专题03 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题03 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的四种模型 目录 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 1 题型二：等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 6 题型三：等腰三角形中底边无中点时，作高求解 15 题型四：等腰三角形中底边无中点时，作高证明 22 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）在中，，，D是的中点，连结，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．根据等腰三角形的性质可得到是顶角的角平分线，再根据三角形内角和定理不难求得顶角的度数，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵是中点， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，D是的中点，E在边上，，若F在边上，满足，则四边形的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．连接，由，，求得，因为D为边的中点，所以，求得，点F与点重合，再根据，求得，根据，计算即可得到问题的答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵D为边的中点， ∴，， ∵F在边上，满足， ∴点F与点重合或点F与点重合， ∵四边形， ∴只有点F与点重合一种情况， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 3．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，为的中点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“等边对等角”以及三角形内角和定理可得，再根据垂直的定义以及直角三角形两锐角互余即可解答； （2）如图：连接，根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 于， ， ． （2）解：如图：连接， ，为的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ； （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 5．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，是等腰三角形，，，是的中点． (1)求的度数． (2)求的度数． (3)若，试说明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义求解即可得； （3）先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵，是的中点， ∴平分， ∵， ∴． （3）解：∵，是的中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，为的中点，于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理： （1）根据等腰三角形的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质可得，，从而得到，再由，即可求证； （3）过点E作于点F，根据等腰三角形以及直角三角形的性质可得的长，从而得到的长，证明，可得，，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，D为的中点， ∴； （2）证明：∵，D为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点F， ∵，， ∴，， ∵，D为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 题型二：等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，为的中点，过点作，分别交，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，利用等腰直角三角形的性质，证明 来完成． 【详解】解：如图，连接． ，为的中点， ，， ． ， ． ，， ， ， ． ， ， ， 即． 在和中， ， ． 2．（24-25八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足．求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定等知识点，熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质是解题的关键． （1）先利用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）得、，求出，进而得到即可证明结论． 【详解】（1）证明∵， ∴． ∵， ∴． ∵D是边的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴， ∴, ∵， ∴是等边三角形． 3．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边对等角证明，运用三角形的内角和定理即可解决问题． （2）连接、；证明，得到，运用等腰三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，连接、； 在与中， ， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴垂直平分． 4．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，，D是的中点，平分．    (1)试说明：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）由题中条件可得，进而可得为等边三角形． 【详解】（1）证明：∵ ，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分 ∴ 在 和 中                                                                               ， ∴， ∴ ， （2）解： 是等边三角形，理由如下： ∵ ， ∴， ∵ ，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点是斜边的中点，点，分别在边，上，连接，若． (1)求证：； (2)若点，分别在边，的延长线上，如图，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明． 【答案】(1)详见解析 (2)仍成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍成立，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，，点为的中点． (1)若，两边分别交于两点． ①如图1，当点分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______． (2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长． 【答案】(1)①见解析；②18 (2)2 【分析】（1）①连接，证明即可；②连接，，得出，利用三角形面积公式进行计算即可； （2）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：①如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，，点为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 题型三：等腰三角形中底边无中点时，作高求解 1．（25-26九年级上·北京·月考）如图，与x轴相切，与y轴相交于点、，那么点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，三线合一，勾股定理，点的坐标，掌握相关知识点是解题的关键． 过点A作轴于点D，作轴于点E，根据、，求得的长度，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点D，作轴于点E， 、， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ∵与x轴相切， ， ， 点A坐标是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知识并正确画出辅助线是解题的关键． 作，由，，证，再结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒一个单位长度的速度向终点运动，连接．当点的运动时间为 秒时，与的一边垂直． 【答案】或4或 【分析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程，解题的关键是分类讨论． 设点的运动时间为秒，则，过点作，根据在中，，得出，根据勾股定理得出，分三种情况：当时；当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：设点的运动时间为秒，则， 过点作， ∵在中，， ∴， ∴， 当时，点与点重合， 此时，， ∴秒； 当时，如图， 则， 即， 解得：秒； 当时，如图， 则， 即， 解得：秒； 综上，当点的运动时间为或4或秒时，与的一边垂直． 故答案为：或4或． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）过点A作，垂足为，根据等腰三角形三线合一的性质结合勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：过点A作，垂足为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 6．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在中，，过点A作，点D在上（不与点A，B重合），作，的边交直线于点E，连接． (1)如图1，当点E在射线上时，作，交于点F，求证：； (2)如图2，当点E在射线上时，写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的基础上，若与交于点P，当P为的中点，且四边形的面积比的面积大16时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质和角的和差证明和，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）证明，，再根据全等三角形对应边相等得出，即可求解； （3）先证明，得出，再根据，，得出，根据，可得，最后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点C作，交延长线于点F，则， 同（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点C作，垂足为H，则， ∴， ∵， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与等底同高， ∴， ∴． 题型四：等腰三角形中底边无中点时，作高证明 1．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在等腰中，，点，在边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质．熟悉等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高以及顶角平分线重合，是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质，过点作于点，即等腰和等腰的高，证明，，继而证明． 【详解】证明：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在等边中，D是边上的一点，点E在边的延长线上．    (1)若，D为的中点，求证：． (2)过点D作于点M，在（1）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）三线合一，等边对等角，得到，三角形的外角求出，即可得证； （2）作于点，三线合一结合含度角的直角三角形的性质推出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作于点，如图，    ∵， ， ，， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，，过点作于点，延长至点，使得． (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)是等边三角形，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得到，即，再根据得到，结合即可证明是等边三角形； （2）过点作，垂足为，则，证明，得到，根据等腰三角形三线合一得到，即． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， 又， ， 又， 是等边三角形； （2）证明：过点作，垂足为，则 又 在与中 ． 又， 是的中点 ． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在等腰三角形中，，，点在边上运动（不与点，重合），连接，设，的面积为． (1)求底边上的高； (2)求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (3)当的长度为4时，求出相应的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)16 【分析】本题考查三角形的面积、函数关系式，掌握三角形的面积计算公式是解题的关键． （1）根据在等腰三角形的性质和勾股定理计算即可； （2）根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，求出对应S的值即可． 【详解】（1）解：过点A作于点D． ∵在等腰三角形中，， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴底边上的高h为8． （2）解：， ∴S与x之间的函数关系式及自变量的取值范围为． （3）解：当时，． 5．（25-26八年级上·北京·月考）在等腰中，，是边上一个动点（点不与点重合），连接，点关于的对称点为，点在射线上且． (1)若点在边上的位置如图所示． ①在图中按题意补全图形； ②判断线段之间的数量关系，并证明； (2)过点作直线的垂线，垂足为，直接写出线段之间满足的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见详解 (2)或 【分析】本题考查了轴对称，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，分类讨论的思想是解题的关键． （1）①按要求画出图形即可；②利用轴对称的性质，得，由求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解：当点在 靠近点处 时，过点作于点, 利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和等式的性质解答即可；当点在靠近点处时，过点作于点, 利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：①在图1中按题意补全图形如下图： ②线段之间满足的数量关系为：, 证明：点关于的对称点为, ， ∴， ， ， ； （2）线段之间满足的数量关系为或. 理由： 当点在 靠近点处时，过点作于点，如图， 由轴对称的性质，得, ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点在 靠近点处时，过点作于点，如图， 由（1）知：, ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，线段之间满足的数量关系为或. 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）若和均为等腰三角形，且，当即互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图，与互为“底余等腰三角形”． ①和的关系是 ；若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形” （填“是”或“否”）； ②当时，的“余高”，判断与之间的数量关系，并证明； (2)如图，在四边形中，，，，且．画出与，使它们互为“底余等腰三角形”（保留作图痕迹）； (3)如图，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请求出的长． 【答案】(1)①互补；是； ②，证明见解析； (2)图见解析； (3)． 【分析】0（1）①结合等边对等角、三角形内角和定理即可推出和的关系、与互为“底余等腰三角形”； ②作交于点，利用“角角边”证明，由全等三角形的性质、三线合一即可证明； （2）作垂直平分线交于点； （3）结合（1）中所得的结论得出，结合三线合一得，再结合勾股定理即可求得、． 【详解】（1）解：依题得：， ①， ，， 中，， 中，， ， 又， ，即和的关系是互补； ， ， 中，， 中，， ， 即， 又， ，， ， 即与互为“底余等腰三角形”． 故答案为：互补；是． ②当时，和的关系能一直互补， 则，证明如下： 作交于点， 又， ， 则， ， ， 在和中， ， ， ， 等腰中，， 是中线，即， ． （2）解：连接，作垂直平分线交于点， 连接、，与即为所求： （3）解：作交于点，作交于点， 时，与互为“底余等腰三角形”， 由（1）题①得，，与互为“底余等腰三角形”， 再由（1）题②得，， 等腰中，， ， 中，， ，， 中，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03利用等腰三角形的三线合一作辅助线的四种模型 题型归纳 目录 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 .1 题型二：等腰三角形中底边有中点时，连中线证明.6 题型三：等腰三角形中底边无中点时，作高求解… 15 题型四：等腰三角形中底边无中点时，作高证明 22 题型专练 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 1.(24-25八年级上·河北廊坊·期末)在ABC中，AB=AC,∠B=50°，D是BC的中点，连结AD,则 ∠DAC= 2.(25-26八年级上·湖北武汉·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6,D是BC的中点， E在边AB上，AE=2BE,若F在边AC上，满足DF=DB,则四边形AEDF的面积是 B 3.(25-26八年级上湖北孝感期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的中点， DE⊥AC于E. A E B (1)求∠EDC的度数； (②)若AB=8,求CE的长 4.(2025八年级上·全国.专题练习)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，连接AD,BE平 分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F, (1)若∠C=36°，求∠BAD的度数； (2)求证：FB=FE. 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上贵州安顺期中)如图，ABC是等腰三角形，AB=AC,∠BAC=74°，D是BC的中 点. E D (1)求∠B的度数. (2)求∠CAD的度数. (3)若AE=DE,试说明：ED∥AB. 6.(25-26八年级上·云南曲靖期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的中点， DE⊥AB于点E· B D (I)求∠BAD的度数： (2)求证：AB=4AE; (3)若AB=8,求BDE的周长. 题型二：等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 1.(2026八年级下·全国.专题练习)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为BC的中点，过点 D作∠MDN=90°，分别交AB,AC于点M,N.求证：DM=DN. A D 2.(24-25八年级上·吉林长春·月考)如图，在ABC中，∠A=120°，AB=AC,D是BC边的中点， DE⊥AB,DF⊥AC,点E、F为垂足.求证： (1)DE=DF; 2/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)aDEF是等边三角形. 3.(24-25七年级下·陕西宝鸡·期末)如图，在ABC中，AB=AC,D、E、F分别在三边上，且BE=CD ,BD=CF,G为EF的中点. G B D (1)若∠A=40°，求∠ABC的度数； (2)求证：DG垂直平分EF. 4.(24-25七年级上山东东营·期中)如图，AB=AC,D是BC的中点，AB平分∠DAE,AE⊥BE. B D (I)试说明：AD=AE; (②)若BE∥AC,试判断△ABC的形状，并说明理由. 5.(25-26八年级上·全国期末)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点P是斜边AB的中点， 点D,E分别在边AC,BC上，连接PD,PE.若PD⊥PE. B 图1 图2 (I)求证：PD=PE; (2)若点D,E分别在边AC,CB的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证 明 6.(24-25八年级上湖北孝感期末)在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点0为AB的中点. 3/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)若∠E0F=90°，两边分别交AC,BC于E,F两点. ①如图1，当点E,F分别在边AC和BC上时，求证：OE=OF: ②如图2，当点E,F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF,若OE=6，则SEor=· (②)如图3，若∠E0F=45°，两边分别交边AC于E,交BC的延长线于F,连接EF,若CF=3,EF=5, 试求AE的长. 题型三：等腰三角形中底边无中点时，作高求解 1.(25-26九年级上北京·月考)如图，⊙A与x轴相切，与y轴相交于点B(0,1)、C(0,3),那么点A的坐 标是」 2.(25-26八年级上·山西忻州月考)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=AD,AC⊥CD,若 CD=1,则AC的长为 3.(25-26八年级上浙江嘉兴期末)如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,动点P从点B出发，沿BC 以每秒一个单位长度的速度向终点C运动，连接AP,当点P的运动时间为 秒时，AP与ABC的 一边垂直. B 4.(25-26八年级上陕西西安·期末)如图，在ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,AD∥BC,连接 4/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD. D B (I)求证：△ACD等腰三角形； (2)若BC=16,AD=10,求ABC的面积. 5.(25-26八年级上全国假期作业)如图，在ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作DE∥BC交 AC于点E,且DE平分∠ADC,在BC边上取点F,使∠DFC=45°. 4 E 145 B F C (I)求证：△BCD为等腰三角形； (2)过点D作DM⊥BC于点M,若BC=12,BF=2,求DM的长 6.(25-26八年级上江苏南通月考)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC,过点A作MN⊥AB, 点D在AB上（不与点A,B重合），作∠DCE=45°，∠DCE的边CE交直线MN于点E,连接DE. M 图1 图2 (I)如图1，当点E在射线AM上时，作CF⊥CE,CF交AB于点F,求证：△ACE≌△BCF; (②)如图2，当点E在射线AN上时，写出线段AE,DE,BD之间的数量关系，并说明理由； (3)在(2)的基础上，若CE与AD交于点P,当P为CE的中点，且四边形AEDC的面积比△BCD的面积大 16时，直接写出ABC的面积. 题型四：等腰三角形中底边无中点时，作高证明 1.(25-26八年级上山西大同期末)如图，在等腰ABC中，AB=AC,点D,E在边BC上，AD=AE,求 证：BD=CE, 5/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 2.(24-25八年级下·河南郑州期中)如图，在等边ABC中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线 上 D C (I)若BD=ED,D为AC的中点，求证：CD=CE. (2)过点D作DM⊥BC于点M,在(1)的条件下，当BE=18时，求MC的长. 3.(25-26八年级上·云南曲靖期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点A作AE⊥CE于点 E,延长EC至点F,使得BF=BC. (I)若∠EAC=60°，试判断BCF的形状，并说明理由； (2)求证：CF=2AE. 4.(24-25八年级下河北石家庄·期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,BC=12,点P在边 BC上运动（不与点B,C重合），连接AP,设BP=x,△ABP的面积为S. A D (I)求aABP底边BP上的高h; (②)求S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围. (3)当BP的长度为4时，求出相应的S的值. 5.(25-26八年级上北京·月考)在等腰ABC中，AB=AC,D是BC边上一个动点（点D不与点B、C重 合)，连接AD,点D关于AC的对称点为F,点E在射线CF上且CE=BD, 6/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (I)若点D在BC边上的位置如图所示. ①在图中按题意补全图形： ②判断线段BD、CD、EF之间的数量关系，并证明； (2)过点A作直线CE的垂线，垂足为G,直接写出线段BD、CD、GF之间满足的数量关系， 6.(25-26八年级上·江苏盐城期中)若△ABC和aADE均为等腰三角形，且AB=AC=AD=AE,当 ∠ABC+∠ADE=90°即互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做 △ADE的“余高”. D B H B 图1 图2 图3 (1I)如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形” ①∠BAC和∠DAE的关系是_；若连接BD,CE,判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”_（填“是” 或“否”)： ②当0°<∠BAC<180°时，△ADE的“余高”AH,判断DE与AH之间的数量关系，并证明； (②)如图2，在四边形ABCD中，LABC=60°，DA⊥BA,DC⊥BC,且DA=DC,画出△OAB与△OCD, 使它们互为“底余等腰三角形”（保留作图痕迹）； (3)如图3，当LBAC=90°时，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，连接BD、CE,若BD=4,CE=6 ,请求出BC的长。 7/7