精品解析：黑龙江哈尔滨市第一二二中学校2026-2027年度上学期10月月考考试高三数学试题

哈一二二中学2026—2027年度上学期月考考试 高三数学试题 考试时间：2026年10月8日 时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数函数，若存在两个不同零点，则a的取值范围为　　 A. B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 点是的一个对称中心 D. 函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前99项和为99 D. 若数列满足，则的前50项和为2132 11. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为4 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知命题，是假命题，则实数的取值范围为_________. 13. 锐角满足，则______________． 14. 设数列满足． （1）若，则________； （2）若数列是正项单调递增数列，则的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）求出的解析式，并写出的最小正周期； （2）令，求的单调递减区间． 16. 已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）求的通项公式和前项和. 17. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 18. 成为一个平静的人究竟要流多少眼泪？记正整数为流泪的次数，第次流泪带来的情绪平复值为，前次流泪的累计总平复值为数列的前项和．已知，且对任意正整数，满足；当累计总平复值时，人达到完全平静的状态，即成为一个平静的人． （1）求数列的通项公式； （2）求，并证明：对任意正整数，； （3）求达到完全平静状态所需的最小流泪次数． 19. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； （3）当时，设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈一二二中学2026—2027年度上学期月考考试 高三数学试题 考试时间：2026年10月8日 时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得，， 又， 所以. 2. 若，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，所以. 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算角的正余弦值，再利用正弦的两角和公式展开计算． 【详解】由角的终边与单位圆交于点，可得； 由两角和公式可知． 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数的单调性，结合充分条件、必要条件分析判断即可. 【详解】充分性：当时，因为函数在上单调递增，所以， 此时无意义，故充分性不成立； 必要性：函数在上单调递增，所以由得出， 又函数在上单调递增，所以，故必要性成立， “”是“”的必要不充分条件. 6. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解. 【详解】已知函数，则，， 令，解得， 而，故函数关于点对称，所以， 所以，故B正确. 7. 已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算的模，再利用向量模的三角不等式求解的最小值. 【详解】由题意知，均为单位向量，故，且， ，得，故， ， 对任意平面向量，有，等号成立当且仅当与反向， 令，，，代入得： ， 当与反向时等号成立，故的最小值为. 8. 已知函数函数，若存在两个不同零点，则a的取值范围为　　 A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将函数的零点转化为方程的根，转化为两个函数的图象的交点的个数，推出a的取值范围． 【详解】作出函数的图象， ，由，可得， 作出直线， 由题意可得有两个不同的实根， 即函数的图象与直线有两个交点， 作出的图象和直线， 当直线经过点时，可得，即； 当直线与相切，可得， 由，即有， 可得或时，直线和的图象有两个交点， 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数以及对数函数的图象与性质，是函数图象和性质的综合应用，考查数形结合以及计算能力． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 点是的一个对称中心 D. 函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数图象可得、，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可. 【详解】由图可知，，所以，即，解得， 所以，又， 所以，解得，又，所以， 所以，故A正确，B错误； ，所以点是的一个对称中心，故C正确； 将函数的图象向左平移个单位得到， 显然函数不是偶函数，故D错误； 故选：AC 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前99项和为99 D. 若数列满足，则的前50项和为2132 【答案】ABD 【解析】 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出可判断选项A；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项错误； 选项D，， 则前项和为， 故D项正确. 11. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为4 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇函数推中心对称、偶函数推轴对称，通过变量替换联立等式，推出函数递推关系 和周期T=4；再结合特殊点函数值、周期求和公式，逐一验证所有选项，最终确定正确答案. 【详解】 是奇函数 ，函数关于点 中心对称， 是偶函数 ，令 ，得，函数关于直线 轴对称，得， 对于A，由 ，令 ，得，所以，故A 错误； 对于B， ，把 换成 ，得，因 ， 则有，再把 换成 ，得， 两式相减，可得，即的一个周期为 4，故B正确； 对于C，由上分析已得，故 C正确； 对于D，已知 ，周期为 4，， 由，得，又因， ， 得，由 的周期为4，得， 则函数在一个周期内的和是， 因为，所以，故D 错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知命题，是假命题，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先写出全称命题的否命题，再利用参变分离求实数的取值范围. 【详解】由条件可知，是真命题， 当时，不成立， 当时，，即， 函数在区间单调递减，当时函数取得最小值，即， 即. 故答案为： 13. 锐角满足，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为是锐角，所以，因此，所以. 又因为， 所以， 于是 . 14. 设数列满足． （1）若，则________； （2）若数列是正项单调递增数列，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）推导出数列为常数列，即可得出的值； （2）根据数列的单调性可得出，可得出，即，结合可得出的取值范围. 【详解】（1）若，，则， ，， 所以数列为常数列，即，所以； （2）若数列是正项单调递增数列， 则对于任意，， 且，，故只需，即，可得或（舍去）， 综上所述，的取值范围是． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）求出的解析式，并写出的最小正周期； （2）令，求的单调递减区间． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据向量的数量积的运算得到，即可求解最小正周期; （2）由（1）得，利用余弦型函数的性质，即可求解函数的递减区间； 【小问1详解】 . 所以的最小正周期. 【小问2详解】 . 令，得， 所以的单调减区间为. 16. 已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）求的通项公式和前项和. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解； （2）先写出数列的通项公式，再分组求和即可求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为，，所以，即， 设等差数列公差为， 因为，，所以，即. 【小问2详解】 因为，所以, 由（1）可得， 设前项和为， . 17. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理进行求解； （2）由三角形的面积公式及余弦定理得，再由基本不等式求解． 【小问1详解】 因为， 所以：， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 由余弦定理得，即， 设 ，则 ， 由基本不等式：，故， 解得，故， 又 ，所以， 因此. 18. 成为一个平静的人究竟要流多少眼泪？记正整数为流泪的次数，第次流泪带来的情绪平复值为，前次流泪的累计总平复值为数列的前项和．已知，且对任意正整数，满足；当累计总平复值时，人达到完全平静的状态，即成为一个平静的人． （1）求数列的通项公式； （2）求，并证明：对任意正整数，； （3）求达到完全平静状态所需的最小流泪次数． 【答案】（1） （2）由（1）知， 则， 因为，所以，则. （3）99 【解析】 【分析】（1）由，得，再利用累乘法求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可，进而结合即可求证； （3）解不等式求解即可. 【小问1详解】 由，得， 则，， 显然满足上式，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， 由，得，即，则， 所以达到完全平静状态所需的最小流泪次数为99. 19. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； （3）当时，设，证明：． 【答案】（1） （2） （3）当时，， 要证，即证， 即证， 设，，即证， 而， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以函数在上单调递减， 又，所以，得证， 故. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与的图象在上有交点，利用导数分析函数的单调性，进而得出的图象，数形结合，即可求解； （3）根据条件，设，，将问题转化成求证，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可. 【小问1详解】 当时，，则， 所以 ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 已知函数（），定义域为，且， 令，得到， 已知在其定义域上存在极值点，即在上有变号零点， 则与图象在上有交点， 而， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又时，，，时，，其图象如图所示， 由图可知，要使与图象在上有交点， 则，即，所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $