专题14：长方形和正方形组合的面积（计算专项训练）数学青岛版五四制三年级下册（新教材）

专题14：长方形和正方形组合的面积 计算专项训练 一、核心前提（必记，衔接前期所学） 1.基础面积公式： 长方形面积 = 长 × 宽（字母表示：），其中长和宽的单位需统一（均为厘米、分米或米），结果用对应面积单位（平方厘米、平方分米、平方米）。 正方形面积 = 边长 × 边长（字母表示：），边长单位需统一，结果带对应面积单位，注意“边长×边长”不可误算为“边长×4”（周长公式）。 2.组合图形的意义：由两个或两个以上长方形、正方形拼接（无重叠）或组合而成的图形，称为长方形和正方形组合图形，其面积 = 组成它的各个长方形、正方形面积之和（无重叠时）。 二、核心解题思路（必考）： 1.“分割法”：将组合图形分割成已学过的长方形、正方形，分别计算每个简单图形的面积，再把面积相加，得到组合图形的总面积（分割时尽量让分割后的图形边长已知或易求，避免复杂计算）。 2.“补全法”：将不规则的组合图形补成一个完整的长方形或正方形，用大图形面积减去补上的小图形面积，得到组合图形的面积（适合缺口较小、补全后边长易求的图形）。 题型1：长方形与长方形拼接（无缺口，基础必练，全员掌握） 典型例题：计算下列组合图形的面积 一个长方形长5分米、宽3分米，另一个长方形长4分米、宽3分米，将两个长方形的宽拼接在一起，形成一个组合图形，求这个组合图形的面积。 解题思路：第一步：判断组合方式（无缺口拼接），确定用分割法，将组合图形分割成原来的两个长方形；第二步：检查单位（均为分米，单位统一）；第三步：分别计算两个长方形的面积，再求和；第四步：检验计算结果是否合理。 解题过程： 第一步：计算第一个长方形的面积（长5dm，宽3dm）；面积 = 5×3 = 15（平方分米） 第二步：计算第二个长方形的面积（长4dm，宽3dm）；面积 = 4×3 = 12（平方分米） 第三步：求组合图形的总面积（两个长方形面积之和）；15 + 12 = 27（平方分米） 检验：两个长方形宽都是3dm，拼接后大长方形的长为5+4=9dm，宽为3dm，面积=9×3=27平方分米，与分步计算结果一致，单位规范；答：这个组合图形的面积是27平方分米。 跟踪训练：计算下列组合图形的面积 1.一个长方形长6厘米、宽2厘米，另一个长方形长6厘米、宽4厘米，将两个长方形的长拼接在一起，求组合图形的面积。 2.一个长方形长7分米、宽5分米，另一个长方形长3分米、宽5分米，将两个长方形的宽拼接在一起，求组合图形的面积。 3.一个长方形长8米、宽4米，另一个长方形长5米、宽4米，将两个长方形的宽拼接后，求组合图形的面积（换算成平方分米）。 题型2：长方形与正方形拼接（无缺口，重点提升，突破易错） 典型例题：计算下列组合图形的面积 一个正方形边长4分米，一个长方形长4分米、宽2分米，将长方形的长与正方形的一条边完全拼接（无重叠），求这个组合图形的面积。 解题思路：第一步：判断组合方式（长方形与正方形无缺口拼接），拼接边为正方形的边长（4dm）和长方形的长（4dm），长度相等，用分割法；第二步：检查单位（均为分米，统一）；第三步：分别计算正方形和长方形的面积，再求和；第四步：检验结果。 解题过程： 第一步：计算正方形的面积（边长4dm）；面积 = 4×4 = 16（平方分米） 第二步：计算长方形的面积（长4dm，宽2dm）；面积 = 4×2 = 8（平方分米） 第三步：求组合图形的总面积；16 + 8 = 24（平方分米） 检验：拼接后组合图形可看作一个大长方形，长为4+2=6dm，宽为4dm，面积=6×4=24平方分米，计算无误，单位规范；答：这个组合图形的面积是24平方分米。 跟踪训练：计算下列组合图形的面积 1.一个长方形长7厘米、宽3厘米，一个正方形边长3厘米，将正方形的一条边与长方形的宽拼接，求组合图形的面积。 2.一个正方形边长5分米，一个长方形长5分米、宽3分米，将长方形的长与正方形的一条边拼接，求组合图形的面积（换算成平方厘米）。 3.一个长方形长9米、宽6米，一个正方形边长6米，将正方形与长方形的宽拼接，求组合图形的面积。 题型3：带缺口的组合图形（补全/分割，易错突破） 典型例题：计算下列组合图形的面积 一个长方形长8分米、宽5分米，在它的一个角上缺了一个边长2分米的正方形，求剩下的组合图形的面积（用两种方法解答）。 解题思路：方法一（补全法）：将带缺口的图形补成原来完整的长方形，用长方形的面积减去缺口正方形的面积，得到组合图形面积；方法二（分割法）：将剩下的图形分割成一个大长方形和一个小长方形，分别计算面积再求和；两种方法均可，重点掌握补全法（三年级拓展重点）。 解题过程： 方法一（补全法）： 第一步：计算完整长方形的面积（长8dm，宽5dm）；面积 = 8×5 = 40（平方分米） 第二步：计算缺口正方形的面积（边长2dm）；面积 = 2×2 = 4（平方分米） 第三步：求组合图形的面积（长方形面积 - 正方形面积）；40 - 4 = 36（平方分米） 方法二（分割法）： 第一步：将剩下的图形分割成一个长8-2=6dm、宽5dm的长方形和一个长5-2=3dm、宽2dm的长方形； 第二步：计算第一个长方形面积；6×5 = 30（平方分米） 第三步：计算第二个长方形面积；3×2 = 6（平方分米） 第四步：求总面积；30 + 6 = 36（平方分米） 检验：两种方法结果一致，估算组合图形面积应小于40平方分米，36平方分米合理，单位规范；答：剩下的组合图形的面积是36平方分米。 跟踪训练：计算下列带缺口的组合图形的面积 1. 一个正方形边长6厘米，在它的一条边上挖去一个长3厘米、宽1厘米的长方形，求剩下的组合图形面积。 2. 一个长方形长10分米、宽6分米，在它的一个角上缺了一个边长3分米的正方形，求剩下的组合图形面积。 3. 一个长方形长12米、宽8米，在它的中间缺了一个长4米、宽2米的长方形，求剩下的组合图形面积（换算成平方分米）。 练习巩固 1．计算下面图形的周长和面积。(单位：厘米) （1） （2） 2．如图，在一块硬纸板的四个顶点处分别剪下一个边长为2cm 的小正方形。求硬纸板现在的面积。 3．求出这个组合图形的面积。 4．计算下面组合图形的面积。（单位：厘米） 5．求下面组合图形的表面积。 6．（组合图形求面积）如图所示，宽为50厘米的矩形图案由10个全等的长方形拼成，求一个小长方形的面积。 7．计算下面图形阴影部分的周长和面积。 （1） （2） 8．求下面图形的周长和面积。(单位：厘米) （1） （2） 9．如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？ 10．在下面的长方形中画出最大的正方形，用含有字母的式子表示剩余长方形的周长和面积。 11．有一个长方形草坪，长31米，宽26米，草坪中间留了1米的路，路把草坪分成4块，求草坪的面积。 12．学校举办大型活动，需要给司令台边的台阶铺上红地毯，已知红地毯的宽度是12分米，那么至少需要多少平方分米的红地毯？ 13．小白兔家周围的草坪面积一共是多少平方米？ 14．有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少？ 15．有一个正方形鱼池，四周是3米宽的路，路的面积共72平方米。这个鱼池的面积是多少平方米？ 16．如右下图，由5个完全一样的小长方形拼成一个大长方形 ，小长方形的宽是4厘米，拼成的大长方形的面积是多少平方厘米？ 17．典典要测量家里书桌桌面的面积，他在桌面上摆了10个面积为1平方分米的正方形，就知道了书桌桌面的面积，如下图所示。你能求出桌面的面积吗？ 18．下面是一间阳光玻璃房的平面图，阳光玻璃房的占地面积是多少平方米？请用两种不同的方法解决。 题型1：长方形与长方形拼接（无缺口） 答案： 1. 第一步：第一个长方形面积=6×2=12（平方厘米）；第二步：第二个长方形面积=6×4=24（平方厘米）；第三步：总面积=12+24=36（平方厘米）；检验：拼接后大长方形长6cm，宽2+4=6cm，面积=6×6=36平方厘米，无误；答：组合图形的面积是36平方厘米。 2. 第一步：第一个长方形面积=7×5=35（平方分米）；第二步：第二个长方形面积=3×5=15（平方分米）；第三步：总面积=35+15=50（平方分米）；检验：拼接后大长方形长7+3=10dm，宽5dm，面积=10×5=50平方分米，无误；答：组合图形的面积是50平方分米。 3. 第一步：第一个长方形面积=8×4=32（平方米）；第二步：第二个长方形面积=5×4=20（平方米）；第三步：总面积=32+20=52（平方米）；换算：52平方米=52×100=5200（平方分米）；检验：拼接后大长方形长8+5=13m，宽4m，面积=13×4=52平方米，换算无误；答：组合图形的面积是52平方米，合5200平方分米。 题型2：长方形与正方形拼接（无缺口） 答案： 1. 第一步：长方形面积=7×3=21（平方厘米）；第二步：正方形面积=3×3=9（平方厘米）；第三步：总面积=21+9=30（平方厘米）；检验：拼接后大长方形长7+3=10cm，宽3cm，面积=10×3=30平方厘米，无误；答：组合图形的面积是30平方厘米。 2. 第一步：正方形面积=5×5=25（平方分米）；第二步：长方形面积=5×3=15（平方分米）；第三步：总面积=25+15=40（平方分米）；换算：40平方分米=40×100=4000（平方厘米）；检验：拼接后大长方形长5+3=8dm，宽5dm，面积=8×5=40平方分米，换算无误；答：组合图形的面积是40平方分米，合4000平方厘米。 3. 第一步：长方形面积=9×6=54（平方米）；第二步：正方形面积=6×6=36（平方米）；第三步：总面积=54+36=90（平方米）；检验：拼接后大长方形长9+6=15m，宽6m，面积=15×6=90平方米，无误；答：组合图形的面积是90平方米。 题型3：带缺口的组合图形 答案： 1. 补全法：第一步：正方形面积=6×6=36（平方厘米）；第二步：挖去长方形面积=3×1=3（平方厘米）；第三步：剩下面积=36-3=33（平方厘米）；检验：估算小于36平方厘米，33平方厘米合理，无误；答：剩下的组合图形面积是33平方厘米。 2. 补全法：第一步：长方形面积=10×6=60（平方分米）；第二步：缺口正方形面积=3×3=9（平方分米）；第三步：剩下面积=60-9=51（平方分米）；检验：估算小于60平方分米，51平方分米合理，无误；答：剩下的组合图形面积是51平方分米。 3. 补全法：第一步：长方形面积=12×8=96（平方米）；第二步：缺口长方形面积=4×2=8（平方米）；第三步：剩下面积=96-8=88（平方米）；换算：88平方米=88×100=8800（平方分米）；检验：估算小于96平方米，88平方米合理，换算无误；答：剩下的组合图形面积是88平方米，合8800平方分米。 练习巩固 1．【答案】（1）解：周长：5×4=20(厘米) 面积：(5-4)×2=2(平方厘米) 5×5-2=23(平方厘米) （2）解：周长：18×4=72(厘米) 面积：4×4×2=32(平方厘米) 5×5×2=50(平方厘米) 18×18=324(平方厘米) 324-32-50=242(平方厘米) 【解析】（1）周长=正方形的周长=边长×4；面积=大正方形的边长×边长-右上角空白长方形的长×宽； （2）周长=边长18厘米的正方形的周长=边长×4；面积=边长18厘米的正方形的面积-空白部分4个小正方形的面积；其中， 正方形的面积=边长×边长。 2．【答案】解：26×20-2×2×4 =520-16 =504(cm2) 【解析】 硬纸板现在的面积 =长方形的面积-4个正方形的面积，长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长，据此解答。 3．【答案】解：12×9＋（9＋19）×9 =108＋252 =360（平方米） 【解析】组合图形的面积=上面长方形的长×宽＋下面长方形的长×宽。 4．【答案】249平方厘米 5．【答案】解： （10×8+10×6+6×8）×2 =188×2 =376（平方厘米） （10-5）×4×2 =20×2 =40（平方厘米） 376-40= 336（平方厘米） 答：组合图形的表面积是336平方厘米。 【解析】如图，组合图形的表面实际上比长、宽、高分别是10cm、8cm、6cm的长方体的表面少了两个长（10-5）cm、宽4cm的长方形的面，因此，（长×宽+长×高+宽×高）×2=长方体的表面积，两个长方形的面积=长×宽×2=（10-5）×4×2，长方体的表面积－两个长方形的面积=组合图形的表面积。 6．【答案】解：设小长方形长为xcm，宽为ycm。 根据图所示，可得 解得： ∴小长方形的面积为： 答：小长方形的面积是 【解析】结合图形，设小长方形的宽为x，长为y，则根据图形所示，列出矩形的宽和长的二元一次方程组即可求解 7．【答案】（1）解：周长：(12+3+4)×2 =19×2 =38(cm) 面积：4×4+12×3 =16+36 =52(cm2) （2）解：周长：(4+2)×2×2 =6×2×2 =12×2 =24(米) 面积：(4×2-1×1)×2 =（8-1）×2 =7×2 =14(平方米) 【解析】（1）观察图形，通过平移线段，可以将图形转化成一个长12厘米，宽是（3+4）厘米的长方形，长方形的周长=（长+宽）×2，长方形的面积=长×宽，据此列式计算； （2）观察图可知，通过平移线段，这个组合图形的周长就是两个长方形的周长之和，长方形的周长=（长+宽）×2，组合图形的面积=（小长方形的面积-空白小正方形的面积）×2，长方形的面积=长×宽，据此列式解答。 8．【答案】（1）解：周长：(32+18)×2 =50×2 =100(厘米) 面积：32×18=576(平方厘米) （2）周长：(8+2+5)×2 =15×2 =30(厘米) 面积：8×5+4×2 =40＋8 =48(平方厘米) 【解析】（1）长方形的周长=（长＋宽）×2；长方形的面积=长×宽； （2）通过平移后，组合图形是长8厘米，宽5＋2=7厘米的长方形，它的周长=（长＋宽）×2； 组合图形的面积=下面长方形的长×宽＋上面长方形的长×宽。 9．【答案】解： 证明：连接 。 ∵在正方形 中， 边上的高， ∴ 同理， 。 ∴正方形 与长方形 面积相等． 长方形的宽 （厘米）。 答： 长方形的宽为6.4厘米 【解析】在正方形 中，根据三角形ABG的面积表达式可以得出三角形ABG是四边形ABCD的面积的一半，同理可得三角形ABG是四边形EFGB的面积的一半，所以正方形 与长方形 面积相等，故长方形的宽为6.4厘米 10．【答案】解： 剩余长方形的周长：（a-b+b）×2=2a； 剩余长方形的面积：(a-b)b。 【解析】长方形中最大正方形的边长与长方形的宽相等，由此画出图形。判断出剩下长方形的长和宽，然后根据长方形周长和面积公式分别表示出剩余长方形的周长和面积即可。 11．【答案】大长方形的面积：31×26= 806(平方米)， 两条路的面积：26×1+31×1=57(平方米)， 草坪的面积：806-57+1×1= 750(平方米)。 【解析】草坪的面积=大长方形的面积-两条路的面积+小正方形面积 12．【答案】解： （21＋15）×12 ＝36×12 ＝432（平方分米） 14×12＝168（平方分米） 432＋168＝600（平方分米） 答：至少需要600平方分米的红地毯。 【解析】要求这些台阶需要多少平方分米的红地毯，可以把这个台阶进行如下图的转换（竖直面转化后为蓝色虚线部分面积，水平面转化后为红色虚线部分面积），需要的地毯一部分是宽12分米，长=21＋15＝36（分米），另一部分是宽为12分米，长为14分米。长方形的面积＝长×宽，至少需要红地毯的面积=两部分地毯的面积相加。 13．【答案】解：30×20-5×5 =600-25 =575 ( 平方米) 20×20-5×5 =400-25 =375 ( 平方米) 575 +375 =950 ( 平方米) 答：小白兔家周围的草坪面积一共是950平方米。 【解析】小白兔家周围草坪的总面积=（上面长方形的长×宽-小白兔家的边长×边长）＋（下面正方形的边长×边长-小白兔家的边长×边长）。 14．【答案】解：3×8×2-3×3 =48-9 =39 (平方厘米) 答：这个图形的面积是39平方厘米。 【解析】这个图形的面积=相同长方形的长×宽-重叠部分的边长×边长。 15．【答案】解：72÷4=18(平方米) 18÷3=6(米) 6-3=3(米) 3×3=9(平方米) 答：这个鱼池的面积是9平方米。 【解析】这个鱼池的面积=边长×边长；其中，这个鱼池的边长=路的面积÷路的条数÷宽-宽。 16．【答案】解：4×3÷2 =12÷2 =6(厘米) 6×4×5 =24×5 =120(平方厘米) 答：拼成的大长方形的面积是120平方厘米。 【解析】观察图可知，小长方形的宽是4厘米，小长方形3条宽的长度等于小长方形2条长的长度，由此可以求出小长方形的长，观察图可知，这个大长方形是由5个相同的小长方形拼成的，先求出每个小长方形的面积，然后乘5即可，长方形的面积=长×宽，据此列式解答。 17．【答案】解：10×5×1=50(平方分米) 答：书桌桌面的面积是50平方分米。 【解析】书桌的桌面的面积=长×宽，其中，书桌的桌面一行可以摆10个面积为1平方分米的正方形，能摆这样的5行。因此这个书桌的长是10分米，宽是5分米。 18．【答案】解： 8×(6+5) =8×11 =88(平方米) 5×(8-3)=25(平方米) 88-25=63(平方米) 答：阳光玻璃房的占地面积是63平方米。 【解析】阳光玻璃房的占地面积=平移后大长方形的面积-中间空余正方形的面积；其中，平移后大长方形的面积=长×宽，中间空余正方形的面积=边长×边长。 1 学科网（北京）股份有限公司 $