2024-2025高三综合能力调研检测数学A版（二）-【真题密卷】2025年高考数学综合能力调研检测（A版）

·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（二） 一、选择题 为公差的等差数列， 1.A【解析】因为M={-1,1,2),N={y|x∈M,y 所以am+1-an=1+2(n-1)=2n-1, x∈M},所以当x=-1时，y的值可以为一2,0,1；当 则a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,am一am-1 x=1时，y的值可以为0,2,3；当x=2时，y的值可以 2n-3,累加得am=1十3+5+7+…+(2n-3)= 为1,3,4，所以N={-2,0,1,2,3,4},即N中元素的 (1+2n-3)(n-1) 2 =(n-1)2,n≥2， 个数是6. 2.D【解析】由a=(入，1)，b=(-2,),得a十b=(入 1 1 11 则当n≥2时， ，所以 2,1+μ)，又(a+b)∥b,所以(a-2)μ=-2(1+μ)，解 √amam+1(n-1)nn-1n 得加-2即=是 1 1 1 1 i=2 aia:+1 asas 3.B【解析】因为特称命题的否定是全称命题，否定结论 的同时改变量词，所以命题“存在偶数a,使数据3,4， N anan+1 n-1 n 1,a,5,7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a, 司令”品每得<10，这n的装大维力的， 数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数”. 4.A【解析】令sin2a-sin23=m,则sin2a+sin28- 7.D【解析】由f(x)是奇函数，排除选项A;由f(1)> 2sin 2a sin 28=m2, 0,排除选项C；对于B,f(x)是奇函数，且x>0时， f(x)=x4-2x3+2x,f'(x)=4x3-6x2+2,令g(x) 由cos2a十c0s29=2,得c0s22a十cos228+2c0s2ac0s28= 1 =f'(x),则g'(x)=12x2-12x=12x(x-1),所以当 日，两式相加得2+2as2十20=m+子周为a十9-号 x∈(0,1)时，g'(x)<0,f'(x)单调递减；当x∈(1，十∞) 时，g'(x)>0,f'(x)单调递增，所以f'(x)≥f'(1)= 所以m2+=1,解得m=3 0,所以f(x)单调递增，不符合题意，故B错误；对于 4,所以sin2a一sin28=±3. D,f(x)是奇函数，f(1)>0,且当x>0时，f(x)= 5C【标】：+》 展开式的通项为T,+1= x3-6xIn x,f'(x)=3x2-6In x-6,4h(x)=f'(x), 则A'r=6x-9-6x+1Da-1D,所以当r∈0,1D x Cg(2x)5- x 时，h'(x)<0,f'(x)单调递减；当x∈(1，十∞)时， 的展开式中，x言的系数为22X h'(x)>0,f'(x)单调递增，因为f'(1)=-3<0,当 x>0时，f'(x)→十∞；当x十∞时，f'(x)→十∞， C33=-40i; 所以存在0<x1<1<x2,使得当x∈(0，x1)时，f'(x) 令=5，得2x+ 1 的展开式中，x的系数为i的=i, >0,f(x)单调递增；当x∈(x1,x2)时，f'(x)<0, f(x)单调递减；当x∈(x2,十o∞)时，f'(x)>0,f(x) 的展开式中，x豆的系数为i十 单调递增，又当x→0时，f(x)→0，当x→十∞时， f(x)→+∞，f(2)=8-12ln2=4(2-ln8)<0,符合 402=-40+i. 题意，故D正确. 6.B【解析】当”≥2时，由a十=2，得 am十1 &B【锦标】目为-名∠RAM=∠F,AM,片 (an+1-an)-(an-an-1)=2, |AB|3 因为a2一a1=1,所以数列{am+1一an}是以1为首项，2 以AF,-2,又|AF=|AF,=a,所以BF,= A 数学答案（二）·第1页（共5页） 真题密卷 综合能力调研检测（二） 名，BF,=2a-BF,=安-=AB,放在接 11.ABD【解析】设圆台的高为h,上、下底面圆的半径 1 1 分别为r1r,因为V题0，og=3r(2+r2十r)h, 2a △ABF2中，cos∠F1AF2=1-2sin2∠MAF2= 3 所以21π= 3π(3+12+6)h,解得h=3,所以直线 部得sB∠MAR:-,又Sn∠MA,- 3 1 -=e,所 MN与底面所成角的正切值为，h一 r2-r12√3-3 以C的离世率为原 √5，即直线MN与底面所成的角为60°，故A正确；设 圆台侧面展开图扇环的圆心角为0，因为r2=21= 二、选择题 23,h=3,可得MN=23,所以2r2=2MN·0,即4√3元 .AC【解析】由f(x)=2sin(x-),得f'(x) =4√50，解得0=π，故B正确；因为O2N=√3十32= 2cos(e-）,所以gx)=4sin(e-君)os(e-g） 2√3=O2M,所以球心O与点O2重合，所以球O的 半径R=2√3，球O的表面积为4πR2=48π，故C错 2sn2x-2）所以g(x)=2=f()放A正确； 误；如图，设MO2∩AB=P,因为MN∥平面O1AB, 令f(x)=0,得x-=k,k∈Z,所以x=5十kx,k MNC平面MNO1O2,平面MNO1O,∩平面O1AB= O1P,所以MN∥O1P,又NO1∥MO2,所以四边形 ∈Z令gx)=0,得2x--kk∈Z,所以x= MNO,P是平行四边形，所以MP=NO1=5=2M02, ∈乙，所以g()的零点不全是f(x)的零点，故B 所以P为MO2的中点，所以ABm=2√F22-r7=6, 错误；因为f(0)=一√3，g(0)=一√3，故C正确；将 所以（∠A0,B)n=120,所以(5m,g）=2X2,5X f(x)围象上所有点的横坐标缩小为原来的号，得到的 2√3sin120°=3√3，又O201⊥平面O2AB,0201=3.所 是函数y=2sin2x一）的图象，故D错误。 1 以(Vo0,AB)ms=(V0,0,AB)s=3X(Sa0,B)x· 10.BCD【解析】将这8个球随机分到两个不同的盒子， 1 每个盒子不空，则共有Cg十Cg十C十…十C=28一2 0,01=3×35×3=35,故D正确. =254种分配方法，故A错误；由题意知P(X=2)= C-故B正确；由题意知Y的可能取值为5,6) 78,周P0-5》-8-3P0-6-号- C41 PN=)8-品P=8-8-器所以Em 三、填空题 -5x6+6x6+×5+8×6-只故C玉确：以 12.-2【解析】由于f(x)的定义域满足{xx≠n},根 袋子中有放回地依次摸4次(1次1个)，记Z1为摸出 据奇函数的定义域关于原点对称可知=0，所以 红球的次数，则Z=Z1-(4一Z1)=2Z1一4，因为 、f(x)=”mx十2+1=2+m+1,f(x)=2 x m十 ZB,营所以D(2)=4x号×是-l8所以 5 1,因为f(x)+f(-x)=2(m+1)=0,解得m=-1, D(Z)=4D(Z)=4X6=4,故D正确， 所以f0x)=2,所以f0m十m)=f(-1D=-2. 数学答案（二）·第2页（共5页） A ·数学· 参考答案及解析 13.3【解析】由对称性，不妨设点A在第一象限，且 1 3W 3m2-n2=8, (2)因为SAAIC=2 acsin B= n=1, 4,所以2ac= 3W3 sin B' A(m,n),则由题意得 所以 即 m=√5， (7分) m=√3， A(3,1).又C的两条渐近线方程分别为3x一y=0 又b=√7，由(1)知a+c=4,所以在△ABC中，由余 弦定理得7=a2+c2-2 accos B=(a十c)2-2ac(1+cosB) 和3x十y=0,所以，点A到C的两条渐近线的距离之 33(1+cos B) 和为3x3-1+3×3+1-3. =16 sin B 2 2 整理得1+cosB=√3sinB, (9分) 1.[日可【锅折】由题高知>0，所以2≤ x 所以26ox心8-2月如号ms 2,又在△ABC中， a(e+ln二)可转化为(e-ar)inx-ax)≤0，即 B h<a≤e,即≤a<恒成主，令f)- os0,所以誓月如营即m复 (11分) 则f'e)=1-h2,所以当c∈(0，e)时，f'(x)>0, T2 在△ABC中，0<<受所以8-吾，即B=行，所以 f(x)单调递增；当x∈(e,十∞)时，f'(x)<0,f(x) 3 sin B= 单调递减，所以fx)m=f(0=日所以a≥号 1 2 令g)-兰则g')-e,所以当0，D 又由(1ω知t=2sinB-3_V2 677 时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(1，十∞)时， 即：的值为今。 (13分) g'(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)mn=g(1)=e, 16.解：(1)由题可知，X的所有可能取值为0,100,150. 1 所以a≤e.蝶上，。≤a≤e,即实数a的取值范国为 (2分) P(X=0)=1-0.3=0.7; P(X=100)=0.3×(1-0.5)=0.15; 四、解答题 P(X=150)=0.3×0.5=0.15. (5分) 15.解：(1)由cos2B+btsin B=1,得btsin B-1-cos2B= 所以X的分布列为 2 sin2B, 0 100 150 因为在△ABC中，sinB≠0，所以bt=2sinB,即snB 0.7 0.15 0.15 (6分) (3分) (2)由(1)知，若张某先挑战A高手，则E(X)=0× C b 在△ABC中，由正弦定理得 0.7+100×0.15+150×0.15=37.5元. (8分) sin A sin C sin B 若张某先挑战B高手，记Y为张某获得的奖品价值， 名所以mA-号mC-号 则Y的所有可能取值为0,50,150. (9分) P(Y=0)=1-0.5=0.5; 因为sinA十sinC=2,所以%+号-2，又在△ABC P(Y=50)=0.5×(1-0.3)=0.35; 中，sinA+sinC=2t≠0， P(Y=150)=0.5×0.3=0.15 (12分) 所以a+c=4. (6分) 所以Y的分布列为 A 数学答案（二）·第3页（共5页） 真题密卷 综合能力调研检测（二） 50 150 m·n 1 所以|cosn,m)|= 4 P 0.5 0.35 0.15 mn√/+aX√1+a E(Y)=0×0.5+50×0.35+150×0.15=40元. 解得a2=3,即a=√3， (14分) 故DP的长为√3. (15分) 因为37.5<40，所以张某应选择先挑战B高手. (15分) 17.(1)证明：因为DC∥平面PAB,DCC平面ABCD,平 面ABCD∩平面PAB=AB, 所以DC∥AB,因为AB⊥BC,所以BC⊥CD,(2分) 又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面 ABCD=CD,BCC平面ABCD, 18解：1D由点P(←号8)在抛物线C:x2=2p0(p> 所以BC⊥平面PDC,又PDC平面PDC,所以BC⊥ 11 0)上，得4=4，解得力=1， PD. (4分) 取AB的中点E,连接PE,DE,因为AB=2DC,所以 所以C的方程为x2=2y,其准线方程为y=- 21 EB=DC,又DC∥EB,BC⊥CD,所以四边形DEBC (3分) 为矩形，所以BE⊥DE,又PA=PB,E为AB的中 (2)因为以PQ为直径的圆E恰好经过坐标原点O,所 点，所以BE⊥PE, 以00.O2=0, 因为DE∩PE=E,DE,PEC平面PDE,所以BE⊥平 面PDE,又PDC平面PDE,所以BE⊥PD,(6分) 设Q,》,又P(3日》，则-三+6-0，解得 又BC∩BE=B,BC,BEC平面ABCD,所以PD⊥ t=8或t=0(舍去)，所以Q(8,32), (5分) 平面ABCD. (7分) 所以圆E的方程为(2+)x-8)+(y (2)解：由(1)知PD⊥平面ABCD,DE⊥DC,所以以 D为坐标原点，DE,DC,DP所在直线分别为x,y,之 32)=0, 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 整理得圆E的一般方程为x+y2二52一25？ 8y=0. 设DP=a,因为BC=DC=1,则P(0,0,a),A(1, (8分) -1,0),B(1,1,0),C(0,1,0),PA=(1,-1, -a),PB=(1,1,-a),CB=(1,0,0), (9分) (3)设Mx1,2 ,由题意知直线PQ的斜率存在，故 设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,之1)， 设其方程为yg6(+》: n·PA=0,nx1-y1-az1=0, 则 即 n·Pi=0,x1十y1-az1=0, 则(a++日》从面PB到=E+名 令之1=1，则y1=0,x1=a,所以平面PAB的一个法 (10分) 向量为n=(a,0,1). (11分) 设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,之)， 在R△MPA中，PM:=(,+°+倍8》 m·PB=0,x2+y2-az2=0, 则 即 -(+》°1+门， m·Ci=0,x2=0, 令之2=1，则x2=0,y2=a,所以平面PBC的一个法 MA- 过 1十k2 向量为m=(0,a,1). (13分) √1+k2 数学答案（二）·第4页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 故PA3=1PM-AM1=(1+2)°· 当a≥-1时，因为x∈[0，十∞)，所以a.x≥-x,即 g(x)=e十a.x-cosx≥e-x-cosx, +》-受+》 +,-旦 令h(x)=e2-x-cosx,x∈[0，十∞)，则h'(x)= e*-1+sin 令p(x)=h'(x)=e-1+sinx,x∈[0，十∞)，则 [k》 '(x)=e*+cos x, 因为当x∈[0，十∞)时，P'(x)≥0，所以h'(x)单调 递增，所以h'(x)≥h'(0)=0,得h(x)单调递增，所以 所以PA (13分) h(x)≥h(0)=0,即g(x)≥0，所以当a≥-1时，满 IPB2 ) 21+k2)W/1+k 足/)学板皮配 故PA 综上，a的取值范围为[-1，十∞). (9分) x十2 》+村 (3)证明：f'(z)=-sinx-acosx (10分) x1十2 ,所以当及=2时，m= PB2 令f'x)=0,得sinx=-cos,当x∈(o,)时， 2 PAI x十k 2 可化为tanx=-a, 2(1+2)W√1+2 -=5√5为常数，此时直线l阳：y= 因为a<0,所以3z,∈(0，），使tanx=-a,且当 x∈(0，xo)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 2z十8，与C有两个交点，符合题意， (16分) 当x∈(，)时，f'a)<0,fx)单调递减，所以当 所以存在直线PQ:y=2x+8和常数m-55,使 x=x。时，∫(x)取得极大值，∫(x)极大值=∫(xo)= 得PB2=m|PA恒成立. (17分) cOS o eaxo+1. (12分) 18.1D解：当a=1时，fx)=0,z∈R,f'()= 结合而数图象易知：a<0且当x∈0，引时， -sin x-cos x 厄sin(e+f) ez+1 (1分) ee-4xo>-asin o0, 令f')>0,则simx+)<0,所以-元+2张m<x+ 所以f(x)=c0,t≥asin xocos0=a2cos2x0= a2 1+a2 (15分) 所以)的单调递增区间为(-平+2x,普+2小， 下面证项a<0时，。>，即证(<0时中> 1 k∈Z. (3分) e',即证t<0时，(1十t2)e<1. (2解：当z∈o,+∞)时，f)≤+恒成立等价 令w(t)=(1十t2)e,t<0,则w'(t)=(1十t)e≥0 恒成立，所以w(t)单调递增，所以ω(t)<w(0)=1, 于cosx≤e十ax恒成立，即e十a.x一cosx≥0恒成立. a 令g(x)=e十ax-cosx,x∈[0，+∞)，则g'(x)= 即1+)e<1,故a<0时1千a>e,即fz)>e. e*+a+sin x, 因为g(0)=0,所以若g(x)≥0在x∈[0，十∞)时恒 综上，当a<0且x∈0，时，c)存在极大值，且 成立，则g'(0)=1+a≥0，解得a≥-1. (6分) 极大值大于ea. (17分) A 数学答案（二）·第5页（共5页）2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（二）》 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合M={-1,1,2},则集合N={y|x∈M,y-x∈M}中元素的个数是() A.6 B.7 C.8 D.9 2.已知向量a=(入，1)，b=(-2,u),若(a十b)∥b,则 2 C.= 2 A.4=2λ B.4=-2λ D.=- 3.命题“存在偶数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数是偶数”的否定为 A.对任意的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数是奇数 B.对任意的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数 C.存在奇数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数是奇数 D.不存在奇数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数 4.已知a+8=3,若cos2a十cos29=2,则sin2a-sin28= 3 A.士2 1 B.士3 2 D.1 3 5在-2：+ (其中i是虚数单位)的展开式中，x的系数为 A.-39-i B.-39i C.-40+i D.-40 6.若数列a.}满足a1=0u,=1,当m≥2时，0+十a1=2,若2 1 99 an+1 2Vaa+1100,则n的 最大值为 ( A.98 B.99 C.100 D.101 数学试题（二）·第1页（共4页） 真题密卷·综台 。。 7.已知函数f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以为 班级 姓名 得分 2x5 x A.f()= B.f(a)=-2x+2x C.f(x)=x3In x-x D.f(x)=x3-6xIn x x2,y2 8.已知椭圆C:a+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,上顶点为A,直线AF,交C 点B,直线BF,与y铺的交点为M,若 则C的离心率为 3 () A号 R号 2 C.3 n 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数fx)-2sime-智）的导函数为f'(x),若gx)=fx）·f'x),则（) A.g(x)的最大值等于f(x)的最大值 B.g(x)的零点都是f(x)的零点 C.g(x)的图象与y轴的交点在f(x)的图象上 D.g(x)的图象可以看作是将f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的？，纵坐标不 变得到的 10.已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，则下列说法正确的是() A.若将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，则共有256种分配 方法 B.若从袋子中不放回地摸出4个球(1次1个)，记X为摸出的球中红球的个数，则 P(X2 C.若从袋子中不放回地依次摸球(1次1个)，记Y为最后1个红球被摸出所需的摸球 次数，则E(Y)=2 D.若从袋子中有放回地依次摸出4次(1次1个)，记Z为摸出的红球与黄球的次数之 若则D2)日 能力调研检测 数学试题（二）·第2页（共4页） A 11.已知圆台O1O2的上、下底面圆的半径分别为√，2√3，体积为21π，MN是该圆台的一 条母线，A,B是该圆台下底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是 () A.直线MN与底面所成的角为60° B.该圆台侧面展开图扇环的圆心角为π C.若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为36π D.若MN∥平面O1AB,则三棱锥O2O1AB体积的最大值为3√3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数f(x)=mx+2 +1是奇函数，则f(m十n)= x-n 13.已知双曲线C:3x2一y2=8上的点A到y轴的距离为√3，则点A到C的两条渐近线 的距离之和为 1k,若关于z的不等式≤aen二)恒胶立，则实数。的取位范固为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2B+btsin B=1,sinA+ sin C=2t. (1)求a十c的值； ②)若6=7，△ABC的面积为，求t的值 16.(15分)某小区以“弘扬奥运精神，共享全民健身”为主题，组织了一场乒乓球全民挑战 赛，并特意邀请了A,B两位乒乓球高手.赛事规定参赛者先从A,B两位高手中选择 一位进行挑战，若挑战失败，则参赛者挑战结束；若挑战成功，则继续挑战另一位高手， 无论挑战成功与否，参赛者挑战结束.若战胜A高手，参赛者可获得价值100元的乒乓 球拍一副；若战胜B高手，参赛者可获得价值50元的高级乒乓球一盒.乒乓球爱好者 张某自估战胜A高手的概率为0.3，战胜B高手的概率为0.5，且战胜两位高手的概率 与挑战顺序无关，收益预期按奖品价值计算. (1)若张某先挑战A高手，记X为张某获得的奖品价值（单位：元），求X的分布列. (2)为使累计奖品价值（单位：元）的期望最大，张某应选择先挑战哪位高手？并说明 理由. Y 数学试题（二）·第3页（共4页） 真题密卷·综台 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,DC∥平面PAB,AB⊥BC, PA=PB,AB=2DC. D: (1)求证：PD⊥平面ABCD. (2)若BC=DC=1,平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为4，求DP的长. 18.17分已知点P(-日8)在抛物线C:-2py(p>0)上，直线PQ交C于另一点Q (1)求C的准线方程. (2)若以PQ为直径的圆E恰好经过坐标原点O,求圆E的方程. (3)若M为C上的动点，MA⊥PQ于点A,过点M作与x轴垂直的直线与直线PQ交 于点B,问：是否存在直线PQ和常数m,使PB|2=mPA|恒成立？若存在，求出 直线PQ的方程和m的值；若不存在，请说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=cos eaz+1 (1)若a=1,求f(x)的单调递增区间. (2)当x∈D,十0)时，fe)<十恒成立，求a的取值范固。 「。π (3)证明：当a<0且x∈0，分时，fx)存在极大值，且极大值大于e, 能力调研检测 数学试题（二）·第4页（共4页）