贵州铜仁市2026年2月期末质量监测高三数学试卷

2026年2月质量监测试题 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上。 2．答题时，第I卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚。在试题卷上作答无效。 3．本试题卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。 4．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.若复数满足(其中为虚数单位)，则在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在中，是边上一点，且满足若，则实数（ ） A. B. C. D. 4.为助力铜仁市创建全国文明城市，某社区从包括甲、乙、丙在内的5名志愿者中选出2人作为创文知识宣讲员，则甲、乙、丙三人中恰有2人被该社区选中的概率为（ ） A. B. C. D. 5.已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 7.已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B.成等差数列 C. D. 8.已知函数的定义域为，且，若函数与函数图象的交点为则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.电影《哪吒2》在全国各地热映，某影院连续8天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，180，160，170，160，则这组数据的（ ） A.众数为160 B.中位数为170 C.平均数为140 D.第30百分位数为90 10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A.的最小正周期为 B. C.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，再将所有点的 横坐标伸长为原来的2倍，可得到函数的图象 D.若函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是 11. 黄金分割，是一种公认的既美观又和谐的比例，具有艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，分别是椭圆的右焦点和左顶点，是短轴的一个端点，为上任意一点，直线与轴交于点， 则（ ） A. B. C.若，则直线的斜率满足 D.若直线与椭圆交于另一点，为弦的中点，则 第Ⅱ卷（92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.的展开式中的系数是____________________.（用数字作答） 13.若直线平分圆的周长，则的最小值为____________________. 14.已知圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为____________________. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在锐角中，内角的对边分别为，且． (1) 证明：； (2) 若，且边上的中线的长度为，求的值. 16.(本小题满分15分)设甲、乙两位同学在2026年元旦放假期间(共3天)，每天参加体育锻炼的概率均为，且甲、乙两人的锻炼情况互不影响，每位同学每天锻炼情况相互独立. (1) 用表示甲同学在2026年元旦放假期间锻炼的天数，求随机变量的分布列和数学期望； (2) 在2026年元旦放假的三天中，求“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”的概率. 17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，为的中点，且. (1) 求证：平面； (2) 求平面与平面的夹角的余弦值. 18.(本小题满分17分)已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，渐近线方程为 (1) 求的方程； (2) 过点作两条互相垂直的直线，与双曲线的右支分别交于两点和两点. (i) 求四边形面积的最小值； (ii) 是否存在常数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 19.(本小题满分17分)已知函数． (1) 当时，求的极值； (2) 若恒成立，求实数的取值范围； (3) 证明：. 高三数学 第3页（共4页） 高三数学 第4页（共4页） 高三数学 第1页（共4页） 高三数学 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年2月质量监测 高三数学参考答案 一、单项选择题： 题号 2 3 4 6 7 8 答案 B D B A B D D C 二、 多项选择题： 题号 9 10 11 答案 AC ABD ABC 三、填空题： 题号 12 13 14 π 答案 24 4 5 四、解答题： 15、(本小题满分13分)：建议第一问6分，第二问7分 (1)证明： 由正弦定理知，a:b=sinA:sinB 1分 所以 sin2A b2 sin2B 2分 即sin2A-sin Acos B sin A cos B 3分 sin2B sin B cos A sin B cos A sin Acos A=sin B cos B 所以→sin2A=sin2B →2A=2B或2A+2B=π 5分 又因为ABC是锐角三角形 所以A=B 6分 或用余弦定理解答 (2)不妨设AD为BC边上的中线， 在ABC中，有cosB=c2+a-B, 7分 2ac 由(1)可得A=B,故a=b, 8分 即cosB= 93 9分 6a 2a 第1页共7页 在△ABD中，有 +8 -(AD)2 10分 cos B=- ac 1217 即39+a2 42. 12分 2a 3a 解得a=4. 13分 或用中线长公式或建系等。其他方法酌情给分 16、(本小题满分15分)建议第一问7分，第二问8分 (1)因为甲同学元旦放假的三天中锻炼情况相互独立，且每天参加体育锻炼的概率均为 1 故 2分 从而 k=0,1,2,3 4分 所以，随机变量X的分布列为： 0 1 2 3 8 4 P 27 9 6分 随机变量x的数学期望E()=3×1, 7分 (2)设乙同学元旦放假的三天中参加体育锻炼的天数为y,则 -3) ·8分 记事件M为“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天” 则M={X=3,Y=1U{X=2,Y=0}. 9分 由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0互斥， 10分 且事件{X=3与{Y=1),事件{X=2与{Y=0均相互独立， 11分 从而由(I)知： 第2页共7页 P(M)=P({X=3,Y=1}U{X=2,Y=0 12分 =P(X=3,Y=1+P(X=2,Y=0 13分 =P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0) 14分 =1×42x8-20 15分 279927243 17、(本小题满分15分)建议第一问7分，第二问8分 解：(1)证明：，底面ABCD是边长为2的正方形 ∴.BC⊥CD,BC=CD=2 1分 :△PCD是等边三角形 .PC CD =2 2分 又PB=2√2 D 0 .PC2+BC2=PB2 .∴∠PCB=90°，即BC⊥PC 3分 又.PC∩CD=C,PC,CDc平面PCD .BC⊥平面PCD 4分 :POc平面PCD .PO⊥BC 5分 :△PCD是等边三角形，且O为CD的中点 .PO⊥CD 6分 又CD∩BC=C,CD,BCc平面ABCD .PO⊥平面ABCD 7分 (2)过点O作OE∥BC交AB于点E,分别以OE,OC,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系Oxz,则 8分 A(2,-1,0),B(2,1,0),P(0,0,V3),D(0,-1,0) 9分 .AB=(0,2.0,PB=2,1-V3 设平面PAB的法向量为n=（x,y,z 2y=0 y=0 2x+y-V52=0解得 V3，令z=2,则n=V3,0,2 11分 x= 2 第3页共7页 又同理，平面ADP的法向量m=(0,√3，-1) 12分 m·n -2√7 ∴.cos(m,n》 V7×27 14分 平面DMP与平面PAB的夹角的余弦值为 15分 > 或几何法求面面角的余弦值 18、(本小题满分17分)建议第一问5分，第二问7分，第三问5分 2c=4 (1)由题意得 b3 2分 c2=a2+b3 解之得 a=5 4分 b=1 所以E的方程为 32=1. 5分 (2)（1)根据题意，直线l,l2的斜率都存在且不为0， 12 D 设直线1y=(x-2,4y=x-2刘，其中0， 因为4均与的右支有两个交点，所以9卦号所以时3， 6分 将4的方程与号=1联立，可得1-3)2+12x-122-3=0. 设Ax1,,C(x2,y2),则 -12k2 -12k2-3 +=-3k 1-3k2 7分 第4页共7页 所以AC=+k2x-=+及Vx+x)-4x =V1+k2 -12k2 -4x-122:3-+.251+E.251+) 8分 1-3k2 1-3k2 1-3k23k2-1 2W3(k2+1) 同理BD=3-k2 9分 m-cm-9-6 3-k2 10分 0(3k2-13-k2) 令1=+1，所以1-行小， 则八aw6 t2 11601P26 1 6 -3+1616 =6. 302+161-16 当分即=时，等号成立 故四边形ABCD面积的最小值为6. 12分 (ii)由(2)知 元=AC+BD AC.BD 11 -JAC BD 13分 3k2-1 3-k2 23(1+k52√3k2+D15分 =2k2+1) 23(k2+1D 3 16分 然天为常数，故存在常数入一3，使得4C+BD卡14C口BD 17分 19、（本小题满分17分)建议第一问5分，第二问7分，第三问5分 1)当a=1时，函数f田=，且定义域为R,则 -, 1分 第5页共7页 则xe(-o,1)时，f'(x)>0,当xe(,+0)时，f"'(x)<0, 2分 即f(x)在(-o,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， 3分 所以f(x)在x=1处取得极大值，无极小值，且 a闭=f0-日 5分 (2)当x>0时，fx)sg)等价于a≥el血-e 6分 令h()=enx-xe ,求导得 (x)=e'(x-1)X(lInx-x-1) 7分 令o)=lhx-x-1,则o0)=1-r, 当x∈(0，时，p'(x)>0,p(x)单调递增， 当xe(1,+0)时，0'(x)<0,p(x)单调递减， 8分 则p(x)≤p(1=-2,即nx-x-1<0恒成立， 9分 于是 当xe(0,时，h(x)>0,当xe(1,+o)时，h(x)<0, 即h)在(0,1上单调递增，在(L,+∞上单调递减， 10分 因此 h(x)≤h(1=-e, 11分 所以a的取值范围为[-e,+o). 12分 或同构 （3》由(2)可知，当a=e时，有-s≥nx- ,则 ex ≤1女，当且仅当=1时等号成立， 13分 因此 2 e- 15分 将以上n-1个不等式左右两边分别相加得 第6页共7页 23<a-0-哈+)=-付+付+。 1 23 1- =n- 人 _=n-e(1-e-") n+-e e-1 (e-1)e”e-1 e 证毕 17分 第7页共7页 2026年2月质量监测试题 高三数学答题卡 姓 名 班 级 准考证号 条形码粘贴区(居中) 缺考 违纪 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号，姓名及科目，在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，要求字体公整，笔记清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。 填涂样例 正确填涂 错误填涂 一. 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）。 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二. 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）。 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三． 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）。 12. 13. 14. 四． 解答题（本大题共5小题，共77分）。 15.（13分） 16.（15分） 17.（15分） 18.（17分） 19.（17分） 高三数学答题卡 第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $