2024-2025高三综合能力调研检测数学A版（五）-【真题密卷】2025年高考数学综合能力调研检测（A版）

2024一2025学年度综合能力调研检测 卺题 数学（五） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.设集合A=x >1x∈Z,B={x-2<x<51,则AnB中元素的个数为（) 3 A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于19世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或 首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长9cm,宽4cm,则 该椭圆的离心率为 () A号 B C.65 3 9 0.2 3.记数列{an}的前n项和为Sn,am+2=2am+1-am,a5十a12=ag,则S5= () A.0 B.12 C.15 D.20 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则下列结论错误的是 () D D B A.AP∥平面CDD1C B.BC⊥AP C.C1D⊥平面A1D1P D.平面PB1C1与平面A1AP不垂直 数学试题（五）·第1页（共4页） 真题密卷·综 5.“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客 班级 表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C,一对i,一对t,一对y重新组合 排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty,CCitiyty等），则不同的排法有 ( A.2124种 B.2148种 C.2352种 D.2420种 姓名 6.已知圆C:x2+y2一4x=0与直线l:mx一4y一4m=0相交于不同的两点M,N,点P 满足MN=2PN,则点P的轨迹方程为 () - A.(x-3)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1(x≠4) 得分 C.x2+(y-3)2=1(x≠4) D.(x+3)2+y2=1(x≠4) 7.当a,9c0,）时，4 sin2月-sim日=2sina,则cos（2a-8》 ( 2 A.-1 B.0 c号 D.1 8,已知双曲线C)1Q>0,b>0的有焦点为P,过点F直线1与C的其中一 渐近线垂直，垂足为P,延长分别交y轴及另一条渐近线于点T,Q,若3PF|= 2QT,则C的渐近线方程为 A.√2x±y=0B.x±2y=0 C.2x±y=0 D.x士2y=0 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知之1，之2是复数，则下列说法正确的是 () A.221一之2=221一之2 B.|z1-x2≤x1+z2 C.若|之1一之2=0，则x一z=0 D.若2z1+3z2=0,则之1=之2=0 10.已知函数了x)=1m-2z,则 () A7✉)的定义城为子经+誓6e乙 Bfx)图象的对称中心为+经oc∈☑ Cf✉)的单调递减区间为(g+,管+c∈z D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=tan2x的图象 f(x) 11.已知函数f(x)满足：①对Hx∈R,f(x)>0,且f(x一1)= f(x+1):®f(7)=4; ③f(2x+1)为偶函数，则 () A.f(1)=3 B.f(0)=2 C.f(100)=4 D.gf(i)=12493 2045 4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.第33届夏季奥运会在巴黎顺利举行，某校为此举办了一次以巴黎奥运会为主题的知 识竞赛，其中高一年级某班的8名参赛学生的成绩（单位：分）分别为：88,92,91,91， 94,95,89,96,则这8名学生成绩的方差为 能力调研检测 数学试题（五）·第2页（共4页） A 73 13.已知一个正六棱台两底面的面积分别为3,3,63，体积为2，则该棱合的侧面积为 14.若关于x的不等式组z3mx≥4m·(x∈Z,m>0)恰有50个不等的实数解，则m 1-20<x<120 的取值范围为 .(结果用区间表示) 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 5,13分)已知函数f(c)=sima.xlnx+1的图象在点1,1)处的切线L与直线2 x一y+2025=0垂直. (1)求a的值. (2)证明：f(x)在区间(0,1)内恰有一个极大值点. 16.(15分)近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为 了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数 据如下表： 购买AI手机购买不带AI的手机总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ (2)为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖 规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、 11 二等奖的概率分别为？，2，其余情况不获奖金：②每位顾客允许连续抽奖两次，且 两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为X元，求X的 分布列和数学期望. n(ad-bc)? 参考公式：x2=a+b)c十d)a十c)6+d)n=a+b+c+d, a0.0100.050.0100.0050.001 xa2.7063.8416.6357.87910.828 A 数学试题（五）·第3页（共4页） 真题密卷·综 17.(15分)如图，△PAB为圆锥PO的轴截面，OP=AB=2,点C为圆弧AB的中点，点D为 线段BC的中点，点E在线段PA上，且AE=λEP,PD∥平面OCE. D B 。万 (1)求λ的值； (2)求平面OCE与平面PBC夹角的余弦值， 18.(17分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,焦点为F,直线1与C相交于A,B 两点，当AF=FB时，|AB|=2. (1)求C的方程， (2)若OA·OB=一1，试问1是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明 理由. (3)若1经过点(2,1)，直线'与C相切于点G,且l∥1'，求△GAB面积的最小值. 19.(17分)若有穷数列{am}满足a1十|a2|十a3十…+am=a1十a2十a3十…十 am十1=1，则称数列{am}为“n阶天枢”数列(n∈N*且n≥2). (1)若等比数列{an}为“8阶天枢”数列，试写出{an}的前4项. (2)数列{an}是“n阶天枢”数列，其前n项和为Sm. (1)是否存在正整数m,使得S>2？若存在，写出其中一个符合条件的“n阶 天枢”数列；若不存在，试说明理由. (1证明：动长a+21+≤品 n2 2n 合能力调研检测 数学试题（五）·第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（五） 一、选择题 |x1=2x-4, 1.B【解析】依题意可得A={-2,-1,1,2},故A∩B y1=2y, ={-1,1,2},共有3个元素. 又点N在圆上，故(2x-4-2)2+(2y)2=4,整理 2.C【解析】设该椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则 得(x-3)2+y2=1(x≠4)， 即点P的轨迹方程为(x一3)2十y2=1(x≠4). 3.A【解析】由am+2=2am+i一an,可得2an+1=am+2十 7.D【解析】由4 isin a cos'&月-sing=2sin&,得 2 an,所以{am}为等差数列，故a5十a12=ag十a8,又a5十 a12=ag,所以ag十a8=ag,即ag=0,所以S15= sn月=2sina2cosa,8-1）=2 2s(a-g)= 2 15(a1十a15） 2=15a8=0. 2sin acosacos B+2 sin2asin B,sin B(1-2 sin2a)= 2 2sin acosacos B, 4.D【解析】对于A,因为平面ABBA1∥平面CDDC1, APC平面ABB1A1,所以AP∥平面CDD1C1,故A 所以品号盘岸如-温会 cos 2a=tan 2a, 正确；对于B,易知BC⊥平面ABB1A1,又APC平面 又a,B均为锐角，所以B=2a,即2a一B=0,所以 ABB1A1,所以BC⊥AP,故B正确；对于C,易知C1D cos(2a-B)=1. ⊥平面A1BCD1,即C1D⊥平面A:D1P,故C正确；对 8.A【解析】 于D,易知B,C1⊥平面ABB1A1,且B1C1C平面 PB1C1,所以平面PB1C1⊥平面ABB1A1,即平面 PB1C1⊥平面A1AP,故D错误. 5.C【解析】将这8个字母随机排成一行，不同排法种数 A 为N1=AAAIA=2520, 其中恰有4对相同字母相邻的排法种数为N2=A= 24,恰有3对相同字母相邻的排法种数为N3=CAC =144,若至多有2对相同的字母相邻，则不同的排法种 知图，在R△OPF中，因为tan∠POF=名=， 数为N=N1-N2-W3=2352. 6.B【解析】圆C的标准方程为(x-2)2十y2=4,故圆 设|PF|=bk,则|OP|=ak, C的圆心为C(2,0),半径r=2. 因为FP⊥OP,所以|PF|2+|OP|2=1OF|2,即(ak)2 由MN=2PN可知，点P为弦MN的中点. +(bk)2=c2,则k=1,故|PF|=b,OP|=a. 由题意，1过定点(4,0)，代入圆C方程，(4一2)2十02= 由三角形相似可知|OP|?=|TP·|PF|,因此 4成立，故(4,0)为1和C的一个交点， 设P(x,y),M(4,0),N(x1,y1)(x1≠4)， - =x1十4 x= 2， 又因为 90-2所以Qr1- 6 因为P是弦MN的中点，所以 整理得 2’ 设∠T0P=∠T0Q=0,则tan0=分， 数学答案（五）·第1页（共5页） A 真题密卷 综合能力调研检测（五） 2a 故tan20= 6 2ab 即x)图象的对称中心为（任+o小∈20，故B a? 62-a,又在R△0PQ中，tan20= 16 正确； a23 1QP16+2b2a+36 对于C◆君+K2:号十xE2,条号 OP 2ab, 吾+经<：<+经∈D,即了)的单消送诚区 故2a2+362a6 2ab-62-a,即3b-a262-2a=4a2b,整 间为（传-经警+》E2,故C正扇： 理得(b2-2a2)(3b2+a2)=0, 对于D,由题意，g(x)=-tan 4+》-- 故=2a,即=2，所以C的新近线方程为2工 -tan2x,故D错误. ±y=0. 11.BC【解析】因为f(x-1) f(x) f(x+1),所以f(x)= 二、选择题 f(x-1)f(x+1),所以f(x+1)=f(x)f(x+2), 9.ABD【解析】不妨设之1=a十bi,之2=c十di,且a,b和 所以f(x十1)=f(x-1)f(x十1)f(x+2),又f(x+1) c,d均为实数， >0,f(x十2)>0，则f(x-1)f(x十2)=1，所以 对于A,2z1-z2=2a+2bi-(c+di)=2a-c+(2b-d)i f(x)f(x十3)=1，f(x+6)f(x+3)=1,故f(x+6)= ∫(x),所以f(x)是周期为6的函数，故∫(1)= =2a-c-(2b-d)i, f(7)=4,故A错误； x2z1-z2=2(a+bi)-c+di=2a-2bi-(c-di)= 因为f(2x十1)为偶函数，所以f(一2x+1)= 2a-c-(2b-d)i,即2z1-之2=2z1一x2,故A正确； f(2x+1),则f(1-x)=f(1+x),即f(x)= 对于B,根据复数的几何意义可知，之1在复平面内对应 f(2-x).令x=0,得f(2)=f(0).又f(x)= 向量OZ1,之2对应向量OZ2,复数加减法对应向量加减 f(x-1)f(x+1),令x=1,得f(1)=f(0)f(2)= f2(0)=4,又f(x)>0,所以f(2)=f(0)=2,故B 法，故z1一之2是以OZ和OZ2为邻边构成的平行四 正确； 边形的对角线Z1Z2的长度，所以之1一之2≤之1|十 (x+1),得f(x+1) f(x) 由f(x-1)= f(x) |之2，故B正确； f(x-1),分别 1 对于C,取之1=1，之2=i,则有z1|一|之2|=0，但x子一x号 令=2,345，可求得了3)=f6)=714)- =1一（一1）=2，故C错误； 对于D,因为|2z1|≥0，|3z2|≥0，所以由|2z1|十 f(0)=2,所以f10)=f(6×16+=f4)=子，故 |3z2=0,得|2x1|=|3z2=0,所以之1=之2=0，故 C正确； D正确 f1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=3 10.Bc【解析】fx)=tam(-2z)=-ian(2z-3）, 2025 所以宫f(i)=337[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+ 对于A,正初品的定又可知2红-≠x十 f(5)+f(6)]+f1)+f(2)+f(3)=37X337+26 12495 ∈20，pz≠经+∈D, 4,故D错误 三、填空题 所以于x)的定义城为≠管+警∈列，能A 1 12.7【解析】这8位学生成绩的平均数为g×(88+89+ 错误； 91+91+92+94+95十96)=92，所以方差为8× 对于B,令2江一2 3_k∈D,解得工-+3西（k∈， 48 (42+32+12+12+22+32+42)=7. 数学答案（五）·第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 13.97【解桥】设正六棱台上，下底面的棱长分别为 -18≤-m<-17, 数为50，则需满足 71<4m≤72， 1∠m≤ 解得4 b,斜高为h',高为h,则由已知可得6X2×asin60° 18,即0的取值范国为，18： 33 四、解答题 2,6××b2sin60°=63，解得a=1,b 15.1解：f(x)=0s号 -alnx-a, (2分) 故f'(1)=一a, (3分) 因为切线1与直线l2:x一y十2025=0垂直， 2,解得h=1如图，在该正六棱台中，分别以上、下 7 所以-a=-1,即a=1. (5分) 底面的中心O,O',上、下底面各一条棱的中点A, (2)证明：由(1)可知，f'(x)=c0 ,πx 2cos 2 -In x-1. A'为顶点构造直角梯形OO'A'A,则OO'=h=1, 元x A'Ah',OA=asin 603 分，0'A'=bsin60°=3， 当x∈(0,1)时，因为y=-nx和y=2os号-1 都是减函数，所以f(x)是减函数， (7分) 所以'+厅--所以孩正六技台的 2/ 又因为f'(日)=0s2>0,f'1)=-1<0, 侧面积S=6×2a+6)h'=3X(1+2)×7_9y7 22 所以存在唯一实数x,∈（侣，1，使得f'c。)=0, (10分) 故当x∈(0，xo)时，f'(x)>0,f(x)在(0，xo)上单调 递增；当x∈(xo,1)时，f'(x)<0,f(x)在(xo,1)上 单调递减.因此f(x)在区间(0,1)内恰有一个极大值 点xo (13分) 16.解：(1)零假设为H。:购买AI手机与顾客性别无关. A 14(促，18【解析】由r-3wd,得m红n≥ 根据数据，计算得到x2 200×(40×30-60×70)》≈ 100×100×110×90 18.182>10.828, (4分) 0,因为m>0,所以x≤-m或x≥4m.当m=19时， 所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断 {xx≤-m}∩{x|-20x<120}={-19},{xx≥4m} H。不成立，即认为购买AI手机与顾客性别有关联， ∩{x|-20<x<120}={76,77,…,119},此时不等 此推断犯错误的概率不大于0.001. (6分) 式组的整数解个数为45；当m=18时， (2)X的可能取值为0,100,200,300,400， (7分) {xx≤-m}∩{x|-20<x<120}={-18,-19}, {xx≥4m}∩{x|-20<x<120}={72,73,…,119}, Px=0=1-日2》”= 此时不等式组的整数解个数为50；当m=17时， {x|x≤-m}∩{x|-20<x<120}={-17,-18,-19}, PX=1o)=cx-2）× ×11 {x|x≥4m}∩{x-20<x<120}={68,69,…,119}, P(X=20=×2+C×写×-日》-0 此时不等式组的整数解的个数为55，m越大，则一m 1 、11 越小，4越大，从而原不等式组的整数解个数不会增 P(X=300)=CX3×2=3' 加；m越小，则一m越大，4m越小，从而原不等式组的 111 整数解个数不会减少，要使得不等式组的整数解的个 P(X=400)=3×3=9 数学答案（五）·第3页（共5页） A 真题密卷 综合能力调研检测（五） 所以X的分布列为 取c=1,得n=(2,2,1). (14分) X 0 100 200 300 400 设平面OCE与平面PBC的夹角为0， 1 13 1 1 m·n 9 则cos0=|cos(m,n)|= 317 36 6 36 3 9 mn√/17×3 17 (13分) 1 3 300X3 即平面0CE与平面PBC夹角的余弦值为3V7 所以E(X)=0×36+100X6 +200× 17· 36 (15分) 1700 +400× 9=3 (15分) 18.解：设A(x1y1),B(x2y2). 17.解：(1)连接AD,设AD与OC相交于点F. （①由已知得r(份，o小，当-店时，x=:= 2’ 因为点O,D分别为AB,BC的中点， 且AB⊥x轴， 所以点F为△ABC的重心， 所以品是 (3分) 将=号代入y=2,得y=士p, (2分) 因为PD∥平面OCE,PDC平面PAD,平面OCE∩ 所以此时|AB|=|y1一y2|=2=2, 平面PAD=EF, 解得p=1. 所以C的方程为y2=2x. (4分) 、所以PD∥EF,所以D毙=2，即入=2。(6 (6分) (x=ty+m, (2)由题意知，OC,OB,OP两两相互垂直，故以O为 (2)设l:x=ty+m,联立 消去x得y2- y2=2x, 原点，O心，OB,OP的方向分别为x,y,x轴的正方向， 2ty-2m=0, 建立如图所示的空间直角坐标系， 则y1十y2=2t,y1y2=-2m,△=4t2+8m>0,(5分) 所以Oi·0i=1x+:=0:)2 4 +y1y2= 4m2 4 -2m=-1,解得m=1, (7分) 此时△=4t2+8>0, B 所以l:x=ty+1,恒过定点(1,0). (9分) (3)由题意可知，直线1的斜率不为0，设直线1的方 则A(0,-1,0),B(0,1,0),P(0,0,2),C(1,0,0), 程为x=t(y-1)+2, 所以PA=(0,-1,-2),BC=(1,-1,0),PC= (1,0,-2), G i-o丽+P所-0，-3，)】 (8分) (2,1) O 设平面OCE的法向量为m=(x,y,之)， m·0元=0，x=0, 则 即1 .4 m0i=0,3+32=0, 代入y2=2x,可得y2-2ty十2t-4=0, 取x=1,得m=(0,4,1), (11分) 则△>0，y1+y2=2t,y1y2=2t-4, (10分) 设平面PBC的法向量为n=(a,b,c), 所以|AB|=√1+t2·|y1-y2|=√1+t2· n·BC=0,a-b=0, √(y1+y2)2-4y1y2=√1+t2·W4t2-8t+16, 则 即 n.PC=0,a-2c=0, (11分) A 数学答案（五）·第4页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 设平行线'的方程为x=ty+n, (2)(1)解：不存在，理由如下： 将x=ty十n代入y2=2x,可得y2-2ty-2n=0(￥)， 当m-n时，显然S。-0<分： (7分) 令△'=4t2+8n=0,得n=- 2 (12分) 当m<n时，Sm=a1十a2十…十am= 代入(*)式，得y2-2ty十t2=0,解得y=t, -(am+1十am+2十…十am), (8分) 即y6=t,则x6= (14分) 即|Sm|=|a1十a2+…+am|=|am+1十am+2十…十anl, 所以2Sm|=|a1十a2十…十am十|am+1十am+2十…十an|≤ 2 -t2+t-2 |a1|+|a2|+a3|+…十|am|+|am+1十 所以点G到直线AB的距离为d 1+ t2-2t+4 lol+…+a.=1,所以S。≤7 (10分) (15分) 2√1+t 即不布在正整数m,使得S.>号 (11分) 银sas白a8-专·公 .1+· Va+中I6-号g-2+4 1)证明：+受+号++…+号+ 3 4 n-1 n =日【a-10+33 2 S3 S4 2+2×33×44×5 …十 (n-1)n'n 故当t=1时，△GAB的面积取得最小值33， 2,此时 + S2 + S 4×5 …十 2X3 (17分) Sx-1 (n-1)n (14分) 19.(1)解：设a1,a2,ag,a4,a5,a6,a7,a8是公比为q的 等比数列，显然q≠1， 由(1)知小s≤：所以+袋g十 则有a1十a2十a3十a4十a5十a6十a7十a8=0,故 a11一g)=0,解得g=-1, 1-q (2分) |x+s++a 1 1 由la1+|a2|+|a3|+|a4l+|a5+|a6|+ 1a,+a,=1,得8e=1,解得a=±日，4分) 2（2+2-3+3-445 所以a的前4项为：后一日石日成-日合 1111 11m11 11 8’8 (5分) (17分) 数学答案（五）·第5页（共5页） A