第3章 图形的相似 单元测试 2025-2026学年湘教版数学九年级上册

第3章 图形的相似（单元测试）2025-2026学年湘教版数学九年级上册 一、单选题 1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（　　） A． B． C． D． 2．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．已知，则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、CD上，AD∥EF，如果AE：AB＝1：3，AD＝4，BC＝10，那么EF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，，下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，点E在▱ABCD的边BC延长线上，连AE，交边CD于点F，在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．如图， ，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中 ，是边上一动点（不与点重合），，交于点E， 下列结论：①；②；③当时，；④为直角三角形时，或者6.25．其中正确的结论有（　 　） 个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为 （　　） A． B．15 C． D． 10．在平面直角坐标系中，已知点，点，，，点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与相似，那么这样的点D有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知，则的值为　 　． 12．如图，中，点D、E分别在线段、上，，若，，，则的长是 　 　． 13．如图，梯形中，，与交于点O，，，则　 　． 14．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b），则b=　 　 ． 15．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法． 如图所示， 在井口 处立一根垂直于井口的木杆 ， 从木杆的顶端 观察井水水岸 ， 视线 与井口的直径 交于点 ． 如果测得 米， 米， 米，那么 为　 　米． 16．已知点 是线段 的黄金分割点，且线段 的长为 厘米，则最短线段 的长是　 　厘米． 17．已知一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点，把这两点分别与底边的中点相连，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)各边的长度，经测量依次为2cm，3cm，3cm，4cm，那么原三角形的底边长为　 　. 18．如图正方形，点F在边上且，，垂足为M，且交于点E，与交于点N，延长至G，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述正确的结论是　 　． 三、解答题 19．如图，． （1），求； （2），的长． 20．如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：． 21．如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长． 22．如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E． （1）求证：； （2）当时，求的长度． 23．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m处，小林驾驶一辆小轿车距大车车尾xm，此时红灯、大巴车车顶和小张的眼睛三点刚好在一条直线上，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，求x的值． 24．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？ 25．已知：中，E在上，F在上，． （1）如图1，D、F重合，，，，求的长． （2）如图2，若F为中点，，求． （3）如图3，中，，P为对角线上一动点，过P作直线使得，分别交直线、于点F、E，若，请直接写出的最小值． 26．如图1，在矩形中，，点分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为边作矩形，连接，．矩形绕点A顺时针旋转，如图2，连接． 【问题探究】研究旋转过程中，与的数量关系． （1）特殊化． ①当时，与的数量关系为_______； ②当时，请仅就图2求出与之间的数量关系； （2）从特殊到一般． 旋转过程中，与的数量关系为_______； 【拓展延伸】在矩形中，．若，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为， ∴两个三角形对应边的比， 故答案为：B 【分析】根据相似三角形的性质即可求解。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，米， ， 米， 的值约为米； 故答案为：A． 【分析】 根据黄金分割的定义是：将一条线段分成两部分，使得其中较长部分与整条线段的比值等于较短部分与较长部分的比值 ．即可由题意得到，米，计算即可求出的值，解答即可． 3．【答案】A 4．【答案】B 【解析】【解答】解：连接BD交EF于点G， ∵AE：AB＝1：3， ∴EB：AB＝2：3， ∵AD∥EF∥BC， ∴DF：DC＝AE：AB＝1：3，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB， ∴EG：AD＝EB：AB＝2：3，GF：BC＝DF：DC＝1：3， 即EG：4＝2：3，GF：10＝1：3， ∴EG= ，GF= ， ∴EF= + =6． 故答案为：B． 【分析】连接BD交EF于点G，由AE：AB＝1：3可得EB：AB＝2：3，根据平行线证明△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出EG、GF，根据EF=EG+GF即可求解. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴，，即， ∴选项A、B、D均正确， 故答案为：C. 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，，据此判断. 6．【答案】C 【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE， ∴△ABE∽△FDA. 即图中共有3对相似三角形. 故答案为：C. 【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，得出△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE，从而得出△ABE∽△FDA，即可得出答案. 7．【答案】C 【解析】【解答】A. ， 故A不符合题意； B. ， 故B不符合题意； C.根据题目已知条件，不能判断BD：CE=2：1，故C符合题意； D. 的相似比为2：1 ， 故D不符合题意， 故答案为：C 【分析】根据相似三角形的判定方法SAS，可得 ，进而由相似三角形对应角相等的性质可得 ，从而证明 ，再由相似三角形面积比等于相似比的平方，据此对四个选项依次进行判断解题. 8．【答案】C 9．【答案】C 【解析】【分析】首先由△ABC是等边三角形，可得∠B=∠C=∠ADE=60°，又由三角形外角的性质，求得∠ADB=∠DEC，即可得△ABD∽△DCE，又由BD=4，CE=，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，则可求得△ABC的面积． 【解答】 ∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°， ∴∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC， ∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠ADE+∠DAC， ∴∠ADB=∠DEC， ∴△ABD∽△DCE， ∴ ∵BD=4，CE=， 设AB=x，则DC=x-4， ∴， ∴x=6， ∴AB=6， 过点A作AF⊥BC于F， 在Rt△ABF中，AF=AB•sin60°=6×= ∴S△ABC=BC•AF=×6×=． 故选C． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与等边三角形的性质．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用 10．【答案】D 【解析】【解答】解：设点D（m，n）（m＞0，n＞0）， 因为 点，，， 所以OA=1，OB=2，OC=3，AB=，OD=，， ∵∠AOB=90°， ∴△AOB是直角三角形， ∵点D在第一象限， ∴∠COD＜90°， ∵以点D、O、C为顶点的三角形与相似， ∴∠COD=∠OAB或∠COD=∠OBA， ①当∠COD=∠OAB时：△COD∽△OAB或△COD∽△BAO， 当△COD∽△OAB时： ∴， ∴m=3，n=6或n=-6（舍去）， ∴点D的坐标为（3，6）； 当△COD∽△BAO时：， ∴， ∴m=，n=（负值舍去）， ∴点D的坐标为（，）； ②当∠COD=∠OBA时，△COD∽△OBA或△COD∽△ABO， 当△COD∽△OBA时：， ∴， ∴m=3，n=（负值舍去）， 所以点D的坐标为（2，）； 当△COD∽△ABO时：， ∴， ∴m=，n=（负值舍去）， ∴点D的坐标为（，）； 综上，点D的坐标有（3，6）或（，）或（2，）或（，）共4个。 故答案为：D。 【分析】设点D（m，n）（m＞0，n＞0），进一步得出OA=1，OB=2，OC=3，AB=，OD=，，根据点D的位置，得出∠COD＜90°，从而得出∠COD=∠OAB或∠COD=∠OBA，然后分情况进行讨论，根据相似三角形的性质，得出比例式，求得m，n的值，即可得出点D的坐标。 11．【答案】 12．【答案】3 13．【答案】 14．【答案】4 【解析】解：∵一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b）， ∴b=﹣6×（﹣）=4， 则b=4． 故答案为：4． 【分析】利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案． 15．【答案】3 【解析】【解答】解：如图，作DF⊥AB于点F，ACDF为矩形 ∴CD=AF ∵AE||DF ∴∠BAE=∠BFD ∴△BAE~△BFD ∴即有，得BF=4， AF=BF-AB=4-1=3米 故CD=3米 答案：3. 【分析】作DF⊥AB于点F，知ACDF为矩形，由AE||DF得△BAE~△BFD，由比例关系得BF的长，即得CD的长. 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点， ∴ ∵线段 的长为 厘米， ∴ （厘米） 故答案为： 【分析】根据点D是线段AB的黄金分割点，列出比例式求解即可。 17．【答案】或 【解析】【解答】解：如图1， 设， ，，， ，， 和相似， ， ，， ，， 点是的中点， ， ，解得， ； 如图2， 设， ，，， ，， 和相似， ， ，， ，， 点是的中点， ， ，解得， ， 原三角形的底边长为或. 故答案为：或. 【分析】根据题意画出图形，设，利用相似三角形的性质表示出BD、CD的长度，再通过中点的定义求得x的值，进而得到BC的长度. 18．【答案】①②③ 19．【答案】（1）6 （2）5 20．【答案】证明：矩形中，，， ． ， ， ． ． 【解析】【分析】根据矩形性质，直线平行性质可得，再根据垂直可得，则 ，再根据相似三角形判定定理即可求出答案. 21．【答案】 22．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：当时，， 由（1），得， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意进行角的运算得到，最后根据相似三角形的判定即可求解； （2）当时，，进而根据相似三角形的性质得到，从而根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。 23．【答案】解：当红灯A、大巴车车顶C和小张的眼睛E三点刚好在一条直线上，大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，如下图， ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴， ∴， 解得， ∴． 【解析】【分析】先证明△ECD∽△EAB，可得，将数据代入可得，再求出x的值即可。 24．【答案】解：设t秒时，则BP=8﹣2t，BQ=4t， 综上所述：经过2或0.8秒△PBQ与△ABC相似 【解析】【分析】根据路程等于速度乘以时间得出AP=2t，BQ=4t，故 BP=8﹣2t， 然后分 两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解即可算出t的值. 25．【答案】（1） （2） （3）6 26．【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 学科网（北京）股份有限公司 $