2024-2025高三综合能力调研检测数学B版（六）-【真题密卷】2025年高考数学综合能力调研检测（B版）

2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（六） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1,若之十i 7之-1=2i,则之= ( A.-63 B.-63 63 C.5+5 63 5十5 5-51 D.55 2.若p:函数f(x)=ln(x一1)的定义域为集合M,g:集合N={x|2<x<3},则p是g的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 .1 3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,A=60°，若cos2B=2, 则b= () A.1 B.3 C.2 D.22 4.从标号分别为1,2,3,4的四个不同圆形图标与标号分别为6,7,8的三个不同方形图标 中任取5个图标排成一排，则不同的排法共有 () A.504种 B.1260种 C.2160种 D.2520种 5.记等比数列a,的前n项和为S。,若S2=3a,则S- ( A.2m-1 B.2m+1-3 C.2n-n D.2m+1-3n 6.加斯帕尔一蒙日是18-19世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的 任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为 “蒙日圆”.现有如图所示半径为√7的“蒙日圆”，其内接矩形与一椭圆相切（直线与椭圆 有且只有一个公共点)，且切点为矩形各边的中点，若该矩形的面积为8√3，则该椭圆的 离心率为 () 数学试题（六）·第1页（共4页） 真题密卷·综 g=g■ 班级 姓名 B号 c A号 得分 7.已知底面边长为a,高为√3a的正三棱柱ABC-A1B,C1的顶点均在球O的表面上，则点 B1到平面A1C1O的距离为 1治 众 c0。 8.若方程x2lnx2一m=0与方程x2一x一2=0共有6个不同的实数根，则实数m的取值 范围为 () a(副 B.(-.0) c(-- 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.2024年巴黎奥运会中男单八进四中樊振东逆转张本智和挺进男单四强，体现了中国体 育健儿顽强的意志品质与拼博精神，其7场的得分分别为2,9,11,11,4,11,11，则这组 数据的 () A.极差为9 B.中位数为11 C.平均数大于9 D.30%分位数为9 10.已知函数f(x)=sim(2x一智)十1，则下列说法正确的是 () A.f(x)的最小正周期为π B若将fx)的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到函数g()的图象， 则gx)的解析式为s(x)=sin2(一】 C.f(x)的图象关于直线x= 对称 D.若fx)=fx)=1,则x1-x:是的整数倍 11.若函数f(x)=xe,则下列说法正确的是 A.fx)在x一1处取得极小值 B,当m>一。时，方程fx)=m有两个不同的实根 c()>f()>f() E的图象上运动，则点P到直线y=x一1距离的 能力调研检测 数学试题（六）·第2页（共4页） B 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量a=(-2,1),b=(1,-2),记向量a+十b与a-b的夹角为0，则sin0= 13.已知函数f(x)=-x2+2ax+3的最大值为4，则a= 14.已知点E(1,2)在抛物线C:y2=2x(p>0)上，且C的焦点为F,过点A(-1,0)作直 线1与C交于M(x1y),N(xy)两点，则+1的取值范围为 ;当l的斜 y1 y2 √2 率为'2时，△MNF的面积为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2√5S=3 bc cos A,其中S 为△ABC的面积. (1)求A; (2)若△ABC为锐角三角形，求C的取值范围. 16.(15分)假期某家长带着甲、乙两个小孩参与户外活动体验，锻炼小孩的适应能力与创 新能力，其中在参与“过独木桥”活动的过程中，每参与一次称为一次实险（不管是否通 过)，甲、乙两人能一次性通过的概率分别为力和日一p.者一次性通过得1分；没通过 得一1分，两人每次是否一次性通过均相互独立.已知甲、乙两人各实验一次，且两人得 分之和为0分的概率为2 (1)求p的值； (2)若甲一次性通过的概率小于乙一次性通过的概率，甲、乙两人各实验两次，求两人 3 得分之和X的分布列，并通过数据证明E(X)> ◇ 数学试题（六）·第3页（共4页） 真题密卷·综 17.(15分)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,平面ABCD是菱形，且PA= 2AB,PE=3EC. E D (1)求证：BD⊥平面PAC (2)若∠BCD=60°，求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值. 1817分)已知双曲线C:茶-1a>0,6>0)的左，右焦点分别为F,P,熊阳 为2√5，且点F2到其渐近线的距离为1. (1)求C的标准方程. (2)若点P(xo,yo)是C上第一象限的动点，过点P(xo,yo)作直线l(1不与渐近线平 行)，若1与C只有一个公共点，且1与x轴相交于点T(与点P不重合). PF TF (1)证明：PF2=TP2 (iⅱ)若点N在直线L上，且F2N⊥F2P,那么点N是否在定直线上？若在定直线 上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由 19.(17分)定义：如果存在点x。使得函数y=f(x)和y=g(x)在该点处的函数值相等， 则称函数y=f(x)与y=g(x)具有“关于xo的”关系. 1判断函数了()=e:-方x与g(2)=x十方-1是否其有关于，的关 关系； (2)若函数f(x)=(a+2)x与g(x)=lnx不具有“关于xo的”关系，求实数a的取 值范围； 者函数f(x)7十与g(x)=n(x十ID在区间0，+∞)上具有“关于x的 关系，求实数a的取值范围. 合能力调研检测 数学试题（六）·第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（六） 一、选择题 D C 1.D【解析】周为-2，整里得3i=(2-12,所以元 O 3i 3i(-1-2i)63, -1+2i（-1+2i)(-1-2i)5-5. 2.B【解析】由题意知M={x|x>1},N手M,所以p是 q的必要不充分条件. 3.A【解析】由正弦定理得a b sin A sin B,所以s sin 60 sinB,所以sinB= 2’ 又cos2B=1-2sin2B=1-2× 41 b21 2=2 4a2s30 所以0，=0C-Cr-=侣-云 6a. 设点B,到平面A1C1O的距离为h,则由等体积法可 解得b=1. 1 1 4.D【解析】由题意知共有A=7×6×5×4×3=2520 知V,A,g=Vo-BA,G,即3SAh=3SAB,GX001, 种排法. 1 1 5.A【解析】设等比数列{am}的公比为q, 即 2aX30 2a,化 因为S2=3a2,可得a1十a2=3a2,即a1=2a2,所以q -a21 简得h=3v30 20a. a=2’ 8.A【解析】因为方程x2-x一2=0有2个不同的解 a1(1-q") 所以S-1g x1=一1，x2=2,所以依题只需求出方程x21nx2-m=0 1-q" an a19a-gg=20-1. 有4个解的情况，且根不能为一1和2.对于x2lnx2-m 6.B【解析】设矩形的两边长分别为2a,2b(a>b),则 =0,记f(x)=x2lnx2,其定义域为{x∈R|x≠0}，且 (a2+b2=7, a2=4, f(-x)=f(x),所以函数f(x)=x21nx2为偶函数， 解得 故c2=a2-b2=1, 2a×2b=85,b2=3, 所以当x>0时，记t=x2,则g(t)=tlnt,所以g'(t) c 1 1 故该椭圆的离心率为e= a=2 =ln+1,当t(0,）时，g'()<0,g(®)单调递减i 7.C【解析】如图所示，设上底面A1B1C1外接圆的圆心 当（日，+∞）时，g')>0,ga)单调递增，当10 为01，半径为r1,则由正孩定理得1=2sin60=3a, a 时，ge0→0，当1+∞时，ge)→+0，且g(日)= 又因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以球心O 1 为上下底面中心连线的中点，正三棱柱的高为√3a,设 e 又因为∫(x)为偶函数，且当x=士1时，f(x)=0; 味0的半经为R,则A0-R=得。)广-停。)厂- 当x=士2时fc)=8n2>0,所以当-<m<0时，方程 e x1nx2-m=0有4个不同于一1和2的实数根.综上所 a2,又A1C0为等腰三角形，取A1C,的中点D1,连 接OD1,则OD1⊥A1C1, 运实敏m的取值范周为(。小 数学答案（六）·第1页（共5页） B 真题密卷 综合能力调研检测（六） 二、选择题 因为当x>-1时，y=(x0十1)e0单调递增，所以 9.ABD【解析】将这组数据从小到大排列为：2,4,9,11， (x0十1)e0=1有唯一的解， 11,11,11,所以极差为9，中位数为11， 观察可知x0=0,所以点P(0,0)到直线y=x一1距 平均数为2+4十9+11+11+11+1159<9， 7 后，故D正确 离的最小值为d=上=② 7×30%=2.1,所以30%分位数为9. 三、填空题 10.ACD【解析】对于A,f(x)的最小正周期为T= 2π 12.1【解析】由题意可得a十b=(-1,-1),a-b (-3,3),所以(a十b)·(a-b)=3-3=0, =元，故A正确；对于B,g)=sn2(x+）罗)十 所以(a+b)La-b),所以0-分，从而sin0=1. 1-1=sn2,故B倍溪影时子C,因为授×2-音 13.-1或1【解析】f(x)=-x2+2ax+3=-(x-a)2+ a2十3，函数图象开口向下，且对称轴为x=a,所以 暂所以fx)的图象关于直线红-晋对格，tC正 f(x)mx=f(a)=a2十3=4，解得a=-1或1. 确；对于D,令fc)=sim2x-写）+1=1，得2x-哥 14.(-∞，-1)U(1,十∞)；4【解析】由题可知4=2中， 所以饣=2，所以C:y2=4x. =x∈0，解得x“+晋∈刀，令1 k十 x-my+1=0, 设直线l:x-my十1=0，联立 y2=4x, k∈2Z,2:+日k,E2,所以x1-x 整理得y2-4y+4=0,因为1交C于M(x1,y1), N(x2,y2)两点，所以△=16m2-16>0,即m<-1 +吾-作+）=12，周为k:∈Z:∈Z 或m>1.且y1十y2=4m,y1y2=4, 1+1_y1十y2 y1 y2 yiy2 所以一6：∈乙，所以x!一：是2的整数倍，故D m,所以十1的取值范围为(-四，-1DU1,十四. y1 y2 正确. 11.ACD【解析】f(x)=xe的定义域为（一∞，十∞）， 当1的酬◆为号时，年1y-号十号 ,也就是1： f'(x)=(x+1)e, x-√2y十1=0，所以y1+y2=4W2,y1y2=4所以 当x∈（一∞，-1）时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(-1，十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. |MN|=W1+2|y2-y1|=J3×W(4W2)2-4X4= 对于A,由上可知，f(x)在x=-一1处取得极小值， 45,又点F到1的距离为d= ,所以S△FMN= √3 f(-1D=-。故A正确 合1MNXa=X48X后 =4. 对于B,因为当x<0时，f(x)<0,当x→一∞时，f(x)→ 3 0;当x≥0时，f(x)≥0，当x→十∞时，f(x)→+∞ 四、解答题 所以若方程f(x)=m有两个不同的实根，则必有 15.解：1由2w5S-3次A及S-csnA,得25× -1<m<0,故B错误： e 2 sin A=36 ccos A,整理得3sinA=3cosA,(3分) 对于C,因为f(x)在（一1，十∞）上单调递增， 且>≥-日>-1，片以1（侵》≥f份）产 即tanA=3,又0<A<,所以A=T 31 (5分) e f(),故C正确： (2)由1知A-了所以B+C-所以B-行-C, 对于D,设点P(xo,y0),由题可知(x。十1)e0=1, 又因为△ABC为锐角三角形，所以0<B=-C< 3 B 数学答案（六）·第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 ,且0C<即<C<所以 <sin C<1, 6 P0X=--P=-2)·Pg=-2)=()- (9分) (12分) 故甲、乙两人各实验两次，两人得分之和X的分布列为 又由正弦定理 sin Asin C,即￡=sinC sin C a sin A sin 3 4 2 0 2 -4 13 3 sin C2/3 3 2W3 36 6 36 3 Sinc,所以3=2v3 a 3 所以C (13分) W323 1 1 1 的取值范围为 3’3/ (13分) E(X)=4X9+2×3+(-2)×6+(-4)×36 16.解：(1)由题意，记“甲一次性通过”为事件A,“乙一次 性通过”为事件B,“两人得分之和为0分”为事件C, 故甲，乙两人各实验两次，E(X)>3 (15分) P(A)=B,P (A)=1-2,P (B)-6 一， 17.(1)证明：因为平面ABCD是菱形， 1 P(B)=p一6' 所以BD⊥AC, (2分) 因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, C=AB)UAB),所以P(C)=p×(b-日)+(1 所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,PA,ACC平面 PAC, p)x(日-p)=2, (3分) 所以BD⊥平面PAC. (5分) (2)解：设AC∩BD=O,取PC中点F,连接OF, 整理得6p2-7p+2=0,解得力=2或力=3(5分) 则OF∥PA,所以OF⊥平面ABCD,又AC⊥BD, 所以OB,OC,OF两两相互垂直，所以分别以直线 1 7 2 当p=2时，6-p=:当p 2时，6一p= 7 1 OB,OC,OF为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 1 2 所以p的值为2或3 (6分) (2)由(1)可知，甲、乙两人各能一次性通过的概率分别 为好号 (7分) 甲、乙两人各实验一次，记此时两人得分之和为随机变 量5，则5的可能取值为2,0，一2， D Pe-2》-日x号-日Pg-0)-2 1 1.11 P(=-2)=2×3=6: (8分) R 甲、乙两人各实验两次，记两人得分之和为随机变量 (8分) X,则X的可能取值为4,2,0，一2，-4， 因为PA=2AB,且PE=3EC,设AB=a, P(x=4)=CPg=2)Pg=2)-(》-司 所以PA=2a,又因为∠BCD=60°，所以AC=√3a, 1.11 P(X=2)=CP(5=2)·P(5=0)=2X 3×2=3, Bn=a,所以B号0d小p(音oco,g2,o小 P(X=0)=C2P(5=2)·P(传=-2)+CP(传=0)· E6,0号》所以励=(-a,0,0),脏- Pg-0)-2x×后+2xg8 P(X=-2)=-CP(G=-2)·P(E=0=2x1×1=1 (号》 (12分) 62=6 设平面BDE的法向量为n=(x,y,之)， 数学答案（六）·第3页（共5页） B 真题密卷 综合能力调研检测（六） n·BD=0'即 一ax=0, 所以|PF|·TF2=|TF|·|PF2, 所以 n·BE=0, a +=0， 即 (10分) x=0, 化简得 令y=-2,则之=√3， (i)解：点N在定直线上 (11分) w3y+2z=0, 理由如下： 所以n=(0,-2W3), (13分) 由(1)知，F2(5,0),设N(x1y1), 又因为平面ABCD的法向量可取m=(0,0,1), 由题意，F2衣.F2户=(x1-5,y)·(-5,y)=0, n·m_3_√2 所以osn,m)=nm77· (14分) 即x1x0-√5x1-√5x0+5+y1y0=0①， 由(i)知，l的方程为xox-4yoy=4, 故平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值为√② 7 又点N在1上，故xox1-4yoy1=4②.(13分) (15分) 由①②，得5x1x0-4V5x1-45x0十16=0， 18.(1)解：设F2(c,0),依题意c=√5，所以F2(W5,0), 即(5x-4√5)x1=4√5x0-16. 所以右纸点F,50到渐近线y=±名距离为1， 因为5z-45≠0，所以1=45x-16- 5x0-45 bc 所以 √a2+62 =b=1,所以a2=c2-1=4, 45x0一 4W5 5 45 故C的标准方程为行-y-1 5 (16分) (4分) (2)(1)证明：设直线l:y-yo=k(x一x),且x8 4y8=4, 故点N在定直线x=45 (17分) (z2 联立4一2-1， 19.解：(1)f(x)与g(x)具有“关于x。的”关系，理由 如下： y-yo=k(x-xo), 根据定义，若f(x)与g(x)具有“关于x。的下”关系， 化简得（任-）x-2张-太)z-0。-k 则方程f(x)=g(x)有解， (1分) 1=0. (6分) 因为fx)=e号，g)=x+7-1, 因为1与C只有一个公共点且1不与渐近线平行，所 4h(x)=f(x)-g(x)=e-*-x-x2+1, 以号-k“≠0且4=0，解得及= 则h'(x)=-ex-1-2x, 4y1 记p(x)=h'(x)=-e-1-2x,则p'(x)=e-2, 所以直线PTy-0=(一)，令y=0,得 令p'(x)=0,得x=-ln2, (3分) 所以当x∈(-∞，一ln2)时，p'(x)>0,p(x)单调递增， ) 当x∈(-ln2,十o)时，p'(x)<0,e(x)单调递减，所 以p(x)≤p(-ln2)=-3+2ln2<0, 故TF=+6T,-45. (8分) 所以h(x)单调递减，又h(0)=2>0,h(1)=e1-1<0, (5分) 因为PF-,+5+-√层+25，+4 所以3x。∈(0,1)，使得h(xo)=0,即f(x。)= g(zo), 24 2x0, 所以f(x)与g(x)具有“关于xo的下”关系.(6分) (2)由题知方程f(x)=g(x)无解，即a十2=ln 所以PF,=|PF,-4=5 x0-2, 无解. B 数学答案（六）·第4页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 令m(x)=nx,则m'(x)=1-lnx 所以r(x)>r(0)=0,所以r(x)在(0，+∞)上无零 (7分) x 当x∈(0，e)时，m'(x)>0,m(x)单调递增， 点，所以a≥2不符合题意； (14分) 当x∈(e,+oo)时，m'(x)<0,m(x)单调递减， ②当2-<0，即0<a<2时，令r'（x)=0,则x= .1 a 所以m(x)≤m(e)= e (8分) 1一2 当x≥1时，m(x)>0; 当x→0时，m(x)→一∞；当x→+∞，m(x)→0. 令r0,则0<君-2令x>0,则x>}-2, 令a+2>即e>-2时，方程a十2-产无解， 所以rx)在(0，是一-2)上单调递减，在（日-2，+∞）上 所以实数a的取值范围为（怎-2，十）】 (10分) 单调递增， (3)依题可转化为r(x) az2+z-ln(x+1)在(0，+∞) x+1 所以（日-2<r0)=0,取是（大于}-2， 上有零点，则r'(x)=x(ax十2a-1 ,x∈(0，+∞)， (x+1)2 所以e-(x+1)>1+ax+2a2x6-(x+1)> （1)当a≤0时，因为rx)=x(az+2a1D<0,所以 (x+1)2 0-=7az,-2》=0, r(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以ax>ln(xo+l), 所以r(x)<r(0)=0,所以r(x)在(0，+∞)上无零 点，所以a≤0不符合题意； (12分) 所以，，)=ar6十n-1n。十1D>a+ai x0+1 x。十1 (i)当a>0时， In(zo+1)=azo-In(zo+1)>0, ①当2-君≥0，即。≥专时，因为() 所以3z,∈（日-2，a）:使得rc,)=0,所以0<a< x(ax+2a-1)ax(x+2-1)） >0 x+1 x+1 符合题意： 所以r(x)在(0，十∞)上单调递增， 综上，实数a的取值范围为o,2) (17分) 数学答案（六）·第5页（共5页）