第2讲 整式及其运算（讲义） -备战2026年浙江中考数学一轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式及其运算”专题，覆盖代数式、整式概念、运算（加减乘除、乘法公式）、因式分解及规律探究等中考核心考点，以课标要求为纲构建知识网络，通过知识清单系统梳理概念公式，考点精析分模块设计真题例题与方法指导，配合巩固训练实现讲练结合，助力学生突破运算与推理难点。 亮点在于情境化例题设计与分层训练体系，如用“冰糖葫芦穿山楂”“智能机器人采摘”等现实情境培养数学眼光，通过规律探究题发展创新意识，三级练习（基础、提升、挑战）适配不同学生需求，5分钟限时测试强化运算能力，教师可依此精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

备战2026年浙江中考数学一轮复习 讲义 第一单元 数与式 第2讲 整式及其运算 ( 课标要求 ) 1.借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义。 2.能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示;能根据特定的问题查阅资料,找到所需的公式。 3.会把具体数代入代数式进行计算。 4.了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)。 5.理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算,能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。 6.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a士b)2=a2士2ab+b2,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理。 7.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)。 8.了解代数推理 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1.代数式及相关概念 (1)代数式:用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. (2)代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 2. 整式及相关概念 (1)单项式:由 或 的和叫做这个单项式的 ,单项式中的数字因数叫做这个单项式的 . (2)多项式:由几个 组成的代数式叫做多项式,多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的 ,不含字母的项叫做 . (3)整式: . 3.整式的加减 (1)同类项:多项式中,所含 相同,并且 也相同的项,叫做同类项.所有的常数项都是同类项. (2)合并同类项的法则:同类项的系数 ,所得的结果作为系数,字母和字母的 . (3)添(去)括号法则:括号外是“+”,添(去) 括号不变号,括号外是“-”,添(去) 括号都变号. (4)整式的加减法则:几个整式相加减,如有括号就先去括号,然后再合并同类项 4.整式的乘除 (1)幂的运算性质: ①同底数幂相乘:am an= (m,n都是整数,a≠0). ②幂的乘方:(am)n= (m,n都是整数,a≠0). ③积的乘方:(ab)n= (n是整数,a≠0,b≠0). ④同底数幂相除:am an= (m,n都是整数,a≠0). (2)整式乘法:①单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式. ②单项式乘多项式:m(a+b)= . ③多项式乘多项式:(a+b)(c+d)= . (3)乘法公式: ①平方差公式:(a+b)(a-b)= . ②完全平方公式:(a b)2= . ③乘法公式的常见恒等变形:a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab (4)整式除法: ①单项式相除,把系数、同底数幂分别 ,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. ②多项式除以单项式,先把这个多项式的 除以这个单项式,再把所得的商相加. 3.因式分解 (1)因式分解的概念: 把一个多项式化成几个 的形式,叫做因式分解.因式分解与 是互逆变形. (2)因式分解的基本方法: ①提取公因式法:ma+mb+mc= . ②公式法:运用平方差公式:a2-b2= . 运用完全平方公式:a2 2ab+b2= . (3)因式分解的一般步骤: ①如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式. ②如果各项没有公因式,那么尽可能尝试用公式法来分解;如果项数较多,要分组分解. ③分解因式必须分解到不能再分解为止,每个因式的内部不再有括号,且同类项合并完毕,若有相同因式需写成幂的形式. ( 考点精析 ) 考点一 列代数式及求值 【例1.1】(2025•内蒙古)冰糖葫芦是我国传统小吃.若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂,小串冰糖葫芦每根穿3个山楂,则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 . 【例1.2】(2025•陵水县一模)当m=﹣3时,代数式m2+2m+1的值是( ) A.﹣14 B.﹣4 C.2 D.4 【例1.3】(2025•萧山区一模)已知2x+1=﹣2,则代数式2x2+x﹣1的值为( ) A.﹣2 B.0 C.2 D.4 【例1.3】(2025•泗洪县一模)若,则a0+a2+a4的值为( ) A.82 B.81 C.42 D.41 考点二 整式的有关概念 【例2.1】(2025•中山市校级模拟)单项式﹣12x3y的次数是( ) A.4 B.3 C.5 D.﹣12 【例2.2】(2025•红花岗区二模)下列式子中,a2b的同类项是( ) A.x2﹣1 B.x2y C.2b2a D. 【例2.3】(2025•江城区一模)多项式2a2﹣3b+ab2的次数是 . 考点三 整式的运算 【例3.1】(2025•沿河县三模)下列运算结果正确的是( ) A.a+2b=3ab B.﹣(2﹣4a)=4a﹣2 C.﹣3(a﹣3)=﹣3a+3 D.﹣3ab﹣2ab=﹣ab 【例3.2】(2025•十堰二模)计算(﹣a2)•a3的结果是( ) A.a6 B.﹣a6 C.﹣a5 D.a5 【例3.3】(2025•吉林)计算(2a2)3的结果为( ) A.2a5 B.2a6 C.8a5 D.8a6 【例3.4】(2025•云南)下列计算正确的是( ) A.x+2x=3x2 B.x2•x3=x5 C.x6 x2=x D.(xy)2=xy2 【例3.5】(2025•甘孜州)下列计算正确的是( ) A.3(a+2)=3a+6 B.(a+b)2=a2+b2 C.a+a2=a3 D.(ab)2=a2b 【例3.6】(2025•烟台)下列计算正确的是( ) A.2x2+x3=3x5 B.2x2•x3=2x5 C.2x3 (﹣x2)=2x D.(2x2)3=2x6 【例3.7】(2025•兰州)计算:(a+2)(a﹣2)+a(3﹣a). 【例3.8】(2025•包河区三模)化简:(x+3y)(x﹣3y)﹣(x﹣y)2. 考点四 整式的化简求值 【例4.1】(2025•常州)先化简,再求值:x(x+2)+(x﹣1)2,其中. 【例4.2】(2024•长沙)先化简,再求值:2m﹣m(m﹣2)+(m+3)(m﹣3),其中m=. 【例4.3】(2025•长沙模拟)先化简,再求值:[(2x﹣y)(2x+y)﹣(2x+y)2] 2y,其中x=2,y=﹣5. 考点五 因式分解 【例5.1】(2025•鼓楼区一模)下列各式从左到右的变形是因式分解的是( ) A.a(a+b)=a2+ab B.a2+2a+1=a(a+1)+1 C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 D.2a2﹣6ab=2a(a﹣3b) 【例5.2】(2025•庆元县一模)因式分解:x2﹣x= . 【例5.3】(2025•广西)因式分解:a2﹣1=( ) A.(a+1)(a﹣1) B.a(a+1) C.(a+1)2 D.(a﹣1)2 【例5.4】(2025•芗城区校级模拟)因式分解:x2﹣6x+9= . 【例5.5】(2025•无锡)分解因式a3﹣4a的结果是( ) A.a(a2+4) B.a(a﹣4) C.a(a+2)(a﹣2) D.a(a2﹣1) 考点六 数式的规律探究 【例6.1】(2025•绵阳)观察下列单项式:﹣xy,x2y3,﹣x3y5,x4y7,⋯,探究发现其中规律,你认为从左到右第15个单项式是( ) A.﹣x15y27 B.﹣x15y29 C.x13y27 D.x13y29 【例6.2】(2025•青海)如图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程.按此规律下去,第⑥个图形中黑色三角形的个数是 . ( 巩固训练 ) 1.(2025•长沙)智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m>1),则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为( ) A.6m B.m+10 C.60m D.10m 2.(2025•上城区校级三模)如果代数式x2﹣2x+5的值为3,那么代数式2x﹣x2的值等于( ) A.2 B.﹣2 C.8 D.﹣8 3.(2025•浦东新区二模)下列单项式中,ab3的同类项是( ) A.5ab3 B.﹣a3b C.a2b3 D.﹣a2b2 4.(2025•湖州一模)下列计算正确的是( ) A.3a+2a=5a2 B.3a2﹣2a=a C.3a+2b=5ab D.3ab﹣ba=2ab 5.(2025•陕西)计算2a2•ab的结果为( ) A.4a2b B.4a3b C.2a2b D.2a3b 6.(2025•徐州)下列运算正确的是( ) A.3a2﹣2a2=1 B.(a2)3=a5 C.(3a)2=6a2 D.a2•a4=a6 7.(2025•万山区模拟)多项式a3﹣ab2因式分解的结果为( ) A.a(a2﹣b2) B.a2(a﹣b2) C.ab(a﹣b) D.a(a+b)(a﹣b) 8.(2025•青岛)下列计算正确的是( ) A.x2+x3=x5 B.x2•x3=x6 C.(2xy)2=2x2y2 D.x8 x4=x4 9.(2025•长沙模拟)下列运算正确的是( ) A.a3•a2=a6 B.(ab3)2=a2b6 C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.(a+b)(﹣a﹣b)=a2﹣b2 10.(2025•金水区模拟)对任意整数n,(2n+1)2﹣25都能( ) A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 11.(2025•浙江模拟)请写出一个同时符合下述条件的代数式 .(写出一个即可): ①是一个3次单项式; ②它的系数是一个负数. 12.(2025•浙江模拟)已知x+2y=﹣1,则x2﹣4y2+2x的值为 . 13.(2025•三台县模拟)若单项式xy3的系数是m,次数是n,则m+n= . 14.(2025•庄浪县一模)因式分解2m2﹣4m+2= . 15.(2025•内江)已知实数a,b满足a+b=2,则a2﹣b2+4b= . 16.(2025•湖南)先化简,再求值:(x+2)(x﹣2)+x(1﹣x),其中x=6. 17.(2025•海港区一模)对于任意数a、b,规定:a⊕b=(a+b)(a2﹣ab+b2)﹣b3.等式右边是通常的加,减法,乘法及乘方运算. 例:(﹣2)⊕3=(﹣2+3)[(﹣2)2﹣(﹣2) 3+32]﹣33 =1 19﹣27 =19﹣27 =﹣8 (1)求(﹣2)⊕(﹣4)的值; (2)嘉嘉说,无论a,b取何值,运算结果只和a有关,和b无关.嘉嘉说的对吗?并说明理由. 18.(2025•西和县模拟)先化简,再求值:(x﹣2y)2+(2x﹣y)(2x+y)﹣x(x﹣4y),其中x=﹣1,y=2. 19.(2025•凤阳县三模)观察下面的一系列等式: 第1个等式:1 (1+2)=1 3=3=22﹣1; 第2个等式:2 (2+3)=2 5=10=32+1; 第3个等式:3 (3+4)=3 7=21=42+5; 第4个等式:4 (4+5)=4 9=36=52+11;⋯ 根据以上规律,回答下列问题: (1)写出第5个等式; (2)直接写出第n个等式(用含n的式子表示). 20.(2025•昆明模拟)阅读理解:已知4a﹣b=1,求代数式2(a﹣b)+3(2a﹣b)的值. 解:因为4a﹣b=1,所以原式=. 仿照以上解题方法,完成下面的问题: (1)已知a﹣b=﹣3,求3(a﹣b)﹣a+b+1的值; (2)已知a2+2ab=2,ab﹣b2=1,求2a2+5ab﹣b2的值. 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第2讲 整式及其运算 ( 课标要求 ) 1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。 2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示;能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。 3.会把具体数代入代数式进行计算。 4.了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)。 5.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。 6.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，(a士b)2=a2士2ab+b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。 7.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)。 8.了解代数推理 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1.代数式及相关概念 （1）代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. （2）代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 2. 整式及相关概念 （1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项． （3）整式：单项式和多项式统称为整式． 3.整式的加减 （1）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．所有的常数项都是同类项. （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去) 括号不变号，括号外是“-”，添(去) 括号都变号. （4）整式的加减法则：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项 4.整式的乘除 （1）幂的运算性质： ①同底数幂相乘：am·an＝am＋n(m，n都是整数，a≠0)． ②幂的乘方：(am)n＝amn(m，n都是整数，a≠0)． ③积的乘方：(ab)n＝an·bn(n是整数，a≠0，b≠0)． ④同底数幂相除：am÷an＝am－n(m，n都是整数，a≠0)． （2）整式乘法：①单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． ②单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb． ③多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd． （3）乘法公式： ①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2． ②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2． ③乘法公式的常见恒等变形：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab (a－b)2＝(a＋b)2－4ab （4）整式除法： ①单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 3.因式分解 （1）因式分解的概念： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解与整式的乘法是互逆变形． （2）因式分解的基本方法： ①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)． ②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2． （3）因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式． ②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解． ③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式． ( 考点精析 ) ■考点一　列代数式及求值► 【例1.1】（2025•内蒙古）冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为　（5m+3n）个　 ． 【思路点拨】分别用m、n表示出大串冰糖葫芦和小串冰糖葫芦山楂的数量，再相加即可． 【解析】解：需要的山楂总个数为：（5m+3n）个， 故答案为：（5m+3n）个． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是根据数量关系来列代数式． 【例1.2】（2025•陵水县一模）当m＝﹣3时，代数式m2+2m+1的值是（　　） A．﹣14 B．﹣4 C．2 D．4 【思路点拨】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解析】解：当m＝﹣3时，原式＝（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【例1.3】（2025•萧山区一模）已知2x+1＝﹣2，则代数式2x2+x﹣1的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【思路点拨】将代数式的前两项提取公因式并将2x+1＝﹣2代入，得到﹣（2x+1）并再次将2x+1＝﹣2代入求值即可． 【解析】解：∵2x+1＝﹣2， ∴2x2+x﹣1 ＝x（2x+1）﹣1 ＝﹣2x﹣1 ＝﹣（2x+1） ＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 【例1.3】（2025•泗洪县一模）若，则a0+a2+a4的值为（　　） A．82 B．81 C．42 D．41 【思路点拨】将x＝﹣1代入可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1，将x＝1代入可得a0+a1+a2+a3+a4＝81，将两式相加计算即可． 【解析】解：当x＝﹣1时， a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1， 当x＝1时， a0+a1+a2+a3+a4＝81， 两式相加可得2（a0+a2+a4）＝82， 则a0+a2+a4＝41， 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，将x＝﹣1和x＝1代入原等式中计算是解题的关键． ■考点二　整式的有关概念► 【例2.1】（2025•中山市校级模拟）单项式﹣12x3y的次数是（　　） A．4 B．3 C．5 D．﹣12 【思路点拨】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解析】解：根据单项式定义得：﹣12x3y的次数为：3+1＝4． 故选：A． 【点睛】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略． 【例2.2】（2025•红花岗区二模）下列式子中，a2b的同类项是（　　） A．x2﹣1 B．x2y C．2b2a D． 【思路点拨】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解析】解：A、所含项数不同，不是同类项； B、所含字母不相同，不是同类项； C、相同字母的指数不相同，不是同类项； D、符合同类项的定义，是同类项； 故选：D． 【点睛】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【例2.3】（2025•江城区一模）多项式2a2﹣3b+ab2的次数是　3　 ． 【思路点拨】根据多项式次数的定义求解． 【解析】解：多项式2a2﹣3b+ab2中最高次项是ab2，次数是3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． ■考点三　整式的运算► 【例3.1】（2025•沿河县三模）下列运算结果正确的是（　　） A．a+2b＝3ab B．﹣（2﹣4a）＝4a﹣2 C．﹣3（a﹣3）＝﹣3a+3 D．﹣3ab﹣2ab＝﹣ab 【思路点拨】根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【解析】解：A、a+2b≠3ab，故A错误； B、﹣（2﹣4a）＝4a﹣2，故B正确； C、﹣3（a﹣3）＝﹣3a+9≠﹣3a+3，故C错误； D、﹣3ab﹣2ab＝﹣5ab≠﹣ab，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 【例3.2】（2025•十堰二模）计算（﹣a2）•a3的结果是（　　） A．a6 B．﹣a6 C．﹣a5 D．a5 【思路点拨】利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可． 【解析】解：（﹣a2）•a3＝﹣a2+3＝﹣a5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则并灵活运用． 【例3.3】（2025•吉林）计算（2a2）3的结果为（　　） A．2a5 B．2a6 C．8a5 D．8a6 【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可． 【解析】解：（2a2）3＝23•（a2）3＝8a6． 故选：D． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键． 【例3.4】（2025•云南）下列计算正确的是（　　） A．x+2x＝3x2 B．x2•x3＝x5 C．x6÷x2＝x D．（xy）2＝xy2 【思路点拨】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方法则逐项判断即可． 【解析】解：x+2x＝3x，则A不符合题意， x2•x3＝x5，则B符合题意， x6÷x2＝x4，则C不符合题意， （xy）2＝x2y2，则D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【例3.5】（2025•甘孜州）下列计算正确的是（　　） A．3（a+2）＝3a+6 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a+a2＝a3 D．（ab）2＝a2b 【思路点拨】利用完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，幂的乘方与积的乘方计算． 【解析】解：3（a+2）＝3a+6，（a+b）2＝a2+2ab+b2，a+a2＝a+a2，（ab）2＝a2b2， 选项A正确，符合题意，选项BCD错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，幂的乘方与积的乘方运算法则． 【例3.6】（2025•烟台）下列计算正确的是（　　） A．2x2+x3＝3x5 B．2x2•x3＝2x5 C．2x3÷（﹣x2）＝2x D．（2x2）3＝2x6 【思路点拨】根据合并同类项、同底数幂的乘除法与积的乘方的计算法则进行计算即可． 【解析】解：A．2x2和x3不是同类项，不能进行计算，故选项A不符合题意； B．2x2•x3＝2x5，故选项B符合题意； C．2x3÷（﹣x2）＝﹣2x，故选项C不符合题意； D．（2x2）3＝8x6，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决问题的关键． 【例3.7】（2025•兰州）计算：（a+2）（a﹣2）+a（3﹣a）． 【思路点拨】利用平方差公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可． 【解析】解：原式＝a2﹣4+3a﹣a2 ＝3a﹣4． 【点睛】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【例3.8】（2025•包河区三模）化简：（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣y）2． 【思路点拨】利用平方差及完全平方公式展开，然后去括号后合并同类项即可． 【解析】解：原式＝x2﹣9y2﹣（x2﹣2xy+y2） ＝x2﹣9y2﹣x2+2xy﹣y2 ＝2xy﹣10y2． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． ■考点四　整式的化简求值► 【例4.1】（2025•常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中． 【思路点拨】首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【解析】解：原式＝x2+2x+x2﹣2x+1 ＝2x2+1， 当时，原式＝． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 【例4.2】（2024•长沙）先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m＝． 【思路点拨】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解析】解：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3） ＝2m﹣m2+2m+m2﹣9 ＝4m﹣9， 当m＝时，原式＝4×﹣9＝10﹣9＝1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【例4.3】（2025•长沙模拟）先化简，再求值：[（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y）2]÷2y，其中x＝2，y＝﹣5． 【思路点拨】先算括号内的乘法和乘方，再合并同类项，算除法，最后代入数值求出即可． 【解析】解：[（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y）2]÷2y ＝[4x2﹣y2﹣4x2﹣4xy﹣y2]÷2y ＝[﹣4xy﹣2y2]÷2y ＝﹣2x﹣y， 当x＝2，y＝﹣5时， 原式＝﹣2×2﹣（﹣5）＝1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． ■考点五　因式分解► 【例5.1】（2025•鼓楼区一模）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【思路点拨】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【解析】解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； B．右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； D．符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算． 【例5.2】（2025•庆元县一模）因式分解：x2﹣x＝x（x﹣1）　 ． 【思路点拨】提取公因式x即可． 【解析】解：x2﹣x＝x（x﹣1）． 故答案为：x（x﹣1）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键． 【例5.3】（2025•广西）因式分解：a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2 【思路点拨】根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 故选：A． 【点睛】本题考查公式法分解因式，掌握平方差公式是正确解答的关键． 【例5.4】（2025•芗城区校级模拟）因式分解：x2﹣6x+9＝　（x﹣3）2 ． 【思路点拨】直接运用完全平方公式进行因式分解即可． 【解析】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键． 【例5.5】（2025•无锡）分解因式a3﹣4a的结果是（　　） A．a（a2+4） B．a（a﹣4） C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1） 【思路点拨】将原式提取公因式后再利用平方差公式因式分解即可． 【解析】解：原式＝a（a2﹣4） ＝a（a+2）（a﹣2）， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． ■考点六　数式的规律探究► 【例6.1】（2025•绵阳）观察下列单项式：﹣xy，x2y3，﹣x3y5，x4y7，⋯，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（　　） A．﹣x15y27 B．﹣x15y29 C．x13y27 D．x13y29 【思路点拨】先找出规律，再得出第15个单项式． 【解析】解：观察可得，从左到右第n个单项式是（﹣1）nxny2n﹣1， ∴第15个单项式是﹣x15y29， 故选：B． 【点睛】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 【例6.2】（2025•青海）如图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 　35或243　 ． 【思路点拨】找到图形的变化规律，即可得出答案． 【解析】解：∵第1个图案中有30＝1个， 第2个图案中有31＝3个， 第3个图案中有32＝9个， 第4个图案中有33＝27个， …， 按此规律，第⑥个图案中有35＝243个涂有阴影的三角形． 故答案为：35或243． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，正确找出规律是解题的关键． ( 巩固训练 ) 1．（2025•长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（　　） A．6m B．m+10 C．60m D．10m 【思路点拨】根据每个机械手摘的数量乘机械手的数量，即可求出m（m＞1）个机械手平均每分钟可以采摘的苹果数． 【解析】解：m（m＞1）个机械手每分钟采摘苹果：10m， 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式，解题的关键是理解题意，根据数量关系列代数式． 2．（2025•上城区校级三模）如果代数式x2﹣2x+5的值为3，那么代数式2x﹣x2的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【思路点拨】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解析】解：∵x2﹣2x+5＝3， ∴x2﹣2x＝﹣2， ∴当x2﹣2x＝﹣2时，原式＝﹣（x2﹣2x）＝﹣（﹣2）＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 3．（2025•浦东新区二模）下列单项式中，ab3的同类项是（　　） A．5ab3 B．﹣a3b C．a2b3 D．﹣a2b2 【思路点拨】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解析】解：A、符合同类项的定义，是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、相同字母的指数不相同，不是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：A． 【点睛】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 4．（2025•湖州一模）下列计算正确的是（　　） A．3a+2a＝5a2 B．3a2﹣2a＝a C．3a+2b＝5ab D．3ab﹣ba＝2ab 【思路点拨】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解析】解：A、3a+2a＝5a≠5a2，故A错误； B、3a2﹣2a≠a，故B错误； C、3a+2b≠5ab，故C错误； D、3ab﹣ba＝2ab，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 5．（2025•陕西）计算2a2•ab的结果为（　　） A．4a2b B．4a3b C．2a2b D．2a3b 【思路点拨】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解析】解：2a2•ab＝2a3b． 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 6．（2025•徐州）下列运算正确的是（　　） A．3a2﹣2a2＝1 B．（a2）3＝a5 C．（3a）2＝6a2 D．a2•a4＝a6 【思路点拨】根据同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法计算即可． 【解析】解：A、3a2﹣2a2＝a2，错误； B、（a2）3＝a6，错误； C、（3a）2＝9a2，错误； D、a2•a4＝a6，正确； 故选：D． 【点睛】此题考查同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，关键是根据法则进行计算． 7．（2025•万山区模拟）多项式a3﹣ab2因式分解的结果为（　　） A．a（a2﹣b2） B．a2（a﹣b2） C．ab（a﹣b） D．a（a+b）（a﹣b） 【思路点拨】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解析】解：a3﹣ab2 ＝a（a2﹣b2） ＝a（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2025•青岛）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．（2xy）2＝2x2y2 D．x8÷x4＝x4 【思路点拨】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方法则逐项判断即可． 【解析】解：x2与x3不是同类项，无法合并，则A不符合题意， x2•x3＝x5，则B不符合题意， （2xy）2＝4x2y2，则C不符合题意， x8÷x4＝x4，则D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 9．（2025•长沙模拟）下列运算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（ab3）2＝a2b6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 【思路点拨】根据同底数幂的乘法可以判断A；根据积的乘方可以判断B；根据完全平方公式可以判断C和D． 【解析】解：a3•a2＝a5，故选项A错误，不符合题意； （ab3）2＝a2b6，故选项B正确，符合题意； （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C错误，不符合题意； （a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用． 10．（2025•金水区模拟）对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【思路点拨】先利用平方差公式因式分解可得（2n+1）2﹣25＝4（n﹣2）（n+3），因此对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，据此即可得出答案． 【解析】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3）， ∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数， ∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除， 故选：B． 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 11．（2025•浙江模拟）请写出一个同时符合下述条件的代数式　﹣b3 ．（写出一个即可）： ①是一个3次单项式； ②它的系数是一个负数． 【思路点拨】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．单独一个数字也是单项式． 【解析】解：根据题意写出的一个代数式是﹣b3， 故答案为：﹣b3． 【点睛】本题考查了单项式和列代数式，解题的关键是根据单项式系数、次数的定义来求解． 12．（2025•浙江模拟）已知x+2y＝﹣1，则x2﹣4y2+2x的值为 　﹣1　 ． 【思路点拨】先利用平方差公式将x2﹣4y2+2x变形为（x+2y）（x﹣2y）+2x，再将x+2y＝﹣1整体代入得x+2y，再次整体代入即可得出答案． 【解析】解：根据题意可知， 原式＝（x+2y）（x﹣2y）+2x ＝﹣1×（x﹣2y）+2x ＝x+2y ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了代数式求值，掌握代数式求值的方法是根据． 13．（2025•三台县模拟）若单项式xy3的系数是m，次数是n，则m+n＝　　 ． 【思路点拨】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解析】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，4，所以m+n＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 14．（2025•庄浪县一模）因式分解2m2﹣4m+2＝　2（m﹣1）2 ． 【思路点拨】直接提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可． 【解析】解：原式＝2（m2﹣2m+1） ＝2（m﹣1）2． 故答案为：2（m﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 15．（2025•内江）已知实数a，b满足a+b＝2，则a2﹣b2+4b＝　4　 ． 【思路点拨】利用平方差公式将原式变形后代入数值计算，然后将其整理后再代入数值计算即可． 【解析】解：∵a+b＝2， ∴a2﹣b2+4b ＝（a+b）（a﹣b）+4b ＝2（a﹣b）+4b ＝2a﹣2b+4b ＝2a+2b ＝2（a+b） ＝2×2 ＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查平方差公式，将原式进行正确地变形是解题的关键． 16．（2025•湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6． 【思路点拨】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解析】解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x） ＝x2﹣4+x﹣x2 ＝x﹣4， 当x＝6时，原式＝6﹣4＝2． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（2025•海港区一模）对于任意数a、b，规定：a⊕b＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣b3．等式右边是通常的加，减法，乘法及乘方运算． 例：（﹣2）⊕3＝（﹣2+3）[（﹣2）2﹣（﹣2）×3+32]﹣33 ＝1×19﹣27 ＝19﹣27 ＝﹣8 （1）求（﹣2）⊕（﹣4）的值； （2）嘉嘉说，无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关．嘉嘉说的对吗？并说明理由． 【思路点拨】（1）按照定义的运算规则代入数值计算即可； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，判断即可得解． 【解析】解：（1）原式＝（﹣2﹣4）[（﹣2）2﹣（﹣2）×（﹣4）+（﹣4）2]﹣（﹣4）3 ＝﹣6×12+64 ＝﹣8； （2）嘉嘉说的对，理由如下： ∵原式＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣b3 ＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3﹣b3 ＝a3， ∴无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关． 【点睛】本题考查了新定义运算、整式的混合运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 18．（2025•西和县模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2． 【思路点拨】先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可． 【解析】解：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y） 原式＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣x2+4xy ＝4x2+3y2， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝4×（﹣1）2+3×22 ＝4+12 ＝16． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 19．（2025•凤阳县三模）观察下面的一系列等式： 第1个等式：1×（1+2）＝1×3＝3＝22﹣1； 第2个等式：2×（2+3）＝2×5＝10＝32+1； 第3个等式：3×（3+4）＝3×7＝21＝42+5； 第4个等式：4×（4+5）＝4×9＝36＝52+11；⋯ 根据以上规律，回答下列问题： （1）写出第5个等式； （2）直接写出第n个等式（用含n的式子表示）． 【思路点拨】观察左边结构：每个等式左边均为n×（n+（n+1）），即n×（2n+1）．分析右边形式：右边为（n+1）2加上一个数，需找出该数的规律． 规律推导：通过观察右边的数列﹣1，1，5，11，发现其差值构成等差数列，从而推导出通项公式． 【解析】解：（1）第5个等式左边计算：5×（5+6）＝5×11＝55． 右边平方数：对应（5+1）2＝62＝36． 根据规律，第5个数为52﹣5﹣1＝19． ∴第5个等式：55＝62+19． （2）左边统一形式：n×[n+（n+1）]＝n×（2n+1）． 右边平方数：（n+1）2． 通过规律推导得n2﹣n﹣1． ∴第n个等式：n×（2n+1）＝（n+1）2+（n2﹣n﹣1）． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解题的关键是找到规律． 20．（2025•昆明模拟）阅读理解：已知4a﹣b＝1，求代数式2（a﹣b）+3（2a﹣b）的值． 解：因为4a﹣b＝1，所以原式＝． 仿照以上解题方法，完成下面的问题： （1）已知a﹣b＝﹣3，求3（a﹣b）﹣a+b+1的值； （2）已知a2+2ab＝2，ab﹣b2＝1，求2a2+5ab﹣b2的值． 【思路点拨】（1）把（a﹣b）看成一个整体，先变形要求值代数式，再整体代入； （2）可变形已知，整体代入求值． 【解析】解：（1）3（a﹣b）﹣a+b+1 ＝3（a﹣b）﹣（a﹣b）+1 ＝2（a﹣b）+1． 当a﹣b＝﹣3时， 原式＝2×（﹣3）+1 ＝﹣6+1 ＝﹣5． （2）法一、∵a2+2ab＝2，ab﹣b2＝1， ∴2a2+4ab＝4， ∴2a2+4ab+ab﹣b2＝5． 即2a2+5ab﹣b2＝5． 法二、∵a2+2ab＝2，ab﹣b2＝1， ∴a2＝2﹣2ab，﹣b2＝1﹣ab． ∴2a2+5ab﹣b2＝2（2﹣2ab）+5ab+1﹣ab ＝4﹣4ab+5ab+1﹣ab ＝5． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则和整体的思想方法是解决本题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $