2024-2025高三综合能力调研检测数学B版（二）-【真题密卷】2025年高考数学综合能力调研检测（B版）

2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合M={一1,1}，则集合N={y|x∈M,x+y∈M}中元素的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知向量a=(入，1)，b=(-2,),若(a十b)∥b,则 2 A.=2λ B.4=-2λ C.μ= D.g=- 3.命题“存在偶数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数是偶数”的否定为 ( A.对任意的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数是奇数 B.对任意的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数 C.存在奇数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数是奇数 D.不存在奇数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数 4.已知a+B=3,若cos2a十cos2p=2,则sin2a-sin28= A妈 R 2 D、I 3 5.在2x+元 (其中i是虚数单位)的展开式中，x的系数为 ( A.-40 B.40 C.-40i D.40i 6.若数列a}满足a1=0,a4=1,当n≥2时，0+1十0=2，则 1 「1 1 an+1 a2a3 a3a4 asa5 1 十…十 () Wa99a100 97 98 A98 b.9 c器 100 D.101 数学试题（二）·第1页（共4页） 真题密卷·综台 esetea tt aa 7.已知函数f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以为 班级 、 姓名 得分 A.fG) 2x5 B.f(z)--x x-2x3+2x C.f(x)=x3In x-x D.f(x)=x3-6xIn x 8.已知椭圆Cx+若-1(0<D<1)的左，右焦点分别为1，F,上顶点为A,坐标原点为 O,直线AF1交C于另一点B,若BO⊥AF2,则C的离心率为 () A.62 2 R号 C31 D.2-1 2 2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) .已知函数fx)=2sin(-）的导函数为f'(x),若gx)=f(x)·f'(x),则（) A.g(x)的最大值等于f(x)的最大值 B.g(x)的零点都是f(x)的零点 C.g(x)的图象与y轴的交点在f(x)的图象上 D.g(x)的图象可以看作是将f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的？，纵坐标不 变得到的 10.已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，则下列说法正确的是() A.若将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，则共有256种分配 方法 B.若从袋子中不放回地摸出4个球(1次1个)，记X为摸出的球中红球的个数，则 pX-2)-9 C.若从袋子中不放回地依次摸球(1次1个)，记Y为最后1个红球被摸出所需的摸球 次数，则E(Y)=15 Γ2 D.若从袋子中有放回地依次摸出4次(1次1个)，记Z为摸出的红球与黄球的次数之 若，则D2)日 能力调研检测 数学试题（二）·第2页（共4页） B 11.已知圆台O1O2的上、下底面圆的半径分别为√3,2√3，体积为21π，MN是该圆台的一 条母线，A,B是该圆台下底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是 () A.直线MN与底面所成的角为60 B.该圆台侧面展开图扇环的圆心角为π C.若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为36π D.若MN∥平面O1AB,则三棱锥O2O1AB体积的最大值为3√3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数f()=mz+2+1是奇函数，则f(m十m)= x-n 13.已知双曲线C:3x2一y2=8上的点A到y轴的距离为√3，则点A到C的两条渐近线 的距离之和为 14.若存在正数a,使直线y=ax十b与曲线y=e+a相切，则b一a的最大值为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2B+btsin B=1,sinA+ sin C=2t. (1)求a+c的值； √ (2)若b=√7，△ABC的面积为 4,求t的值. 16.(15分)某小区以“弘扬奥运精神，共享全民健身”为主题，组织了一场乒乓球全民挑战 赛，并特意邀请了A,B两位乒乓球高手.赛事规定参赛者先从A,B两位高手中选择 一位进行挑战，若挑战失败，则参赛者挑战结束；若挑战成功，则继续挑战另一位高手， 无论挑战成功与否，参赛者挑战结束.若战胜A高手，参赛者可获得价值100元的乒乓 球拍一副；若战胜B高手，参赛者可获得价值50元的高级乒乓球一盒.乒乓球爱好者 张某自估战胜A高手的概率为0.3，战胜B高手的概率为0.5，且战胜两位高手的概率 与挑战顺序无关，收益预期按奖品价值计算. (1)若张某先挑战A高手，记X为张某获得的奖品价值（单位：元），求X的分布列. (2)为使累计奖品价值（单位：元）的期望最大，张某应选择先挑战哪位高手？并说明 理由. B 数学试题（二）·第3页（共4页） 真题密卷·综 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,DC∥平面PAB,AB⊥BC, PD=DC=BC=1,PB=√3. D (1)求证：PD⊥平面ABCD. (2)若平面PAD与平面PAB夹角的余弦值为 5,求AB的长. 1&17分)已知点P(号，日)在抛物线C=2py(p>0上，直线PQ交C于另-点Q. (1)求C的准线方程. (2)若以PQ为直径的圆E恰好经过坐标原点O,求圆E的方程. (3)若点M为C上的动点，MA⊥PQ于点A,过点M作与x轴垂直的直线与直线PQ 交于点B,记PB|2=mPA|,证明：当直线PQ的斜率为2时，m是常数，并求出 该常数. 19.(17分)已知函数f(c)=cosx eax+1. (1)若a=1,求f(x)的单调递增区间. ②)当x∈0，十∞)时，fx)≤恒成立，求a的取值范围， (3>证明：当a<0且x∈0，引时，/e)存在极大值，且极大值大于e 合能力调研检测 数学试题（二）·第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（二） 一、选择题 -1-名+日g+日4g西8 1198 1.C【解析】因为M={-1,1},N=(y|x∈M,x十y∈ M},所以当x=一1时，y的值可以为0,2；当x=1时， 7.D【解析】由f(x)是奇函数，排除选项A;由f(1)> y的值可以为一2,0，所以N={-2,0,2},即N中元素 0,排除选项C;对于B,∫(x)是奇函数，且x>0时， 的个数是3. f(x)=x4-2x3+2x,f'(x)=4x3-6x2+2,令g(x) 2.D【解析】由a=(a,1),b=(-2,u),得a+b=(入一 =f'(x),则g'(x)=12x2-12x=12x(x-1),所以当 2,1+),又(a+b)∥b,所以(a-2)4=-2(1+),解 x∈(0,1)时，g'(x)<0,f'(x)单调递减；当x∈(1，十∞) 时，g'(x)>0,f'(x)单调递增，所以f'(x)≥f'(1)= 得以=2，即μ= 0,所以f(x)单调递增，不符合题意，故B错误；对于 3.B【解析】因为特称命题的否定是全称命题，否定结论 D,f(x)是奇函数，f(1)>0,且当x>0时，f(x)= 的同时改变量词，所以命题“存在偶数Q,使数据3,4， x3-6xln x,f'(x)=3x2-61n x-6,4h(x)=f'(x), 1,a,5,7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a, 则h')=6z-6-6x+1)x-D,所以当x∈(0,1D 数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数”. 4.A【解析】令sin2a-sin23=m,则sin2a十sin23 时，h'(x)<0,f'(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时， 2sin 2asin 28=m2, h'(x)>0,f'(x)单调递增，因为f'(1)=-3<0,当 由cos2a十os29=号，得os2a十cos29+2os2aco2g- x→0时，f'(x)→+∞；当x→+∞时，f'(x)→十∞， 所以存在0<x1<1<x2,使得当x∈(0，x1)时，f'(x) 两式相加得2十2ms(十29)=m+,用为e+日=了， 1 >0,f(x)单调递增；当x∈(x1,x2)时，f'(x)<0, f(x)单调递减；当x∈(x2,+∞)时，f'(x)>0,f(x) 所以m+号1，解得-是 ,所以sin2a-sin23=士y° 单调递增，又当x→0时，f(x)→0，当x→十∞时， f(x)→+∞，f(2)=8-12ln2=4(2-ln8)<0,符合 展开式的通项为T,+1= 题意，故D正确. 8.A【解析】设C的焦距为2c,由题意知F1(一c,0), c2()-rc,◆5-日 2=2,得r F:c,0),A(0,b,则直线AF的方程为y=（z十 =3,故x7的系数为22XC号i--40i. 6.B【解析】当”≥2时，由0+0二=2，得 e),将美与x2+=1联立，消y得e+1)x+2x an+1 (am+1一am）一(am一am-1)=2,因为a2-a1=l,所以数 0,解得工=一年1或工=0（合去），所以 2c 列{am+1一am》是以1为首项，2为公差的等差数列，所 2cb(c2-1)y 以an+1-am=1十2(n-1)=2n-1,则a2-a1=1,a3 B(-年年）因为B0LA,所以0.AF 一a2=3,a4-a3=5,…,am-am-1=2n-3,累加得am =1+3+5+7+…+(2m-3)=1+2m-3)(m-1) -0*(),6)-0得 2 b2(1-c2)=0,即2c2-(1-c2)2=0,因为0<c<1,所 1 1 =(n-1)2,n≥2，则 √a+1a+2=n(n+1）= 以2+2c-1-0,解得c=62 ,所以C的离心率 2 1 n+1,所以 一十 1 1 为=6-2 aza3 a3a4 Nasa5 Va99a100 a21 数学答案（二）·第1页（共5页） B 真题密卷 综合能力调研检测（二） 二、选择题 23,h=3,可得MN=2W3,所以2r2=2MN·0,即4√3π 9.AC【解析】由f(x)=2sin(e-牙），得f'(x)= =4√30，解得0=π，故B正确；因为O2N=√3十32= 2√3=O2M,所以球心O与点O2重合，所以球O的 2cos(x-写），所以g(x)=4sim(e-背)cos(-g） 半径R=2√3，球O的表面积为4πR2=48π，故C错 2sin2x-2）,所以g(x)m=2=fz),故A正确； 误；如图，设MO2∩AB=P,因为MN∥平面O1AB, MNC平面MNO1O2,平面MNO1O2∩平面O1AB= 令fx）=0,得x-行=，k∈么，所以x=+x,k O1P,所以MN∥O1P,又NO1∥MO2,所以四边形 MNO,P是平行四边形，所以MP=N0,=3=2M0:, ∈乙.令g(x)=0,得2z一=kπ，k∈Z,所以x=3 所以P为MO2的中，点，所以|ABmn=2√r2-r7=6, A∈乙，所以g()的零高不全是fx)的率成，放B 1 所以（∠A0,B)m=120°，所以(S△0，B)x=2×23X 错误；因为f(0)=一√5，g(0)=一√5，故C正确；将 2W3sin120°=3V3,又O201⊥平面02AB,O201=3.所 f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的2，得到的 1 以(V0g0,A)mr=(V0,0,ABas=3X(SAA0,B)mn· 是函数y=2sin2x-智）的国象，故D错误。 1 001=3×35×3=33,故D正确. 10.BCD【解析】将这8个球随机分到两个不同的盒子， 每个盒子不空，则共有C8十C?十Cg+…十C8=28一2 =254种分配方法，故A错误；由题意知P(X=2)= CC心-)故B正确；由题意知Y的可能取值为5,6， C 0 C41 C5 7,8,则P0Y=5)==56,PY=6)=C8-56, B P=)8-P-8)8-器*以Em 三、填空题 12.一2【解析】由于f(x)的定义域满足{xx≠n},根 -5x高+6x嘉+7×是+8×器-只C正确：以 据奇函数的定义域关于原点对称可知=0，所以 袋子中有放回地依次摸4次(1次1个)，记Z1为摸出 f)-m+2+1-2+mt15(-)=-是+m+ x 红球的次数，则Z=Z1一（4一Z1)=2Z1一4，因为 1,因为f(x)+f(-x)=2(m+1)=0,解得m=-1, ZB,营，所以D(2)=4X营×爱-指所以 以f(x)=名，所以f(m+n)=f(-1)宇 D2)-4D2)-4X将-只，D运确 13.3【解析】由对称性，不妨设点A在第一象限，且 (3m2-n2=8, n=1, 11.ABD【解析】设圆台的高为h,上、下底面圆的半径 A(m,n),则由题意得 所以{ 即 m=√3， m=√3， 1 分别为1，因为Vg0,o=3元(r2+r:2+rr2)h, A(W3,1).又C的两条渐近线方程分别为W3x一y=0 1 和√3x十y=0,所以点A到C的两条渐近线的距离之 所以21π=3π(3+12+6)h,解得h=3,所以直线 和为5×y5-1+5×y5+1-3. MN与底面所成角的正切值为，h 3 2 2 r2-r125-√3 14.1【解析】设切点坐标为(xo,e。十a),因为y'=e, √3，即直线MN与底面所成的角为60°，故A正确；设 e*o=a, 所以〈 .所以b=e。-ax0十a=a(2- 圆台侧面展开图扇环的圆心角为0，因为r2=21= o+a=axo+b, B 数学答案（二）·第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 lna),所以b一a=a(1一lna),令f(a)=a(1-lna), P(X=0)=1-0.3=0.7; 则f'(a)=-lna,所以当a∈(0，l)时，f'(a)>0,f(a) P(X=100)=0.3×(1-0.5)=0.15; 单调递增；当a∈(l,十∞)时，f'(a)<0,f(a)单调递 P(X=150)=0.3×0.5=0.15. (5分) 减，所以f(a)max=f(1)=1,即b一a的最大值为1. 所以X的分布列为 四、解答题 X 0 100 150 15.解：(1)由cos2B+btsin B=1,得btsin B=1-cos2B= 0.7 0.15 0.15 2 sin2B, (6分) 因为在△ABC中，sinB≠0，所以bt=2sinB,即 (2)由(1)知，若张某先挑战A高手，则E(X)=0× sin B 0.7+100×0.15+150×0.15=37.5元. (8分) t (3分) 若张某先挑战B高手，记Y为张某获得的奖品价值， (9分) 在△ABC中，由正弦定理得a C b 则Y的所有可能取值为0,50,150. sin A sin C sin B P(Y=0)=1-0.5=0.5; 2,所以sinA=2,sinC=2 at ct P(Y=50)=0.5×(1-0.3)=0.35; P(Y=150)=0.5×0.3=0.15. (12分) 因为snA十snC=2,所以号+号-2，又在△ABC 所以Y的分布列为 中，sinA+sinC=2t≠0， 0 50 150 所以a+c=4. (6分) 0.5 0.35 0.15 (2)②因为SAMc=7 esinB=3y5 1 E(Y)=0×0.5+50×0.35+150×0.15=40元. 4,所以2ac= 33 sin B' (14分) (7分) 因为37.5<40，所以张某应选择先挑战B高手. 又b=√7，由(1)知a+c=4,所以在△ABC中，由余 (15分) 弦定理得7=a2+c2-2 accos B=(a+c)2-2ac(1十cosB) 17.(1)证明：因为DC∥平面PAB,DCC平面ABCD,平 =16-33(1+c0sB) 面ABCD∩平面PAB=AB, sin B 所以DC∥AB,因为AB⊥BC,所以BC⊥CD,(2分) 整理得1+cosB=√3sinB, (9分) 因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面 所以2og日-2如号as月义在△ABC中， ABCD=CD,BCC平面ABCD, 所以BC⊥平面PDC,又PDC平面PDC,所以 B B B B√3 BC⊥PD. (4分) cos ≠0，所以cos2-5sin2,即tan2-3, 在△BCD中，BC⊥CD,BC=CD=1,所以BD=√2， (11分) 又PD=1,PB=√3，所以PD2+DB2=PB2,所以 在△ABC中，0<<，所以即B-，所以 PD⊥DB, (6分) 又BC∩DB=B,BC,DBC平面ABCD,所以PD⊥ sin B= 3 2 平面ABCD. (7分) 又由(1)知t= 2sinB_3_√/2I b √7 7 即1的值为 D 7 (13分) 16.解：(1)由题可知，X的所有可能取值为0,100,150. (2分) 数学答案（二）·第3页（共5页） B 真题密卷 综合能力调研检测（二） (2)解：由(1)知PD⊥平面ABCD,BC⊥CD,所以以 C为坐标原点，CD,CB所在直线分别为x,y轴，过点 (3)设M,》,由题意知直线PQ的方程为y一日 C平行于DP的直线为之轴，建立如图所示的空间 -2x+),即y=2x+号，则B(,2x+8）,从而 直角坐标系，设AB=a,因为PD=DC=BC=1, 则P(1,0,1),A(a,1,0),B(0,1,0),D(1,0,0), IPB1=51+2 (11分) PA=(a-1,1,-1),PB=(-1,1,-1),DP= 在R△MPA中，PMI-(+)°+（度-日）》 (0,0,1), (9分) 设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,之1)， -+2)[+》月， n·PA=0,1(a-1)x1+y1-z1=0, 则 即{ n·PB=0,-x1+y1-z1=0, 当+程》 令x1=0,y1=1,则之1=1，所以平面PAB的一个法 向量为n=(0,1,1). (11分) 故1PAI2=1PMP-AMP=(+2)· 设平面PAD的法向量为m=(x2,y2,之2)， m·PA=0,n(a-1)x2+y2-z2=0, 则 即 -打度 m·D2=0,z2=0, 令x2=1,则y2=1-a,之2=0，所以平面PAD的一 (+) 所以|PA|= (15分) 个法向量为m=(1,1一a,0). (13分) √5 m·n 11-al 所以csn,m)=m·n2×+-a) 故m= |PB|2 +》 PA =5√5为常数， √10 ,解得a=3或a=-1(舍去)，即AB的长为3. + √5 (15分) 即当直线PQ的斜率为2时，m=5√5是常数.(17分) 18解：1自点P(-号日)在抛物线Cr=2y(p>0) 18.1)解：当a=1时，f)-Q,x∈R,f') 上，，解得=1 -sin x-cos x 厄dn(+） 1 e2+ (1分) 所以C的方程为x2=2y,其准线方程为y=一 2 (3分) 令f'x)>0,则sim(e+）<0,所以-x+2x<x+ (2)因为以PQ为直径的圆E恰好经过坐标原点O,所 4<2k,k∈Z,解得- +2必r<-+2krk∈Z, 以0d0=0,设Q(,)又r(-7)则-台 所以)的单调递增区间为(-+2k,一+2张小， 16=0,解得t=8或1=0（舍去），所以Q(8,32), k∈Z. (3分) (6分) (2)解：当x∈0，+∞)时，)≤+一恒成立等价 所以圆E的方程为(+2)(x-8)+(日)g 于cosx≤e十a.x恒成立，即e十ax-cosx≥0恒成立. 令g(x)=e十ax-cosx,x∈[0，+∞)，则g'(x)= 32)=0, e*+a+sin x, 整理得圆E的一般方程为x2十y-152_25 因为g(0)=0,所以若g(x)≥0在x∈[0，+∞)时恒 2x- y=0. 成立，则g'(0)=1十a≥0，解得a≥-1.(6分) (9分) 当a≥-1时，因为x∈[0，十∞)，所以ax≥-x,即 B 数学答案（二）·第4页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 g(x)=e*+ax-cos x>e*-x-cos x, x=x。时，f(x)取得极大值，f(x)极大值=f(x0)= 令h(x)=e-x-cosx,x∈[0，十o∞)，则h'(x)= COS Zo eazo +1 (12分) e-1+sin x, 令p(x)=h'(x)=e-1+sinx,x∈[0，+∞)，则 '(x)=e*+cos x, 结合而数图象易如，a<0且当x∈6，引时， 因为当x∈[0，十∞)时，9'(x)≥0，所以h'(x)单调 et=e,-l≥-a.xo≥-asin xo>0, 1 递增，所以h'(x)≥h'(0)=0,得h(x)单调递增，所以 h(x)≥h(0)=0,即g(x)≥0，所以当a≥-1时，满 所以f,)-a≥-aSin4os=acoe, 足了c)票但度立 a2 1+a2 (15分) 综上，a的取值范围为[一1，十∞). (9分) a? 1 (3)证明：f'(x)=—sinx-acosx eax+1 (10分) 下面证明：a<0时1千a>e,即证t<0时1十> e,即证t<0时，(1+t2)e<1. 令f'x)=0,得sinx=-aosx,当x∈(0，）时， 令w(t)=(1+t2)e,t<0,则w'(t)=(1+t)2e≥0 可化为tanx=一a, 恒成立，所以ω(t)单调递增，所以w(t)<w(0)=1, 因为a<0,所以3x∈(0,2），使tanz。=-a,且当 即+t2e<1,故a<0时4>e,即f)>位 x∈(0，xo)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 综上，当a<0且x∈0，爱引时，f)存在极大值，且 当x∈(x)时，f'x)<0,f)单调递减，所以当 极大值大于e. (17分) 数学答案（二）·第5页（共5页）