第3讲 分式及其运算（讲义） -备战2026年浙江中考数学一轮复习

该初中数学讲义聚焦“分式及其运算”中考核心考点，覆盖分式概念、基本性质、四则运算及化简求值，知识清单系统梳理概念内涵与运算逻辑，通过“考点精析+真题示例+巩固训练”教学流程，帮助学生突破分式有意义条件、化简求值等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于以核心素养为导向，如通过分式符号法则辨析培养抽象能力，结合中考真题讲解分式混合运算提升运算能力。设计“基础巩固+能力提升”分层练习，配合即时反馈机制，确保学生高效掌握考点，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第3讲 分式及其运算 ( 课标要求 ) 1.了解分式和最简分式的概念，掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 2.利用分式的基本性质进行通分和约分. 3.会进行分式的加减乘除运算并解决分式的化简求值问题 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．分式的基本概念： (1)形如 (A，B是整式，且 中含有字母， ≠0)的式子叫做分式． (2)当 时，分式有意义；当 时，分式无意义；当 时，分式的值为零． (3)最简分式需满足的条件：分子、分母 ． 2．分式的基本性质： (1)基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以) ，分式的值不变，用式子可表示为＝ ，＝ (其中M是不等于零的整式)． (2)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：＝－＝＝－，－＝＝． 3．分式的约分、通分： 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做 ． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做 ． 4．分式的运算法则： (1)分式的加减： 同分母相加减：±＝ ； 异分母相加减：±＝ ． (2)分式的乘除： ·＝ ；÷＝ ． (3)分式的乘方： ＝ (n为正整数)． 5．分式的混合运算： 在分式的混合运算中，应先算 ，再将除法化为 ，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算 ．灵活运用运算律，运算结果必须是 或 ． ( 考点精析 ) ■考点一　分式的有关概念► 【例1.1】（2025•腾冲市校级模拟）分式有意义的条件是（　　） A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1 【例1.2】（2025•路北区二模）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1 【例1.3】（2025•定海区一模）当x＝3时，分式＝　5　 ． 【例1.4】（2025•兰州模拟）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，的值为零 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．无论x为何值，的值总为正数 ■考点二　分式的基本性质► 【例2.1】（2025•岳麓区校级二模）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2.2】（2024•天河区校级三模）下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【例2.3】（2025•叙永县三模）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【例2.4】（2025•深圳模拟）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2.5】（2025•黔东南州二模）化简的结果是（　　） A．a2﹣1 B．a﹣1 C．a+1 D．a ■考点三　分式的运算► 【例3.1】（2025•江西模拟）计算的结果为（　　） A．xy B．2y C．y D． 【例3.2】（2025•安阳县二模）化简的结果是（　　） A．2 B． C．m D． 【例3.3】（2025•龙湖区一模）计算的结果是（　　） A．3 B．3a+3 C．2 D． 【例3.4】（2025•陕西）化简：． 【例3.5】（2025•细河区一模）化简：． ■考点四　分式的化简求值► 【例4.1】（2025•大庆）先化简，再求值：，其中x＝3． 【例4.2】（2025•成都校级模拟）若x+＝3，分式（x﹣）2＝　　 ． 【例4.3】（2025•福田区模拟）先化简代数式，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【例4.4】（2025•黑龙江校级一模）先化简，再求值：，请从﹣3，﹣1，0这三个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值． ( 巩固训练 ) 1．（2025•双柏县一模）分式有意义的条件是（　　） A．x＝2025 B．x≠0 C．x≠﹣2025 D．x≠2025 2．（2025•湖北二模）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 3．（2025•安州区模拟）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（　　） A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 4．（2024•顺河区一模）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•邯郸校级三模）如果÷的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 6．（2025•汇川区二模）化简的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D． 7．（2025•宿松县三模）化简•（a﹣）的结果是（　　） A．a+b B． C．a﹣b D． 8．（2025•长清区一模）若a+b＝2，则代数式的值为（　　） A． B．﹣ C．2 D．﹣2 9．（2025•佳县模拟）化简：的结果为（　　） A． B． C． D． 10．（2025•邗江区校级三模）当a＝2023时，分式的值是 　　 ． 11．（2025•万山区模拟）化简：＝ 　 ． 12．（2025•曾都区二模）计算：＝ ． 13．（2025•湖北模拟）计算：＝　　 ． 14．（2025•绥化）计算：1﹣÷＝　　 ． 15．（2025•光山县二模）化简：． 16．（2025•遂宁）先化简，再求值：，其中a满足a2﹣4＝0． 17．（2026•哈尔滨模拟）先化简，再求代数式的值，其中x＝2sin45°． 18．（2025•靖远县二模）先化简，再求值：，其中x＝3． 19．（2025•新余校级一模）先化简，再求值：，其中a＝2． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第3讲 分式及其运算 ( 课标要求 ) 1.了解分式和最简分式的概念，掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 2.利用分式的基本性质进行通分和约分. 3.会进行分式的加减乘除运算并解决分式的化简求值问题 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．分式的基本概念： (1)形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式． (2)当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义；当A＝0且B≠0时，分式的值为零． (3)最简分式需满足的条件：分子、分母没有公因式． 2．分式的基本性质： (1)基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子可表示为＝，＝(其中M是不等于零的整式)． (2)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：＝－＝＝－，－＝＝． 3．分式的约分、通分： 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做分式的通分． 4．分式的运算法则： (1)分式的加减： 同分母相加减：±＝； 异分母相加减：±＝． (2)分式的乘除： ·＝；÷＝． (3)分式的乘方： ＝(n为正整数)． 5．分式的混合运算： 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式． ( 考点精析 ) ■考点一　分式的有关概念► 【例1.1】（2025•腾冲市校级模拟）分式有意义的条件是（　　） A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1 【思路点拨】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【解析】解：要使有意义，得 x﹣1≠0． 解得x≠1， 当x≠1时，有意义， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 【例1.2】（2025•路北区二模）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1 【思路点拨】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0． 【解析】解：∵x﹣1＝0且x+2≠0， ∴x＝1． 故选：B． 【点睛】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点． 【例1.3】（2025•定海区一模）当x＝3时，分式＝　5　 ． 【思路点拨】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解析】解：当x＝3时，原式＝＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【例1.4】（2025•兰州模拟）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，的值为零 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．无论x为何值，的值总为正数 【思路点拨】根据分式值为0的条件，以及分式有意义的条件即可求解． 【解析】解：A、当x＝2时，无意义，故A错误； B、当x≠0时，有意义，故B错误； C、当x＝2时，得整数值，故C错误； D、分母x2+1大于0，分子大于0，故无论x为何值，的值总为正数，故D正确． 故选：D． 【点睛】分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，当B＝0时，分式无意义． ■考点二　分式的基本性质► 【例2.1】（2025•岳麓区校级二模）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【解析】解：A、，选项变形错误，不符合题意； B、，选项变形错误，不符合题意； C、，选项变形错误，不符合题意； D、，选项变形正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键． 【例2.2】（2024•天河区校级三模）下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解析】解：A、是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查最简分式，分式分子分母不能约分的分式才是最简分式． 【例2.3】（2025•叙永县三模）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【思路点拨】把分式中的x、y分别用2x、2y代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【解析】解：把分式中的x、y分别用2x、2y代替可得： ， 即扩大为原来的2倍， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握该知识点是关键． 【例2.4】（2025•深圳模拟）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的基本性质分别计算后判断即可． 【解析】解：A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意； B．，故原选项错误，不符合题意； C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确，符合题意； D．，故原选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 【例2.5】（2025•黔东南州二模）化简的结果是（　　） A．a2﹣1 B．a﹣1 C．a+1 D．a 【思路点拨】把分子分解因式后约分即可． 【解析】解：把分子分解因式后约分可得： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握该知识点是关键． ■考点三　分式的运算► 【例3.1】（2025•江西模拟）计算的结果为（　　） A．xy B．2y C．y D． 【思路点拨】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案． 【解析】解：利用积的乘方运算法则化简可得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算． 【例3.2】（2025•安阳县二模）化简的结果是（　　） A．2 B． C．m D． 【思路点拨】把除法变成乘法后进行约分即可得到答案． 【解析】解：原式＝＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法的运算法则是关键． 【例3.3】（2025•龙湖区一模）计算的结果是（　　） A．3 B．3a+3 C．2 D． 【思路点拨】同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可． 【解析】解：． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减．熟练掌握同分母分式相加，分母不变，分子相加，是解题的关键．注意结果要化为最简分式或整式． 【例3.4】（2025•陕西）化简：． 【思路点拨】先通分，同时将除法转化为乘法，然后约分即可． 【解析】解： ＝• ＝• ＝x+2． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【例3.5】（2025•细河区一模）化简：． 【思路点拨】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解析】解：原式＝• ＝• ＝• ＝﹣． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了实数的运算． ■考点四　分式的化简求值► 【例4.1】（2025•大庆）先化简，再求值：，其中x＝3． 【思路点拨】先化简分式，再代入x的值计算即可． 【解析】解： ＝ ＝ ＝x﹣1， 当x＝3时，原式＝2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简是解题的关键． 【例4.2】（2025•成都校级模拟）若x+＝3，分式（x﹣）2＝　5　 ． 【思路点拨】根据分式的运算法则化简即可． 【解析】解：根据条件，完全平方可得： ∴（x﹣）2＝x2﹣2+（）2 ＝ x2﹣2+（）2+4﹣4 ＝ x2+2+（）2﹣4 ＝（x+）2﹣4 ＝9﹣4 ＝5． 故答案是：5． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 【例4.3】（2025•福田区模拟）先化简代数式，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【思路点拨】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可． 【解析】解：原式＝÷ ＝• ＝， ∵a+2≠0，a﹣2≠0，a﹣1≠0， ∴a只能取﹣1， 当a＝﹣1时，原式＝＝． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值和分式有意义的条件，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 【例4.4】（2025•黑龙江校级一模）先化简，再求值：，请从﹣3，﹣1，0这三个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值． 【思路点拨】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝，然后根据分式有意义的条件把x＝0代入计算即可． 【解析】解：原式＝• ＝• ＝• ＝， ∵x+1≠0且x+3≠0， ∴x可以取0， 当x＝0时，原式＝＝﹣1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． ( 巩固训练 ) 1．（2025•双柏县一模）分式有意义的条件是（　　） A．x＝2025 B．x≠0 C．x≠﹣2025 D．x≠2025 【思路点拨】分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【解析】解：若分式有意义， 则2025﹣x≠0， 解得x≠2025， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2．（2025•湖北二模）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 【思路点拨】根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可． 【解析】解：由题可知， ∵分式的值为0， ∴|x|﹣1＝0且x+1≠0， 解得x＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键． 3．（2025•安州区模拟）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（　　） A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【思路点拨】将m和n替换为2m和2n，重新计算分式的值，比较即可得解． 【解析】解：根据分式的基本性质将m和n替换为2m和2n可得： ， 故分式的值变为原来的2倍， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 4．（2024•顺河区一模）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据最简分式的概念判断即可． 【解析】解：A、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、＝＝，不是最简分式，不符合题意； D、＝，不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 5．（2025•邯郸校级三模）如果÷的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 【思路点拨】设被遮挡的式子为t，则根据分式的除法法则可求出结果为，则t中一定含有xy的单项式，即可选择． 【解析】解：设被遮挡的式子为t， 则＝＝， ∵原式的运算结果为整式， ∴t中一定含有xy的单项式， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的除法，整式，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键． 6．（2025•汇川区二模）化简的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D． 【思路点拨】根据分式运算法则求解，即可获得答案． 【解析】解：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 7．（2025•宿松县三模）化简•（a﹣）的结果是（　　） A．a+b B． C．a﹣b D． 【思路点拨】先算括号里，再算括号外，即可解答． 【解析】解：•（a﹣） ＝• ＝• ＝a+b， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 8．（2025•长清区一模）若a+b＝2，则代数式的值为（　　） A． B．﹣ C．2 D．﹣2 【思路点拨】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【解析】解： ＝÷ ＝﹣• ＝﹣（a+b）， 当a+b＝2时，原式＝﹣2， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 9．（2025•佳县模拟）化简：的结果为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先把括号内的分式通分，然后将除法转化为乘法，最后约分化简即可． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝ ＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10．（2025•邗江区校级三模）当a＝2023时，分式的值是 　2025　 ． 【思路点拨】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解析】解：当a＝2023时，原式＝＝＝2025． 故答案为：2025． 【点睛】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 11．（2025•万山区模拟）化简：＝x﹣6　 ． 【思路点拨】利用平方差公式把分子因式分解，再约分即可． 【解析】解：＝＝x﹣6， 故答案为：x﹣6． 【点睛】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 12．（2025•曾都区二模）计算：＝ x2+xy ． 【思路点拨】首先将x2﹣y2运用平方差公式进行分解，然后约分即可． 【解析】解：原式＝•＝x2+xy． 故答案为：x2+xy． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法的运算法则是关键． 13．（2025•湖北模拟）计算：＝　1　 ． 【思路点拨】根据分式的除法法则计算即可求解． 【解析】解：原式＝×＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法运算法则是关键． 14．（2025•绥化）计算：1﹣÷＝　　 ． 【思路点拨】根据分式除法的运算法则先算除法，再通分计算减法即可． 【解析】解：原式＝1﹣ ＝﹣ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 15．（2025•光山县二模）化简：． 【思路点拨】根据分式的混合运算法则进行计算化简即可． 【解析】解： ＝• ＝• ＝x． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，实数的运算等知识，掌握负整数指数幂、零指数幂的计算法则，分式的混合运算法则是解答本题的关键． 16．（2025•遂宁）先化简，再求值：，其中a满足a2﹣4＝0． 【思路点拨】先算括号里面的，再算除法并约分，然后将已知数值代入计算即可． 【解析】解：原式＝（+）• ＝• ＝； ∵a2﹣4＝0，a﹣2≠0， ∴a＝﹣2， 原式＝＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17．（2026•哈尔滨模拟）先化简，再求代数式的值，其中x＝2sin45°． 【思路点拨】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把特殊角的三角函数值代入求出x，代入计算得到答案． 【解析】解：原式＝（﹣）• ＝• ＝， 当x＝2sin45°＝2×＝时，原式＝＝2． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值、特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 18．（2025•靖远县二模）先化简，再求值：，其中x＝3． 【思路点拨】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【解析】解：原式＝• ＝• ＝， 当x＝3时，原式＝＝﹣5． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 19．（2025•新余校级一模）先化简，再求值：，其中a＝2． 【思路点拨】先算括号内的减法，把除法变成乘法，化简后再把a的值代入计算，即可求出答案． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝， 当a＝2时，原式＝． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，熟练掌握运算法则是关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $