第3章 图形的相似 单元达标练习 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

《图形的相似》同步单元达标练习 一．选择题 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8 2．如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的．AO＝2，则OA′的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，给出下列条件：①∠ADC＝∠ACB，②∠B＝∠ACD；③AC2＝AD•AB，④，其中不能判定△ABC∽△ACD的条件为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 5．如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，AB∥CD∥EF，若AC＝3，CE＝6，BD＝2，则DF的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．9 7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OC：OF＝3：2，则线段AB：DE的值为（　　） A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5 8．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．B． C． D． 9．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，F为CD中点，则四边形OCFE的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D． 10．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　） A．5cm B． C．6cm D． 二．填空题 11．已知线段a、b、c，且，则　 　 ． 12．如图，在RtABC中，∠B＝90°，点D在边BC的延长线上，过点D作DE⊥BD，连接CE，请添加一个条件：　 　 （不添加字母及辅助线），使△ABC∽△CDE．（写出一个即可） 13．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且满足AB＝3AD，AC＝3AE．当∠ACD＝∠CBE时，CD：BC的值是　 　 ． 14．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高AB＝10cm，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC为　 　 cm．（结果保留根号） 15．如图，在锐角△ABC中，以AC为边作等边△ACE，以AB为边作△AFB，其中AF＝BF，∠AFB＝120°，D为BC的中点，分别连接PD和ED，则　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 　 　 秒钟，△PBQ与△ABC相似． 三．解答题 17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（﹣2，﹣1）、（﹣1，﹣3）． （1）在图中标出OB的中点D； （2）在第三象限内，画出以O为位似中心将△OAB放大为原来的两倍，得到△OA1B1； （3）在（2）条件下： ①△OA1B1边上的点P1（m，n）在△OAB中的对应点P的坐标为　 　 ； ②　 　 ． 18．大拇指在人们的认知中通常代表着认可、称赞，大拇指广场在多个城市都有分布．青岛大拇指广场处于海尔路中央商务区中心地段，其建立可能寓意着对青岛城市发展的肯定，以及对该区域商业繁荣、经济腾飞的一种期待和赞美，仿佛在为青岛不断向前发展的态势点赞．如图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度AB的示意图．如图II，在C处放置一根高度为2m且与地平线BF垂直的竹竿IC，点A，I，D在同一直线上，测得CD为3m．将竹竿IC平移5m至EG处，点A，G，F在同一直线上，测得EF为5m．求大拇指的高度． 19．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点． （1）求证：∠E＝∠C； （2）若，AE＝2，求BC的长． 20．如图所示，AD是△ABC的中线． （1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，求； （2）若E为AD上的一点，且，射线CE交AB于F，求． 21．【问题探究】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD延长线上一点，连接CE，过点B在AB左侧作BF⊥BE，且BF＝DE，连接CF，判断CE与CF的数量关系与位置关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，矩形ABCD是某公园的一块空地，AC是一条小路，现对该空地进行扩建并规划，点F是CD延长线上一点，沿BF铺设地下水管，BF交AD于点E，在EF的中点O处修建一个凉亭，并将△AOC区域打造成向日葵观赏区，在△COF区域种植草皮．根据规划要求，△AOC是等腰直角三角形，∠AOC＝90°，且△AOC的面积为325m2，AD＝3DF．求种植草皮区域的面积（即△COF的面积）． 22．在△ABC中，AC＝BC．点D是射线AC上一点（不与A、C重合），点F在线段BC上，直线DF交直线AB于点E，CD2＝CF•CB． （1）如图，如果点D在AC的延长线上． ①求证：DE＝BD； ②联结CE，如果CE∥BD，CE＝2，求EF的长． （2）如果DF：DE＝1：2，求：AE：EB的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D C C A D C B 二．填空题 11．． 12．∠BAC＝∠DCE（答案不唯一）． 13．． 14．． 15．． 16．2或5． 三．解答题 17．解：（1）如图，点D即为所求； （2）如图，△OA1B1即为所求； （3）①点P的坐标为（m，n）． 故答案为：（m，n）． ②∵△OAB放大为原来的两倍，得到△OA1B1， ∴△OAB∽△OA1B1，相似比为1：2， ∴1：4， 故答案为：1：4． 18．解：由题意可得：AB∥EG， ∴△GEF∽△ABF． ∴． 由题意可得：AB∥CI， ∴△CDI∽△BDA． ∴． ∵IC＝GE， ∴， 即， 解得：BC＝7.5． 将BC＝7.5代入， 得，解得AB＝7． ∴大拇指的高度为7m． 19．（1）证明：∵， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠E＝∠C； （2）解：∵∠AFE＝∠CFB，∠E＝∠C， ∴△AFE∽△CFB， ∴， ∵AE＝2，， ∴， ∴， ∴BC＝4． 20．解：（1）作DG∥CF交AB于G，如图1所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵DG∥CF， ∴FG＝BG，BF＝2FG， ∵E为AD的中点， ∴AF＝FG， ∴AF＝FG＝BG， ∴； （2）作DG∥CF交AB于G，如图2所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵DG∥CF， ∴FG＝BG，BF＝2FG，， ∴． 21．解：（1）CE＝CF，CE⊥CF． 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣45°＝135°， ∵BF⊥BE， ∴∠DBF＝90°， ∴∠CBF＝∠DBF+∠DBC＝135°， ∴∠CBF＝∠CDE， 又∵BF＝DE， ∴△CBF≌△CDE（SAS）， ∴CE＝CF，∠BCF＝∠DCE， ∴∠BCF+∠DCF＝∠DCE+∠DCF＝90°＝∠ECF， 即CE⊥CF， ∴CE＝CF，CE⊥CF； （2）如图，以AC为直径画圆，过点O作OG⊥CF，交CF于点G，连接OD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， 又∵∠AOC＝90°， ∴点A，B，C，D，O都在同圆上， ∵AB＝CD， ∴∠AOE＝∠COD， ∵∠EDF＝180°﹣∠ADC＝90°，且点O是EF的中点，OG⊥CF， ∴OD＝OE＝OF， ∴OG是△DEF的中位线， ∴， 又∵OA＝OC，△AOC是等腰直角三角形， ∴△AOE≌△COD（SAS）， ∴AE＝CD＝AB， ∴∠DEF＝∠AEB＝45°， ∴△DEF为等腰直角三角形， ∴DE＝DF， 设DE＝DF＝x，则，AD＝3DF＝3x，AE＝CD＝AB＝2x， ∵△AOC的面积为325m2， ∴OA•OC＝2×325＝650＝OA2， ∴2OA2＝1300＝AC2＝AD2+CD2＝（3x）2+（2x）2， 解得x＝10（负值已舍）， ∴CF＝CD+DF＝2x+x＝30，， ∴， ∴种植草皮区域的面积为75m2． 22．（1）①证明：如图1，∵CD2＝CF•CB， ∴， ∵∠FCD＝∠DCB， ∴△FCD∽△DCB， ∴∠CDF＝∠CBD， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC， ∴∠A+∠CDF＝∠ABC+∠CBD， ∵∠DEB＝∠A+∠CDF，∠DBE＝∠ABC+∠CBD， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝BD． ②解：如图1，∵CE∥BD，CE＝2， ∴∠FCE＝∠CBD， ∵∠CDE＝∠CBD， ∴∠FCE＝∠CDE， ∵∠CEF＝∠DEC， ∴△FCE∽△CDE， ∴， ∴EF•DE＝CE2＝22＝4， ∵△CEF∽△BDF， ∴， ∴EF•DE＝2DF， ∴2DF＝4， ∴DF＝2， ∴EF（EF+2）＝4， 解得EF1或EF1（不符合题意，舍去）， ∴EF的长是1． （2）解：如图2，点D在AC的延长线上， 联结CE，作EG∥BD交BC的延长线于点G，则∠G＝∠DBF， ∴∠G＝∠ADE， ∵DF：DE＝1：2， ∴DF＝EFDE， 在△GEF和△BDF中， ， ∴△GEF≌△BDF（AAS）， ∴GE＝BD， ∴GE＝DE， ∵∠DEB＝∠DBE＝∠GEA， ∴∠DEB+∠GED＝∠GEA+∠GED， ∴∠BEG＝∠AED， 在△BEG和△AED中， ， ∴△BEG≌△AED（ASA）， ∴BE＝AE， ∴1； 如图3，点D在线段AC上，作EH∥BC交CA的延长线于点H， ∵∠HAE＝∠CAB，∠HEA＝∠CBA，且∠CAB＝∠CBA， ∴∠HAE＝∠HEA， ∴AH＝HE， ∵CF∥HE， ∴△CFD∽△HED， ∴， ∴CFHEAH，2CD＝HD＝AC﹣CD+AH， ∴3CD＝AC+AH， ∴9CD2＝AC2+2AH•AC+AH2， ∵CD2＝CF•CBAH•AC， ∴AH•AC＝AC2+2AH•AC+AH2， 整理得2AC2﹣5AH•AC+2AH2＝0 ∴AC＝2AH或ACAH， 若AC＝2AH，则CBHE＝CF， ∴点F与点B重合，点D与点A重合， ∴ACAH不符合题意，舍去， ∵BC∥EH， ∴△ABC∽△AEH， ∴2， ∴， 方法2：过E作EH∥BC，连接AH， ∴， 设CF＝1，则EH＝2， ∵DE＝DB，∴， ∵△CDF∽△CBD， ∴， ∴CD＝2，CB＝4， ∵， ∴EA：EB＝1：3， 综上所述，AE：EB的值为1或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/24 22:40:04；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $