第一章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版七年级下册

第一章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列算式中，结果等于的是（    ） A． B． C． D． 2．维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A．－ B． C． D．－ 5．若是一个完全平方式，则a的值为（   ） A． B． C．或5 D．3或 6．若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 7．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（    ） A． B． C． D． 9．用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 10．已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为 ． 13．若，则 ． 14．任意给一个非零数a，按下列程序进行计算，则输出结果是 ． 15．若，则的结果是 ． 16．若等式成立，则的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值； (2)若中的满足，且，求的值． 20．幂的运算综合应用： (1)已知 ，，求 和 的值； (2)若 ，，求 的值； (3)已知 ，，，试比较 a、b、c 的大小（提示：转化为指数相同的形式比较）． 21．定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 22．观察：． 嘉嘉发现规律：比任意一个奇数大4的数与此奇数的平方差能被4整除． 验证： （1）的结果是4的_____倍． （2）设奇数为，试说明比大4的数与的平方差能被4整除． 延伸： （3）试猜想比任意一个整数大4的数与此整数的平方差能否被8整除？请说明理由． 23．我们把多项式及叫做完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题如求代数式最大值，最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小． 例如：求代数式的最小值． 小明是这样做的：原式． ，当时，的最小值为3． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)若多项式，，试着比较多项式和的大小，并说明理由． 24．【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 25．【知识生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：_____． 【拓展探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：_____，方法2：_____，所以可得到等式：_____； 【迁移运用】 （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，则_____； ②已知，求的值． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列算式中，结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键，根据相关运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】∵ A： ，故选项不符合； B： ，故选项符合； C： ，故选项不符合； D： ，故选项不符合； 故选：B． 2．维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵， 故选D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂相乘，同底数幂相除． 根据运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 4．计算的结果是（    ） A．－ B． C． D．－ 【答案】A 【分析】通过简化指数表达式，利用负数的奇偶次幂性质，并将积的乘方的逆运算合并计算． 本题主要考查了同底数幂乘法的运算，积的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握各种运算的特点． 【详解】解： 原式   故选：A． 5．若是一个完全平方式，则a的值为（   ） A． B． C．或5 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴一次项为， ∴， ∴或， 故选：D． 6．若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，掌握不含某一项即该项的系数为的原则，以及准确找出所有生成目标项的项是解题的关键． 展开多项式乘积，找出所有产生项的项，令其系数之和为零，解出的值． 【详解】解：∵原式为， 项来源于： ∴项系数为， ∵计算结果不含项， ∴， ∴． 故选：B． 7．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和乘方运算，分别计算 a、b、c 的值，然后比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 8．对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，理解新运算法则是解答的关键．根据新运算的法则，列式计算即可． 【详解】解：原式 故选B． 9．用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为，先根据大的长方形的边的长度可得，再求出图（3）中的阴影部分的周长为，图（4）中的阴影部分的周长为，则可得，，然后根据长方形的面积公式可得，，由此即可得的值． 【详解】解：设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为， 图（3）中阴影部分的周长为， 图（4）中阴影部分的周长为， ∵图（3）和图（4）中的阴影部分的周长一样， ∴， ∵图（3）中，图（4）中， ∴， 得， ∴， ， ∴， 故选A． 10．已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的展开与系数比较，多项式乘法的系数计算，代数式求值等知识点．先根据多项式A的展开，求出a、b、c、d的值；然后分别验证三个说法：说法①直接计算；说法②通过中项系数为0推导f与e的关系；说法③利用，推导f与e的关系． 【详解】解：∵， 展开， 比较系数得：，，，且， ∴， 则，， ∴，故说法①正确； ∵，，， M中项系数来自： A的项的常数项：， A的项的x项：， A的项的项：， ∴项系数为， 令其为0：， ∴，故说法②正确； ∵，， 由于， 又∵N为整式， ∴余数，即，故说法③正确， 综上，三个说法均正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查负整数指数幂的运算规则，掌握负整数指数幂的转化方法是解题关键． 根据负整数指数幂的运算规则，（其中），直接代入计算． 【详解】解：由负整数指数幂的定义，． 故答案为：． 12．一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查长方形的面积公式，多项式除以单项式的运算法则，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题关键． 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将多项式除以单项式即可求解． 【详解】解：长方形的面积为，长为， 长方形的宽为． 故答案为：． 13．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，负整数指数幂，根据已知条件式可推出，所求式子可变形为，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．任意给一个非零数a，按下列程序进行计算，则输出结果是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方，单项式除以单项式，弄清题中的计算程序是解本题的关键． 根据程序，用含的代数式表示输出结果并化简即可． 【详解】解：任意给一个非零数，按下列程序进行计算， 则输出结果是 ． 故答案为：． 15．若，则的结果是 ． 【答案】18 【分析】根据非负数的性质，绝对值和平方项之和为零，则每个部分均为零，由此得到关于和的方程组，再将，再代入计算即可． 本题主要考查了平方差公式的应用以及非负数的性质，熟练掌握运用是解决问题的关键． 【详解】解：由题意，得， 即 解得 ∴ 故答案为：18． 16．若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂的性质和有理数的乘方． 需分类讨论等式成立的三种情况：指数为0且底数不为0、底数为1、底数为且指数为偶数． 【详解】解：当指数时，解得，此时底数，符合； 当底数时，解得，此时指数，，符合； 当底数时，解得，此时指数，为偶数，，符合； 故x的值为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)9 【分析】本题考查了幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、积的乘方以及负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握这些法则，并能够灵活运用． （1）先进行乘方运算确定符号，再进行同底数幂的乘法，最后合并同类项． （2）分别计算各项(负指数、零指数、乘方)，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后合并同类项，再进行多项式除以单项式．最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 19．定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值； (2)若中的满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，同底数幂相乘，正确理解题意列出式子是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可解答； （2）根据，求得，再求得，根据题意列出式子，整体代入即可解答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．幂的运算综合应用： (1)已知 ，，求 和 的值； (2)若 ，，求 的值； (3)已知 ，，，试比较 a、b、c 的大小（提示：转化为指数相同的形式比较）． 【答案】(1)20； (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，同底数幂除法的逆用，解题关键是掌握上述法则． （1）用逆用同底数幂乘法法则求，用逆用幂的乘方法则与逆用同底数幂除法法则求； （2）用逆用幂的乘方法则与逆用同底数幂除法法则求解； （3）先逆用幂的乘方将三个数的指数化为相同，再比较底数的大小，然后得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，，， ， ∴， 即． 21．定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义； （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据是的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的“友好多项式” 理由如下： ，， ， ∴满足的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； （2） ， 是的“特别友好多项式”， 且， 解得． 22．观察：． 嘉嘉发现规律：比任意一个奇数大4的数与此奇数的平方差能被4整除． 验证： （1）的结果是4的_____倍． （2）设奇数为，试说明比大4的数与的平方差能被4整除． 延伸： （3）试猜想比任意一个整数大4的数与此整数的平方差能否被8整除？请说明理由． 【答案】（1）14；（2）证明过程见解析；（3）能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）由题意得比奇数大4的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大4的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）， ； 故答案是：． （2）比奇数大4的数为， ． 为整数， 能被4整除． （3）能． 理由：设这个数为，则比大4的数为， ， 能被8整除， 比任意一个整数大4的数与此整数的平方差能被8整除． 23．我们把多项式及叫做完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题如求代数式最大值，最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小． 例如：求代数式的最小值． 小明是这样做的：原式． ，当时，的最小值为3． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)若多项式，，试着比较多项式和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据阅读材料，先将代数式配方后，再利用非负数的性质解答即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答即可； （3）计算，再根据非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的最小值为； （2）解：， , ， 当时，最大值为； （3）解：，理由如下， ，， ， ， ， ． 24．【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 【答案】（1）；（2）3；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3） ； （4） ． 25．【知识生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：_____． 【拓展探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：_____，方法2：_____，所以可得到等式：_____； 【迁移运用】 （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，则_____； ②已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①5；② 【分析】本题考查了完全平方公式的变形与几何意义，掌握完全平方公式的灵活变形是解决问题的关键． （1）图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图1中阴影部分的面积为长方形的面积，分别表示出来，再根据两个图中的阴影部分面积是相同的，即可得到等式； （2）图4中阴影正方形边长为，其面积可以由面积公式求解，也可以由边长为的大正方形的面积减去4个长方形的面积求得； （3）①由（2）得，再代值计算即可； ②利用整体思想，将，分别看成一个整体，结合完全平方公式可得，从而可求出的值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 故答案为：； （2）方法1：阴影部分面积为阴影部分正方形的面积，表示为：， 方法2：用大正方形的面积减四个长方形的面积，表示为：， 所以可得到等式：； 故答案为：； （3）①由（2）得， ∵， ∴， 故答案为：5； ②方法1：， ． 方法2：令， 则， 所以． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $