2026年江苏苏州市中考数学自编模拟卷

2026届江苏苏州中考数学自编模拟卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列四个实数中，最小的数是（　　） A．1 B． C． D．0 2．（3分）将下列平面图形绕轴转一周，可以得到图中所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500m2．将35500用科学记数法表示应为（　　） A．35.5×104 B．3.55×104 C．3.55×105 D．0.355×105 4．（3分）下列选项中，运算正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（ab）3＝a3b3 D．a6÷a3＝a2 5．（3分）为促进乡镇融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路，如图所示，公路从A地沿着北偏东50°方向到B地，再从B地沿着南偏东35°方向到C地，然后从C地到D地．已知公路CD与公路AB平行，则公路从C地到D地修建的方向为（　　） A．东偏北50° B．北偏东50° C．南偏东40° D．北偏西35° 6．（3分）如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为奇数的概率为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙用6分钟追上甲 B．乙的速度为100米/分 C．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 8．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连接BF、CF．则以下结论：①CF∥AE，②，③，④S四边形ADCF＝2S△ABF．其中正确结论的序号是（　　） A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝　 　 ． 10．（3分）七名同学一分钟排球垫球个数分别为42，47，43，43，45，43，46．这组数据的众数是 　 　 ． 11．（3分）已知m+2n+1＝0，则代数式3m+6n﹣5的值为 　 　 ． 12．（3分）如图，已知直线l是一次函数y＝kx+b的图象，若点A（3，n）在直线l上，则n的值为　 　 ． 13．（3分）若x1和x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个的实数根，则x1x2＝ 　 　 ． 14．（3分）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为 　 　 mm． 15．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，tanB，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若CG＝3，则BG的长为 　 　 ． 16．（3分）如图，在△ABC中，D为线段BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．若AC＝8．BC＝3．且CF⊥BC时，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点G，则线段CG长的最大值为　 　 ． 三．解答题（共11小题，满分82分） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解不等式组：． 19．（6分）先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 20．（6分）榆林市博物馆是榆林市重点公共文化工程．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在A位置的概率为　 　 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF． 求证： （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． 22．（8分）为了参加市举办“科学发现杯”知识竞赛活动，我区开展了预赛，400名学生参加此次比赛，为了解此次竞赛情况：从中抽取一部分学生成绩统计如下 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 6 　 　 70.5～80.5 16 0.32 80.5～90.5 　 　 　 　 90.5～100.5 8 0.16 合计 　 　 1.00 （1）通过计算补全频数分布表； （2）补全频数分布直方图，这组数据的中位数落在第　 　 组（填范围）； （3）若90分以上成绩为优秀，估计我区获得优秀学生约有多少名？ 23．（8分）如图，一次函数y＝3x+b的图象与x轴，y轴分别交于，B两点、与反比例函数，x＞0）的图象交于点C，过点C作y轴的平行线与x轴交于点D．点B关于直线CD对称的点E在反比例函数的图象上． （1）求B点的坐标； （2）求k的值． 24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m），且平行于x轴的直线记作直线y＝m．我们给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y＝m对称得到点P2，则称点P2为点P关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．举例：如图，P（3，1）先关于y轴对称得到点P1（﹣3，1），再将点P1关于直线y＝3对称得到点P2（﹣3，5），则称P2（﹣3，5）为点P关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”． （1）点A（2，5）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”A2的坐标是 　 　 ． （2）点B（3m﹣n，m﹣2n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣10，8），求m和n的值． （3）若C（3x﹣12，x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2在第四象限，且得到关于x的取值范围内的所有整数解之和为5，求m的取值范围． 25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长． 26．（10分）某校把一块三角形的废地开辟为植物园，如图，测得AC＝80m，BC＝60m，AB＝100m． （1）若入口E在边AB上，且与A，B的距离相等，求从入口E到出口C的最短路线的长（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； （2）若线段CD是一条小渠，且点D在边AB上，点D距点A多远时，水渠最短？ 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一点（不与点A，B，C重合），其横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标； （2）如图2，连接AC，BC，当∠PBA＝∠CBA时，求证：点P为抛物线的顶点； （3）已知2＜m＜3，对称轴与x轴的交点为D，连接AP并延长交CB的延长线于点E，交对称轴于点F，连接BP并延长交对称轴于点G． ①设，求d关于m的函数表达式及其最大值； ②猜想DF+DG是否是一个定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C． B B C B B D D 1．（3分）下列四个实数中，最小的数是（　　） A．1 B． C． D．0 【解答】解：∵0＜1， ∴最小的数是：． 故选：C． 2．（3分）将下列平面图形绕轴转一周，可以得到图中所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A得到的几何体是圆锥，B得到的几何体是圆台，C得到的几何体是球，D得到的几何体是圆柱． 故选：B． 3．（3分）中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500m2．将35500用科学记数法表示应为（　　） A．35.5×104 B．3.55×104 C．3.55×105 D．0.355×105 【解答】解：35500＝3.55×104． 故选：B． 4．（3分）下列选项中，运算正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（ab）3＝a3b3 D．a6÷a3＝a2 【解答】解：A、a2•a4＝a6，故A不符合题意； B、（a2）3＝a6，故B不符合题意； C、（ab）3＝a3b3，故C符合题意； D、a6÷a3＝a3，故D不符合题意； 故选：C． 5．（3分）为促进乡镇融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路，如图所示，公路从A地沿着北偏东50°方向到B地，再从B地沿着南偏东35°方向到C地，然后从C地到D地．已知公路CD与公路AB平行，则公路从C地到D地修建的方向为（　　） A．东偏北50° B．北偏东50° C．南偏东40° D．北偏西35° 【解答】解：如图，AF∥BG∥CE， ∴∠A＝∠ABG＝50°，∠BCE＝∠CBG＝35°， ∴∠ABC＝50°+35°＝85°， ∵AB∥CD， ∴∠BCD＝∠ABC＝85°， ∵∠BCE＝35°， ∴∠DCE＝85°﹣35°＝50°， 因此公路从C地到D地修建的方向为北偏东50°， 故选：B． 6．（3分）如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为奇数的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据概率计算公式可知：共4个数，数字为奇数的有2个， ∴指针指向的数字为奇数的概率为． 故选：B． 7．（3分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙用6分钟追上甲 B．乙的速度为100米/分 C．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 【解答】解：由图知，10﹣4＝6（分）， ∴乙用6分钟追上甲， ∴A正确，不符合题意； 乙的速度为60×10÷（10﹣4）＝100（米/分），故B正确，不合题意； 乙到达终点所用的时间为3000÷100＝30（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为60×（30+4）＝2040（米）， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为3000﹣2040＝960（米）， ∴C正确，不符合题意； ∵当乙到达终点时甲走的路程为2040米， ∴甲还需要（3000﹣2040）÷60＝16（分）到达终点， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了16分钟， ∴D错误，符合题意， 故选：D． 8．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连接BF、CF．则以下结论：①CF∥AE，②，③，④S四边形ADCF＝2S△ABF．其中正确结论的序号是（　　） A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 【解答】解：①∵点E是CD边的中点， ∴可设DE＝EC＝a，则CD＝2a，其中a＞0， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°， 设∠AED＝α， 由翻折性质得：FE＝DE＝a，AF＝AD＝2a，∠AEF＝∠AED＝α， ∴∠DEF＝∠AEF+∠AED＝2α，EF＝CE＝a， ∴∠CEF＝180°﹣∠DEF＝180°﹣2α， 在△ECF中，EF＝EC＝a， 由三角形内角和定理得：∠FCE＝∠EFC（180°﹣∠CEF）（180°﹣180°+2α）＝α， ∴∠FCE＝∠AED＝α， ∴CF∥AE， 故结论①正确； ②过点P作直线PQ⊥CD于点P，交AB于点Q，如图所示： ∴∠FPC＝90°， ∴∠FPC＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴四边形PQBC是矩形， ∴PQ＝BC＝2a，QB＝PC，∠FQB＝90°， 在△FPC和△ADE中， ∠FPC＝∠D＝90°，∠FCE＝∠AED， ∴△FPC∽△ADE， ∴， ∴， ∴FP＝2PC， ∴PE＝EC﹣PC＝a﹣PC， 在Rt△FEP中，由勾股定理得：FE2＝FP2+PE2， ∴a2＝（2PC）2+（a﹣PC）2， 整理得：5PC2＝2a•PC， ∵a＞0， ∴QB＝PC， ∴FP＝2PC， ∴AQ＝DP＝CD﹣QB，FQ＝PQ﹣FP， 在Rt△AFQ中，tan∠BAF， 故结论②正确： ③在Rt△FPC中，PC，FP， 由勾股定理得：CF， 在Rt△FBQ中，BQ，FQ， 由勾股定理得：BF， ∴， ∴BFCF， 故结论③不正确： ④在Rt△ADE中，∠D＝90°，AD＝2a，DE＝a， ∴S△ADEAD•DE2a×a＝a2， 由翻折的性质得：S△AFE＝S△ADE＝a2， 在△ECF中，∠FPC＝90°，CE＝A，FP， ∴S△ECFCE•FP， ∴S四边形ADCF＝S△AFE+S△ADE+S△ECF， 在△ABF中，AB＝2a，FQ，∠FQB＝90°， 又∵S△ABFAB•FQ， ∴S四边形ADCF＝2S△ABF， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝　（x﹣1）（a﹣3）　 ． 【解答】解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝（x﹣1）（a﹣3）， 故答案为：（x﹣1）（a﹣3）． 10．（3分）七名同学一分钟排球垫球个数分别为42，47，43，43，45，43，46．这组数据的众数是 　43　 ． 【解答】解：在这组数据中，43出现的次数最多， 则这组数据的众数是43． 故答案为：43． 11．（3分）已知m+2n+1＝0，则代数式3m+6n﹣5的值为 　﹣8　 ． 【解答】解：∵m+2n+1＝0， ∴m+2n＝﹣1， ∴当m+2n＝﹣1时，原式＝3（m+2n）﹣5＝3×（﹣1）﹣5＝﹣8． 故答案为：﹣8． 12．（3分）如图，已知直线l是一次函数y＝kx+b的图象，若点A（3，n）在直线l上，则n的值为　2.5　 ． 【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得： ， 解得：， ∴yx+1， 将点A（3，n）代入，得：1＝n， 即n＝2.5． 故答案为：2.5． 13．（3分）若x1和x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个的实数根，则x1x2＝ 　﹣1　 ． 【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可知：x1x2＝﹣1， 故答案为：﹣1． 14．（3分）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为 　900　 mm． 【解答】解：设此圆弧所在圆的半径为Rmm， 由弧长公式得：800π， 解得：R＝900， 即此圆弧所在圆的半径为900mm， 故答案为：900． 15．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，tanB，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若CG＝3，则BG的长为 　5　 ． 【解答】解：过G点作GH⊥AB于H，如图， 由作法得AG平分∠BAC， ∵GC⊥AC，GH⊥AB， ∴GH＝GC＝3， 在Rt△BGH中，∵tanB， ∴BHGH＝4， ∴BG5． 故答案为：5． 16．（3分）如图，在△ABC中，D为线段BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．若AC＝8．BC＝3．且CF⊥BC时，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点G，则线段CG长的最大值为　　 ． 【解答】解：过A作AH⊥CB交CB延长线于H，连接DF，如图： ∵AH⊥BC， ∴∠AHD＝90°， ∴∠ADH+∠HAD＝90°， ∵CF⊥BC． ∴∠GCD＝90°， ∴∠GDC+∠DGC＝90°， ∵∠ADE＝90°， ∴∠ADH+∠GDC＝90°， ∴∠ADH＝∠DGC，∠GDC＝∠HAD， ∴△AHD∽△DCG， ∴， 即AH•CG＝HD•DC， ∵正方形ADEF， ∴∠DAF＝90°，∠AFD＝45°， ∴∠DAF+∠FCD＝180°， ∴A、D、F、C共圆， ∴∠ACD＝∠AFD＝45°， ∴△AHC是等腰直角三角形 ∵AC＝8 ， ∴AH＝HC＝8， 设DC＝x，则HD＝8﹣x， ∵D为线段BC上一点，BC＝3， ∴x≤3， 而AH•CG＝HD•DC， ∴8×CG＝（8﹣x）•x， ∴CGx（8﹣x）x2+x， ∴抛物线开口向下，对称轴为：x4， 而x≤3在对称轴左侧，CG随x增大而增大， ∴x＝3时，CG最大为． 故答案为：． 三．解答题（共11小题，满分82分） 17．（5分）计算：． 【解答】解： ＝﹣2﹣3+2 ＝﹣3． 18．（5分）解不等式组：． 【解答】解：， 解不等式①，得：x≤1， 解不等式②，得：x＜4， ∴原不等式组的解集为x≤1． 19．（6分）先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【解答】解：原式＝（）• • ， 由题意得：x﹣2≠0且x﹣1≠0， ∴x≠1和2， 当x＝3时，原式． 20．（6分）榆林市博物馆是榆林市重点公共文化工程．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在A位置的概率为　　 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【解答】解：（1）∵该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D， ∴甲停放在A位置的概率为； （2）画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF． 求证： （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD； （2）由（1）知：△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， 又∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△AEB和△FEB中， ， ∴△AEB≌△FEB（SAS）， ∴AB＝BF， ∴AB＝BF＝BC+CF， ∵AD＝FC， ∴BC＝AB﹣AD． 22．（8分）为了参加市举办“科学发现杯”知识竞赛活动，我区开展了预赛，400名学生参加此次比赛，为了解此次竞赛情况：从中抽取一部分学生成绩统计如下 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 6 　0.12　 70.5～80.5 16 0.32 80.5～90.5 　16　 　0.32　 90.5～100.5 8 0.16 合计 　50　 1.00 （1）通过计算补全频数分布表； （2）补全频数分布直方图，这组数据的中位数落在第　70.5～80.5　 组（填范围）； （3）若90分以上成绩为优秀，估计我区获得优秀学生约有多少名？ 【解答】解：（1）抽取的学生人数为：4÷0.08＝50（名）， ∴60.5～70.5这组的频率为6÷50＝0.12， 80.5～90.5这组的频数为：50﹣4﹣6﹣16﹣8＝16， 频率为16÷50＝0.32． 故填表如下： 分组 频数 频率 50.5～60.5 4 0.08 60.5～70.5 6 0.12 70.5～80.5 16 0.32 80.5～90.5 16 0.32 90.5～100.5 8 0.16 合计 50 1.00 故答案为：0.12，16，0.32，50； （2）补全频数分布直方图如图， ∵共抽取的学生人数为50名， 中位数应为第25名与26名学生成绩的平均数， 由表可知前三组人数和为26， 故中位数落在第3组，即分数在70.5～80.5范围内； 故答案为：70.5～80.5； （3）400×0.16＝64（名）， 答：估计我区获得优秀学生约有64名． 23．（8分）如图，一次函数y＝3x+b的图象与x轴，y轴分别交于，B两点、与反比例函数，x＞0）的图象交于点C，过点C作y轴的平行线与x轴交于点D．点B关于直线CD对称的点E在反比例函数的图象上． （1）求B点的坐标； （2）求k的值． 【解答】解：（1）由题意，∵一次函数y＝3x+b的图象过， ∴3×（）+b＝0． ∴b＝2． ∴一次函数为y＝3x+2． ∴当x＝0时，y＝2． ∴B（0，2）； （2）由题意，可设C（m，3m+2）， ∴m（3m+2）＝k． ∵B、E关于直线CD对称，且B（0，2）， ∴E（2m，2）． ∵E在反比例函数y的图象上， ∴2m×2＝k，则m． ∴（2）＝k． ∴k（k＝0，不合题意，舍去）． 24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m），且平行于x轴的直线记作直线y＝m．我们给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y＝m对称得到点P2，则称点P2为点P关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．举例：如图，P（3，1）先关于y轴对称得到点P1（﹣3，1），再将点P1关于直线y＝3对称得到点P2（﹣3，5），则称P2（﹣3，5）为点P关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”． （1）点A（2，5）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”A2的坐标是 　（﹣2，1）　 ． （2）点B（3m﹣n，m﹣2n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣10，8），求m和n的值． （3）若C（3x﹣12，x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2在第四象限，且得到关于x的取值范围内的所有整数解之和为5，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵点A（2，5）关于y轴的对称点为A1（﹣2，5），点A1（﹣2，5）关于直线y＝3对称点为A2（﹣2，1）， ∴点A（2，5）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”A2的坐标是（﹣2，1）， 故答案为：（﹣2，1）． （2）∵点B（3m﹣n，m﹣2n）关于y轴的对称点为B1（﹣3m+n，m﹣2n），点B1（﹣3m+n，m﹣2n）关于直线y＝m对称点为B2（﹣3m+n，m+2n）， ∴点B（3m﹣n，m﹣2n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣3m+n，m+2n）， ∴， 解得：． （3）∵点C（3x﹣12，x+1）关于y轴的对称点为C1（﹣3x+12，x+1），点C1（﹣3x+12，x+1）关于直线y＝m对称点为C2（﹣3x+12，2m﹣x﹣1）， ∴点C（3x﹣12，x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2的坐标是（﹣3x+12，2m﹣x﹣1）， ∵点C2在第四象限， ∴， ∴2m﹣1＜x＜4， ∵关于x的取值范围内的所有整数解之和为5， ∴1≤2m﹣1＜2或﹣2≤2m﹣1＜﹣1， ∴1≤m或m＜0． 25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长． 【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠CBD＝∠ODB， ∴OD∥BC， ∵EF⊥BC， ∴EF⊥OD， 又∵OD是⊙O的半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：连接AD，如图2所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵EF⊥BC， ∴∠F＝90°， ∴∠FDB+∠CBD＝90°， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠FDB， ∴tan∠BAD＝tan∠FDB＝2， ∴2，2， ∴ADBD＝2，BF＝2DF， ∴AB10，BDDF＝4， ∴OD＝OA＝OBAB＝5，DF＝4，BF＝8， 由（1）得：OD∥BC， ∴△ODE∽△BFE， ∴， 即， 解得：AE． 26．（10分）某校把一块三角形的废地开辟为植物园，如图，测得AC＝80m，BC＝60m，AB＝100m． （1）若入口E在边AB上，且与A，B的距离相等，求从入口E到出口C的最短路线的长（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； （2）若线段CD是一条小渠，且点D在边AB上，点D距点A多远时，水渠最短？ 【解答】解：（1）∵AB＝100m，BC＝60m，AC＝80m， ∴△ABC是直角三角形． ∵E是AB的中点，△ABC是直角三角形， ∴CEAB． ∵AB＝100m， ∴CEAB＝50m． （2）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴S△ABCAB×CDAC×BC． ∵AB＝100m，BC＝60m，AC＝80m， ∴CD＝48m． ∵△CAD为直角三角形，且CD＝48m，AC＝80m， ∴AD64（m）， ∴点D距A点64km远时，水渠的长度最短． 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一点（不与点A，B，C重合），其横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标； （2）如图2，连接AC，BC，当∠PBA＝∠CBA时，求证：点P为抛物线的顶点； （3）已知2＜m＜3，对称轴与x轴的交点为D，连接AP并延长交CB的延长线于点E，交对称轴于点F，连接BP并延长交对称轴于点G． ①设，求d关于m的函数表达式及其最大值； ②猜想DF+DG是否是一个定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【解答】（1）解：当y＝0时，﹣x2+4x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝3， ∴A（1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； （2）证明：如图1， 设抛物线的顶点为P′，作PD⊥AB于D， ∴∠P′DB＝90°， 由y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1得，P′（2，1）， ∴P′D＝1， ∵BD＝xB﹣xD＝1， ∴BD＝P′D， ∴∠P′BA＝∠DBP′＝45°， ∵OC＝OB＝3，∠BOC＝90°， ∴∠CBA＝∠OCB＝45°， ∴∠P′BA＝∠CBA， ∵∠PBA＝∠CBA， ∴点P和点P′重合， ∴点P为抛物线的顶点； （3）解：①如图2， 作PV⊥x轴于V，作EW⊥x轴于W， ∴∠AVP＝∠AWE＝90°， ∵∠PAV＝∠EAW， ∴△AEW∽△APV， ∴d， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3， 设E（n，n﹣3）， ∵P（m，﹣m2+4m﹣3），A（1，0）， ∴直线AP的解析式为：y＝（3﹣m）x+（m﹣3）， ∴n﹣3＝（3﹣m）n+（m﹣3）， ∴n， ∴d， ∴当m时，d最大； ②DF+DG是定值，理由如下： 由①知：直线AP的解析式为：y＝（3﹣m）x+（m﹣3）， ∴当x＝2时，y＝3﹣m， ∴DF＝3﹣m， 同理可得：直线BP的解析式为：y＝（1﹣m）（x﹣3）， ∴当x＝2时，y＝m﹣1， ∴DG＝m﹣1， ∴DF+DG＝2， ∴DF+DG是定值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $