25.4 一次函数的应用（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

25.4一次函数的应用 题型一 分配方案问题 1．（21-22八年级·上海·假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【答案】A 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 2．（八年级下·上海·期末）某公司手机话费收费有 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）和 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）两种．当月通话时间为（    ）时，， 两种套餐收费一样． A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟 【答案】C 【分析】根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式，再根据两种收费相同列出方程，求解即可． 【详解】A套餐的收费方式：y1＝0.1x＋15； B套餐的收费方式：y2＝0.15x； 由0.1x＋15＝0.15x，得到x＝300， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键． 3．（八年级下·上海·期末）经开区新时代文明实践“五进企业”系列活动----新春游园会成功矩形，这次新春游园会的门票分为个人票和团体票两大类其中个人票设置有三种，票得种类 夜票(A) 平日普通票（B）指定日普通票（C）某社区居委会欲购买个人票100张,其中B种票的张数是A种票的3倍还多8张，设购买A种票的张数为x，C种票张数为y，则化简后y与x之间的关系式为： （不必写出x的取值范围） 【答案】 【分析】根据题意，A种票的张数为x张，则B种票（3x+8）张，C种为y张，由总数为100张，列出等式即可. 【详解】解：由题可知，， ∴. 故答案为. 4．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式： （1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解； （2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 题型二 最大利润问题 1．（八年级下·上海·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 2．（八年级下·上海·月考）某超市以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.3元，直至全部售完．销售金额y与售出西瓜的千克数x之间的关系如图所示，那么超市销售这批西瓜一共赚了（　　） A．20元 B．32元 C．35元 D．36元 【答案】B 【分析】通过审题，发现题目中不知道购进的西瓜重量，而问题一共赚了多少元，由出售的总价格-进货的总价格=赚了多少和右图所示出售的总价格是72元，那么可以用一次函数求出购进的西瓜重重，就可以求出进货的总价格； 【详解】解：由图可求：60÷40=1.5元， 由于后来每千克降价0.3元，可以求后来的出售的西瓜重量：（72-60）÷（1.5-0.3）=10 （千克） 所有进货的总重量：10+40=50 （千克）； 所以进货总进价：50×0.8=40 （元） 赚了：出售总价格-进货总价格=72-40=32 （元） 故选B． 【点睛】考查一次函数的应用，经济问题相关公式，看图分析问题能力；要理解题目意思和看懂图中的信息，易错点是：看懂图中的信息，把两次不同价格出售的西瓜重量加起来． 3．（上海金山·一模）某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是 元． 【答案】6600 【分析】根据图象求出线段AB的解析式，求出当x=8时的y值，再根据利润公式计算即可． 【详解】解：设线段AB的解析式为y=kx+b，点A、B的坐标代入，得 ，解得， ∴y=-600x+7000， 当x=8时，y=， ∴这天销售苹果的盈利是=6600（元）， 故答案为：6600． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象求出线段AB的解析式是解题的关键． 4．（24-25八年级下·上海·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， （2）解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 题型三 行程问题 1．（22-23八年级上·上海·月考）如图，分别表示甲、乙两名学生步行中的路程和时间的关系的图像，根据图像判断甲、乙两名学生的速度（ ） A．乙快 B．甲快 C．两人一样快 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，需注意函数图像中交点表示的实际意义． 由图中可知，函数图像都是直线，说明甲乙同学都是匀速前进的，结合交点的实际意义即可做出判断． 【详解】点表示甲、乙两同学相遇，点和点分别表示甲、乙两同学的出发点．由图中可以得知乙同学原本在甲的前方，但是两人同时在点相遇． ∵，， ∴甲速度快于乙速度 ． 故选：B． 2．（八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．    有下列结论：①两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲；④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了．其中正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题意用待定系数法分别求出甲、乙的函数关系，图形结合分析即可求解． 【详解】解：根据题意可知，设甲车行驶的时间与离开城的距离的函数关系为， ∴当时，，则， ∴甲的函数关系式为， 设乙车行驶的时间与离开城的距离的函数关系为， ∴当时，；当时，； ∴，解得，， ∴乙的函数关系式为， ∴结论①两城相距， 根据图示可得，结论①正确； 结论②乙车比甲车晚出发，却早到， 根据图示可得，结论②正确； 结论③乙车出发后追上甲， 令，则，解得，， ∴当时，甲乙相遇，乙行驶的时间为（）， ∴乙车出发后追上甲，故结论③错误； 结论④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了， 令，则，解得，， ∵当时，甲乙相遇， 令相遇后，则，解得，， ∵当时，，此时乙还未出发；当时，乙已经到达地，甲离地的路程为，若甲、乙相距，则甲需要行驶到时，则， ∴当或或或时，甲、乙相距，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数与行程的综合运用，掌握待定系数法求一次函数解析式，图形结合分析是解题的关键． 3．（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 【答案】12或 【分析】本题考查了一次函数的应用．小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得． 【详解】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为， 当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）； 如图，，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， 当时，，解得， 即小明返回离家时，他离开家所用的时间是． 综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是或． 故答案为：12或． 4．（21-22九年级下·上海普陀·期中）如图，小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行13分钟时，到学校还需步行 米． 【答案】490 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得当8≤x≤20时，s与t的函数关系式，然后将t＝13代入函数解析式，求出s的值即可． 【详解】解：当8≤x≤20时，设s与t的函数关系式为s＝kt+b， ∵点（8，960），（20，1800）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当8≤x≤20时，s与t的函数关系式为s＝70t+400， 当t＝13时， s＝70×13+400＝1310， 1800﹣1310＝490（米）， 故答案为：490． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 题型四 梯度计价问题 1．（上海·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【答案】C 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 2．（上海·模拟预测）某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖，超过后每公里加收2元，当时，总费用由起步价和超过部分的费用组成． 【详解】解：∵起步价10元覆盖，则超过部分为， 根据题意得：． 故选：A． 3．（八年级下·上海·模拟）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是 ． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 4．（八年级下·上海·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 题型一 一次函数与几何综合 1．（24-25八年级下·上海·月考）正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据点运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积与的关系式是解题的关键，也是本题的难点． 分点在边、、、上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出与的关系式，再根据一次函数图象解答． 【详解】解：如图： ①点在边上时，即，； ②点在边上时，点到的距离为， 即， ③点在边上时，点到的距离不变为， ， ④点在边上时，点到的距离为， ， 纵观各选项，只有B选项图象符合． 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】(4,14) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，通过构造全等，求出点的纵坐标（即的长）是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，则，由为等腰直角三角形，可得出，，利用等角的余角相等，可得出，由，利用平行线的性质，可得出，即，进而可证出，利用全等三角形的性质，可求出的长，结合的长，可得出的长，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，则，如图所示， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在矩形中，， ， ， 在和中， ， ，，， 当时，， 解得：， 点的坐标是． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·期末）如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，注意分情况讨论是解决本题的关键． （1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可； （2）过点作轴，垂足为，则是在边上的高，，根据三角形面积公式求出的长，可得Q点坐标； 【详解】（1）解：与关于原点对称， ， 过点， ， ， ， ∵点C的坐标为，直线轴， 当时，， ， ， ． （2）解：过点作轴，垂足为，则是在边上的高，， ∴， ， ， ∴在轴上存在两个点满足条件， 即：或． 4．（25-26九年级上·上海青浦·月考）如图，已知，点和直线是直线上一点，且点在第一象限，C、A两点到轴的距离相等，是的中点，连接并延长，交AC于点． (1)求点的坐标； (2)求的值； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和数形结合是关键． （1）求出点的横坐标为2,代入函数解析式即可求出答案； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立求出，根据两点间距离公式即可求出答案； （3）作轴交于点F，求出，根据的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，C、A两点到轴的距离相等， ∴点的横坐标为2, 把代入得到 ∴ （2）∵是OC的中点， ∴, 设直线的解析式为，把，代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得， ∴， ∴， ∴ （3）作轴交于点F， 由可设，把代入得到， ∴， ∴的面积． 题型二 其它问题 1．（2024·上海·模拟预测）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，F拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象读取相关信息，一次函数的应用，求函数解析式，观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题． 【详解】解：A、由图得，当石块下降时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意； B、设，代入，得，故B不符合题意； C、将，代入，，，故C不符合题意； D、将时，代入，得，，故D符合题意， 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海宝山·月考）一个游泳池在排水口匀速放水．假设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系．已知放水10分钟时，剩余水量为240立方米；放水20分钟时，剩余水量为180立方米．那么游泳池的初始水量是 立方米． 【答案】300 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．用待定系数法求出存水量V与放水时间t之间的一次函数关系式，然后再把代入函数关系式，求出V的值，即可得出答案． 【详解】解：设剩余水量V与放水时间t之间的一次函数关系式为：，把点，代入函数关系式得： ， 解得：， ∴一次函数关系式为， 把代入得：， ∴游泳池的初始水量是300立方米． 故答案为：300． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）某商场购进甲、乙两种商品，已知购进1件甲商品和2件乙商品共需170元，购进2件甲商品和1件乙商品共需190元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)若商场决定购进这两种商品共50件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的4倍，那么该商场怎样进货，才能使进货成本最低？最低成本是多少元？ 【答案】(1)甲商品每件进价70元，乙商品每件进价50元 (2)购进甲商品40件，乙商品10件时成本最低，最低成本3300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与函数关系式，并结合不等式确定自变量的取值范围是解题的关键． （1）设甲商品每件进价元，乙商品每件进价元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进乙商品件，则购进甲商品件，根据题意得到，求出，设进货成本为元，表示出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲商品每件进价元，乙商品每件进价元， 由题意得 解得 答：甲商品每件进价70元，乙商品每件进价50元； （2）解：设购进乙商品件，则购进甲商品件， 由题意得，， 解得， 设进货成本为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而减小 ∴当时，w最小，（元）， 此时， 答：购进甲商品40件，乙商品10件时成本最低，最低成本3300元． 4．（24-25八年级上·上海·月考）甲乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像如图所示，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像；线段表示乙机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像．根据图像信息回答下列问题． (1)甲种机器人比乙种机器人早开始工作___________小时； (2)甲种机器人每小时工作量是___________吨； (3)直线的表达式为___________； (4)如果乙种机器人工作了5小时，那么它完成的工作量是___________吨． 【答案】(1)3 (2)5 (3) (4)50 【分析】（1）根据，判定甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时； （2）甲种机器人每小时工作量是吨/小时； （3）设直线的表达式为，把代入解析式解答即可； （4）根据题意，得，解得，于是得到工作量相等时位置，设直线的解析式，把和分别代入解析式，得，解答即可． 本题考查了一次函数的应用，准确识别函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据，得甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时， 故答案为：3． （2）解：甲种机器人每小时工作量是吨， 故答案为：5． （3）解：设直线的表达式为，把代入解析式，得 ， 解得， 故， 故答案为：． （4）解：根据题意，得， 解得，于是得到工作量相等时位置， 设直线的解析式， 把和分别代入解析式，得， 解得， 故直线的解析式， 当时，， 解得， 故乙机器人的工作效率为（吨/小时）． 故5小时的工作量为（吨）， 故答案为：50． 1．（25-26九年级上·上海·月考）我们知道同一地区内，同一时间的气温会随海拔高度的变化而变化，一般地海拔每上升米，气温会下降． (1)某天上午8:00，某地区甲处的海拔为米，气温是．设该地区某处的海拔为米，这天上午8：00的气温为，求关于的函数关系式（不必写出定义域）； (2)如图是某山区的等高线图，一天中午12：00小杰从甲村出发，沿图中标识的线路（粗实线）去乙村，于13：00时恰好翻越山顶，并于14：00到达．已知中午12：00时甲村的气温是，下午14：00时乙村的气温是．请在下图中，画出小杰的行程中时间与当时所处位置气温间的大致图像． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了画函数图象，列函数关系式； （1）根据题意一般地海拔每上升米，气温会下降．列出关系式，即可求解； （2）根据（1）的方法求得山顶时的最低气温，再画出大致图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）解：12:00（甲村）：对应气温 （起点），海拔为米； 设 当时， 乙村海拔为米，当时，12:00时，乙村的温度为，2小时后为．每小时升温 12:00~13:00（前往山顶）：海拔上升，气温随海拔升高而下降，因此气温从 （逐渐降低，13:00（山顶）时气温达到最低值； 13:00~14:00（前往乙村）：海拔下降，气温随海拔降低而上升，最终 14:00（乙村）时气温升至． 如图所示， 2．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标交点的计算方法，待定系数求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据题意可求出的面积，由此可确定的面积，如图所示，过点作轴于点，根据三角形面积的计算方法即可求解； （3）根据题意，先求出所在直线的解析式，设，则，图形结合，分类讨论：①，；②，；③，；根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴直线的表达式为。 （2）解：解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴，即， 解得，，即点的纵坐标为6， ∵点是一次函数的图象在轴上方的一点， ∴，解得， ∴点的坐标为． （3）解：存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由如下： 已知，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在线段上，轴， ∴设，则点N的纵坐标为， 把代入函数，得 ，解得：， ∴， ∴。 分三种情况讨论： ①如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴点，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ②如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ③如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点， ∴是的中点，且， 又∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 3．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中， ，D是射线上一点(不与点A、C重合)，过点D作直线的垂线，垂足为点E，M是的中点 (1)求证：； (2)当点D在边上时，如果设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当时， 求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当在上时，；当在延长线上时， 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可证明； （2）根据勾股定理得出，则，根据勾股定理得出，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：①当在上时，②当在延长线上时． 【详解】（1）证明：在中，，是的中点， ． 在中，，是的中点， ， ． （2）解：在中，，，， ． 由勾股定理得， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴， ①当在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当在延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 由（1）可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 4．（24-25八年级下·上海·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 【答案】(1)，或，或， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键在于构造“一线三等角”的全等． （1）先求出，即，然后分三种情况讨论，利用“一线三等角”的全等进行求解即可； （2）先求出，则，过点作轴于点H，同上可证明：，，再由即可求解； （3）当时，，则可求，过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N，可得，同上可证明：，即可得到，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当， ∴，即， ①当，记直线交y轴于点D，如图： ∵直线与轴垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； ②，过点F作轴于点D，如图： 同理可证明：， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 当，记直线交y轴于点D，过点A作直线的垂线，垂足为点H，如图： 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 综上所述：，或，或，； （2）解：当，， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴于点H， 同上可证明：， ∴， ∴； （3）解：当时，， 令，则， 解得， ∴， 过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N， ∵，， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：, 解得：， ∴直线表达式为． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.4一次函数的应用 题型一 分配方案问题 1．（21-22八年级·上海·假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 2．（八年级下·上海·期末）某公司手机话费收费有 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）和 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）两种．当月通话时间为（    ）时，， 两种套餐收费一样． A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟 3．（八年级下·上海·期末）经开区新时代文明实践“五进企业”系列活动----新春游园会成功矩形，这次新春游园会的门票分为个人票和团体票两大类其中个人票设置有三种，票得种类 夜票(A) 平日普通票（B）指定日普通票（C）某社区居委会欲购买个人票100张,其中B种票的张数是A种票的3倍还多8张，设购买A种票的张数为x，C种票张数为y，则化简后y与x之间的关系式为： （不必写出x的取值范围） 4．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 题型二 最大利润问题 1．（八年级下·上海·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 2．（八年级下·上海·月考）某超市以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.3元，直至全部售完．销售金额y与售出西瓜的千克数x之间的关系如图所示，那么超市销售这批西瓜一共赚了（　　） A．20元 B．32元 C．35元 D．36元 3．（上海金山·一模）某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是 元． 4．（24-25八年级下·上海·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 题型三 行程问题 1．（22-23八年级上·上海·月考）如图，分别表示甲、乙两名学生步行中的路程和时间的关系的图像，根据图像判断甲、乙两名学生的速度（ ） A．乙快 B．甲快 C．两人一样快 D．无法判断 2．（八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．    有下列结论：①两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲；④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了．其中正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 4．（21-22九年级下·上海普陀·期中）如图，小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行13分钟时，到学校还需步行 米． 题型四 梯度计价问题 1．（上海·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 2．（上海·模拟预测）某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（八年级下·上海·模拟）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是 ． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 4．（八年级下·上海·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 题型一 一次函数与几何综合 1．（24-25八年级下·上海·月考）正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·上海·期末）如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标． 4．（25-26九年级上·上海青浦·月考）如图，已知，点和直线是直线上一点，且点在第一象限，C、A两点到轴的距离相等，是的中点，连接并延长，交AC于点． (1)求点的坐标； (2)求的值； (3)求的面积． 题型二 其它问题 1．（2024·上海·模拟预测）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，F拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 2．（25-26九年级上·上海宝山·月考）一个游泳池在排水口匀速放水．假设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系．已知放水10分钟时，剩余水量为240立方米；放水20分钟时，剩余水量为180立方米．那么游泳池的初始水量是 立方米． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）某商场购进甲、乙两种商品，已知购进1件甲商品和2件乙商品共需170元，购进2件甲商品和1件乙商品共需190元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)若商场决定购进这两种商品共50件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的4倍，那么该商场怎样进货，才能使进货成本最低？最低成本是多少元？ 4．（24-25八年级上·上海·月考）甲乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像如图所示，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像；线段表示乙机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像．根据图像信息回答下列问题． (1)甲种机器人比乙种机器人早开始工作___________小时； (2)甲种机器人每小时工作量是___________吨； (3)直线的表达式为___________； (4)如果乙种机器人工作了5小时，那么它完成的工作量是___________吨． 1．（25-26九年级上·上海·月考）我们知道同一地区内，同一时间的气温会随海拔高度的变化而变化，一般地海拔每上升米，气温会下降． (1)某天上午8:00，某地区甲处的海拔为米，气温是．设该地区某处的海拔为米，这天上午8：00的气温为，求关于的函数关系式（不必写出定义域）； (2)如图是某山区的等高线图，一天中午12：00小杰从甲村出发，沿图中标识的线路（粗实线）去乙村，于13：00时恰好翻越山顶，并于14：00到达．已知中午12：00时甲村的气温是，下午14：00时乙村的气温是．请在下图中，画出小杰的行程中时间与当时所处位置气温间的大致图像． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 3．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中， ，D是射线上一点(不与点A、C重合)，过点D作直线的垂线，垂足为点E，M是的中点 (1)求证：； (2)当点D在边上时，如果设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当时， 求的面积． 4．（24-25八年级下·上海·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $