第3章 图形的相似 单元测试 2025--2026学年湘教版九年级数学上册

湘教版九年级上册 第3章 图形的相似 单元测试 一、选择题 1.若两个相似三角形的相似之比为1：2，则它们的面积之比为（　　） A.1：2 B.1：4 C.1：5 D.1：16 2.下列说法中，错误的有（　　） ①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③位似图形中对应点的连线必过同一点；④位似图形中对应线段必经过位似中心. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） ①AB2＝AP2+BP2； ②BP2＝AP•BA； ③； ④． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下面不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 5.在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25 cm，该路段实际长度约为（　　） A.3200 m B.3000 m C.2400 m D.2000 m 6.若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（　　） A.9：1 B.6：1 C.3：1 D.：1 7.如图，为测量旗杆高度，小亮在脚下P处水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在平面镜中看到旗杆的顶端．若小亮的眼睛离地面的高度为1.6 m，小亮与平面镜的水平距离为2 m，平面镜与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆的高度为（　　） A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m 8.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（　　） A.1：2 B.1：4 C.2：1 D.4：1 9.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BA延长线一点，CE交AD于点F，下列各式中可能错误的是（　　） A. B. C. D. 10.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为（　　） A.或5 B. C.1或2 D.或2 11.如图，⊙O是温州某公园的一个圆形雕塑，在某一时刻，太阳照射下它的影子AB的长为5 m，此时，身高为1.5 m的小芳的影长为2 m，则这个圆形雕塑的半径为（　　） A. B. C. D. 12.如图，在直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），由B、O、C组成的三角形与△AOB相似，下列满足条件的点C是（　　） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（﹣2，0） 二、填空题 13.如果两个相似三角形的周长比为1：3，那么它们的面积比为       ． 14.若两个相似三角形的面积之比为2：1，则周长之比为          ． 15.两个相似三角形对应边上的中线之比为2：3，则这两个三角形的面积之比为　　． 16.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OB＝BE，若S△ABC＝2，则S△DEF＝　　． 17.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，点Q从B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究： （1）经过 　    　s，△PCQ的面积是△CBA面积的； （2）经过 　     　s，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似． 三、解答题 18.如图，已知线段a、b、c，求作线段x，使．（不写作法，保留作图痕迹） 19.已知线段a＝2厘米，b＝30米，c＝6厘米，d＝10米，试判断它们是否为成比例线段． 20.如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2． （1）求下列各线段的比：，，； （2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可） 21.如图，已知△ABC中，D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，AD＝16 cm，DB＝8 cm，CE＝6 cm，DE＝14 cm，求AC、CF的长． 22.如图，AB和A'B'与x轴垂直，A点的坐标是（2，4），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，点C是OA′的中心，反比例函数y）的图象经过点C，与A'B'交于点D． （1）求点D坐标； （2）连接BD、CD，求四点边形ABDC的面积． 湘教版九年级上册 第3章 图形的相似 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.若两个相似三角形的相似之比为1：2，则它们的面积之比为（　　） A.1：2 B.1：4 C.1：5 D.1：16 【答案】B 【解析】两个相似三角形的相似比为1：2， 相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：4． 故选：B． 2.下列说法中，错误的有（　　） ①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③位似图形中对应点的连线必过同一点；④位似图形中对应线段必经过位似中心. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】由位似图形的定义可知，相似图形不一定是位似图形，要看它们的对应边是否平行或重合，它们的对应点的连线是否经过同一点，所以①和③正确，②错误； 位似图形中，并不是对应线段交于同一点，而是对应点的连线交于同一点，所以④错误． 故选：B． 3.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） ①AB2＝AP2+BP2； ②BP2＝AP•BA； ③； ④． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴， ∴AP2＝AB•BP， ∵AB＝AP+BP， ∴AB2＝（AP+BP）2＝AP2+2AP•BP+BP2， ∴上列结论中正确的是：④，只有1个， 故选：A． 4.下面不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A.长方形与正方形形状不一样，故不是相似图形； B.两个箭头的形状相同，故是相似图形； C.两个等边三角形的形状相同，故是相似图形； D.两个图形的形状相同，故是相似图形； 故选：A． 5.在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25 cm，该路段实际长度约为（　　） A.3200 m B.3000 m C.2400 m D.2000 m 【答案】D 【解析】设它的实际长度为x cm， 根据题意得：1：8000＝25：x， 解得：x＝200000， ∵200000 cm＝2000 m， ∴该路段实际长度约为2000 m． 故选：D． 6.若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（　　） A.9：1 B.6：1 C.3：1 D.：1 【答案】C 【解析】∵两个相似三角形对应高之比是3：1， ∴两个相似三角形的相似比是3：1， ∴它们的对应角平分线之比为3：1， 故选：C． 7.如图，为测量旗杆高度，小亮在脚下P处水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在平面镜中看到旗杆的顶端．若小亮的眼睛离地面的高度为1.6 m，小亮与平面镜的水平距离为2 m，平面镜与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆的高度为（　　） A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m 【答案】B 【解析】如图，由题意得，AB＝1.6 m，BP＝2 m，PE＝10 m， 根据镜面反射可知∠APB＝∠EPD， ∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠ABP＝∠DEP＝90°， ∴△ABP∽△DEP， ∴， 即， ∴ED＝8（m）， 故选：B． 8.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（　　） A.1：2 B.1：4 C.2：1 D.4：1 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴相似比2， 故选：C． 9.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BA延长线一点，CE交AD于点F，下列各式中可能错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵AD∥BC， ∴，所以选项A不符合题意； ∵CD∥BE， ∴， ∵AB＝CD， ∴，所以选项B不符合题意； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△EBC， ∴， ∵AD＝BC， ∴，所以选项C不符合题意； ∵CD∥BE， ∴△CDF∽△EBC， ∴，所以选项D符合题意． 故选：D． 10.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为（　　） A.或5 B. C.1或2 D.或2 【答案】C 【解析】∵AB＝AC＝2，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠C＝36°， ∵AP是∠BAC的三等分线， ∴∠BAP＝36°，∠CAP＝72°， ∴∠CPA＝72°， ∴AC＝PC＝2， 在△BAP与△BCA中， ， ∴△BAP∽△BCA， ∴， ∴， ∴BP2+2BP﹣4＝0， ∴BP1或2（舍去）． 当∠BAP＝72°，∠CAP＝36°时，AB＝PB＝2， 故选C． 11.如图，⊙O是温州某公园的一个圆形雕塑，在某一时刻，太阳照射下它的影子AB的长为5 m，此时，身高为1.5 m的小芳的影长为2 m，则这个圆形雕塑的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图：连接EF，EB，根据光的直线传播及太阳的遥远程度可知BF∥AE， ∵EF⊥BF，EF⊥AE， ∴△EBF为直角三角形， 易得，△EBF∽△AEB①， ∵，解得，EB， ∴AE， 由①可得，，即， 解得，EF＝3， 故半径为3． 故选：D． 12.如图，在直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），由B、O、C组成的三角形与△AOB相似，下列满足条件的点C是（　　） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（﹣2，0） 【答案】C 【解析】如图，∵∠AOB＝∠BOP＝90°， ∴当OP：OB＝OB：OA时，△BOP∽△AOB， 即OP：2＝2：4， 解得：OP＝1， ∴点P1（1，0）， 同理可得：P2（﹣1，0）； 当OP：OA＝OB：OB时，△BOP∽△BOA， 即△BOP≌△BOA， ∴OP＝OA＝4， ∴P3（﹣4，0）． 故选：C． 二、填空题 13.如果两个相似三角形的周长比为1：3，那么它们的面积比为       ． 【答案】1：9 【解析】∵两个相似三角形对应角平分线的比为1：3， ∴它们的相似比为1：3， ∴它们的面积比为1：9． 故答案为：1：9． 14.若两个相似三角形的面积之比为2：1，则周长之比为          ． 【答案】：1 【解析】∵两个相似三角形的面积之比为2：1， ∴两个相似三角形的相似比为：1， ∴这两个三角形的周长比为：1． 故答案为：：1． 15.两个相似三角形对应边上的中线之比为2：3，则这两个三角形的面积之比为　　． 【答案】4：9 【解析】∵两个相似三角形对应边上的中线之比为2：3， ∴两个相似三角形相似比为2：3， ∴两个相似三角形的面积之比为4：9， 故答案为：4：9． 16.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OB＝BE，若S△ABC＝2，则S△DEF＝　　． 【答案】8 【解析】∵OB＝BE， ∴， ∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，BC∥EF， ∴△OBC∽△OEF， ∴， ∴（）2， ∵S△ABC＝2， ∴S△DEF＝8， 故答案为：8． 17.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，点Q从B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究： （1）经过 　    　s，△PCQ的面积是△CBA面积的； （2）经过 　     　s，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】（1）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm， ∴△CBA面积为， ∵△PCQ的面积是△CBA面积的， ∴△PCQ的面积为， 设t秒△PCQ的面积是△CBA面积的， 则CQ＝BC﹣BQ＝（8﹣2t）cm，CP＝t cm， 在Rt△PCQ中， S△PCQQC•CP（8﹣2t）×t＝4， 解得t＝2， 故答案为：2； （2）设经过x秒后，两三角形相似，设t秒△PCQ的面积是△CBA面积的， 则CQ＝BC﹣BQ＝（8﹣2x）cm，CP＝x cm， ∵∠C＝90°， ∴当或时，两三角形相似． ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ∴经过或秒后，两三角形相似， 故答案为：或． 三、解答题 18.如图，已知线段a、b、c，求作线段x，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：∵， ∴c：a＝b：x， 作出c、a、b、x的第四比例项得到x，如图： 19.已知线段a＝2厘米，b＝30米，c＝6厘米，d＝10米，试判断它们是否为成比例线段． 【答案】解：∵四条线段a＝2厘米，b＝30米，c＝6厘米，d＝10米， ab＝2×30＝60， cd＝6×10＝60， ∴ab＝cd， ∴四条线段能够成比例． 20.如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2． （1）求下列各线段的比：，，； （2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可） 【答案】解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2， ∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5， ∴，，； （2）成比例线段有． 21.如图，已知△ABC中，D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB，AD＝16 cm，DB＝8 cm，CE＝6 cm，DE＝14 cm，求AC、CF的长． 【答案】解：∵DE∥BC， ∴，， ∴，， ∴AE＝12（cm），BC＝21（cm）， ∴AC＝AE+EC＝18（cm）， ∵DE∥BF，BD∥EF， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴BF＝DE＝14（cm）， ∴CF＝BC﹣BF＝7（cm）． 22.如图，AB和A'B'与x轴垂直，A点的坐标是（2，4），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，点C是OA′的中心，反比例函数y）的图象经过点C，与A'B'交于点D． （1）求点D坐标； （2）连接BD、CD，求四点边形ABDC的面积． 【答案】解：（1）∵△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3， ∴， ∵A点坐标是（2，4）， ∴OB＝2，AB＝4， ∴， ∴A'B'＝12，OB'＝6， ∴A'（6，12）， ∵点C是OA′的中点， ∴C（3，6）， ∴k＝3×6＝18即反比例函数为：， ∵A'B'⊥x轴， ∴xD＝xA'＝6， ∴即D（6，3）； （2）如图， ∵A（2，4），B（2，0），C（3，6），D（6，3），A′（6，12），B′（6，0）， ∴S△OAB2×4＝4， S△DBB′（6﹣2）×3＝6， △A′OB′的面积6×12＝36， △A′CD的面积（12﹣3）×（6﹣3）， ∴S四边形ABDC＝S△OA′B′． 学科网（北京）股份有限公司 $