专题05 巧构等腰三角形的基本模型的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05巧构等腰三角形的基本模型的四种模型 题型归纳 目录 题型一：利用平行线+角平分线构造等腰三角形 .1 题型二：过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形9 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形… .20 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形31 题型专练 题型一：利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 M 图1 图2 图3 条件：如图1，OO'平分∠MON,过OO的一点P作PQON结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE‖BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别相 交于点M,N.结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 1.(25-26八年级上广东汕头·期末)如图，ABC中，AB=AC,∠B的平分线交AC于D,AE∥BC交 BD的延长线于点E,AF⊥AB交BE于点F. (1)若∠BAC=40°.求∠AFE的度数； (2)若AD=CD,AF=2,求BF的长 2.(25-26八年级上陕西西安·月考)如图，在ABC中，CD平分∠ACB,交AB于点D,过点D作 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE∥BC交AC于点E,F为CD的中点，连接EF, D B (I)求证：△CDE为等腰三角形； (2)若LA=80°，∠B=56°，求∠CEF的度数. 3.(25-26八年级上湖南长沙期末)如图，在ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作 EG∥AD,交AC于点F,交BA延长线于点G· A (1)求证：△AFG为等腰三角形； (2)若CE=EF,LBAC=82°，求∠B的度数 4.(1)如图1，ABC中，AB≠AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB, AC于点E,F.图中有一个等腰三角形.猜想：EF与BE,CF之间有怎样的关系，并说明理由； (2)如图2，若AB=AC,其他条件不变，图中有-个等腰三角形；EF与BE,CF间的关系是一； (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有-个等腰三角形.EF与BE,CF间的数量关系是- D 图1 图2 图3 5.(25-26八年级上·陕西榆林·期末)【问题提出】 (1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC,E是AD的中点，连接BE,且BE平分∠ABC,延长BE交 CD的延长线于点F,若AB=7,CD=I0,则BC的长为； 【问题探究】 (2)如图②，在ABC中，AD是ABC的中线，点E在AC上，连接BE交AD于点F,AE=EF,延长 AD至点H,使DH=AD,连接BH.请判断AC与BF是否相等，并说明理由： 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】 (3)为了保证某果园的灌溉效果，园方计划修建节水灌溉渠，主渠道围成四边形ABDC(如图③).己知 渠段AB∥CD,AB=5千米，CD=2千米.为实现精准灌溉，技术人员修建了BC、AE(点E在BC上) 两条分渠道，在分渠道AE上设置了控水巡检点F,经勘测，∠DFE=∠BAE,且种植区△ACE和△ABE的 面积相等.工作人员需从分渠端点D出发沿直线前往巡检点F检查设备，求巡检路线DF的长度. E B D H 图① 图② 图③ 题型二：过腰或底作平行线构造等腰（边三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形 图①（作腰的平行线）图②（作底的平行线） 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DEBC.结论：△ADE是等腰三角形 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DEAB. 结论：△CDE是等腰三角形 6.(I)如图1，ABC为等边三角形，动点D在边AB上，动点E在边AC上.若这两点分别从点B,A同 时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接CD,BE交于点P,则在动点D,E的 运动过程中，CD与BE之间的数量关系是 图1 图2 图3 (2)如图2，若把(1)中的“动点D在边AB上，动点E在边AC上”改为“动点D在射线BA上运动，动点 E在射线AC上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由 (3)如图3，若把(1)中的“动点D在边AB上"改为“动点D在射线CB上运动”，连接DE,交AB于点M, 其他条件不变，则在动点D,E的运动过程中，DM与EM之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 程. 7.数学课上，李老师出示了如框（图3）中的题目. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： 图1 图2 在等边三角形ABC中 点E在AB上，点D在CB的延长线上 且ED=EC,如图，试确定线段AE 与DB的大小关系，并说明理由。 D B 图3 (I)特殊情况，探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结 论：AE BD(填>”，“<”或“=") (2)特例启发，解答题目： ①如图2，AE与DB的大小关系是：AEBD(填“>”，“<”或“=”). ②解：如图2，过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你接着完成图3解答过程) (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若ABC的边长为3，AE=1, 则CD的长为 (请你直接写出结果)， 8.(2026八年级上陕西西安专题练习)如图，ABC为边长为6的等边三角形，E是边AB边上任意一动 点，点D在CB的延长线上，且满足AE=BD D D B B 图① 图② 图③ ()如图①，当点E为AB的中点时，DE= (②)如图②，点E在运动过程中，DE与EC满足什么数量关系？请说明理由： (3)如图③，F是AC的中点，连接EF.在AB边上是否存在点E,使得DE+EF值最小？若存在，求出这 个最小值；若不存在，请说明理由. 9.(25-26八年级上湖北黄石·期末)综合探究 问题情境： 4/10 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AD=CE,连接AE、DE. (1)如图1，当点D是AC的中点时，DB_DE；(填“>”，“<”或“=”) (2)若点D为AC边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与 △CDE全等来证明.以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作DF‖BC,交AB于点F,(请完成余下的证明过程) 问题解决： (3)如图3，当点D是AC边上任意一点时，点F在BD上，若∠FAE-60°，求证：BF=FD· 图1 图2 图3 10.(25-26八年级上·河北衡水期末)操作探究：已知ABC是等边三角形，点P是边AC上一点. ←O B B 图1 图2 图3 (I)如图1，过点P作PF∥BC,交AB于点F,图中有个等边三角形； (②)如图2，点P在AC上运动（不与A,C重合），点Q是CB延长线上一点，且BQ=AP,过P作PE⊥AB于 E,连接P四交AB于D,试说明：在点P运动的过程中，线段ED的长是定值（即DE=}AB): (3)若将条件中“ABC是等边三角形改为“ABC是等腰三角形，CA=CB”,如图3所示，(2)中的结论是 否还成立？请说明理由. 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD兰△ACD,从而得 AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. B D C 11.(25-26八年级上陕西榆林期中)如图，在ABC中，∠ABC=2LC,∠BAC的平分线AD交BC于点 D,过点B作BF⊥AD于点F,延长BF交AC于点E. 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABE为等腰三角形； (2)连接DE,若∠C=36°，求∠EDC的度数. 12.(25-26八年级上湖北武汉·月考)ABC中，AB=AC,∠BAC=90°.若D为线段BC上一点， ∠EDB=∠ACB,BE⊥DE,垂足为E,DE交AB于F, C(D 图1 图2 (I)如图1，当D与C点重合时，探究BE、DF的数量关系； (②)如图2，当D不与C重合时，线段BE与DF的数量关系是否发生变化，证明你的结论. 13.(24-25八年级上广东东莞期末) D M D 图1 图2 图3 【情境建模】 (1)我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”.小明尝试着逆向思 考 已知：如图1，点D在ABC的边BC上，AD平分∠BAC,且AD⊥BC,求证：AB=AC,请你帮助小 明完成证明， 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在ABC中，AD平分 ∠BAC,AD⊥BD,LABC=3LC,求证：AC-AB=2BD, 【拓展应用】 (3)如图3，ABC是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中∠ACB=90°，AC=60米， BC=80米，AB=100米，该绿化带中修建了健身步道OA、OB、OM、ON、MN,其中入口M、N分别 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在AC、BC上，步道OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC,OM⊥OA,ON⊥OB.现要在△CMN区域修建 公共设施，试求需要多少米的围挡才能将△CMN围成一圈？（步道宽度忽略不计） 14.(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON.点A为OM上 一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,求证：△AOC≌△B0C. (2)【问题探究】如图2，在(1)的条件下，过点A作AD⊥ON,垂足为D,AD交OP于点E,若 AD=OD,试探究AC和OE的数量关系，并证明你的结论， (3)【拓展延伸】如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段BC上，且 ∠BDE=】∠ACB,BE⊥DE于E,DE交4B于F,试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论. 2 B 图1 图2 图3 15.利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON.点A为OM上一点，过点A作 AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证得△A0C≌△B0C,则AO=B0,AC=BC. B A 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (1)如图②，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若LEAC=63°，∠B=37°，通过上述构 造全等的办法，求∠DAE的度数； 【问题探究】 (2)如图③，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长 线上，试探究BE和CD的数量关系； 【问题解决】 (3)如图④是一块肥沃的土地ABC,其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形 土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD; ②再过点A作AD⊥CD交CD于点D 己知BC=13米，AC=10米，ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积. 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形 7/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B 图① 图② 图③ 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC.结论：△BDC是等腰三角形 条件：如图2，若∠ABC-2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB,交BA的 延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形 16.(25-26八年级上陕西西安·期末)如图，在ABC中，∠C=2∠B,EF垂直平分AB,交AB于点F, 交BC于点E,且AD平分∠CAE. D (1)求证：AE=AC; (②)若AB=15,AD=9,求ABC的周长 17.(25-26八年级上四川绵阳·期末)在ABC中，∠ACB=2LB. E B DC B D 图1 图2 (I)如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，过D作AB的垂线DE,垂足为E,可以发现AB, AC,CD存在的数量关系是 ； (②)如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB,AC,CD是否还存在(1)中的数量关系？ 如果存在，请给出证明.如果不存在，请说明理由. 18.(25-26八年级上吉林长春·期末)【问题原型】如图①，在ABC中，∠C=2∠B,AD为∠BAC的平 分线，探究线段AB、AC、CD的数量关系 【特例研究】如图②，当∠C=90°时，小明在边AB上截取AE=AC,连接DE,易得：CD=DE=; AC+CD=; 【深入探究】如图③，当∠C≠90°时，小明选择了上题的做线方法，然后证△ADE≌△ADC,得 ∠AED=∠C,ED=CD,再通过证明BDE是等腰三角形，进而可求得线段AB、AC、CD的数量关系. 以下是小明探究线段AB、AC、CD数量关系的部分过程： 8/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图③，在AB上截取AE=AC,连接DE. :AD为∠BAC的平分线， .Z EAD Z CAD 在ADE和△ADC中， :AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD, .△ADE≌AADC(SAS ∠AED=∠C,ED=CD. 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程 【拓展研究】如图④，在ABC中，∠ACB=2∠B,AD是ABC的外角∠CAE的平分线，交BC的延长线 于点D.直接写出线段AB、AC、CD的数量关系： 、 E B D D 图① 图② 图③ 图④ 19.（25-26八年级上·广东珠海·期末)实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那么， 不相等的边（或角)所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组 的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图1(2）).由 LAC'D=LC,LAC'D>LB,可得∠C>∠B D (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC. 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图2 【方法运用】 (2)如图3，在ABC中，∠C=2∠B,若AD⊥BC,写出AC,CD,BD之间的数量关系并说明理由. D 图3 20.(25-26八年级上广东惠州期末)项目式学习一数学建模 【问题引出】 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC中，AD平分∠BAC,LB=2LC. 求证：AB+BD=AC”. E B 图1 图2 图3 图4 【模型探究】 李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD=AC就是要证线段的和差问题，李老师采用了：“截长法”，如图 2,在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证BD=CE即可. (1)请你根据李老师的简要分析完成【问题引出】中的证明， 【模型应用】 (2)如图3，ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC,BD=DC,∠BAC=70°，∠BDC=110°.求∠ABD 的度数 (3)在(2)的条件下，以A为顶点作一个35°角，角的两边分别交边CD,DB延长线于点E、F,连接 EF,则BE,EF,FC之间存在什么样的关系？并说明理由 10/10 专题05 巧构等腰三角形的基本模型的四种模型 目录 题型一：利用平行线+角平分线构造等腰三角形 1 题型二：过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 9 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 20 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形 31 题型一：利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 1．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． (1)若．求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可知，再根据角平分线以及垂直关系即可求解； （2）根据平行条件，可证明,从而可知为等边三角形，进而可知的长度． 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ． 答：的度数为． （2），， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 答：的长为4． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在中，平分， 过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，， 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，，由角平分线的性质可得，，从而得到，命题得证； （2）先根据角平分线的性质，计算出，再根据平行线的性质计算得．由对顶角相等可得，，根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，是的中点，连接，且平分，延长交的延长线于点，若，，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图②，在中，是的中线，点在上，连接交于点，．延长至点，使，连接．请判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）为了保证某果园的灌溉效果，园方计划修建节水灌溉渠，主渠道围成四边形（如图③）．已知渠段，千米，千米．为实现精准灌溉，技术人员修建了、（点在上）两条分渠道，在分渠道上设置了控水巡检点，经勘测，，且种植区和的面积相等．工作人员需从分渠端点出发沿直线前往巡检点检查设备，求巡检路线的长度． 【答案】（1）17；（2），证明见解答过程；（3） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的关键． （1）延长交的延长线于点，证明和全等得，进而得，再根据平分得，则，由此可得出之间的等量关系，即可求解； （2）延长至点，使，连接，根据是的中线，得出，证明和全等得，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点作于点，延长相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，再根据得，则，然后根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， 如图①所示： ， ， 点是的中点， ， 在和中 ， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ∵，， ． （2）证明：延长至点，使，连接， 如图②所示： ∵是的中线，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）过点作于点，延长相交于点， 如图③所示： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型二：过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 6．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7．数学课上，李老师出示了如框图中的题目． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论：当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_____填“”，“”或“”)． (2)特例启发，解答题目： ①如图，与的大小关系是：____填“”，“”或“． ②解：如图，过点作，交于点请你接着完成图3解答过程 (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且若的边长为，，则的长为_______请你直接写出结果． 【答案】(1)=； (2) =；②见解析； (3)或． 【分析】（1）根据点为的中点时，根据等腰三角形的判定证明即可； （2）根据题目给出的辅助线证明即可得出结论； （3）分类讨论，画出不同的图形，根据（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：=； 是等边三角形，点为的中点， ∴， ∵， ∴,， ∵， ∴， ∴； 故答案为：=． （2）解：①=， ②证明：∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图所示，点D在上， 由（2）可知，， ∵的边长为， ∴； 如图所示，点D在延长线上， 同（2）方法可得，可知，， ∵的边长为， ∴； 故答案为：或． 8．（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，为边长为6的等边三角形，是边边上任意一动点，点在的延长线上，且满足． (1)如图①，当点为的中点时，_____； (2)如图②，点在运动过程中，与满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图③，是的中点，连接．在边上是否存在点，使得值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理． （1）如图①，过点作于，由等边三角形的性质可得，由直角三角形的性质可求， ，由勾股定理可求解； （2）如图②，过作交于，可证是等边三角形，，由可证，可得； （3）如图③，将沿翻折得到，连接交于点，连接，，过点作于点，由可证，可得，可得当点，点，点三点共线时，的值最小，由勾股定理可求最小值． 【详解】（1）解：如图①，过点作于， 为边长为的等边三角形，点是的中点， ，，且， ， ∴， ， ∴， ∴. 故答案为：； （2）解：．理由如下： 如图②，过作交于． 是等边三角形， ，． ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ． ， ，且，， ， ， （3）解：如图③，将沿翻折得到，连接交于点，连接，，过点作于点． ∵将沿翻折得到， ，，且， ， ， 由（2）可知：， ． ， 根据两点之间线段最短，可得当点，点，点三点共线时，的值最小，即点在点处， 是的中点， ，且'，'， ， ， ， ， 的最小值为． 9．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）综合探究 问题情境： 是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且，连接、． （1）如图，当点是的中点时， ；（填“”，“”或“”） （2）若点为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程） 问题解决： （3）如图，当点是边上任意一点时，点在上，若，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，中点的性质，结合图形找准各边角之间的关系是解题关键． （1）由等边三角形的性质可得，，再根据中点的性质和“三线合一”可得，，然后等量代换结合等角对等边即可得证； （2）过点作，交于点，先证明是等边三角形，可得，进而得到，，证明，即可得证； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：当点是的中点时，，理由如下： 如图， 是等边三角形， ，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：如图，过点作，交于点， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （3）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知是等边三角形，点是边上一点． (1)如图1，过点作交于点，图中有 个等边三角形； (2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)； (3)若将条件中“是等边三角形”改为“是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）根据是等边三角形，，得出、是等边三角形即可； （2）作交于，先判定为等边三角形，再根据三线合一，得到，然后判定，得到，进而得到； （3）作于，先判定，得到，，再判定，得到，进而得到（2）中的结论还成立． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， 、是等边三角形，共2个 故答案为：； （2）线段的长是定值，即，理由如下： 如图，作交于， 是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， （3）（2）中的结论还成立． 理由：如图3，过点作于， 在与中， 在与中， 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 11．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由已知可得，即得，进而得到，再由垂直平分得到，即得到，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质等，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分，， ， ， ∴， 即， 为等腰三角形； （2）解：， ， 由（）得，为等腰三角形， ∴， ∴， ，为等腰三角形， ∴， ∴垂直平分， ， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）中，，．若为线段上一点，，，垂足为，交于． (1)如图1，当与点重合时，探究、的数量关系； (2)如图2，当不与重合时，线段与的数量关系是否发生变化，证明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长与交于点，证得，进而证得，证得，根据全等三角形的性质证得，从而得到结论； （2）过点作，与交于，与的延长线交于，根据题意易证得，根据全等三角形的性质证得，再证得，进而得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长与交于点， ， ， ， 即是的平分线， 又， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， 又， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，与交于，与的延长线交于， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又， ． 13．（24-25八年级上·广东东莞·期末） 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考： 已知：如图1，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）证明过程见详解； （2）证明过程见详解； （3）需要的围挡才能将围成一圈． 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）延长交于点，证明，，，再由得到，故可求解； （3）延长交于点，延长交于点，由（1）可知，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图2，延长交于点， 平分，， 由（1）可得，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长交于点，延长交于点，如图3， 由（1）可知，，，，， ， ， ， 米， , 的周长 （米）． 答：需要40米的围挡才能将围成一圈． 14．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点作，交的延长线于点，与相交于，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解； 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）在和中， ， ； （2），理由如下： 由（1）得，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）．理由如下： 如图：过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，即， ． 15．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 16．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且平分． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，结合已知可得，即可得证 （2）根据等腰三角形的性质可得，，勾股定理求得，进而根据，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴； （2）∵，平分 ∴， 在中，， ∵ ∴ ∴ ∴的周长． 17．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，过作的垂线，垂足为，可以发现，，存在的数量关系是___________； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，是否还存在（1）中的数量关系？如果存在，请给出证明．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的全等的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证出，得到，，然后得到，从而可得，最后根据线段和差、等量关系即可得证； （2）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量关系即可得证． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在． 证明如下：如图所示，在上取点E，使， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，在中，，为的平分线，探究线段的数量关系． 【特例研究】如图②，当时，小明在边上截取，连接，易得：______；______； 【深入探究】如图③，当时，小明选择了上题的做线方法，然后证，得，，再通过证明是等腰三角形，进而可求得线段的数量关系． 以下是小明探究线段数量关系的部分过程： 证明：如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【拓展研究】如图④，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点D．直接写出线段的数量关系：______． 【答案】【特例研究】，；【特例研究】见解析；【拓展研究】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是通过截长法构造全等三角形： 【特例研究】证明，得到，，推出为等腰直角三角形，得到，作答即可； 【深入探究】证明，得到，，推出为等腰三角形，得到，作答即可； 【拓展研究】在上截取，连接，证明，得到，，推出，得到，再根据线段的和差关系以及等量代换即可得出结果． 【详解】【特例研究】解：在边上截取，连接， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【深入探究】如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【拓展研究】在上截取， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故． 19．（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 20．（25-26八年级上·广东惠州·期末）项目式学习——数学建模 【问题引出】 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，． 求证：”．      【模型探究】 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了：“截长法”，如图2，在上截取，连接，只要证即可． （1）请你根据李老师的简要分析完成【问题引出】中的证明． 【模型应用】 （2）如图3，和是等腰三角形，且．求的度数． （3）在（2）的条件下，以为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点、，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）在上截取，连接，结合角平分线的定义证明，得到，根据三角形外角性质以及等角对等边求出，进而得出结论； （2）根据等边对等角，三角形内角和求出的度数，再进一步求出的度数； （3）在上取点，使，连接，求得，证明，得到，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图2，在上截取，连接， 平分， ． 又， ， ， ， ， ，即； （2）， ， ， ， ， （3），理由如下： 由（2）中同理可得：， ， 如图，在上取点，使，连接， 由， 可得：， ， ， ， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $