2024-2025高三综合能力调研检测数学A版（一）-【真题密卷】2025年高考数学综合能力调研检测（A版）

2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（一） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合A={x|1≤x≤5，x∈N},B={x|x-3∈A},则A∩B= () A.{1,2} B.{4,5} C.{1,2,3} D.{3,4,5} 2.若z(1+i)=(1一i)2,则之= ( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 3.已知向量a=(,1),b=(3,3),若a⊥(a-λb),则λ= ( A-号 R司 1 C.3 2 D 4.已知sin40+cos40=m,则cos40= A.2m-1 B.3m-1 C.3m-2 D.4m-3 5.已知正三棱台的下底面边长为2,3，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为了，则该三棱台 的体积为 () A号 13 号 1 .3 D.4 1 x 6.已知函数f(x)=a3) 十b的图象过原点，且无限接近于直线y=3但又不与该直线 相交，当x≥0时，函数g(x)=f(x)一3x+1有 () A.最小值一3 B.最大值一3 C.最小值一2 D.最大值一2 7.当x[0,2x]时，曲线y=sin2ax与)=sin-）有4个交点，则正实数a的取值范 围为 [1143 A.2'36 B. 1133 12'36 数学试题（一）·第1页（共4页） 真题密卷·综 8已知函数fx)的定义域为D,+∞)，f(月）<fx)-子f(y+10f(1>0,则《) 班级 A.f(2)>0 B.f(10)>9f(9) C.f(5)<f(2) 含洁》 姓名 2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 得分 9.某地区根据有气象记录以来的统计数据，发现每年第三季度日平均降雨量（单位：毫米） X服从正态分布N(20,4),则 (若随机变量Z服从正态分布N(,o2),则P(一o≤Z≤十o)≈0.6827) A.P(X≥20)=0.5 B.P(18≤X<20)>0.35 C.P(X>22)>0.15 D.P(X≥18)>0.85 10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P,E,F分别为棱AA1,AB,DD1的中 点，Q为线段A1C上的动点，则 () D C A Q C B A.D1Q∥平面PEF B.D1Q⊥AB1 C.B1Q⊥平面QBC D,D1Q+QB的最小值为 1,1 1.已知曲线C:+=4,点P在C上，0为坐标原点，则 A.C是中心对称图形 B.C有2条对称轴 C.C有2条渐近线 D.IOP≥1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 2已知双曲线C父-ya>≥0，b>0的左、右焦点分别为F1,F2,P为C右支上 点，PF1与y轴交于点M,若△PMF2为等边三角形，则C的离心率为 13.已知曲线y=e2十ax的一条切线l过点A(1,2),且不过坐标原点，则实数a的取值范 围为 14.甲、乙、丙3人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接 到球的一人再将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去.如果由甲先 传球，则连续传球五次后，球在甲手里的概率为 能力调研检测 数学试题（一）·第2页（共4页） A 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2A一cos2B=2 sin Asin B. a深阴会8-1 (2)若C-了c=2,求△ABC的面积 6.Q5分)已知椭圆C:十a>b>0)的左、右焦点分别为E,F2,离心率为点 P(-1,)在C上，过F:的直线1与C相交于A,B两点（均不在y轴左侧），△APF, 27 与△BPF1的面积之和为 (1)求C的方程； (2)求AB. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E为棱PD的中点，PA⊥AB, AE⊥PD,AB=2,PD=√2PA. E A 0 B (1)证明：PA⊥平面ABCD. (2)若平面BCE与平面CED夹角的余弦值为 ,求PA. A 数学试题（一）·第3页（共4页） 真题密卷 8.(17分)已知函数f(x)=(e-1a.x-2(a∈R) (1)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形， (2)证明：若f'(x)是f(x)的导函数，当a=1时，f'(x)有两个零点. (3)当a=1时，设函数g(x)=x2e+ex一f(x),求g(x)的最小值. 10.17分)已知数列a,是各项购为正数的等比数列，公比为g≥生)，令6，-a, am+1,则将{am}和{bm}中的所有项按照从小到大的顺序进行排列，得到数列{cm},若 {cn}中存在连续三项成等差数列，则称{cn}为“比和差”数列. (1)求{cm}的前10项中{am}和{bn}分别有几项； (2)试用a1和q表示{cm}的通项公式（结论不要求证明）； (3)判断{cn}是否为“比和差”数列且q∈N*,若是，求从{cn}的前20项中任取连续3项 成等差数列的概率；若不是，请说明理由. 综合能力调研检测 数学试题（一）·第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度综合能力调研检测 数学（一） 一、选择题 π=33 1.B【解析】因为A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8}, sin3=4,所以正三棱台ABCA1B,C,的体积为 所以A∩B={4,5}. 3X(SAAc十√SAANC XSAA,8G+SA,4G,)Xh= 1 (1-i)2-2i(1-i) 2.A【解析】因为之= 1+i1+iD(1=动=-1-i,所 +35×+3y）×原- 1 4 4 以芝=一1十i. 3.D【解析】因为a⊥(a-λb),所以a·(a-λb)=0,所 6B【解折】网为f)=a(》 十b的图象过原，点，所 以a2-a·b=0,即4-6以=0，故A=名 以a十b=0,又f(x)为偶函数，当x→十∞或x→-∞ 31 时，f(x)→b,所以b=3,则a=一3，即f(x)= 4.D【解析】因为sin0+cos0=m,所以(sin0+cos20)2 十3，当x≥0时，g(x)=一3X3+3- 2sin0cos20=m,即2sin0cos20=1-m,所以sin20= 2(1-m),所以cos40=1一2sin229=1-4(1-m)=4m-3. 3x+1=-3(3￥+3*)+3≤-3×2√3×3x+3=-3, 5.D【解析】设正三棱台ABCA1B1C1的高为h,上、下 当且仅当x=0时取等号，所以g(x)有最大值一3，无 底面的中心分别为O1,O,连接AO,A1O1,过，点A1作 最小值 AO的垂线，垂足为G,则h=A1G. 7.A【解析】由sin2oz=sin(ox-日），得2ar=2kx十 A ur-吾或2ar=2张x十-ar-名6∈乙，所以ar= 2张x-若或3r=2kx+7答，k∈乙.当k=0时，x= 7π ;当=1时，x= 11元19π 18w 6或180 当=2时，x=23m G 6w 0 或3x 当长=3时，x-友8若两尚线有4个 6w B 在Rt△AAG中，∠AAG=答AA=2,所以A=AM,n子 文点剥g且<所以是号 8.C【解析】令x=0,y=1,则f(0)<f(0)一f(2),所以 -2×吾-5，AG=AM,cos营-2×号-1，周为 f2)<0,故A错误；令y=x,则f(z)-fx+1D> A0-子XABm晋-号×23 2=2,所以A101= f(1)>0,因为x>0,所以xf(x)-f(x+1)>0,即 f(x+1)<xf(x),即f(10)<9f(9),故B错误；因为 A0-AG=1,则A1B,=号×A0:=B,则SA= f(2)<0,f(5)<4f(4)<4×3f(3)<4X3×2f(2)= sin3 24f(2)<f(2),故C正确；由n≥2时，f(n)<0,所以 号×ABi=3B,Sa5=号×A,BX >2+3+4++m=1a+2_ f(i+1) 2 数学答案（一）·第1页（共5页） A 真题密卷 综合能力调研检测（一） n2+n-2、n2+n-3 故D错误 2 2 二、选择题 9,AC【解析】由题知正态分布密度曲线的对称轴为 x=20,所以P(X≥20)=0.5，故A正确；因为 Q P18≤X<20)≈06827≈0.3414<0.35，故B错误： 2 因为P(X>2)=PX<18≈1-0.6827≈0.1587， 2 B 所以P(X>22)>0.15,故C正确；因为P(X≥18)= 图(2) P(18≤X<20)+P(X≥20)≈0.3414+0.5= 11.AD【解析】以（一x,-y)替换(x,y)方程不变，所以 0.8414<0.85,故D错误. C关于原点O对称，故A正确；分别以(x,一y),(-x, 10.ABD【解析】如图(1)，连接A1B,D1C,因为P,E分别 为棱AA1,AB的中点，所以PE∥A1B,又PE庄平面 y),(y,x),(-y,-x)替换(x,y)方程不变，所以C D1A1BC,A1BC平面D1A1BC,所以PE∥平面 关于x轴，y轴，直线y=x,直线y=一x对称，故B D1ABC,又PF∥A1D1,同理可得PF∥平面D1A:BC, 错误；因为y2=,x2 又因为PE∩PF=P,PE,PFC平面PEF,所以平面 =4x2-1 4 所以1川> =1>1 PEF∥平面D1A1BC,因为A1CC平面D1A1BC, Q∈A1C,所以D1QC平面D1A1BC,所以D1Q∥平 且当叶四或正四时，小一号，所以直线y 面PEF,故A正确；因为D1A1⊥平面ABB1A1, 1 AB1C平面ABB1A1,所以D1A1⊥AB1,又AB1⊥ 是C的两条渐近线，同理x= 2或x A1B,A1D1∩A1B=A1,所以AB1⊥平面D1A1BC, 又D1QC平面D1A1BC,所以D1Q⊥AB1,故B正 2也是C的两条渐近线，故C错误，由】十1 4, x2+ 确；若BQ⊥平面QBC,则B1Q⊥平面D1A1BC,因 为过平面外一，点有且仅有一条直线与该平面垂直，所 得+y=≤4×)，所以+y≥1， 以点Q应在AB1上，与点Q在A1C上矛盾，故C错 误；连接BC,将△A1B1C沿A1C翻折到平面 当且仅当x2=y2= 2时取等号，故D正确 D1A1C内，如图(2)所示，连接D1B1,当且仅当Q为 三、填空题 D1B1与A1C的交，点时，D1Q十QB1的值最小，因为 12.√3【解析】设|PF2|=m,因为|MF|=MF2|= Rt△A1D1C2Rt△A1B1C,且A1C⊥D1B1,所以四边形 |PM=m,所以|PF1=2m,由双曲线的定义可知， AD,CB,的两农S=AD,×D,C=号×A,CXB,D, |PF1|-|PF2=2a,所以m=2a,因为∠PMF2= AD:XDC 2X22 4/6 则B1D1= 1 1 3,故D正确。 子片以∠R,M=-音-则∠M,R=晋所 2X23 D FF2 C 以o∠M,F=M,8-号数e=日-3. 2 B l3.(2-e,十o∞)【解析】设切，点为(m,em十am),由y= e2十ax得y'=e2十a,y'lz=m=em十a,故曲线y= e十a.x在(m,e”十am)处的切线方程为y一e"-am= D (em十a)(x-m),又l过，点A(1,2),则2-em一am= C (em十a)(1-m),整理得a=(m-2)em十2，当直线l E 过原点时，不符合条件，所以m≠1.令f(m)=(m一2)e" 图(1) +2(m≠1)，则f'(m)=(m-1)em,当m<1时， A 数学答案（一）·第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 f'(m)<0;当m>1时，f'(m)>0,所以f(m)在 由(1)知b2-a2=ab②， (-∞，1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以 ①一②得2a2=c2,因为c=√2，所以a=1,(9分) f(m)>f(1)=2-e,所以a>2-e综上，a∈(2-e,+o∞). 则b2-b-1=0, 5 146【解析】方法一：不妨设第一次甲将球传给乙，则 因为6>0，所以6=1十5 2 (11分) 第二次乙将球传给甲、丙的概率均为，第三次传球 所以SAABC= 2 absin C=- 1X1+6、 1 √3 2 2 后，甲接到球的概率为，乙、丙接到球的概率之和为 √5+√15 (13分) 8 ,第四次传球时，乙、丙传给甲的概率均为)，所以传 16.解：(1)由题意得e= 1一 1 a ,所以3a2= 感网次后，甲接到球的凝率为X}-乙，丙接到 41 4b2①， (2分) 球的概率之和为8，第五次传球时，乙，丙传给甲的概 1,9 =1,所以9a2+4b2=4a2b2②， (3分) 1 由①②得12a2=3a‘, 率均为2，所以传球五次后球在甲手里的概率为8 所以a2=4,b2=3, (4分) 15 26:同理，甲第一次将球传给丙，传球五次后甲接 所以C的方那为号+管-1 (5分) 到球的概率也为，所以连续传球五次后球在甲手里 (2)设A(x1,y1),B(x2y2), 由(1)知，F1(-1,0),F2(1,0),则PF1与x轴垂直， 的版率为 (6分) 方法二：设P=“连续传球n次后球在甲手中的概 若直线l与x轴垂直，则x1=x2=1, 1 所以SAAPF,+S△BF,=2|PFiX(x1十x1+2)= 了，所以卫.-}是以一号为首项，为公比的等 号×号×4=8，不符合题意， 所以直线1不与x轴垂直， (8分) 比数列，所以P.=号×（号》P=号 设l的方程为y=k(x一1)， (》+所以户= [y=k(x-1), 联立x2y2 整理得(3十4k2)x2-8k2x十4k2 四、解答题 (43=1, 15.(1)证明：因为cos2A-cos2B-2 sin Asin B, -12=0（*), 所以1-2sin2A-1+2sin2B=2 sin Asin B,(1分) 8k2 则x1十x2一3+4k2’ (10分) 所以sin2B-sinA=sin Asin B, (2分) 因为A,B两点均不在y轴左侧，所以S△APF,+ 由正弦定理得，b2一a2=ab, (4分) 所以--1 SABPF:2 PF,x(++2)=名×2× (5分) （0+)品 8k2 (2)解：由余弦定理得a2+b2-c2=2 abcos C, 因为C=了，所以a2+62-62=ab,整理得a2+2= 整理得k2=3,则(*)式可化为5x2-8x=0, 8 c2+ab①， (7分) 所以1号2：=0或： 5x1=0, 数学答案（一）·第3页（共5页） 真题密卷 综合能力调研检测（一） 不妨令A(g3）,B0,-. (14分) 所以AB=（台o)++5 1 5· (15分) 17.(1)证明：因为PE=ED,AE⊥PD 所以PA=AD, (1分) 又因为PD=√2PA,所以PD=√2AD, 则PA+AD=2X(停PD)广=PD, B x 所以PA⊥AD, (3分) 18.(1)证明：因为f(x)=(e-ex)x2-ax-2,(1分) 又因为PA⊥AB,AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD, 所以f(x)十f(-x)=(e-ex)x2-ax-2+(ex 所以PA⊥平面ABCD. (4分) -e)x8+ax-2=-4, (3分) (2)解：由题意知AB,AD,AP两两相互垂直，故以A 由f(x)+f(-x)=-4知，曲线y=f(x)关于点 为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x轴，y (0,一2)成中心对称. (4分) 轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系，设PA= (2)证明：当a=1时，f'(x)=(e2+ex)x2+2x(e2- t(t>0),则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,t,0), ex)-1=(x2+2x)e*+(x2-2x)ex-1,(5分) P00e0,C2,0,E0,》 (6分) 令h(x)=(x2+2x)e+(x2-2x)ex-1, 当x>0时，h'(x)=(x2十4x十2)e2-(x2-4x十2)ex= 所以BC=(0,0),B眩-(-2,22）， (x2+2)e+4xe-(x2+2)ex+4xex=(x2+2)(e- er)十4x(e+ex)>0恒成立，所以h(x)即f'(x)在 币-(，)，元=2,00 (8分) (0,十∞)上单调递增， (7分) 设平面BCE的法向量为n=(x,y,之)， 又f'(0)=-1,f'1)=3e-1-1>0, e n·BC=0, y=0, 所以f'(x)在(0，十∞)上有唯一零点x1, (8分) 则 即 t n·B2=0,-2x+ 2y+ 220, 因为f'(-x)=(x2-2x)ex+(x2+2x)e-1=f'(x), 令之=4，解得x=t,y=0, 所以f'(x)为偶函数，所以f'(x)在(-∞，0)上有唯一零 所以n=(t,0,4), (10分) 点x2,因此当a=1时，f'(x)有两个零点. (9分) 设平面CED的法向量为m=(a,b,c), （3)解：因为g)=十1+x十2，则gr)=2红-1-1 m·ED=0 0即62c=0, t 则 +1=2-zx2-1+e (10分) m·Dc=0, e 2a=0, 令t(x)=2x-x2+e-1,则t'(x)=2-2x十e,(11分) 令c=1,解得a=0,b=1, 令p(x)=2-2x十e,则p'(x)=-2十e2. 所以m=(0,1,1), (12分) 当x<ln2时，g'(x)<0;当x>ln2时，p'(x)>0, 设平面BCE与平面CED的夹角为O, 所以p(x)在(-∞，ln2)上单调递减，在(n2,十o)上单 则cos0= n·m √3 调递增， n m √+16×V23' 所以p(x)≥p(ln2)=4-2ln2>0, (13分) 因为t>0,所以t=2√2，即PA=2√2. (15分) 即t'(x)>0,所以t(x)在R上单调递增， (14分) A 数学答案（一）·第4页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 因为t(0)=0, (15分) a1,n=1, 所以g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单 所以cn=a1g号(1十q),n为奇数且n≥3，(7分) 调递增，所以g(x)在x=0处取得极小值也是最小 a1q,n为偶数， 值，且g(0)=3. (17分) (3)假设{cn}中存在连续三项成等差数列，则2cm+1=cm 19.解：(1)因为a1>0,q>1,所以am+1>am>0,所以 十cm+2.当n=1时，2a1q=a1十a1(1十g),解得g=2; bn=an十an+1>am+1y (1分) 当n为奇数且n≥3时，2a1g号=a1g号(1十g)+ Aan+2-bn=an+2-an-an+1=an (q2-q-1)= a1g2(1+g),所以2g2=(1+q)(1+g),即g2-2q-1= a.(g-1+5g1）. 0,解得q=1十√2（舍去）或q=1-√2（舍去）；(10分) 1+5 因为9>2 当n为偶数时，2a1gy(1十g)=a1gi+a1g号， ,am>0,所以上式大于0，所以bn< 所以2(1+q)=q2+q,即q2-q-2=0, an+2, 解得q=2或q=-1(舍去)， 所以an<am+1<bn<am+2, (2分) 所以{cn}为“比和差”数列，且公比为2， (13分) 所以{cm}的前10项为：a1,a2,b1,a3,b2,a4,b3,a5, 其中连续3项成等差数列的有(c1,c2,c3),(c2,c3,c4), b4,a6 (c4,c5,c6),(c6,c7,cg),(c8,cg,c1o),(c10,c11,C12), 即{cn}的前l0项中分别有{an}的前6项和{bn}的前 (c12,C13,C14),(c14,C15,C16),(c16,c17,C18),(c18,C19,C20) 4项. (4分) 共10个， (16分) a1,n=1, 所以从{cn}的前20项中任取连续3项成等差数列的 (2)因为cn=a"号十a"牛，n为奇数且n≥3， 概率为P=日 (17分) a+1n为偶数， 数学答案（一）·第5页（共5页） A