备战2026年浙江中考数学一轮复习第1讲 实数与二次根式（讲义）

该初中数学讲义聚焦中考“实数与二次根式”核心模块，覆盖有理数、实数概念、运算、科学记数法及二次根式等课标要求考点，通过知识清单系统梳理分类、性质、运算等内在联系，设计“考点精析+真题示例+巩固训练”教学流程，助力学生突破概念辨析、运算技巧等难点。 亮点在于融入数学核心素养培养，如通过科学记数法例题强化抽象能力，二次根式化简题提升运算能力，设置基础到挑战的分层训练。特设5分钟真题限时练与即时反馈，帮助教师精准把控复习节奏，有效提升学生应试技能与数学思维。

备战2026年浙江中考数学一轮复习 讲义 第一单元 数与式 第1讲 实数与二次根式 ( 课标要求 ) (1)有理数 ①理解负数的意义;理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小。 ②借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 ③理解乘方的意义。 ④掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主);理解有理数的运算律,能运用运算律简化运算。5能运用有理数的运算解决简单问题。 (2)实数 ①了解无理数和实数,知道实数由有理数和无理数组成,了解实数与数轴上的点一一对应。 ②能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小。 ③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求实数的相反数和绝对值。 ④了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 ⑤了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根,会用计算器计算平方根和立方根。 ⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围。 ⑦了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算。 ⑧了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1.实数的分类: (1)按实数的定义分类: (2) 按实数的性质分类: 2.实数的有关概念 (1)数轴:规定了 、 和 的直线叫做数轴. 与数轴上的点一一对应. (2)相反数:如果两个数只有 不同,那么我们称其中一个数是另一个数的相反数.0的相反数是_ .若a,b互为相反数,则a+b= .在数轴上,表示相反数的两个数的点位于原点左右两侧,且到原点的距离相等 (3)倒数:1 一个不等于零的实数所得的商,叫做这个数的倒数.若a,b互为倒数,则ab= . 没有倒数.倒数等于本身的数是 (4)绝对值:一个数在数轴上对应的点到原点的 叫做这个数的绝对值. |a|是一个非负数,即|a| . (5)平方根、算术平方根、立方根: 若x2=a(a≥0),则x是a的平方根,正数a有两个平方根,记做 ,0的平方根是 ,负数没有平方根.其中是a的算术平方根,0的算术平方根是0. 若x3=a,则x是a的立方根,任何数都有立方根,a的立方根是3,正数有一个正立方根;0的立方根是0;负数有一个负立方根. 3.科学记数法与近似数 (1)科学记数法: 科学记数法就是把一个数表示成 的形式. 当原数绝对值大于10时,写成a 10n的形式,其中1≤|a|<10,n等于原数的整数位数减1; 当原数绝对值小于1时,写成a 10-n的形式,其中1≤|a|<10,n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数(包括小数点前面的零). (2)近似数:一个近似数 到哪一位,就说这个数精确到哪一位. 注:近似数小数点后的末位数是0的,不能去掉0 4.实数的运算 (1)运算律: 加法交换律:a+b= ; 加法结合律:(a+b)+c= ; 乘法交换律:ab= ; 乘法结合律:(ab)c= ; 分配律:a(b+c)= . (2)实数的运算顺序: 实数的运算顺序是先算 ,再算 ,最后算 .如果有括号,一般先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算 ,同级运算应 依次进行. (3)零指数幂、负整数指数幂: 任何不等于零的数的零次幂都等于1,即a0= (a≠0).任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂,等于这个数的p次幂的倒数,即a-p= (a≠0,p是正整数). 5.实数的大小比较 (1)数轴比较法:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的 . (2)作差比较法:设a,b是任意实数,则a-b>0 ;a-b<0 ;a-b=0 . 6.二次根式 二次根式的有关概念:形如 的式子叫二次根式. 二次根式有意义的条件:(1)二次根式中的被开方数必须是 ; (2)如果所给式子中含有分母,那么除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母 。 二次根式的性质: (1)双重非负性:≥0(a≥0). (2)()2= (a≥0). (3)=|a|= (4)= (a≥0,b≥0) (5)= (a≥0,b>0). 最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. ①被开方数的因数是 ,因式是 ; ②被开方数中不含能开的尽方的 或 . 二次根式的运算:二次根式的乘法法则:•= (a≥0,b≥0). 二次根式的除法法则:= (a≥0,b>0). 二次根式的加减法法则:一般先把二次根式化为 ,再把同类二次根式 . (1)同类二次根式:一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数 ,那么把这几个二次根式叫做同类二次根式。 (2)合并同类二次根式的方法:只合并根式外的因式,即系数相加减,被开方数和根指数不变。 二次根式的混合运算顺序:先乘方再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的。 ( 考点精析 ) 考点一 实数的相关概念 【例1.1】(2025•齐齐哈尔)《九章算术》是我国古代著名的数学著作,在世界数学史上首次正式引入负数.若收入10元记作+10元,则支出10元记作( ) A.+10元 B.﹣10元 C.0元 D.+20元 【例1.2】(2025•东昌府区二模)的相反数是( ) A.﹣2 B. 2 C.4 D. 4 【例1.3】(2025•大庆)﹣2025的绝对值是( ) A.2025 B. C.﹣2025 D.﹣ 【例1.4】(2025•哈尔滨)的倒数是( ) A. B.﹣2 C.﹣ D.2 考点二 实数的分类 【例2.1】(2025•竞秀区一模)下列算式中,运算结果为负数的是( ) A.﹣22 B.|﹣2| C.﹣(﹣2) D. 【例2.2】(2025•鼓楼区一模)给出下列实数:,,,,4.,,0.1,其中无理数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【例2.3】(2025•松原模拟)下面5个数:﹣3.1,,,2 ,0,其中是有理数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点三 平方根与立方根 【例3.1】(2025•济南模拟)36的平方根是( ) A. 6 B.6 C.﹣6 D. 【例3.2】(2025•巢湖市模拟)的算术平方根是 . 【例3.3】(2025•眉山)﹣27的立方根是 . 考点四 实数大小的比较 【例4.1】(2025•萧山区一模)如图,数轴上点P,Q,M,N所表示的数中,绝对值最大的是( ) A.P B.Q C.M D.N 【例4.2】(2024•梅州一模)下列各数中最大的负数是( ) A. B. C.﹣5 D.﹣3 【例4.3】(2025•旌阳区二模)在0,﹣2,, 四个数中,绝对值最小的数是( ) A.0 B.﹣2 C. D. 考点五 科学计数法 【例5.1】(2025•海南)2025年“五一”期间,海南省旅文厅在全岛推出26场体育赛事活动,拉动相关消费约6500万元.数据65000000用科学记数法表示为( ) A.6.5 106 B.6.5 107 C.0.65 106 D.0.65 107 【例5.2】(2025•威海)据央视网2025年4月19日消息,复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”.“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写.一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为( ) A.4 10﹣10秒 B.4 10﹣11秒 C.4 10﹣12秒 D.40 10﹣12秒 考点六 实数的运算 【例6.1】(2025•白城模拟)下面四个算式的计算结果为负数的是( ) A.(﹣1)﹣(﹣2) B.(﹣1) (﹣2) C.(﹣1)+(﹣2) D.(﹣1) (﹣2) 【例6.2】(2025•陕西)计算:﹣4 3+. 【例6.3】(2025•涿州市一模)数学老师为了优化同学们的运算思维,提高数学运算能力,复习有理数综合运算时,布置了一道有意思的计算题:请用不同解法计算. 刘聪和他的小伙伴选择常规解法:; 张明开动脑筋,经过观察算式特点,和同学们深入分析、探究,又找到了下面这种解法: 原式的倒数=. 所以,原式=. (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法,你喜欢哪位同学的解法?为什么? (2)请选择你喜欢的解法计算:. 考点七 二次根式 【例7.1】(2025•连云港)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是( ) A.x≤1 B.x≥1 C.x≤﹣1 D.x≥﹣1 【例7.2】(2025•永嘉县三模)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【例7.3】(2025•泉港区一模)计算:= . 【例7.4】(2025•增城区模拟)则下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【例7.5】(2025•崆峒区校级三模)计算:. ( 巩固训练 ) 1.(2025•云南)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若收入10元记作+10元,则支出5元可记作( ) A.﹣5元 B.5元 C.﹣10元 D.10元 2.(2025•任泽区一模)下列与1互为相反数的是( ) A.1 B.|﹣1| C.(﹣1)2025 D.﹣(﹣1) 3.(2024•陕西)﹣3的倒数是( ) A.﹣ B. C.﹣3 D.3 4.(2025•清城区校级模拟)﹣的绝对值是( ) A. B.﹣ C. D. 5.(2025•东莞市一模)下列计算结果为0的是( ) A.3﹣(﹣3) B.﹣|﹣3|﹣3 C.1+(﹣1)2005 D.﹣22﹣(﹣2)2 6.(2025•海南)2025年“五一”期间,海南省旅文厅在全岛推出26场体育赛事活动,拉动相关消费约6500万元.数据65000000用科学记数法表示为( ) A.6.5 106 B.6.5 107 C.0.65 106 D.0.65 107 7.(2025•三台县一模)下列说法正确的是( ) A.4的平方根是2 B.8的立方根是 2 C.=﹣3 D.﹣6没有平方根 8.(2025•莆田模拟)下列实数中,属于无理数的是( ) A. B. C.0.213 D. 9.(2025•万山区模拟)下列四个数中,最大的数是( ) A.0 B. C.﹣4 D. 10.(2025•保定模拟)下列计算结果最小的是( ) A. B. C. D. 11.(2025•陕西模拟)的算术平方根是 3 . 12.(2025•湖南)化简= . 13.(2025•上海)已知我国通过科技,研究出了一种超皮秒工具,进行一次擦除仅仅需要400皮秒,已知1皮秒等于1 10﹣12秒,那么这个工具1秒可以擦除 次(用科学记数法表示). 14.(2025•高州市模拟)一个正数的两个平方根分别为2m﹣1与2﹣m,则m的值为 . 15.(2025•重庆)若n为正整数,且满足n<<n+1,则n= . 16.(2025•凉山州)若式子在实数范围内有意义,则m的取值范围是 . 17.(2025•连云港)计算. 18.(2025•翁源县一模)计算:. 19.(2025•甘肃)计算:﹣ . 20.(2025•任泽区一模)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用白纸“”遮盖了其中部分算式. 计算:. 解:原式= =… (1)直接写出白纸“”遮盖的算式,并求出这部分算式的结果; (2)请参考黑板上的解法,并用这种方法计算:. 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第1讲 实数与二次根式 ( 课标要求 ) (1)有理数 ①理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 ②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 ③理解乘方的意义。 ④掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主);理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。5能运用有理数的运算解决简单问题。 (2)实数 ①了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。 ②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 ③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。 ④了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 ⑤了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 ⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围。 ⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。 ⑧了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．实数的分类： （1）按实数的定义分类： （2） 按实数的性质分类： 2.实数的有关概念 (1)数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴． 实数与数轴上的点一一对应． (2)相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是__0 ．若a，b互为相反数，则a＋b＝ 0 ．在数轴上，表示相反数的两个数的点位于原点左右两侧，且到原点的距离相等 (3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．若a，b互为倒数，则ab＝1． 0 没有倒数．倒数等于本身的数是1或－1 (4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． |a|是一个非负数，即|a|≥0． (5)平方根、算术平方根、立方根： 若x2＝a(a≥0)，则x是a的平方根，正数a有两个平方根，记做±，0的平方根是0，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是0． 若x3＝a，则x是a的立方根，任何数都有立方根，a的立方根是3，正数有一个正立方根；0的立方根是0；负数有一个负立方根. 3.科学记数法与近似数 (1)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 (1≤|a|＜10)的形式． 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1； 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. (2)近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位． 注：近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 4.实数的运算 (1)运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac． (2)实数的运算顺序： 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行． (3)零指数幂、负整数指数幂： 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)．任何不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即a－p＝(a≠0，p是正整数)． 5.实数的大小比较 (1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 大 ． (2)作差比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b． 6.二次根式 二次根式的有关概念：形如(a≥0)的式子叫二次根式． 二次根式有意义的条件：（1）二次根式中的被开方数必须是非负数； （2）如果所给式子中含有分母，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。 二次根式的性质： (1)双重非负性：≥0(a≥0). (2)()2＝a(a≥0)． (3)＝|a|＝ (4)＝•(a≥0，b≥0) (5)＝(a≥0，b＞0)． 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式. 二次根式的运算：二次根式的乘法法则：•＝(a≥0，b≥0)． 二次根式的除法法则：＝(a≥0，b＞0). 二次根式的加减法法则：一般先把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． （1）同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么把这几个二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。 二次根式的混合运算顺序：先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。 ( 考点精析 ) ■考点一　实数的相关概念► 【例1.1】（2025•齐齐哈尔）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入10元记作+10元，则支出10元记作（　　） A．+10元 B．﹣10元 C．0元 D．+20元 【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若收入10元记作+10元，则支出10元记作﹣10元． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【例1.2】（2025•东昌府区二模）的相反数是（　　） A．﹣2 B．±2 C．4 D．±4 【思路点拨】先求出，再利用相反数的定义即可得出答案． 【解析】解：易知：， 而2的相反数是﹣2， ∴的相反数是﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，解题的关键是掌握相反数的定义． 【例1.3】（2025•大庆）﹣2025的绝对值是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D．﹣ 【思路点拨】根据绝对值的定义即可解决问题． 【解析】解：由题知， ﹣2025的绝对值是2025． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键． 【例1.4】（2025•哈尔滨）的倒数是（　　） A． B．﹣2 C．﹣ D．2 【思路点拨】根据倒数的定义求解． 【解析】解：的倒数是2， 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数是关键． ■考点二　实数的分类► 【例2.1】（2025•竞秀区一模）下列算式中，运算结果为负数的是（　　） A．﹣22 B．|﹣2| C．﹣（﹣2） D． 【思路点拨】先根据乘方、绝对值、相反数、算术平方根对各数进行化简，再由正数和负数的定义判断即可． 【解析】解：A、﹣22＝﹣4，运算结果为负数，符合题意； B、|﹣2|＝2，运算结果为正数，不符合题意； C、﹣（﹣2）＝2，运算结果为正数，不符合题意； D、，运算结果为正数，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数，掌握有理数的化简是关键． 【例2.2】（2025•鼓楼区一模）给出下列实数：，，，，4.，，0.1，其中无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【解析】解：是分数，＝2，＝2是整数，4.是无限循环小数，0.1是有限小数，它们不是无理数， ，是无限不循环小数，它们是无理数，共2个， 故选：A． 【点睛】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【例2.3】（2025•松原模拟）下面5个数：﹣3.1，，，2π，0，其中是有理数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解析】解：有理数有：﹣3.1，，＝1，0，共4个， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…相邻两个2之间0的个数逐次加1，等有这样规律的数． ■考点三　平方根与立方根► 【例3.1】（2025•济南模拟）36的平方根是（　　） A．±6 B．6 C．﹣6 D．± 【思路点拨】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根． 【解析】解：∵（±6）2＝36， ∴36的平方根是±6． 故选：A． 【点睛】此题考查了平方根的定义．此题注意一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数． 【例3.2】（2025•巢湖市模拟）的算术平方根是 　2　 ． 【思路点拨】根据算术平方根，即可解答． 【解析】解：＝4，4的算术平方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 【例3.3】（2025•眉山）﹣27的立方根是 　﹣3　 ． 【思路点拨】根据立方根的定义求解即可． 【解析】解：∵（﹣3）3＝﹣27， ∴＝﹣3 故答案为：﹣3． 【点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同． ■考点四　实数大小的比较► 【例4.1】（2025•萧山区一模）如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（　　） A．P B．Q C．M D．N 【思路点拨】先根据数轴的定义得出点P的范围，然后根据绝对值的意义围即可解答． 【解析】解：根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点P，Q，M，N的绝对值的范围可得： ﹣3＜|P|＜﹣2，Q＝﹣1，M＝1，N＝2， 则绝对值最大的是P． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值以及有理数大小比较，掌握数轴的定义是解题关键． 【例4.2】（2024•梅州一模）下列各数中最大的负数是（　　） A． B． C．﹣5 D．﹣3 【思路点拨】有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解析】解：|﹣|＝，|﹣|＝，|﹣5|＝5，|﹣3|＝3， ∵＜＜3＜5， ∴﹣＞﹣＞﹣3＞﹣5， ∴所给的各数中最大的负数是﹣． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 【例4.3】（2025•旌阳区二模）在0，﹣2，，π四个数中，绝对值最小的数是（　　） A．0 B．﹣2 C． D．π 【思路点拨】先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【解析】解：∵|0|＝0，|﹣2|＝2，||＝，|π|＝π， ∵0＜2＜π＜， ∴绝对值最小的数是0． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，能正确求出每个数的绝对值是解此题的关键． ■考点五　科学计数法► 【例5.1】（2025•海南）2025年“五一”期间，海南省旅文厅在全岛推出26场体育赛事活动，拉动相关消费约6500万元．数据65000000用科学记数法表示为（　　） A．6.5×106 B．6.5×107 C．0.65×106 D．0.65×107 【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解析】解：65000000＝6.5×107． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【例5.2】（2025•威海）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．4×10﹣10秒 B．4×10﹣11秒 C．4×10﹣12秒 D．40×10﹣12秒 【思路点拨】根据题意列式计算后再将结果利用科学记数法表示出来即可． 【解析】解：400×＝400×10﹣12＝4×10﹣10（秒）， 故选：A． 【点睛】本题考查科学记数法表示较小的数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． ■考点六　实数的运算► 【例6.1】（2025•白城模拟）下面四个算式的计算结果为负数的是（　　） A．（﹣1）﹣（﹣2） B．（﹣1）×（﹣2） C．（﹣1）+（﹣2） D．（﹣1）÷（﹣2） 【思路点拨】原式各项利用加减乘除法则计算得到结果，即可作出判断． 【解析】解：A、原式＝﹣1+2＝1，不合题意； B、原式＝2，不合题意； C、原式＝﹣3，符合题意； D、原式＝，不合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【例6.2】（2025•陕西）计算：﹣4×3+． 【思路点拨】先根据二次根式的性质和负整数指数幂的性质计算乘方，再算乘法，最后算加减即可． 【解析】解：原式＝﹣4×3+5+2 ＝﹣12+5+2 ＝﹣5． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和负整数指数幂的性质． 【例6.3】（2025•涿州市一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数＝． 所以，原式＝． （1）请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ （2）请选择你喜欢的解法计算：． 【思路点拨】（1）根据两人的解题步骤判断即可； （2）利用张明的解题方法，先求原式的倒数，继而求得答案． 【解析】解：（1）比较刘聪和张明两位同学的解法，我喜欢张明的解法，因为比较简便； （2）原式的倒数＝（﹣+）÷（﹣） ＝（﹣+）×（﹣） ＝×（﹣）﹣×（﹣）+×（﹣） ＝﹣2+1﹣ ＝﹣， 则原式＝﹣． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，理解题意及掌握相关运算法则是解题的关键． ■考点七　二次根式► 【例7.1】（2025•连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 【思路点拨】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解析】解：根据题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 【例7.2】（2025•永嘉县三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解析】解：A.＝3，故此选项不合题意； B．±＝±3，故此选项不合题意； C．＝﹣9，故此选项不合题意； D.＝9，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键． 【例7.3】（2025•泉港区一模）计算：＝　4　 ． 【思路点拨】根据平方差公式和二次根式的乘法法则来计算． 【解析】解：原式＝（）2﹣12， ＝5﹣1， ＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，应用平方差公式可以简化计算． 【例7.4】（2025•增城区模拟）则下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式的加减乘除运算法则逐项判断即可． 【解析】解：根据二次根式相关运算法则逐项分析判断如下： A、与的被开方数不同，不能合并，故本选项的运算错误； B、，故本选项的运算错误； C、与的被开方数不同，不能合并，故本选项的运算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算法则，熟练掌握该知识点是关键． 【例7.5】（2025•崆峒区校级三模）计算：． 【思路点拨】先算除法，再算加法即可． 【解析】解：原式＝4+2． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． ( 巩固训练 ) 1．（2025•云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作+10元，则支出5元可记作（　　） A．﹣5元 B．5元 C．﹣10元 D．10元 【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若收入10元记作+10元，则支出5元可记作﹣5元． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2．（2025•任泽区一模）下列与1互为相反数的是（　　） A．1 B．|﹣1| C．（﹣1）2025 D．﹣（﹣1） 【思路点拨】根据相反数的定义，即可作答． 【解析】解：﹣1与1互为相反数， （﹣1）2025＝﹣1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相反数及绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．（2024•陕西）﹣3的倒数是（　　） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 【思路点拨】根据倒数的定义进行解答即可． 【解析】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1， ∴﹣3的倒数是﹣． 故选：A． 【点睛】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数． 4．（2025•清城区校级模拟）﹣的绝对值是（　　） A． B．﹣ C．± D． 【思路点拨】根据绝对值的定义解答即可． 【解析】解：|﹣|＝． 故选：A． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 5．（2025•东莞市一模）下列计算结果为0的是（　　） A．3﹣（﹣3） B．﹣|﹣3|﹣3 C．1+（﹣1）2005 D．﹣22﹣（﹣2）2 【思路点拨】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解析】解：3﹣（﹣3）＝3+3＝6，故选项A不符合题意； ﹣|﹣3|﹣3＝﹣3﹣3＝﹣6，故选项B不符合题意； 1+（﹣1）2005＝1+（﹣1）＝0，故选项C符合题意； ﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．（2025•海南）2025年“五一”期间，海南省旅文厅在全岛推出26场体育赛事活动，拉动相关消费约6500万元．数据65000000用科学记数法表示为（　　） A．6.5×106 B．6.5×107 C．0.65×106 D．0.65×107 【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解析】解：65000000＝6.5×107． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 7．（2025•三台县一模）下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2 C．＝﹣3 D．﹣6没有平方根 【思路点拨】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可． 【解析】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意； B.8的立方根是2，因此选项B不符合题意； C.＝3，因此选项C不符合题意； D．﹣6没有平方根，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 8．（2025•莆田模拟）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.213 D． 【思路点拨】根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【解析】解：在，，0.213，中，无理数是， 故选：A． 【点睛】本题考查无理数，熟记无理数的定义是解题的关键． 9．（2025•万山区模拟）下列四个数中，最大的数是（　　） A．0 B． C．﹣4 D． 【思路点拨】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解析】解：∵﹣4＜0＜， ∴最大的数是：． 故选：D． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解题的关键． 10．（2025•保定模拟）下列计算结果最小的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据有理数运算法则分别计算并比较大小即可． 【解析】解：A、原式＝6×﹣6×＝2﹣3＝﹣1； B、原式＝6×+6×＝2+3＝5； C、原式＝﹣6×+6×＝﹣2+3＝1； D、原式＝﹣6×﹣6×＝﹣2﹣3＝﹣5， ∵5＞1＞﹣1＞﹣5， ∴D选项最小， 故选：D． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，有理数的大小比较，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 11．（2025•陕西模拟）的算术平方根是 　3　 ． 【思路点拨】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案． 【解析】解：∵＝9， ∴的算术平方根是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义． 12．（2025•湖南）化简＝ 　　 ． 【思路点拨】把12写成3×4，再逆用二次根式的乘法法则进行化简即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题关键是熟练掌握如何化简二次根式． 13．（2025•上海）已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么这个工具1秒可以擦除　2.5×109 次（用科学记数法表示）． 【思路点拨】用1秒除以400皮秒，答案写成科学记数法即可． 【解析】解：这个工具1秒可以擦除1÷（400×1×10﹣12）＝2.5×109（次）． 故答案为：2.5×109． 【点睛】本题考查了科学记数法—表示较小的数，熟练掌握运算法则是关键． 14．（2025•高州市模拟）一个正数的两个平方根分别为2m﹣1与2﹣m，则m的值为 　﹣1　 ． 【思路点拨】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可． 【解析】解：由条件可知2m﹣1+2﹣m＝0， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，熟练掌握概念是关键． 15．（2025•重庆）若n为正整数，且满足n＜＜n+1，则n＝　5　 ． 【思路点拨】利用夹逼法估算无理数的大小即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵n＜＜n+1， ∴n＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键． 16．（2025•凉山州）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是m≥1　 ． 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【解析】解：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得： ， 解得：m≥1， ∴m的取值范围是m≥1， 故答案为：m≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 17．（2025•连云港）计算． 【思路点拨】利用有理数的乘法法则，算术平方根的定义，零指数幂计算后再算加减即可． 【解析】解：原式＝10﹣3﹣1 ＝7﹣1 ＝6． 【点睛】本题考查实数的运算，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（2025•翁源县一模）计算：． 【思路点拨】先根据绝对值的性质，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，数的乘方法则分别计算出各数，再计算加减即可． 【解析】解：原式＝1+4﹣1+3＝7． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 19．（2025•甘肃）计算：﹣×． 【思路点拨】先化简二次根式和计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可． 【解析】解：原式＝2﹣ ＝． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 20．（2025•任泽区一模）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式． 计算：． 解：原式＝ ＝… （1）直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果； （2）请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：． 【思路点拨】（1）根据乘法分配律即可求得答案； （2）利用乘法分配律计算即可． 【解析】解：（1）由题意可得遮盖的算式为， 则＝﹣； （2）原式＝×（﹣26）﹣×（﹣26）+×（﹣26） ＝﹣39+5﹣4 ＝﹣38． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $