2024-2025高三综合能力调研检测数学A版（三）-【真题密卷】2025年高考数学综合能力调研检测（A版）

2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合A={x2x2-5x-7<0},B={xy=ln(3-2x)},则AUB= () A.{xx>-1}》 B.z <2 C. -1< 3 D.r2<x<2 2.若a+bi计一1为实数，则b= () A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.某学校安排唐老师、李老师等7位老师前往甲、乙、丙、丁4名学生家里家访，其中每位老 师只前往1名学生家中，甲、乙、丙、丁4名同学家中安排家访老师的人数分别为3,2,1， 1,则唐老师和李老师共同家访1名学生的概率为 () 1 4 A.7 5 2 B.21 C.21 D.7 4.已知a,9分别为第-、第三象限角，若4cos2a十10sin(经+e)+1=0,且an(p+）-7, 则cos(a一B)= 3-4√15 B. 3+4√/15 C.-4+315 D.- 4+3√15 20 20 20 20 5.已知函数f(x)=3lnx一ax2,若曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线与直线l:x十+2y一3=0 相互垂直，则f(x)的极大值为 () A. 3 B.3ln3-2 ch8- D. 6.中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数， 若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a三b(modm),若a= C30·3十C30·32+C30·33+…十C8·330,且a=b(mod15),则b的值可以是() A.225 B.301 C.1000 D.1510 数学试题（三）·第1页（共4页） 真题密卷·综 7.已知圆锥S0的侧面积为15π，母线与底面所成角的余弦值为3，则圆锥S0的外接球与 班级 内切球的表面积之比为 ( 625 625 A.288 224 448 B.225 C.225 D.144 姓名 包知双曲线C:-1a>0,b>0的右焦点为F,过点F的直线1与双曲线的应 得分 渐近线在第一象限交于点P,在第二象限交于点Q,O为坐标原点，∠OPQ=90°，若 3OP|+3|PQ|=3OQ+2a,则C的离心率为 A.3 B.2 C.5 D.√6 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.将某单位男女职工的人数、人均体重及方差的情况统计如下表所示，则可以估计() 男职工 女职工 总人数 150 250 人均体重（单位：kg) 66 54 体重的方差 143.75 79.75 A.该单位男职工的人均体重比女职工的人均体重高 B.若按性别进行分层抽样，从所有职工中随机抽取16人，则女职工被抽取了6人 C.该单位所有职工的人均体重为58.5kg D.该单位所有职工的体重的方差为137.5 5π\ 10.已知函数f(x)=sin-一2a>0),则下列说法正确的是 A.若u=3,则直线工=为fc)图象的一条对称轴 36 B.若w=2,则f(x)在 2π 3,π上单调递减 C,将了)的图象向左平移个单位长度后与函数g)=co一设）的图象重合， 则w的最小值为3 D若w=三，则函数(z)=5f(x)一x的零点个数为4 11.已知x,y∈R,4x2+6xy+9y2=3,则 () A.Hx,y∈R,-23≤4x+3y≤23 B.3x,y∈R,4x+3y≤-3 C.Hx,y∈R,1≤4x2+9y2-6xy≤8 D.3x,y∈R,4x2+9y2-6xy≥1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量m=(2,λ)，n=(一2,1)，其中(m一2n)⊥n,则m一4n与n夹角的余弦 值为 13.已知函数f(x)= (z十1)e-1,x≤0'若函数g(x)=fx)-a有2个零点，则实数a -x2+4x,x>0, 的取值范围为 能力调研检测 数学试题（三）·第2页（共4页） A 14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线1与C交于M(x1,y1), N(x2,y2)两点，其中y1y2=一4，则= ;若|MF|=3NF|,MP=PV, 过点P作C的准线的垂线，垂足为Q,则△QMF的面积为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知数列{am}的前n项和为Sn,其中3Sm十a1=4am,a3=16. (1)求{am》的通项公式以及前n项和Sn; (2)若bn=(3n一2)·am,求数列{bn}的前n项和Tm. 16.(15分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点M在线段A1C1上，过点A,M的平面a 与平面BCC1B1垂直. (1)作出平面α截三棱柱ABCA1B1C1的截面，给出过程并证明； /39 (2)若BC=4,BB1-3,点A1到平面a的距离为3，求平面a与平面ABB1A1夹角 的余弦值. A M -- B A 数学试题（三）·第3页（共4页） 真题密卷 17.(15分)某商场举办消费回馈抽奖活动，抽奖箱中放有两张10元奖券和一张20元的奖 券，顾客从中有放回地抽取，抽取次数视消费金额决定， (1)若甲顾客有2次抽奖机会，其获得的奖券总额为X,求X的分布列与数学期望； (2)若乙、丙两个人各有5次抽奖机会，若乙前三次抽奖获得的奖券总额为60元，求5 次抽奖后丙获得的奖券总额多于乙的概率. 18.(17分)已知函数f(x)=入x-e. (1)当λ=2时，曲线y=f(x)与y=g(x)关于点(2,3)中心对称，求函数g(x)的解 析式； (2)讨论f(x)在[2,6]上的单调性； (3)若关于x的不等式f(x)+e≤x3+sinx在[0，+∞)上恒成立，求实数入的取值 范围. 19.(17分)已知椭圆C:+=1a>6>0)过点(-5，），2，-），记C的右顶 x2,y2 点为M. (1)求C1的方程； (2)记C1的左、右焦点分别为F1,F2,过点(1,0)的直线1与C1交于P,Q两点，若MP ∥QF1,求直线l的斜率； 3)已知椭圆C2:十2ay +=1,过点N13)作周C:k}+y2-的切线1G 分别与C2交于A,B两点，求△NAB的周长. 综合能力调研检测 数学试题（三）·第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度综合能力调研检测数学（三） 一、选择题 6.A【解析】a=C90·3°十C0·3十C3。·32+C3·33 1.B【解析】依题意，A={x|(x+1)(2x-7)<0}= +…+C38·380-1=40-1=1615-1=(1+15)15-1 女-1<引}，B=a3-2>oi={:<引 =C85·15°+C5·151+…+C·155-1=C15·15 十…十C·1515,故a可以被15整除，易知225也可以 数AUB-<引 被15整除. 7.D【解析】设圆锥SO的底面半径为r,母线长为l,则 2 2(-1-i) 2.A【解析】a+bi+:1=a+bi计-1十)(-1-D πrl=15元， r=3, a十61-2(i1D=a-1D+6-1Di,由题意知6-1= 3解得 设圆锥SO的内切球和外接球 =5 L=5. 2 0,所以b=1. 1 1 半径分别为r1,R,故2·(5十5十6)·r1= 6X4, 3.B【解析】依题意，总的情况有CCA=420种，其中 3 满足条件的有CCA?+CA?=80种，故所求概率 解得1=2·设圆维S0物栽面的三角形的顶角为0， P-2-品 则cos0= 52+52-6_7 2X5×5-25,则sin0=V1-c0s0=24。 25, 4.D【解析】依题意，8cos2a十10cosa一3=0，解得cosa= 25 血a=sa-,6m归+）-"8制 1 tan B+1 风R=2品。管华-昌-多国维S0的外注 2 sinβ3 =7,解得an月= 4,故c0s日=4， 解得sinB= 珠与内物感的表面积之比为得 sin2B++cos2B=1, 8.C【解析】设∠FOP=a,∠POQ=20,因为OP⊥ -g,cosB=二4，则cos(a-B)=cos acos B+sin asin PQ,tma-名，所以1PF=6,Or=a,又 1×45×3=4+3而 3|OP|+3|PQ|=3|OQ+2a,所以|PQ| 20 5.C【解析】由题毫，'u)=兰-2a,所以了'G1)=3 |OQ|=-3a①，在Rt△OPQ中，由勾股定理 -2a,放8-2a)·（2）-1,则a=2,故fx) 得10Q?=0+a@,联立①@，得PQ-专a, 4 2tan 0 3hx-2,则f=-x=3x 所以1an20=专-200n20解仔am0=分，故tana C ,62 3+x)3-）,故当x∈(0w5)时，f'(x)>0, 2,则e=。-1+=5. 二、选择题 f(x)单调递增；当x∈(5，十o∞)时，f'(x)<0,f(x) 9.ACD【解析】由表可知，A正确；由于男职工与女职工的 单调递减，所以当x=√时，∫(x)取到极大值 人数比例为3：5，故按照性别进行分层抽样，女职工被抽 fua)=3n5-是×3=n3-是 取人数为16× 8=10,故B错误；该单位所有职工的平均 5 数学答案（三）·第1页（共5页） A 真题密卷 综合能力调研检测（三） 体重为150X66+250X54-58.5kg,故C正确9= 三、填空题 400 400 12.- √10 {150×[143.75+(66-58.5)2]+250×[79.75+(54-58.5)2]} 10 【解析】由题意，m一2n=(6,入-一2)，故 =137.5,故D正确. (m-2n)·n=入-14=0，解得入=14，故m-4n= 1AC【解标】若a=3,则/(）=sn出- 11π (10,10),故cos〈m-4n,n)= (m-4n)·n m-4nn -10 √10 1,故A正确：若u=2,fx)=sn2x-》,当x∈ 10√2×√5 10· 13.[-1,4)U{-2e-1}【解析】令g(x)=0,得 f(x)=a,故问题转化为y=f(x)与y=a有两个交 先减后培，故B错误：(+）=sm(ar十) 点，当≤0时f'e)=e+3)ei,当z<-3时， f'(x)<0,当-3<x≤0时，f'(x)>0,故f(x)在 cos(ar）则-+2x∈z,则u-3+12 (-∞，一3)上单调递减，在（一3,0]上单调递增，且 (k∈Z),故w的最小值为3，故C正确；若w= f(-3)=-2e号-1，当x→-0时，f(x)→-1，作 子，则9)=5sm(传x设)-z,令px)=0,得 出函数f(x)的大致图象如图所示，故实数a的取值 范围为-1≤a<4或a--2e2-1. n(x-）-因为面线y=sin(-设)与 线y=号有3个交点，故函数9()=5f6)-x的零 3 点个数为3，故D错误。 2e-1 sin像r- 几4.2：氵3【解析】由焦点弦性质得yy2=一4=p 11.ABD【解析】令4x+3y=t,则3y=t-4x,代入3= y1=23, MF y1 4x2+6xy+9y2中，得3=4x2+2x(t-4x)+(t- 解得p=2.由 NE =3,解得 y2 4x)2,整理得12x2-6tx十t2-3=0,由△≥0，得t2 y2= 2或 3 12≤0，故-2√3≤t≤23，即-2√3≤4x+3y≤2√3， y1=-25, y1=2√5， 故A,B正确；4x2+9y2-6xy=3-12xy,因为4x2+ 23 不妨取 23 分别代入y2=4x y2= 3 y2= 3 9y2+6xy=3≥|2×2x×3y|+6xy,当且仅当|2x|= x1=3, 1 |3y时等号成立，当xy≥0时，18xy≤3，此时y≤6 中可得=1故M6,2).F10N行2） x2=3’ 当<0时，-6y<3,光时≥-号所以-<y P(g,2）Q-1,2）,故△QMF的雨教为5 ≤石所以1长r十9y-6y<9,故C错误，D运确 合×(8+1小×2w8=s. A 数学答案（三）·第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 四、解答题 令y=√3，则之=2入，所以n=(0,3,2λ)为平面a的 15.解：(1)当n≥2时，3Sm+a1=4am,3Sm-1+a1= 一个法向量， (9分) 4a-1, (1分) 又AA1=(0,0,√3)，所以A1到平面&的距离d= 两式相减可得3am-4an一4am-1,即an-4a-1.(2分) |AA1·n23λ 39 又a3=4a2=16a1=16,故a1=1≠0， (3分) 13, (10分) n √3+4λ2 所以{an}是以1为首项，4为公比的等比数列，(4分) 解得=则n=05,分。 1 (12分) 则an=a1q”-1=4"-1, (5分) S。=a11-g)_4-1 易知平面ABB1A1的一个法向量为m=(1,√5,0)， 1-q 3 (6分) (13分) (2)依题意，bn=(3n-2)am=(3n-2)4m-1，(7分) 记平面a与平面ABB1A1夹角为0，则cos0= 则Tm=1×4°+4×41+7×42+…+(3n-2)×4"-1, m·n 3 3√13 则4Tm=1×41+4×42+7×43+…+(3n-2)×4, m n 2 13, (8分) 2 故-3Tm=3×4°+3×4+3×42+…十3×4m-1 即平面&与平面ABB,A1夹角的余弦值为13， (3n-2)×4"-2=(3-3n)4-3, (12分) (15分) 故Tm=(n-1)4"+1. (13分) 16.解：(1)取线段BC的中点O,连接AO,此时AO⊥ BC (1分) M 又AO⊥BB1,BB1∩BC=B,故AO⊥平面BCC1B1. C (3分) M B 又AOC平面AOM,故平面BCC1B1⊥平面AOM. (4分) 取B1C1的中点O1,连接A1O1,则A1O1∥AO,作 MM'∥A1O1交线段B1C1于点M',连接OM',则 MM'∥AO,则A,O,M,M'四点共面， 故平面AMM'O即为平面a. (5分) (2)以O为坐标原点，OA,OB,OO1所在直线分别为 17.解：(1)依题意，X的可能取值为20,30,40， (1分) x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, P(X=20)= x号-号px=0)=G×号x号 2×2-4 31 则A(25,0,0),A1(2√5,0，√3)，C(0,-2,√3) 1,11 (6分) =9,P(X=40)=3×3=9, (4分) 设A1M=λA1C1=(-2√3λ，-2λ，0)，A>0, 故X的分布列为 则M(23(1-λ)，-2λ，N3),故OA=(2√5,0,0)， 20 30 40 AM=(-23λ，-2λ，W3). 9 9 设平面a的法向量为n=(x,y,之)，则 (5分) n·OA=0,x=0, 即 n·AM=0,-2W3λx-2λy+√3z=0, E(X)=20×号+30× 4 +40 180 <9-3 (7分) 数学答案（三）·第3页（共5页） A 真题密卷 综合能力调研检测（三） (2)记事件Am:乙最终获得的奖券总额为m元，m= (3)依题意，Ax-sinx- 2 x≤0在[0，+∞)上恒成 80,90,100;事件B:丙最终获得的奖券总额多于乙， 1 4 4 则PA)=9,P(A)=g, (9分) 立，令g(x)=λx-sinx一 x3,则g'(x)=λ-cosc 当乙最终获得的奖券总额为90元时，丙最终获得的奖 222,故g'(0)=入-1<0，得入≤1， (12分) 券总额应为100元， 下面证明充分性： 则P(BAo)=Cg (11分) 要证：当λ≤1时，Ax-sinx 6x3≤0 当乙最终获得的奖券总额为80元时，丙最终获得的奖 即证：x-sinx一 券总额应为100元或90元， 6x≤0 则PBA)=C·()'+C·()》·（） 1 即证：6x3+sinx一x≥0； (13分) 1×(日)， 先证：sinx一x≤0； (13分) 令p(x)=sinx-x,则p'(x)=cosx-1≤0，故 则P=P(AoB)+P(A∞B)=P(A0)XP(BA0)+ p(x)在[0，+∞)上单调递减， P(Aso)XP(BA8o) 则p(x)≤p(0)=0,即sinx≤x； (15分) -号×()+号×11×() 16 2 7291 令h(x)=sinx-x+6x,则h'(x)=cosx-1+2 故所求概率为729 16 (15分) =-2m+>-2（}+号=-0， 18.解：(1)依题意，f(x)=2x一e, 故h(x)在[0，十∞)上单调递增，且h(0)=0,故 因为曲线y=f(x)与y=g(x)关于点(2,3)中心对称， h(x)≥0； 故g(x)=6-f(4-x)=6-2(4-x)十e4-x=-2十 综上所述，实数入的取值范围为（一∞，1]. (17分) 2x十e-x. (4分) 3 3 4621, a3=4, (2)依题意，f'(x)=λ-e,x∈[2,6]. (5分) 19.解：(1)依题意， 解得 (3分) 3 b2=3, 当A≤e2时，f'(x)≤0，f(x)在[2,6]上单调递减； la? 262-1, (7分) 故C的方程为大 (4分) 当e2<λ<e,令f'(x)=0,得x=lnλ，即2<ln入<6 3 =1. 时，当x∈[2，lnλ)时，f'(x)>0,当x∈(Inλ，6时， (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为MP∥QF1,故 f'(x)<0,故f(x)在[2，ln)上单调递增，在 |QF1:|PM|=|F1F2:|F2M|=2:1, (nλ，6]上单调递减； (8分) 所以y2=-2y1①. (6分) 当λ≥e时，f'(x)≥0，f(x)在[2,6]上单调递增. 设直线l:x=my十1， (9分) [x=my+1, 整理得(3m2+4)y2+6my-9=0, 综上，当λ≤e2时，f(x)在[2,6]上单调递减；当e2< =1, 3 入<e时，f(x)在[2，ln入)上单调递增，在(ln入，6们上 △=144(m2+1)>0,所以m∈R, 单调递减；当λ≥e时，f(x)在「2,6]上单调递增. 6m (10分) 故y1十y2= 3m2+4②， 数学答案（三）·第4页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 9 8k3-48k1-9 y1y2=一3m2+4 ③， (8分) 可得xA=xNxA= 8k十9 2w 联立①②③，解得m=士 所以yA=k1(xA-1)十3=k /8k3-48k-9-1）+3 5 ，故直线1的斜率为 8k子+9 -24k-18k1+27 2 (10分) 8k+9 x2,8y2 -3(27-12k1)-18k1十2718(k1-3)3 (3)由题意，椭圆C:9+81=1,即9x2+8y=81, 27-12k1+9 12(3-k1) 21 显然直线NA和直线NB的斜率均存在， 同理xB= k号-48k2-9 (14分) 8k十9 设过点N(1,3)作圆C3的切线方程为y=k(x一1)+3， 其中k有两个不同的取值1和2，分别为直线NA 所以直线AB的方程为y=-三，所以AB与圆C,相 和NB的斜率！ (11分) 切，将y=二3代入9x2+8y2=81得x=±V7,所以 (-1)+3 3 由圆C3与直线相切得： |AB=2√7， (15分) √R2+1 2, k,十2=-3」 2, 又点N到直线AB的距离为 , (16分) 化简得8k2+12k-27=0,则 (12分) 7 k1k2=一8 设△NAB的周长为m,则△NAB的面积S= 2mx y=k1(x-1)+3, 9-x2w7×2, 由 得(9+8k)x2+16k1(3-k1)x 9x2+8y2=81, 解得m=6√7，所以△NAB的周长为6√7.(17分) +8k子-48k1-9=0,此时△>0， 数学答案（三）·第5页（共5页） A