第2讲 整式及其运算（综合检测） -备战2026年浙江中考数学一轮复习

该初中数学讲义聚焦“整式及其运算”中考核心模块，覆盖代数式表示、整式次数、幂运算、因式分解、代数式求值及规律探究等考点，通过“考点梳理-真题精析-分层训练”教学流程，帮助学生构建知识网络，突破运算技巧与综合应用难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融合数学眼光与思维培养，如通过图形面积验证平方差公式发展几何直观，规律探究题提升抽象能力，设置基础、提升、挑战三级练习适配不同学生。配合真题限时训练与错因分析，助力学生高效掌握考点，教师可依此精准把控复习节奏，提升备考效率。

备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第一单元 数与式 第2讲 整式及其运算 一．选择题 1．（2025•上海）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　） A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2 【思路点拨】先列出前半部分“x与y的差”，即x﹣y，再列后半部分“的平方”，即可得出答案． 【解析】解：根据题目可列出（x﹣y）2， 故选B． 【点睛】本题考查的是根据题意列出代数式． 2．（2025•青浦区二模）代数式4ab2的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解析】解：根据单项式定义得：4ab2的次数为：1+2＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略． 3．（2025•湖南）计算a3•a4的结果是（　　） A．2a7 B．a7 C．2a4 D．a12 【思路点拨】根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【解析】解：a3•a4＝a3+4＝a7． 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 4．（2025•长春）下列计算一定正确的是（　　） A．a+2a＝3a B．a•a2＝a2 C．a+a＝a2 D．（2a）2＝2a2 【思路点拨】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 【解析】解：A、a+2a＝3a，故此选项符合题意； B、a•a2＝a3，故此选项不符合题意； C、a+a＝2a，故此选项不符合题意； D、（2a）2＝4a2，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2025•英德市一模）下列多项式分解因式正确的是（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2+b2＝（a+b）2 C．a2+2a﹣3＝a（a+2）﹣3 D．2a﹣4＝2（a﹣2） 【思路点拨】根据平方差公式和完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故本选项不符合题意； B、a2+b2不能因式分解，故本选项不符合题意； C、a2+2a﹣3＝（a+3）（a﹣1），故本选项不符合题意； D、2a﹣4＝2（a﹣2），故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了用公式法正确进行因式分解的能力，熟记平方差公式和完全平方公式结构是解题的关键． 6．（2025•泸州）下列运算正确的是（　　） A．4a﹣3a＝1 B．（2a）﹣1＝ C．（3a3）2＝9a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 【思路点拨】根据合并同类项法则、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式分解计算判断即可． 【解析】解：A、4a﹣3a＝a，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、（3a3）2＝9a6，故此选项符合题意； D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则及乘法公式是解题的关键． 7．（2025•海淀区二模）若2a2+4a﹣3＝0，则代数式a（a+4）+（a+1）（a﹣1）的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【思路点拨】直接利用整式的混合运算法则计算，进而将已知代入求出答案． 【解析】解：a（a+4）+（a+1）（a﹣1） ＝a2+4a+a2﹣1 ＝2a2+4a﹣1． 由2a2+4a﹣3＝0， 得2a2+4a＝3， 所以，原式＝3﹣1＝2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 8．（2025•昭平县三模）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【思路点拨】分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【解析】解：图甲中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b） ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等 ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ∴可以验证成立的公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，属于基础题型，比较简单． 9．（2025•哈尔滨）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要（　　）个小正方形． A．30 B．40 C．49 D．56 【思路点拨】观察图形变化可得所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可． 【解析】解：观察图形可知： 第1个正方形需要4个小正方形，4＝22， 第2个正方形需要9个小正方形，9＝32， 第3个正方形需要16个小正方形，16＝42， 所以第4个正方形需要小正方形的个数为：（4+1）2＝25（个）； 第5个正方形需要小正方形的个数为：（5+1）2＝36（个）； 所以第6个正方形需要小正方形的个数为：（6+1）2＝49（个）； 故选：C． 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，得出各个图形中小正方形的个数是平方数是解题的关键． 10．（2025•萧山区模拟）在学习过程中，甲同学认为：如果a2＝b2，那么a2+b2＝2ab；乙同学认为：如果a2+b2＝2ab，那么a2＝b2．请对两位同学的说法进行判断（　　） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【思路点拨】由a2＝b2得a2﹣b2＝0，利用平方差公式可得a＝±b，从而可得a2+b2＝±2ab；由a2+b2＝2ab可得a2+b2﹣2ab＝0，利用完全平方公式可得a＝b，从而可得a2＝b2；据此判断即可． 【解析】解：∵a2＝b2， ∴a2﹣b2＝0， ∴（a+b）（a﹣b）＝0， ∴a＝±b， 则a2+b2＝±2ab； ∵a2+b2＝2ab， ∴a2+b2﹣2ab＝0， ∴（a﹣b）2＝0， ∴a＝b， 则a2＝b2； 综上，仅乙正确， 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键． 二．填空题 11．（2025•无锡）请写出单项式a2b的一个同类项：　11a2b（答案不唯一）　 ． 【思路点拨】根据同类项的定义解答即可． 【解析】解：答案不唯一，如11a2b． 故答案为：11a2b（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 12．（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝　（x﹣3y）（x+3y）　 ． 【思路点拨】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解析】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）． 故答案为：（x﹣3y）（x+3y）． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键． 13．（2025•扬州）若a2﹣2b+1＝0，则代数式2a2﹣4b+3的值是　1　 ． 【思路点拨】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解析】解：∵a2﹣2b+1＝0， ∴a2﹣2b＝﹣1， ∴当a2﹣2b＝﹣1时，原式＝2（a2﹣2b）+3＝2×（﹣1）+3＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 14．（2025•成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 　4x（答案不唯一）　 （填一个即可）． 【思路点拨】根据完全平方公式进行解答即可． 【解析】解：∵4x2+4x+1＝（2x+1）2， ∴加上的单项式是：4x， 故答案为：4x（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握灵活运用完全平方公式． 15．（2025•浙江）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】 已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 　8　 ． 【思路点拨】根据题干中所得系数规律得到关于m的方程，解得m的值即可． 【解析】解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16， ∴mx3＝4x3×2， ∴m＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查数式规律问题，理解题意并得出规律是解题的关键． 16．（2025•船营区校级模拟）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b（a＞b≥0）的平方差，即M＝a2﹣b2，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：36＝102﹣82，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为　158404　 ． 【思路点拨】根据新定义表示出“双方数”，然后进行因式分解，找出“双方数”的规律进行计算即可． 【解析】解：根据题意得，a＝b+2， ∴M＝a2﹣b2＝（b+2）2﹣b2＝4（b+1）， ∵M的算术平方根是一个正整数， ∴b+1是一个完全平方数， ∵b是偶数（b≥0）， ∴b+1是奇数， ∴b+1是奇数的平方，从小到大依次是12、32、52、⋯、（2n﹣1）2， 那么“双方数”从小到大依次为4×12、4×32、4×52、⋯、4×（2n﹣1）2， ∴第100个“双方数”为：4×（2×100﹣1）2＝4×1992＝158404， 故答案为：158404． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，因式分解的应用等内容，解题的关键是找出规律． 三．解答题 17．（2025•长沙模拟）先化简，再求值：2（x+2xy）﹣（3x+y）﹣4xy，其中x＝﹣1，y＝2． 【思路点拨】先利用乘法分配律将2（x+2xy）算出来，然后经过去括号，合并同类项化简即可；最后再将x，y值分别代入计算结果． 【解析】解：2（x+2xy）﹣（3x+y）﹣4xy ＝2x+4xy﹣3x﹣y﹣4xy ＝﹣x﹣y， 当x＝﹣1，y＝2时，原式＝﹣x﹣y＝1﹣2＝﹣1． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，以及求代数式的值；熟记整式的加减运算法则是解题关键． 18．（2025•盐城）先化简，再求值：a（a+1）﹣（a+2）（a﹣2），其中a＝6． 【思路点拨】利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【解析】解：原式＝a2+a﹣（a2﹣4） ＝a2+a﹣a2+4 ＝a+4； 当a＝6时， 原式＝6+4＝10． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 19．（2026•浙江一模）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中a＝﹣2，b＝1． 【思路点拨】先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解析】解：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a） ＝4a2+4ab+b2﹣b2+4a2 ＝8a2+4ab， 当a＝﹣2，b＝1时，原式＝8×（﹣2）2+4×（﹣2）×1＝8×4+（﹣8）＝32﹣8＝24． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（2025•新蔡县三模）（1）计算：（﹣2025）0+|﹣3|﹣； （2）下面是亮亮进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成任务． 计算：（3x+1）（3x﹣1）﹣（2x﹣1）2 解：原式＝9x2﹣1﹣（4x2﹣2x+1）…第一步 ＝9x2﹣1﹣4x2+2x﹣1…第二步 ＝5x2+2x﹣2…第三步 任务： ①亮亮从第　一　 步开始出现错误； ②请直接写出本题的正确结果　5x2+4x﹣2　 ； ③当时，原整式的计算结果是　　 ． 【思路点拨】（1）先算零指数幂，去绝对值，算术平方根，再算加减； （2）①观察解答过程可得答案； ②先展开，再去括号合并同类项即可； ③把x的值代入计算可得答案． 【解析】解：（1）（﹣2025）0+|﹣3|﹣ ＝1+3﹣2 ＝2； （2）①观察解答过程可知，亮亮从第一步步开始出现错误； 故答案为：一； ②（3x+1）（3x﹣1）﹣（2x﹣1）2 ＝9x2﹣1﹣（4x2﹣4x+1） ＝9x2﹣1﹣4x2+4x﹣1 ＝5x2+4x﹣2； 故答案为：5x2+4x﹣2； ③当x＝时， 原式＝5×（）2+4×﹣2 ＝+2﹣2 ＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查实数运算和整式化简求值，解题的关键是掌握实数和整式相关的运算法则． 21．（2025•内丘县模拟）在计算（x﹣m）（x+n）时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：x2+6x﹣8m；琪琪错把﹣m看成了+m，得到结果：x2+5x+mn． （1）求出m，n的值； （2）求（2m+n）（2m﹣n）﹣m（4m﹣n）的值． 【思路点拨】（1）根据题意可以得到（x﹣m）（x+8）＝x2+6x﹣8m，（x+m）（x+n）＝x2+5x+mn，然后整理化简，即可求得m、n的值； （2）先将所求式子化简，然后将m、n的值代入计算即可． 【解析】解：（1）由题意可得， （x﹣m）（x+8）＝x2+6x﹣8m，（x+m）（x+n）＝x2+5x+mn， ∴x2+（8﹣m）x﹣8m＝x2+6x﹣8m，x2+（m+n）x+mn＝x2+5x+mn， ∴8﹣m＝6，m+n＝5， 解得m＝2，n＝3； （2）（2m+n）（2m﹣n）﹣m（4m﹣n） ＝4m2﹣n2﹣4m2+mn ＝﹣n2+mn， 当m＝2，n＝3时，原式＝﹣32+2×3＝﹣3． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 22．（2025•长丰县二模）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：12﹣02＝1； 第2个等式：22﹣12＝3； 第3个等式：32﹣22＝5； 第4个等式：42﹣32＝7； … 用上述等式反映的规律，解答下列问题． （1）请直接写出第5个等式：　52﹣42＝9　 ； （2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想． 【思路点拨】（1）观察所给等式，得到第5个等式：52﹣42＝9． （2）归纳出规律：第n个等式为n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，推理证明即可． 【解析】解：（1）第1个等式：12﹣02＝1； 第2个等式：22﹣12＝3； 第3个等式：32﹣22＝5； 第4个等式：42﹣32＝7． 第5个等式：52﹣42＝9． 故答案为：52﹣42＝9． （2）由此可归纳出规律：第n个等式为n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1． 证明：左边展开为：n2﹣（n﹣1）2＝[n+（n﹣1）][n﹣（n﹣1）]＝2n﹣1，与右边相等，故猜想成立． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解题的关键是找到规律． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第一单元 数与式 第2讲 整式及其运算 一．选择题（共10小题） 1．（2025•上海）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　） A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2 2．（2025•青浦区二模）代数式4ab2的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025•湖南）计算a3•a4的结果是（　　） A．2a7 B．a7 C．2a4 D．a12 4．（2025•长春）下列计算一定正确的是（　　） A．a+2a＝3a B．a•a2＝a2 C．a+a＝a2 D．（2a）2＝2a2 5．（2025•英德市一模）下列多项式分解因式正确的是（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2+b2＝（a+b）2 C．a2+2a﹣3＝a（a+2）﹣3 D．2a﹣4＝2（a﹣2） 6．（2025•泸州）下列运算正确的是（　　） A．4a﹣3a＝1 B．（2a）﹣1＝ C．（3a3）2＝9a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 7．（2025•海淀区二模）若2a2+4a﹣3＝0，则代数式a（a+4）+（a+1）（a﹣1）的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 8．（2025•昭平县三模）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 9．（2025•哈尔滨）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要（　　）个小正方形． A．30 B．40 C．49 D．56 10．（2025•萧山区模拟）在学习过程中，甲同学认为：如果a2＝b2，那么a2+b2＝2ab；乙同学认为：如果a2+b2＝2ab，那么a2＝b2．请对两位同学的说法进行判断（　　） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 二．填空题 11．（2025•无锡）请写出单项式a2b的一个同类项：　 　 ． 12．（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝　 　 ． 13．（2025•扬州）若a2﹣2b+1＝0，则代数式2a2﹣4b+3的值是　 　 ． 14．（2025•成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 　 　 （填一个即可）． 15．（2025•浙江）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】 已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 　 　 ． 16．（2025•船营区校级模拟）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b（a＞b≥0）的平方差，即M＝a2﹣b2，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：36＝102﹣82，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为　 　 ． 三．解答题 17．（2025•长沙模拟）先化简，再求值：2（x+2xy）﹣（3x+y）﹣4xy，其中x＝﹣1，y＝2． 18．（2025•盐城）先化简，再求值：a（a+1）﹣（a+2）（a﹣2），其中a＝6． 19．（2026•浙江一模）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中a＝﹣2，b＝1． 20．（2025•新蔡县三模）（1）计算：（﹣2025）0+|﹣3|﹣； （2）下面是亮亮进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成任务． 计算：（3x+1）（3x﹣1）﹣（2x﹣1）2 解：原式＝9x2﹣1﹣（4x2﹣2x+1）…第一步 ＝9x2﹣1﹣4x2+2x﹣1…第二步 ＝5x2+2x﹣2…第三步 任务： ①亮亮从第　 　 步开始出现错误； ②请直接写出本题的正确结果　 　 ； ③当时，原整式的计算结果是　 　 ． 21．（2025•内丘县模拟）在计算（x﹣m）（x+n）时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：x2+6x﹣8m；琪琪错把﹣m看成了+m，得到结果：x2+5x+mn． （1）求出m，n的值； （2）求（2m+n）（2m﹣n）﹣m（4m﹣n）的值． 22．（2025•长丰县二模）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：12﹣02＝1； 第2个等式：22﹣12＝3； 第3个等式：32﹣22＝5； 第4个等式：42﹣32＝7； … 用上述等式反映的规律，解答下列问题． （1）请直接写出第5个等式：　 　 ； （2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $