宁夏青铜峡市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题(A)

青铜峡市第一中学2025-2026学年第一学期12月月考试卷 高 二 数学（A卷） 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列 ，则该数列的第36项为（ ） A. B. 36 C. D. 6 2．设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为( ). A. B. C. D. 4、已知等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 5. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 10.下列说法错误的有（    ） A．椭圆C：的焦点坐标为 B．双曲线C：的虚轴长是6 C．椭圆C:的焦点∆F1PF2的周长为16 D．圆和圆的公共弦所在直线方程为 11. 直线的方程为，若在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线与的交点坐标为，直线在y轴上的截距是 C. 已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，的方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共18分．） 12.已知数列的前n项和，且，则___________. 13. 已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为_______ 14.百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上的椭圆，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 16．已知∆ABC的三个顶点分别是，，. (1)求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； (2)求∆ABC的面积； (3)求∆ABC的外接圆的方程. 17．记分别为数列的前项和，其中，. （1）求的通项公式； （2）求. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19．已知点是离心率为的椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学12月月考答案A卷 1-8 CCCAC CBD 9. ABC 10.ABC 11.ABD 12..已知数列的前n项和，且，则___________. 8.答案： 解析：因为，所以，则. 当时，，不符合上式，所以 13. 已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为 A. 5 B. 4.5 C. 3.5 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为. 【详解】如图所示，过点作准线，垂足为， 则， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值. 故选：C 14．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 16．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； (2)求的面积； (3)求的外接圆的方程. 【答案】(1)边所在直线的方程：，垂直平分线的方程：； (2) (3) 【分析】（1）求出，利用点斜式求出边所在直线的方程，求出的中点坐标，再由点斜式计算可得； （2）求出及点到直线的距离，再由面积公式计算可得； （3）设的外接圆的方程为，代入点的坐标得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，，所以， 所以边所在直线的方程为，即， 又的中点为，即， 所以边垂直平分线的方程为，即； （2）因为， 又点到直线：的距离， 所以. （3）设的外接圆的方程为， 依题意可得，解得， 所以，即， 即的外接圆的方程为. 17. 记分别为数列的前项和，其中，. （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1） （2）1222 【解析】 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析求解，注意分和两种情况； （2）根据（1）中结果可得数列的通项公式，再利用分组求和法以及等差数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，则，又， 两式相减得； 且符合上式，所以 . 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （3）求出平面的法向量，再由向量法求解. 【小问1详解】 解：以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 可得，，，，由为棱的中点，得， 向量，， 故，又为平面的一个法向量， 又面， 所以平面. 【小问2详解】 向量，，. 设为平面的法向量，则，即， 令，得为平面一个法向量， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 向量，设平面的法向量， ，即，令，得为平面的一个法向量， 则. 19．已知点是离心率为的椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 【答案】(1) (2)直线和的斜率之积为定值； (3). 【分析】（1）由离心率及过点即可求出椭圆方程； （2）设，可得，从而可得，即可求解； （3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程． 【详解】（1）由题可得，，， 将代入椭圆方程得，，所以椭圆方程为； （2）依题意得在椭圆上，直线和的斜率和都存在且不为0， 设，所以，，， ，所以直线和的斜率之积为定值； （3）设直线的方程为，，， 由消去，整理得， ，则，则，， ， 点到直线的距离为， ，，即，此时直线的方程为.    学科网（北京）股份有限公司 $