由旋转的性质得：，则，，证明得到，再证明为等腰直角三角形，得到，证明，得到，根据线段的和差结合等量代换即可证明； （3）由得点P，B，Q，C四点共圆，则，可得点在过点且垂直于的直线上，过点作BC的垂线，当时，最小．由折叠有，由得当点在上时，最小，即可求出的面积． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：， ， ， ， ∵，， ∴ ． （2）解：，证明如下： 由旋转的性质得：， ， ， 平分， ， ∵在和中， ， ， ． ，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∵在中，， ∴． ∵， ， ， ∴， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ∴点P，B，Q，C四点共圆， ， ∴点在过点且垂直于的直线上． 过点作BC的垂线，当时，最小． 由折叠得：， ， ∴当点在上时，最小， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，轴对称的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 19．（24-25九年级上·陕西西安·月考）问题提出 （1）如图①，在中，，，则的最大面积为 ； （2）如图②在中，，，求的最大面积； 问题解决 （3）如图③，某公园准备修建一座四边形儿童游乐场，其中线段为儿童游乐场的入口，在点，处分别安装一个摄像头，对入口段实施监控（点，，，在同一平面），调研发现，为了监控效果最好，须满足，已知，，问儿童游乐场（即四边形）面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）；（3）四边形的面积存在最大值，最大值为 【分析】（1）如图所示，过点C作于D，根据垂线段最短可得，再由三角形面积公式可得当最大时，的面积最大，据此可得答案； （2）如图所示，在上方作且满足，过点O作于D，连接，先得到，则，再证明点C在以点O为圆心，的长为半径的圆上运动（优弧上 ），过点C作于E，则，由三角形面积公式可得当最大时，的面积最大，据此求解即可； （3）先证明在以为直径的圆上，取的中点O，连接并延长交于F，过点C作于E，过点F作于G，连接，过点O作，由垂径定理得到，再由圆的性质得到，则利用勾股定理可得，进而求出；证明，得到，则；由是直径，得到，则，设交于T，证明，进而证明，由此可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作于D， ∵垂线段最短， ∴， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∴当A、D重合，即时，的面积最大，最大为， 故答案为：； （2）如图所示，在上方作且满足，过点O作于D，连接， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴点C在以点O为圆心，的长为半径的圆上运动（优弧上 ）， 过点C作于E， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∴当三点共线时，最大，此时的面积最大，最大为； （3）∵， ∴在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于F，过点C作于E，过点F作于G，连接，过点O作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵是直径， ∴， ∴， 设交于T， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴四边形的面积存在最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的性质与判定等问题，解题的关键在于把求面积的最大值转换成垂线段最短的问题． 20．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，以B为圆心作．点P是上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转90°得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若与相切，则的度数是；（直接写答案） (3)连接，，，求线段的最大长度． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据已知条件以及旋转的性质，在和中，利用证明，从而证得； （2）由与相切，分为两种情况分别计算； （3）由（1）中证明的，可知，分析当点在的延长线上时，取得最大值． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：， ， ， 在和中，， ， ； （2）解：分两种情况： ①如图， 由旋转的性质得，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵与相切， ， ， ②如图， 由旋转的性质得，由旋转的性质得，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵与相切， ， ， 综上所述：当与相切时，的度数为或； （3）解：如图 当点在的延长线上时，取得最大值． 由（1）知， ， ， ， ∴， 即的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的证明，圆的切线性质以及动点问题中线段最值的求解．关键在于做出正确的辅助线，不要遗漏． 21．（25-26九年级上·江苏常州·月考）阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到____________． 【深入理解】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点是轴上一点．若点，当最大时，点的坐标为____________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的关键． （1）取的中点，连接，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可； （2）以点A为圆心，为半径作辅助圆，利用圆周角定理解答即可； （3）由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：取的中点O，连接，如图， ，， ， ，B，C三点在以的中点为圆心，为半径圆上； （2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作辅助圆， ， 点C、D必在上， 是的圆周角，且是圆心角， ， 故答案为：； （3）解：如图所示，根据三角形外角的性质得， ∵， ∴， ∴当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，连接，过点C作于点E，连接，则， ，， ，， ， ， ， 与y轴相切于点N， ， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 点N的坐标为， 故答案为：． 1．（2023九年级上·浙江·竞赛）如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的定义，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，过点作于点，以为圆心作为半径的圆，当在的延长线上时，的面积的最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，以为圆心作为半径的圆， ∵， ∴当在的延长线上时，的高取得最大值，则的面积最大， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：D． 2．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 3．（24-25九年级上·江苏·月考）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理．取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得出，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，从而推出点的运动轨迹是以为直径的圆上，取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动，利用等腰直角三角形的性质，求出，连接交于点，此时线段有最小值，先利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在等腰直角三角形中，， ，， 点是的中点， ， ， ， 为的中点， ，， ， 点的运动轨迹是以为直径的圆上， 取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动， ， ， ，， ，， ， ， 连接交于点，此时线段有最小值， 在中，， ， 故选：D． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，直径所对圆周角、点到圆的距离等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点，的半径为． （1）若，则的长为 ； （2）的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，中位线定理，圆的有关性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分为当在外部时，当在内部时，然后通过垂径定理，勾股定理，直角三角形性质即可求解； （）取中点，连接，由为的中点，则有是中位线，所以，故有点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当三点共线时，的值最大，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：（）当在外部时，连接，如图， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在内部时，连接，如图， 同理可得：； 故答案为：； （）如图，取中点，连接， ∵为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，的值最大，如图， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴，即的最大值为， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山东临沂·月考）已知是的直径，，是的弦，点D在内运动且满足，当，，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，取的中点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边得一半可得，即可得到当点在同一条直线上时，线段的值最小，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵是的直径， ， ， ， ， 点为的中点， ， 当点在同一条直线上时，线段的值最小， 在中，由勾股定理，得， ，   故答案为：． 7．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值． 【探究证明】（1）如图①，是外的一点，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段． 证明：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、 则有（__________）请补全_________处缺失的依据 即 由得，即 从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． （2）小琳认为在图①中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 （3）如图③，在中，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是_________． （4）如图④，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为3，为轴上一动点，切于点，则最小值是_________． 【灵活运用】 （5）如图⑤，的半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是_________． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）正确，见解析；（3）；（4）4；（5） 【分析】（1）根据两点之间，线段最短即可解答； （2）在圆上任意取一个不同于点的点，连接、，类比于题干分析过程进行说明即可； （3）取半圆的圆心，连接交半圆于点，结合题意得到当与点重合时，最小，利用勾股定理求出，即可解题； （4）如图，连接，由勾股定理可知要使最小，只需最小；当轴于P时，最短，可确定点P的坐标，进而确定，最后在中求出的值即可； （5）连接，作的外接圆，过圆心作于点，连接，，，，先根据等边三角形的判定与性质可得，根据圆周角定理可得，则可得，再作的外接圆，求出，然后可得当点共线时，，此时的值最大，最大值为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、， 则有（两点之间，线段最短） 即 由得，即， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）解：小琳的说法正确，理由如下： 在圆上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，， ∴，即． ∴线段是点到圆上各点的距离中最长的线段． ∴小琳的说法正确； （3）解：如图，取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ， ∴的最小值为：， 故答案为：； （4）解：如图，连接， 根据切线的性质定理，得， ，， ∴要使最小，只需最小， 当轴于P时，最短， 此时P点的坐标是， ∵A点坐标为， ∴， 在中，，， ∴， ∴最小值是4， 故答案为：4； （5）解：如图，连接，作的外接圆，过圆心作于点，连接，，，， ∵半径为6， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 要使的面积最大，则需点到的距离最大， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴当点共线时，，此时的值最大，最大值为， ∴的最大面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、垂线段最短、坐标与图形，等边三角形的判定与性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、圆中的最值问题等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，是解此题的关键． 1 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