专题8.1 圆柱及其侧面展开图（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

本讲义聚焦圆柱及其侧面展开图核心知识点，从圆柱的形成（长方形旋转）入手，系统梳理底面、侧面、高、母线等组成要素，再到侧面展开图与底面周长、高的关系，最终落实表面积和体积计算，构建层层递进的知识支架。 资料通过“面动成体”动态过程培养空间观念（数学眼光），结合侧面展开图与圆柱各部分关系的推理训练发展推理意识（数学思维），设置即学即练、典例变式及综合题（如工件制作、石头体积计算）强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题8.1 圆柱及其侧面展开图 教学目标 1.理解圆柱是由长方形旋转形成的立体图形； 2.掌握圆柱是由2 个底面、1 个侧面组成的；理解底面、侧面、高、母线等概念； 3.理解圆柱侧面沿高展开后的图形是 “长方形”能说出长方形的 “长 与圆柱底面“周长”之间的关系；计算侧面展开图的长和宽或根据侧面展开图的长和宽，反求圆柱的底面周长或高. 4.掌握圆柱表面的组成，能计算圆柱表面积和体积 教学重难点 1.重点 圆柱侧面展开图形及表面积、体积的计算； 2.难点 理解圆柱侧面展开图的长和宽与圆柱底面圆及高的关系. 知识点01 圆柱的基本概念 1. 面动成体，认识 “圆柱的形成” 如图，将长方形OAA’O’以它的一条边OO’所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成的立体图形叫作____________，简称________. . 2. “拆解”圆柱，认识 “圆柱的组成” 3. 核心概念： 底面：2个大小相等的圆形，互相平行； 侧面：1个曲面，围成圆柱的 “侧面部分”； 高：连接两底面________的线段（或两底面之间的________），所有高的长度________. 母线：圆柱的母线长就等于圆柱的________. 侧面展开图:侧面展开是个长方形,它的长是底面圆的________，它的宽是圆柱的________. 知识点02 圆柱的侧面展开图 1.圆柱的侧面积公式： S=________________________________________ 其中，S侧表示圆柱的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高. 【即学即练】 例1 如图以长方形ABCD的一边所在的直线为轴旋转一周，得到了圆和圆. 回答下列问题： (1)分别指出圆柱1、圆柱2是以该长方形的哪一条边所在的直线为轴旋转而成的； (2)根据图中的已知数据，分别求圆柱1、圆柱2的侧面积(π取3.14,结果精确到0.1 cm²) 解：（1）圆是长方形ABCD以_______边所在的直线为轴旋转一周得到的； 圆柱2是长方形ABCD以_______边所在的直线为轴旋转一周得到的. （2）根据题意，圆的母线长为_____cm,它的底面半径为______ cm; 圆的母线长为______cm,它的底面半径为______cm. 所以，圆的侧面积：S侧=____________=______π≈_____(cm²). 同样地，圆的侧面积：S侧=____________=______π≈_____(cm²). 知识点03 圆柱的表面积和体积 1. 圆柱的表面积 圆柱的表面由它的侧面和两个底面组成.因此，圆柱的表面积等于它的侧面积与两个底面积的和，即 2. 圆柱的体积 （1）分析策略 推导圆的面积公式时的策略是：化圆为方（长方形）； 推导圆柱体积公式时的策略是：化曲为方（长方体）. （2）圆柱体积公式 ____________________________________ 【即学即练】 例2如图这是一个用新型合金片制作的空心圆柱形工件.已知该工件的底面直径d=10cm,高h=15cm.请确定制作这样一个工件所需合金片的面积(π取3.14). 解： 根据题意，制作这样一个工件所需合金片的面积即为该圆柱的表面积 因为S表=_________+______________ 得S表=____________________________=__________(cm²). 例3 分析：因为V圆柱体=_______+_________ V圆柱体=____________________________=______________ (cm³). 又因为圆柱的底面直径为12cm,所以圆柱的底面积S底=______________(cm²). 又因为圆柱的体积V=Sh,所以圆柱体金属块的高h=____________=__________（cm）. 例4琳琳不小心将石头扔进了一个底面半径为厘米的圆柱形容器里．如图，浸入石头后水深为厘米，拿出石头后水深为厘米，这块石头的体积是多少？ 解：根据圆柱的体积公式可得， 这块石头的体积=_________________________________=_____（立方厘米）， 题型01 圆柱的形成 【典例1】如图，下面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式1】纸片和小棒做成下面的小旗，快速旋转小棒，想象纸片旋转所形成的图形是（    ）。 A．          B．           C．          D． 【变式2】下图是一个长方形，沿着它的一条对称轴旋转一周得到的立体图形是一个（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．球 【变式3】下列图形中，有几个圆柱体（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【变式4】沿长方形的一条边旋转一周，形成下面的两个圆柱． (1)圆柱①是以 边所在的直线为轴旋转而成的，高是 ，底面半径是 ． (2)圆柱②是以 边所在的直线为轴旋转而成的，高是 ，底面半径是 ． 题型02 圆柱的基本概念 【典例1】圆柱的上、下两面都是 形，而且大小 ，圆柱的侧面沿高展开是 形或 形，它的一边是圆柱的 ，相邻的另一边是圆柱的 ．一个圆柱体有 条高． 【变式1】 圆柱的组成． 【变式2】在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图． (1)该几何体的名称是________，其底面半径为________，上底面周长为________． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积．（结果保留） 【变式3】一个圆柱形蛋糕盒的底面直径是，高是，用彩绳捆扎蛋糕盒，打结处需要彩绳（如图），捆扎这个蛋糕共需要 彩绳． 【变式4】一个长、宽的长方形，以长为轴旋转一周，形成的圆柱的底面半径是 ，高是 ． 题型03 圆柱的侧面展开图 【典例1】圆柱的体积是30立方厘米，底面积是6平方厘米，高是 厘米．一个圆柱的底面周长是10厘米，高是1.5厘米，它的侧面积是 平方厘米． 【变式1】矩形，，，以直线为轴旋转一周所得到的圆柱侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】把一个圆柱形食品罐头的侧面包装纸展开，得到一个正方形，这个圆柱形罐头的底面半径是5厘米，圆柱形罐头的高是（ ）． A．31.4厘米 B．15.7厘米 C．78.5厘米 D．10厘米 【变式3】一个圆柱的侧面积是188.4平方分米，底面半径是2分米．它的高是多少分米？ 【变式4】如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜 平方米． 题型04 圆柱的表面积 【典例1】有一张长方形铁皮按如图剪下阴影部分制成圆柱体，这个圆柱体的表面积是 平方分米． 【变式1】长为4，宽为2的长方形绕其中一边旋转所构成几何体的表面积为多少？（结果保留π） 【变式2】下面是一个圆柱沿着底面直径竖直对半切开后的图形，求它的表面积．（单位：） 【变式3】把一个棱长8厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少？ 【变式4】如图，把一个底面半径是的圆柱，切拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来增加了，原来圆柱的高是（    ）． A． B．10 C．5 D． 题型05 圆柱的侧面展开图 【典例1】圆柱的体积是30立方厘米，底面积是6平方厘米，高是 厘米．一个圆柱的底面周长是10厘米，高是1.5厘米，它的侧面积是 平方厘米． 【变式1】分别计算圆柱的表面积和体积（结果保留）． 【变式2】两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4cm和8cm，高分别为20cm和9cm．先在右侧容器中倒满水，然后把右侧容器的水向左侧容器倒，当左侧容器倒满水后，求：此时右侧容器的水面高为多少cm？ 【变式3】有甲、乙两个圆柱形容器，从里面量得它们的半径分别是10厘米和5厘米，两个容器的水深分别是10厘米和15厘米． (1)甲、乙两个容器分别装有多少毫升的水？ (2)如果将乙容器中的一部分水倒入甲容器，使得两个容器的水面一样高．这时水深为多少厘米？ 【变式4】把一个底面直径为、高为的圆柱形塑料杯装满水，再把水倒入一个底面直径为的圆柱形玻璃杯中（没有溢出）．求这个玻璃杯中水的高度． 题型06 圆柱的综合题 【典例1】有一个如图所示的箱子，其上半部分的形状是一个圆柱的一半，下半部分是以一个棱长为1米的正方体，已知每涂1平方米需要油漆0.5千克，那么要把这个箱子的外表面都涂上油漆，共需要油漆 千克。（π取3.14） 【变式1】圆柱、正方体和长方体的底面周长相等，高也相等，则（    ）的体积最大。 A．圆柱 B．正方体 C．长方体 D．都一样 【点睛】解答此题的关键是明确：在平面图形中，当圆的周长、正方形的周长、长方形的周长相等时，圆的面积最大。 【变式2】下图这个长方形的长是2厘米，宽是1厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。这两个圆柱的（    ）。 A．体积相等 B．底面积相等 C．表面积相等 D．侧面积相等 【变式3】如图，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，围成不同于圆柱A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积多少？ 【变式4】求图形的表面积和体积（单位：厘米） 一、单选题 1．笑笑将一张长方形纸分别沿其长和宽围成两个不同的圆柱形纸筒，若给这两个纸筒都配上两个底面，则这两个圆柱相比较，它们（    ）（如图，接头处尽可能不重叠）    A．体积相等，表面积也相等 B．体积不相等，表面积相等 C．体积相等，表面积不相等 D．体积不相等，表面积也不相等 2．如图，长方形的长是4厘米，宽是2厘米．分别以长边和宽边所在的直线为轴，旋转一周可以得到两个不同的圆柱．这两个圆柱的体积（　　） A．甲大 B．乙大 C．同样大 D．无法判断谁大 3．张阿姨买了一个圆柱形透明玩具收纳桶（如图），这个收纳桶的侧面积是11304，这个收纳桶的底面周长是（ ）． A．9420 B．706.5 C．2826 D．94.2 4．学校要制作10节圆柱形铁皮通风管，每节通风管的底面直径为0.6米，长2米，做这些通风管至少需要（   ）平方米的铁皮． A．3.768 B．5.5652 C．43.332 D．37.68 5．做一根长3米的圆柱形通风管，横截面直径是米，做这根通风管至少需要材料（    ）平方米． A． B． C． D． 6．有一支牙膏的口子直径为，小丽每次挤出长，共挤了36次用完，后来公司把直径改为，小丽还是每次挤出长，挤了（　　）次用完． A．32 B．30 C．28 D．25 二、填空题 7．把一个底面直径是4厘米圆柱体的侧面展开后，正好得到一个正方形，圆柱体的高是 厘米． 8．一个长方形的长是，宽是，以它的一边为轴旋转一周，所得到的圆柱的表面积为 ． 9．如图所示，把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成个近似的长方体，表面积比原来增加了200平方厘米．已知这个圆柱的高为20厘米，则这个圆柱的体积是 立方厘米    10．如图所示，将一个长为、宽为的长方形铁片沿宽卷成一个圆桶，另加一个底面，则这个圆桶的最大容积是 （取3）． 11．一个容积为的瓶子未开封时相关数据如图所示．将溶液倒出部分后，液面恰好在瓶身与瓶颈的交接处，此时溶液高度为（如图2）．将图2中的瓶子倒放时，溶液高度为（如图3）．则图2中溶液的体积为 ，图中溶液的体积为 ． 12．如图，长方形的长是，宽，图中的虚线是长方形的宽的中点连线，以虚线为轴旋转一周，所形成的立体图形的表面积是 ，体积是 ． 三、解答题 13．求图中的体积（单位：厘米）． 14．如下图：用一张长82.8厘米、宽10厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）．      15．已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的长方形，长为，宽为，那么这个圆柱底面圆的半径是多少？ 16．一个圆柱形水池，从里面量得底面直径是8米，深米． (1)在这个水池的底面和四周抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ (2)这个水池最多能蓄水多少吨？（1立方米水重1吨） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 圆柱及其侧面展开图 教学目标 1.理解圆柱是由长方形旋转形成的立体图形； 2.掌握圆柱是由2 个底面、1 个侧面组成的；理解底面、侧面、高、母线等概念； 3.理解圆柱侧面沿高展开后的图形是 “长方形”能说出长方形的 “长 与圆柱底面“周长”之间的关系；计算侧面展开图的长和宽或根据侧面展开图的长和宽，反求圆柱的底面周长或高. 4.掌握圆柱表面的组成，能计算圆柱表面积和体积 教学重难点 1.重点 圆柱侧面展开图形及表面积、体积的计算； 2.难点 理解圆柱侧面展开图的长和宽与圆柱底面圆及高的关系. 知识点01 圆柱的基本概念 1. 面动成体，认识 “圆柱的形成” 如图，将长方形OAA’O’以它的一条边OO’所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成的立体图形叫作圆柱体，简称圆柱. . 2. 拆解圆柱，认识 “圆柱的组成” 3. 核心概念： 底面：2个大小相等的圆形，互相平行； 侧面：1个曲面，围成圆柱的 “侧面部分”； 高：连接两底面圆心的线段（或两底面之间的垂直距离），所有高的长度相等. 母线：圆柱的母线长就等于圆柱的高. 侧面展开图:侧面展开是个长方形,它的长是底面圆的周长，它的宽是圆柱的高. 知识点02 圆柱的侧面展开图 1.圆柱的侧面积公式： S侧=Cl=2πrl=2πrh. 其中，S侧表示圆柱的侧面积，r、C、I和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高. 【即学即练】 例1 如图8-1-6,以长方形ABCD的一边所在的直线为轴旋转一周，得到了圆柱1和圆柱2. 回答下列问题： (1)分别指出圆柱1、圆柱2是以该长方形的哪一条边所在的直线为轴旋转而成的； (2)根据图中的已知数据，分别求圆柱1、圆柱2的侧面积(π取3.14,结果精确到0.1 cm²) 解：（1）圆柱1是长方形ABCD以AB边所在的直线为轴旋转一周得到的； 圆柱2是长方形ABCD以BC边所在的直线为轴旋转一周得到的. （2）根据题意，圆柱1的母线长为2cm,它的底面半径为3 cm; 圆柱2的母线长为3cm,它的底面半径为2cm. 所以，圆柱1的侧面积：S侧=2πrl=2π×3×2=12π≈37.7(cm²). 同样地，圆柱2的侧面积：S侧=2πrl=2π×2×3=12π≈37.7(cm²). 知识点03 圆柱的表面积和体积 1. 圆柱的表面积 圆柱的表面由它的侧面和两个底面组成.因此，圆柱的表面积等于它的侧面积与两个底面积的和，即 S表=S侧+2S底=2h+2 2. 圆柱的体积 （1）分析策略 推导圆的面积公式时的策略是：化圆为方（长方形）； 推导圆柱体积公式时的策略是：化曲为方（长方体）. （2）圆柱体积公式 【即学即练】 例2如图这是一个用新型合金片制作的空心圆柱形工件.已知该工件的底面直径d=10cm,高h=15cm.请确定制作这样一个工件所需合金片的面积(π取3.14). 解： 根据题意，制作这样一个工件所需合金片的面积即为该圆柱的表面积 因为S表=S侧+2S底=2h+2 得S表==h+2=200π=628(cm²). 答：制作这样一个工件所需合金片的面积约为628cm². 例3 分析：因为V圆柱体=V长方体+V正方体 V圆柱体=15+8=1412 (cm³). 又因为圆柱的底面直径为12cm,所以圆柱的底面积S底=36(cm²). 又因为圆柱的体积V=Sh,所以圆柱体金属块的高h==12.5（cm）. 例4琳琳不小心将石头扔进了一个底面半径为厘米的圆柱形容器里．如图，浸入石头后水深为厘米，拿出石头后水深为厘米，这块石头的体积是多少？ 【详解】根据圆柱的体积公式可得， 这块石头的体积（立方厘米）， 答：这块石头的体积是立方厘米． 题型01 圆柱的形成 【典例1】如图，下面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体，据此分析。 【解析】 A． 绕轴旋转一周得到圆锥； B． 绕轴旋转一周得到圆柱； C． 绕轴旋转一周得到圆台； D． 绕轴旋转一周得到半球。 故答案为：B 【变式1】纸片和小棒做成下面的小旗，快速旋转小棒，想象纸片旋转所形成的图形是（    ）。 A．          B．           C．          D． 【答案】D 【分析】先判断小旗的形状，根据小旗的形状结合圆锥、圆台、球、圆柱的特征判断旋转后形成的图形即可。 【解析】小旗是正方形，旋转后会形成一个圆柱体。 故答案为：D 【变式2】下图是一个长方形，沿着它的一条对称轴旋转一周得到的立体图形是一个（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．球 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的特征，熟练掌握圆柱的特征是解此题的关键． 根据圆柱的特征，圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆面，侧面是一个曲面，侧面展开是一个长方形，进行判断即可得到答案． 【详解】解：沿着长方形的一条对称轴旋转一周得到的立体图形是一个圆柱； 故选：B． 【变式3】下列图形中，有几个圆柱体（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据圆柱的特征：上下两个底面大小相等且平行即可得解．掌握圆柱的特征是解题的关键． 【详解】解：上面图形中是圆柱的有图1、图3和图5 ，共3个． 故选：B 【变式4】沿长方形的一条边旋转一周，形成下面的两个圆柱． (1)圆柱①是以 边所在的直线为轴旋转而成的，高是 ，底面半径是 ． (2)圆柱②是以 边所在的直线为轴旋转而成的，高是 ，底面半径是 ． 【答案】(1)或，，3 (2)或，3 ， 【分析】本题考查了圆柱的认识及特征，圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体． （1）观察图形的特征，即可作答． （2）观察图形的特征，即可作答． 【详解】（1）解：圆柱①是以或边所在的直线为轴旋转而成的，高是，底面半径是； （2）解：圆柱②是以或边所在的直线为轴旋转而成的，高是，底面半径是． 题型02 圆柱的基本概念 【典例1】圆柱的上、下两面都是 形，而且大小 ，圆柱的侧面沿高展开是 形或 形，它的一边是圆柱的 ，相邻的另一边是圆柱的 ．一个圆柱体有 条高． 【答案】 圆 相等 长方 正方 底面周长 高 无数条 【分析】根据圆柱的特征，圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形或正方形，这个长方形或正方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，一个圆柱体有无数条高，由此解答即可． 【详解】圆柱的上、下两面都是圆形，而且大小相等，圆柱的侧面沿高展开是长方形或正方形，它的一边是圆柱的底面周长，相邻的另一边是圆柱的高，一个圆柱体有无数条高． 故答案为：圆，相等，长方，正方，底面周长，高，无数条． 【点睛】考查了圆柱的特征，圆柱的展开图，熟练掌握圆柱的特征和展开图是解答本题的关键． 【变式1】 圆柱的组成． 【答案】见详解 【分析】此题考查了学生对圆柱的认识，解题的关键是掌握圆柱的定义． 根据圆柱的特征即可得出答案． 【详解】解：如图： 【变式2】在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图． (1)该几何体的名称是________，其底面半径为________，上底面周长为________． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱；1； (2) 【分析】本题主要考查了圆柱的展开图，圆柱的底面周长和侧面积计算，熟知圆柱的展开图是解题的关键． （1）上下底面是圆，侧面是长方形，则该几何体是圆柱，再根据图中的数据可得底面半径和上底面周长； （2）圆柱侧面积等于底面周长乘以高，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得该几何体是圆柱，底面直径为2， 故其底面半径为1，上底面周长为； （2）解：， 故该几何体的侧面积为． 【变式3】一个圆柱形蛋糕盒的底面直径是，高是，用彩绳捆扎蛋糕盒，打结处需要彩绳（如图），捆扎这个蛋糕共需要 彩绳． 【答案】280 【分析】本题主要考查了圆柱的认识及特征，利用圆柱的特征，根据图示找出彩绳的长度包含哪几个部分是解题关键． 底面直径是，高是，打结部分长度是，根据彩绳的长度底面直径＋高打结部分长度，代入数据计算即可． 【详解】解： （）， 故答案为：280． 【变式4】一个长、宽的长方形，以长为轴旋转一周，形成的圆柱的底面半径是 ，高是 ． 【答案】 【分析】长方形绕一边旋转形成圆柱时，旋转轴对应的边为圆柱的高，另一条边为圆柱的底面半径． 【详解】以长方形的长（）为旋转轴，旋转轴对应的边长（长）为圆柱的高，另一条边长（宽）绕轴旋转，形成圆柱的底面半径； 因此，底面半径为，高为． 故答案为；． 题型03 圆柱的侧面展开图 【典例1】圆柱的体积是30立方厘米，底面积是6平方厘米，高是 厘米．一个圆柱的底面周长是10厘米，高是1.5厘米，它的侧面积是 平方厘米． 【答案】 5 15 【分析】此题主要考查圆的周长和面积公式，圆柱的侧面积、体积的计算方法．第一个空根据圆柱体积公式，变形得高；第二个空直接应用圆柱侧面积公式计算即可． 【详解】解：第一个空：（厘米）； 第二个空：（平方厘米）； 故答案为：5，15． 【变式1】矩形，，，以直线为轴旋转一周所得到的圆柱侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆柱的表面积计算，得到圆柱的底面半径和高是解题的关键； 先由题意得出以直线为轴旋转一圈，所得到的圆柱的底面半径是，高是，进而求出圆柱的侧面积． 【详解】解：因为 以直线为轴旋转， 则圆柱的高 ， 底面半径 ， 底面周长 ， 所以侧面积 ； 故选B． 【变式2】把一个圆柱形食品罐头的侧面包装纸展开，得到一个正方形，这个圆柱形罐头的底面半径是5厘米，圆柱形罐头的高是（ ）． A．31.4厘米 B．15.7厘米 C．78.5厘米 D．10厘米 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，由于侧面展开是正方形，圆柱的高等于底面周长． 【详解】解：∵侧面展开图是正方形， ∴圆柱的高h=底面周长C， ∵底面周长，半径， ∴， 因此，圆柱形罐头的高为31.4厘米． 故选：A． 【变式3】一个圆柱的侧面积是188.4平方分米，底面半径是2分米．它的高是多少分米？ 【答案】15分米 【分析】本题考查了圆柱的侧面积公式的应用．侧面积＝底面周长×高，因此高＝侧面积÷底面周长．已知侧面积，根据底面半径可以求出底面周长，这样就可以求出圆柱的高． 【详解】解：（分米）， （分米）， 即它的高是15分米． 【变式4】如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了半圆和半圆柱侧面积的求解，求出半圆的半径是解决本题的关键． 根据题意可得半圆的半径米，暖房的长度为b米，再根据面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据图片可得面积由两部分组成为半个圆柱的侧面积和一个半圆的面积， ∵半圆的直径为a米，暖房的长度为b米， ∴半径米， ∴半个圆柱的侧面积， ∴代入得，， ∵半圆面积公式， ∴代入得，， ∴所需塑料薄膜的总面积为． 故答案为：． 题型04 圆柱的表面积 【典例1】有一张长方形铁皮按如图剪下阴影部分制成圆柱体，这个圆柱体的表面积是 平方分米． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的表面积求解，解题的关键是熟练掌握圆柱的表面积计算公式． 根据圆柱的表面积计算公式，首先需要确定圆柱的底面直径和高，然后计算底面积和侧面积，最后求得表面积． 【详解】解：圆柱的底面直径(分米) 圆柱的高： (分米) 所以两个底面的面积和是： (平方分米) 侧面积是：(平方分米) 所以表面积是： (平方分米) 故答案为：． 【变式1】长为4，宽为2的长方形绕其中一边旋转所构成几何体的表面积为多少？（结果保留π） 【答案】或 【分析】本题考查圆柱的表面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 旋转后的几何体是圆柱体，先确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的表面积公式求解． 【详解】解：当4作圆柱的高时： ； 当2作圆柱的高时： ； 答：它们的表面积分别是或． 【变式2】下面是一个圆柱沿着底面直径竖直对半切开后的图形，求它的表面积．（单位：） 【答案】 【分析】此题属于圆柱的表面积的实际应用，根据圆柱的表面积公式解答即可． 这个图形的表面积＝圆柱一个底面积＋圆柱侧面积的一半＋一个长方形的面积，根据圆的面积，圆柱侧面积，求出这个图形的表面积即可． 【详解】解： ． 【变式3】把一个棱长8厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少？ 【答案】301.44平方厘米 【分析】本题考查了圆柱的表面积．在正方体里削最大的圆柱，那么正方体的棱长就是圆柱的底面直径，也是圆柱的高．已知圆柱的底面直径与高就可以求出圆柱的侧面积和底面积，最后相加求得表面积． 【详解】解：（平方厘米）， （平方厘米）， （平方厘米）， 即这个圆柱的表面积是301.44平方厘米． 【变式4】如图，把一个底面半径是的圆柱，切拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来增加了，原来圆柱的高是（    ）． A． B．10 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与圆柱体相关的知识，正确理解题意转化题中的已知条件，抓住圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体的方法，得出表面积中增加的是以圆柱的高和半径为边长的长方形的面积是解决此类问题的关键． 根据题意可知，圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体后，表面积比原来的圆柱的表面积增加了两个以圆柱的高和半径为边长的长方形的面积，由此即可解答． 【详解】解： ， 所以圆柱的高为， 故答案为：C． 题型05 圆柱的侧面展开图 【典例1】圆柱的体积是30立方厘米，底面积是6平方厘米，高是 厘米．一个圆柱的底面周长是10厘米，高是1.5厘米，它的侧面积是 平方厘米． 【答案】 5 15 【分析】此题主要考查圆的周长和面积公式，圆柱的侧面积、体积的计算方法．第一个空根据圆柱体积公式，变形得高；第二个空直接应用圆柱侧面积公式计算即可． 【详解】解：第一个空：（厘米）； 第二个空：（平方厘米）； 故答案为：5，15． 【变式1】分别计算圆柱的表面积和体积（结果保留）． 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题考查圆柱的表面积和体积，根据圆柱的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】解：由题意，圆柱的表面积为； 圆柱的体积为． 【变式2】两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4cm和8cm，高分别为20cm和9cm．先在右侧容器中倒满水，然后把右侧容器的水向左侧容器倒，当左侧容器倒满水后，求：此时右侧容器的水面高为多少cm？ 【答案】4cm 【分析】本题主要考查了求圆柱的体积，一元一次方程的应用， 分别求出两个容器的体积，再求出体积的差，然后根据剩余体积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：右侧圆柱容器的体积为，左侧圆柱容器的体积是， 所以． 设右侧圆柱容器的水面高为，得 ， 解得， 所以右侧容器的水面高为． 【变式3】有甲、乙两个圆柱形容器，从里面量得它们的半径分别是10厘米和5厘米，两个容器的水深分别是10厘米和15厘米． (1)甲、乙两个容器分别装有多少毫升的水？ (2)如果将乙容器中的一部分水倒入甲容器，使得两个容器的水面一样高．这时水深为多少厘米？ 【答案】(1)3140毫升；毫升 (2)11厘米 【分析】该题考查了圆柱的体积． （1）圆柱形容器中水的体积取决于容器的底面积和水的深度．底面积通过圆的面积公式（）计算得出，其中r为半径．甲容器的半径为10厘米，所以底面积为 平方厘米．已知水深为10厘米，体积则是底面积乘水深，即 立方厘米．1立方厘米等于 1 毫升，甲容器中水的体积为3140毫升．乙容器同理，半径为5厘米，底面积为平方厘米，水深15厘米，体积为 立方厘米，即毫升． （2）首先分别求出甲、乙两个容器的底面积．甲容器底面积为314平方厘米，乙容器底面积为平方厘米．然后计算水的总体积，即甲容器中水的体积3140立方厘米加上乙容器中水的体积立方厘米，得到立方厘米．要使两个容器的水面高度相同，那么水的总体积不变，将总体积按照两个容器底面积的比例进行分配，就能得到相同的水深．也就是用总体积除两个容器底面积之和，就可以得出此时的水深． 【详解】（1）解：甲容器的半径为10厘米，底面积为：（平方厘米） 水深10厘米，体积为：（立方厘米）， 因为1立方厘米毫升，所以甲容器水的体积为3140毫升． 乙容器的半径为5厘米，底面积为：（平方厘米）． 水深15厘米，体积为：立方厘米毫升， 乙容器水的体积为毫升． 答：甲容器装有3140毫升水，乙容器装有毫升水． （2）解：甲容器的底面积为314平方厘米，乙容器的底面积为78.5平方厘米． 水的总体积为：（立方厘米）， 两个容器底面积之和为：（平方厘米）， 此时水深：（厘米）， 答：这时水深为11厘米． 【变式4】把一个底面直径为、高为的圆柱形塑料杯装满水，再把水倒入一个底面直径为的圆柱形玻璃杯中（没有溢出）．求这个玻璃杯中水的高度． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，圆柱的体积公式，解题的关键是掌握圆柱的体积公式． 设这个玻璃杯中水的高度为，利用水的体积不变，建立方程求解． 【详解】解：设这个玻璃杯中水的高度为， 由题意得，， 解得， 答：这个玻璃杯中水的高度为． 题型06 圆柱的综合题 【典例1】有一个如图所示的箱子，其上半部分的形状是一个圆柱的一半，下半部分是以一个棱长为1米的正方体，已知每涂1平方米需要油漆0.5千克，那么要把这个箱子的外表面都涂上油漆，共需要油漆 千克。（π取3.14） 【答案】3.6775 【分析】根据题意可知，上半部分要涂色的面积是一个圆柱的表面积的一半，下半部分要涂色的面积是正方体的5个面的面积；根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，代入数据再除以2即可求出上半部分涂色的面积；然后先用1×1求出正方体一个面的面积，再乘5即可求出下半部分涂色的面积；再用加法即可求出总面积，然后乘0.5千克，即可求出油漆的总千克数。 【解析】2×3.14×（1÷2）2＋3.14×1×1 ＝2×3.14×0.52＋3.14×1×1 ＝2×3.14×0.25＋3.14×1×1 ＝1.57＋3.14 ＝4.71（平方米） 【变式1-1】.71÷2＝2.355（平方米） 【变式1-1】×1×5＝5（平方米） 【变式1-1】.355＋5＝7.355（平方米） 【变式1-1】.355×0.5＝3.6775（千克） 共需要油漆3.6775千克。 【变式1】圆柱、正方体和长方体的底面周长相等，高也相等，则（    ）的体积最大。 A．圆柱 B．正方体 C．长方体 D．都一样 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式：，正方形的周长公式：，长方形的周长公式：，因为在平面图形中，当圆的周长、正方形的周长、长方形的周长相等时，圆的面积最大，再根据圆柱、正方体、长方体的统一体积公式：，所以圆柱、正方体和长方体的底面周长相等，高也相等时，圆柱的体积最大。据此解答即可。 【解析】因为在平面图形中，当圆的周长、正方形的周长、长方形的周长相等时，圆的面积最大，所以圆柱的底面积最大，再根据圆柱、正方体、长方体的统一体积公式：，所以圆柱、正方体和长方体的底面周长相等，高也相等时，圆柱的体积最大。 故答案为：A 【点睛】解答此题的关键是明确：在平面图形中，当圆的周长、正方形的周长、长方形的周长相等时，圆的面积最大。 【变式2】下图这个长方形的长是2厘米，宽是1厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。这两个圆柱的（    ）。 A．体积相等 B．底面积相等 C．表面积相等 D．侧面积相等 【答案】D 【分析】以长为轴旋转一周，可得到一个底面半径是1厘米，高是2厘米的圆柱；以宽为轴旋转一周，可得到一个底面半径是2厘米，高是1厘米的圆柱；根据圆柱的底面积公式：S＝πr2 ，侧面积公式：S＝2πrh，表面积公式：S＝2πr2＋2πrh，体积公式：V＝πr2h，代入数据求解，再比较即可。 【解析】底面半径是1厘米，高是2厘米的圆柱， 底面积：3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 侧面积：2×1×3.14×2＝12.56（平方厘米） 表面积：2×3.14＋12.56 ＝6.28＋12.56 ＝18.84（平方厘米） 体积：3.14×2＝6.28（立方厘米） 底面半径是2厘米，高是1厘米的圆柱， 底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 侧面积：2×2×3.14×1＝12.56（平方厘米） 表面积：2×12.56＋12.56 ＝25.12＋12.56 ＝37.68（平方厘米） 体积：12.56×1＝12.56（立方厘米） 3.14≠12.56 底面积不相等； 12.56＝12.56 侧面积相等； 18.84≠37.68 表面积不相等； 6.28≠12.56 体积不相等。 故答案为：D 【变式3】如图，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，围成不同于圆柱A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积多少？ 【答案】圆柱B的体积为． 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图和围成圆柱的各个量之间的对应关系，熟悉圆柱的体积公式是解答本题的关键．根据高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图求得围成不同于A的另一个圆柱B的底面周长是，高是，再根据圆柱的体积等于底面积×高进行计算． 【详解】根据题意，得到另一个圆柱B的底面周长是，高是， 则圆柱B的体积为． 【变式4】求图形的表面积和体积（单位：厘米） 【答案】表面积为平方厘米，体积为立方厘米； 【分析】根据正方体的表面积和体积、圆柱的表面积和体积进行计算； 【详解】解：表面积为： 平方厘米； 体积为： 立方厘米； 一、单选题 1．笑笑将一张长方形纸分别沿其长和宽围成两个不同的圆柱形纸筒，若给这两个纸筒都配上两个底面，则这两个圆柱相比较，它们（    ）（如图，接头处尽可能不重叠）    A．体积相等，表面积也相等 B．体积不相等，表面积相等 C．体积相等，表面积不相等 D．体积不相等，表面积也不相等 【答案】D 【分析】根据圆柱的表面积公式和体积公式，即可判断解答． 【详解】解：圆柱的表面积侧面积底面积， 题中两个圆柱的侧面积就是长方形的面积，但是底面积不相等，故两个圆柱的表面积不相等； 设长方形的长为，宽为，根据圆的周长公式，可得两个圆柱的底面半径分别为，，根据圆柱的体积公式可得，两个圆柱的体积为，，因为长方形的长和宽不相等，所以， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积和圆柱的体积，熟知相关公式是解题的关键． 2．如图，长方形的长是4厘米，宽是2厘米．分别以长边和宽边所在的直线为轴，旋转一周可以得到两个不同的圆柱．这两个圆柱的体积（　　） A．甲大 B．乙大 C．同样大 D．无法判断谁大 【答案】B 【分析】根据题意可知，以长方形的长边为轴旋转一周得到的圆柱的底面半径是2厘米，高是4厘米；以长方形的宽边为轴旋转一周得到的圆柱的底面半径是4厘米，高是2厘米；根据圆柱的体积公式：，把数据分别代入公式求出它们的体积进行比较即可． 【详解】解：甲： =3.14×4×4 =50.24（立方厘米） 乙： =3.14×16×2 =100.48（立方厘米） 100.48＞50.24 答：乙的体积大． 故选：B。 【点睛】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 3．张阿姨买了一个圆柱形透明玩具收纳桶（如图），这个收纳桶的侧面积是11304，这个收纳桶的底面周长是（ ）． A．9420 B．706.5 C．2826 D．94.2 【答案】D 【分析】本题考查了圆柱的侧面积，根据题意，换算成同一单位，结合圆柱的侧面积公式：圆柱的面积底面周长高，可知：底面周长圆柱的面积高，代入数据，计算即可． 【详解】解：， ， 这个收纳桶的底面周长是94.2cm， 故选：D． 4．学校要制作10节圆柱形铁皮通风管，每节通风管的底面直径为0.6米，长2米，做这些通风管至少需要（   ）平方米的铁皮． A．3.768 B．5.5652 C．43.332 D．37.68 【答案】D 【分析】本题考查圆柱的侧面积，根据圆柱体的侧面积为底面圆的周长乘以高解答即可． 【详解】解：(平方米)， 故选：D． 5．做一根长3米的圆柱形通风管，横截面直径是米，做这根通风管至少需要材料（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据通风管的横截面直径，可先求出横截面的周长，进而得出圆柱的侧面积，即为通风管需要的材料． 【详解】解：因为通风管的横截面直径是米， 所以横截面的周长为米． 又圆柱形通风管的长为3米， 所以圆柱形通风管的侧面积为：平方米． 即需要的材料至少为平方米． 故选：A． 【点睛】本题考查圆柱的侧面积计算，在求通风管需要材料时，熟知不能加上两个底面的面积是解题的关键． 6．有一支牙膏的口子直径为，小丽每次挤出长，共挤了36次用完，后来公司把直径改为，小丽还是每次挤出长，挤了（　　）次用完． A．32 B．30 C．28 D．25 【答案】D 【分析】本题考查圆柱的体积，熟练掌握圆的体积公式是解题的关键． 根据题意可知每次挤出的牙膏的形状是圆柱体，先求出当牙膏出口处直径为时，每次挤出的牙膏的体积，然后求出用36次的牙膏的体积，也就是牙膏的体积；再求出当牙膏出口处直径为时，每次挤出的牙膏的体积，然后求出用的次数即可解决问题； 【详解】解：， 当牙膏出口处直径为时，每次挤出的牙膏的体积： ， 牙膏的体积：， 当牙膏出口处直径为时，每次挤出的牙膏的体积： ， 用的次数：（次）， 答：挤了25次用完． 故选：D． 二、填空题 7．把一个底面直径是4厘米圆柱体的侧面展开后，正好得到一个正方形，圆柱体的高是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查圆柱的计算，几何体的展开图，解题的关键是理解题意，圆柱的高等于圆柱底面圆的周长． 【详解】解：圆柱的高（厘米）． 故答案为：． 8．一个长方形的长是，宽是，以它的一边为轴旋转一周，所得到的圆柱的表面积为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体表面积计算公式．根据圆柱体的表面积侧面积底面积求解，分两种情况考虑即可． 【详解】解：若以长（）为轴，旋转一周，则为底面圆半径，所以， 若以宽（）为轴，旋转一周，则为底面圆半径，所以. 故答案为：或． 9．如图所示，把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成个近似的长方体，表面积比原来增加了200平方厘米．已知这个圆柱的高为20厘米，则这个圆柱的体积是 立方厘米    【答案】 【分析】先求得底面圆的半径，再根据体积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得：底面圆的半径为 则圆柱的体积为： 故答案为： 【点睛】此题考查了圆柱的体积求解，解题的关键是正确求得底面圆的半径． 10．如图所示，将一个长为、宽为的长方形铁片沿宽卷成一个圆桶，另加一个底面，则这个圆桶的最大容积是 （取3）． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的体积，解题关键是掌握圆柱的体积公式． 直接利用圆柱的体积公式求解． 【详解】解：将一个长为、宽为的长方形铁片沿宽卷成一个圆桶，另加一个底面，这个圆桶的最大容积是， 故答案为：． 11．一个容积为的瓶子未开封时相关数据如图所示．将溶液倒出部分后，液面恰好在瓶身与瓶颈的交接处，此时溶液高度为（如图2）．将图2中的瓶子倒放时，溶液高度为（如图3）．则图2中溶液的体积为 ，图中溶液的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱体体积的计算，设瓶底的底面面积为，根据题意得出，结合图形求得图2中溶液的体积；同样求得瓶口的面积得出瓶颈部分的溶液体积，即可求解． 【详解】解：设瓶底的底面面积为，根据图2和图3可得， ∴ ∴则图2中溶液的体积为 则瓶颈部分的体积为 则瓶口的面积为 ∴瓶颈部分的溶液体积为 ∴图1中溶液的体积为 故答案为：，． 12．如图，长方形的长是，宽，图中的虚线是长方形的宽的中点连线，以虚线为轴旋转一周，所形成的立体图形的表面积是 ，体积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱的表面积、圆柱的体积、圆柱的认识及特征，解题的关键是掌握以上公式． 根据圆柱的定义：一个长方形长，宽，以宽边的中点连线为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，这个圆柱的底面半径是，高是，根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，求出表面积；根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，解答即可． 【详解】解： （）； （）； 长方形的长是，宽，图中的虚线是长方形的宽的中点连线，以虚线为轴旋转一周，所形成的立体图形的表面积是，体积是． 三、解答题 13．求图中的体积（单位：厘米）． 【答案】 【详解】假设在上方拼接一个完全相同的物体，可以得到一个圆柱，所求图形的体积是该圆柱的一半；本题主要考查了求立体图形的体积，熟练掌握拼接法是解题的关键． 【点睛】解：如图， ． 14．如下图：用一张长82.8厘米、宽10厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）．      【答案】1570立方厘米 【分析】由题意可知：在长方形上剪一个最大的圆，圆的直径应该是10厘米，把剩下的铁皮分成两块，把两块上下对接，围成的圆柱的高是20厘米．根据圆的面积计算公式，算出圆的底面积，再根据圆柱的体积，算出圆柱的体积即可． 【详解】解： （立方厘米） 答：这个铁皮水桶的容积是1570立方厘米． 【点睛】本题主要考查圆柱的体积，掌握圆柱的体积公式是解题的关键． 15．已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的长方形，长为，宽为，那么这个圆柱底面圆的半径是多少？ 【答案】2或3 【分析】考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解． 分底面周长为和两种情况讨论，求得底面半径． 【详解】解：①底面周长为时，圆柱底面圆的半径为； ②底面周长为时，圆柱底面圆的半径为． 答：这个圆柱底面圆的半径是2或3． 16．一个圆柱形水池，从里面量得底面直径是8米，深米． (1)在这个水池的底面和四周抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ (2)这个水池最多能蓄水多少吨？（1立方米水重1吨） 【答案】(1)平方米 (2)吨 【分析】本题考查学生对圆柱的体积公式及表面积公式的掌握与运用情况． （1）求水池的底面和四周抹上水泥的面积，就是求这个圆柱的表面积，即，侧面积一个底的面积=抹水泥的部分的面积． （2）求这个水池最多能蓄水多少吨，其实就是求水池的内部容积，求出容积再转化成水的重量． 【详解】（1）解：抹水泥的面积是： （平方米）， 答：在这个水池的底面和四周抹上水泥，抹水泥的面积是平方米； （2）解：蓄水的吨数： （吨）， 答：这个水池最多能蓄水吨． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $