专题2.3 一元二次方程的实际应用（高效培优讲义）数学浙教版八年级新教材下册

本讲义聚焦一元二次方程的实际应用，系统梳理变化率、传染枝干、握手比赛、销售利润、几何面积、动点几何等核心题型，构建从实际问题抽象等量关系到列方程求解的完整学习支架，衔接方程解法与现实应用脉络。 资料特色在于结合甜橙降价、流感传染等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过典例与变式训练提升分析转化能力（数学思维），规范解题步骤与解的合理性检验培养模型意识（数学语言）。课中助力分层教学，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

专题2.3 一元二次方程的实际应用 教学目标 1.掌握列一元二次方程解决实际问题的步骤，能解决常见基础题型。 2.经历建模过程，提升分析问题、转化问题的能力。 3.体会数学与生活的联系，增强应用意识 教学重难点 1.重点 （1）掌握列一元二次方程解决实际问题的核心步骤，能根据实际问题找准等量关系，列出正确的一元二次方程。 （2）熟练掌握常见题型（增长率、利润、几何图形）的等量关系，能规范完成解题过程，准确检验方程的解并作答 2.难点 （1）从复杂的实际情境中，准确提取数学信息，找准隐蔽的等量关系，建立一元二次方程模型。 （2）区分一元二次方程与一元一次方程的实际应用场景，避免出现列错方程类型的问题；解方程后，能结合实际情境准确检验解的合理性，排除不符合题意的解；复杂几何图形问题中，能通过图形分析，推导得出等量关系（如不规则图形面积转化为规则图形面积）。 知识点01 变化率 设基准数为a，两次增长（或下降）后为b；增长率（下降率）为x，第一次增长（或下降）后为；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为²=b 【即学即练】 1．玉溪低纬度高海拔的气候，光照充足且昼夜温差大，能让甜橙积累更多糖分，果肉紧实多汁．某批发商以每千克25元的价格批发某种优质甜橙，季末为清库存分两次进行降价，最终批发价定为每千克16元．设平均每次降价的百分率为，可列方程为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据两次降价，每次降价百分率为x，列出方程即可． 【详解】解：∵初始价格为25元，第一次降价后价格为，第二次降价后价格为，最终价格为16元， ∴， 故选：C． 2．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据增长率定义，分别计算每天票房，再求和得累计票房，累计票房为三天总和，列方程即可． 【详解】解：由题意，得 第一天票房为亿元， 第二天票房为亿元， 第三天票房为亿元． ∵三天累计票房为亿元， ∴． 故选D． 知识点02 传染﹑枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【即学即练】 1．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传染问题），解题的关键是理清每一轮传染的人数变化，建立正确的方程模型． 先确定初始人数为；第一轮传染后，新增人，总人数为；第二轮由人分别传染人，新增人，两轮后总人数为，根据题意该值为144，从而列出方程． 【详解】解：A、 ，该式只计算了两轮各新增人，未考虑第二轮的传染源是第一轮的所有患者，此选项不符合题意； B、，该式错误地将两轮新增人数记为，与实际传染人数变化不符，此选项不符合题意； C、，该式未计入初始的名患者，此选项不符合题意； D、，该式正确反映了初始人数、第一轮新增人数、第二轮新增人数的总和，此选项符合题意． 故选：D． 2．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程． 根据传播模型，初始1人会做，第一节课后增加x人，第二节课后每个会做的人教会x人，总人数为． 【详解】解：初始会做人数为1， 第一节课后，会做人数变为， 第二节课，新教会人数为， ∴会做的总人数为． 故选：B． 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出个小分支，则主干、支干和小分支的总数是个分支，即可列方程． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意列方程得：． 故选：A． 知识点03 握手﹑比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。 赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片 【即学即练】 1．为推进五育并举，长沙某中学在校园文化节中组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？若设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），设邀请个球队参加比赛，由此可得方程． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 根据题意得：， 故选：A． 2．为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 设班级数为n，则每个班送出条祝福，总祝福数为，解二次方程求n即可． 【详解】解：设九年级的班级数为，则每个班需要送出条祝福， 根据题意，可列方程， 化简，得， 解得，，（负值舍去） ∴九年级一共有12个班． 故选：B． 知识点04 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 【即学即练】 1．某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解题的关键． 根据题意，每盆增加x株，则总株数为株，平均单株盈利减少x元，即为元，每盆盈利为总株数与平均单株盈利的乘积，令其等于40元，可得方程． 【详解】解：设每盆增加x株花苗， 由题意得，， 故选：A． 2．宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元．则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数即可得解，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 【详解】∵房价定为x元，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用， ∴每间房的利润为元， ∵当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房， ∴可住间房， ∵宾馆当天的利润为10890元， ∴． 故选：A． 知识点05 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【即学即练】 1．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何，”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，准确分析列出方程是解题的关键． 设宽为步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：长与宽共步，宽为步， 长为步. 面积为平方步， ． 故选：A． 2．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由道路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：道路的宽为， 种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得，． 故选：C． 知识点06 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 1．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设后，的面积等于，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设后，的面积等于． 由题意，得，，则． ， ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故当的面积等于时，两点运动了． 故选：A． 2．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 题型01 一元二次方程应用-变化率问题 【典例1】某线上学习平台在2025年11月初上线后，凭借其创新的学习体验迅速走红，上线当月活跃用户为120万人．经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到172.8万人．已知活跃用户数每个月的平均增长率相同． (1)求活跃用户数每个月的平均增长率． (2)按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数． 【答案】(1)活跃用户数每个月的平均增长率为 (2)预测2026年2月的活跃用户数为万 【分析】本题考查一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找到等量关系式． （1）根据增长率的列式方法，列出关于的一元二次方程求解即可； （2）利用计算即可求解． 【详解】（1）解：设活跃用户数每个月的平均增长率为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：活跃用户数每个月的平均增长率为； （2）解：（万人）． 答：预测2026年2月的活跃用户数为万． 【变式1】高新技术产业园区某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片64万个，第三季度生产芯片100万个． (1)求该芯片公司生产量的季度平均增长率； (2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到130万个，该目标能否实现？请说明理由． 【答案】(1)该芯片公司生产量的季度平均增长率为； (2)该目标不能实现，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意计算出该公司第四季度的芯片生产量，即可解答． 【详解】（1）解：设该芯片公司生产量的季度平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该芯片公司生产量的季度平均增长率为 （2）解：该目标不能实现．     理由：该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ， ∴该目标不能实现． 【变式2】某地2022年为搞经济开发，投入资金1600万元，并规划投入资金逐年增加，2024年在2022年的基础上增加投入资金2000万元． (1)从2022年到2024年，该地投入资金的年平均增长率为多少？ (2)在2024年具体实施中，该地计划投入资金不低于4000000元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 【答案】(1)从2022年到2024年，该地投入资金的年平均增长率为 (2)今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设从2022年到2024年，该地投入资金的年平均增长率为x，根据2022年的投资金额和2024年的投资金额建立方程求解即可； （2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，分别计算出前1000户的奖励和1000户后的奖励，根据总奖励金额不低于4000000元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设从2022年到2024年，该地投入资金的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从2022年到2024年，该地投入资金的年平均增长率为； （2）解：设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励， ∵， ∴ 则， 解得， ∴a的最小值为1400， 答：今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励． 【变式3】某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 【答案】(1) (2)500件 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，利用该商品三月份的销售量=该商品一月份的销售量×(1+月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据（1）中的增长率，列算式求解即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：（件）， 答：四月份的销售量是500件． 题型02一元二次方程应用传染问题 【典例2】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【变式1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【答案】(1)平均一个人传染了7人 (2)经过三轮传染后，患流感人数不能突破600 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有64人患病，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出算式求出三轮传染后的总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设平均一个人传染了人， 则． 解得，（舍去）． 答：平均一个人传染了7人． （2）经过三轮传染后，患流感人数为， ． 答：经过三轮传染后，患流感人数不能突破600人． 【变式2】某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1) (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． （2）解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 【变式3】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有个人会患流感 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，熟练掌握传播问题解法是解决问题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，则开始是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中求得每轮传染中平均一个人传染人数，直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则开始时是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：经过第二轮传染后共计81人，则第三轮传染人， 经过三轮传染后，会患流感人数为人， 答：经过三轮传染后共有个人会患流感． 题型03一元二次方程应用-枝干问题 【典例3】生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 【变式1】某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【答案】这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 【变式2】小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【答案】小华邀请了10名同学转发 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传播规则，结合经过两轮转发后共有111个人参与了小华创意作品的转发活动，即可得出关于x的一元二次方程求解． 【详解】解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小华邀请了10名同学转发． 【变式3】为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？ 【答案】 【分析】设邀请了个好友转发倡议书，第一轮传播了个人，第二轮传播了个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：（舍去），． ∴n的值是 题型04 一元二次方程应用双循环问题 【典例4】九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设班级学生人数为人，则每人送出张卡片，共送出张卡片，根据“全班共送了张卡片”可列出方程，解方程即可求出答案，此时应注意考虑解的合理性．理解题意并正确列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设班级学生人数为人， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴班级学生人数为人． 【变式1】2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 【答案】(1)10 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键： （1）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出算式进行计算即可； （2）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，宜春队要跟其他的5个队各踢2场， ∴宜春队第一阶段共参与（场）比赛； 故答案为：10； （2）由题意，， 整理，得：， 解得或（舍去）； 故． 【变式2】手工制作小组有若干人，他们将自己制作的手工艺品向本组成员各赠送一件，已知全组共互赠手工艺品件，求该小组有多少位同学？ 【答案】该小组有名同学 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 先求每名同学赠的手工艺品，再求名同学赠的手工艺品，而已知全组共互赠了件，故根据等量关系可得到方程． 【详解】解：设该小组有名同学， 则每名同学所赠的手工艺品为：件， 那么名同学共赠：件， 所以，． 解得：不合题意舍去，， 答：该小组有名同学． 【变式3】目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 【答案】这条线路共有8个站点． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票， 根据题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：这条线路共有8个站点． 题型05一元二次方程应用单循环问题 【典例5】云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【答案】云南共有16个州（市） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设云南共有个州（市），根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设云南共有个州（市）， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：云南共有16个州（市）． 【变式1】“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了场激烈对决，求共有多少支参赛队伍？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍，依题意得， ， ， 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍． 【变式2】参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 【答案】有5人参加聚会． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设有x人参加聚会，利用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意， 化简得， 即． 解得或（舍去）． 答：有5人参加聚会． 【变式3】某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 题型06 一元二次方程应用-销售利润问题 【典例6】2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力．某商场以50元/个的进价购进一批坦克模型，第一周销售300个，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到432个． (1)求第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率； (2)经市场预测，当该坦克模型售价为60元/个时，每周的销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则周销售量将减少10个，为使周销售利润达到10000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该坦克模型的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率为20% (2)该坦克模型的实际售价应定为70元/个 【分析】（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率为x，根据题意列出方程求解x的值即可； （2）设该坦克模型每个的售价上涨a元，根据题意列出方程求解出a的值，要尽可能让顾客得到实惠，所求a的值为最小值，从而求得实际售价． 本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用．找出等量关系，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率为x，由题意， 得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率为20%． （2）解：设该坦克模型每个的售价上涨a元， 由题意，得 整理得， 解得，， 尽可能让顾客得到实惠， ， 则． 答：该坦克模型的实际售价应定为70元/个． 【变式1】某商店购进一批成本为每件20元的商品，经过市场调研发现，当售价为每件30元时，每天可售出50件．售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件． (1)若商店平均每天要盈利600元，并尽量让利消费者，每件商品应涨价多少元？ (2)商店平均每天盈利能达到620元吗？如果能，请计算每件商品需涨价多少元；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每件商品应涨价5元 (2)不能达到620元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每件商品应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设每件商品应涨价x元， 根据题意得，， 解得或， ∵尽量让利消费者， ∴应舍去， ∴， 答：每件商品应涨价5元； （2）解：根据题意得，， 整理得，， ∴， ∴方程无解， ∴商店平均每天盈利不能达到620元． 【变式2】某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出y与x的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据每天的利润等于每个纪念章的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 由题意得，， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：由题意得，， 整理得或（舍去）， 答：当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 【变式3】某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 【答案】(1)①；② (2)每间客房的定价应为300元 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程和代数式是解题的关键． （1）根据题意求出提价后入住的房间数量，进而根据每个房间支出20元/天的维护费用求出总维护费用即可； （2）根据纯收入总收入－总维护费用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，提价后入住的房间数量为， 则提价后的总维护费用为元； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要能吸引更多的游客， ∴， ∴， 答：每间客房的定价应为300元． 题型07 一元二次方程应用-几何面积问题 【典例7】如图，某校计划建立一块形状为矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙足够长），其余部分用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开（点、分别在边、上，因实验需要，在、上各开一扇宽为1米的门（门无需栅栏，且栅栏的宽度忽略不计）．若该种植田的面积为36平方米，求该种植田的宽． 【答案】该种植田的宽为2米或6米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设米，则米，再根据矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设米，则米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 答：该种植田的宽为2米或6米． 【变式1】如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙的长度为，若矩形养鸡场的面积为，求垂直于墙的一边的长度． 【答案】垂直于墙的一边的长度为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边的长度为，则，再根据矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边的长度为，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：垂直于墙的一边的长度为． 【变式2】为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，某校成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图有一块边长为的正方形生态大棚，计划在正方形区域内的一侧建成1米宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条垂直小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 【答案】小道的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小道的宽度为，根据栽种鲜花区域的面积为列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设小道的宽度为， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)， 答：小道的宽度为． 【变式3】中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 【答案】(1)，； (2)的长度为． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． （1）根据图形列式即可； （2）根据矩形的面积为列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为， ∴． ∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵矩形的面积为， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 题型08 一元二次方程应用-动点与几何问题 【典例8】如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)为或； (3)或或或． 【分析】（1）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）分、、三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，设运动时间为． ，，，， 四边形的面积为， ， 解得：， 当为5时，四边形的面积为； （2）解：如图1，，，，为矩形的四个顶点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，， 当为或时，点和点的距离为； （3）解：当时，过作，如图2， 四边形是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过作于，如图3， 同理可证：四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或； 当时，如图4， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，或或或时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确列出方程． 【变式1】如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)出发秒或秒后，的面积为 (2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为，见解析 【分析】本题考查了直角三角形的面积，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． （1）设运动时间为秒时，则，．根据的面积为，列方程解答即可． （2）设运动时间为秒时，则，．根据勾股定理，列方程解答即可． （3）根据三角形的面积，构造一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实数根；若有，则可能；若没有，则不能． 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）解：假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 【变式2】已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于 (3)点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据运动路程等于速度乘以时间即可求出，再根据即可解答； （2）根据的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； （3）解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 【变式3】如图，在Rt中，，，，点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，连接，设点的运动时间为，的面积为． (1) ___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)当的面积等于的面积的时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解题的关键是表示出线段的长． （1）根据三角形的边长和点的移动速度表示出两条线段的长即可； （2）利用勾股定理表示出线段的长即可求得t值； （3）先根据三角形的面积公式直接列出函数关系式，根据三角形的面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 解得：或（舍弃）， ∴时，t的值为； （3）解：根据题意得，， ∵的面积等于的面积的， ∴， 解得：或． 答：当的面积等于的面积的时，t的值为或． 1．据统计，湖南省2025年第一季度人均可支配收入10860元，第三季度达到28248元，若第一季度至第三季度间人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 从第一季度到第三季度经历两次增长，设增长率为x，则经过两次增长后，收入为，等于28248． 【详解】解：∵从第一季度到第三季度有两次增长，且增长率为x， ∴第三季度收入第一季度收入， 即． 故选：A． 2．小红以冬奥会为主题，裁剪了一张长是，宽是的矩形剪纸．小红为了完好保存剪纸，将其塑封，塑封时四周留白的宽度相同，如图所示，塑封后整幅图的面积是，设留白部分的宽度是，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设留白部分的宽度是，先用表示出塑封后整幅图的长、宽，再根据塑封后整幅图的面积是列出方程． 【详解】解：设留白部分的宽度是， 塑封后整幅图的长为，宽为， 则， 故选：C． 3．某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据每天盈利平均每天的销售量每件盈利建立方程即可得． 【详解】解：设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件， ∵降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元， ∴可列方程为， 故选：C． 4．某足球训练基地，组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设该基地这次有支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用. 根据每两队之间都赛一场，设该基地这次有支队伍参加了比赛，则每一个球队都会比赛场，剔除重复的一半，即可解题． 【详解】解：设该基地这次有支队伍参加了比赛， 由题可知，， 故选：A． 5．临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，根据每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，即设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，据此根据照片总数量为2652张列一元二次方程即可． 【详解】解：设全班有x名学生，则每人要赠送张相片， 根据题意可得出， 故选：B 6．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少?设门高尺，根据题意可列方程为（注：1丈尺，1尺寸）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程的应用，掌握高和宽之间的关系并熟练勾股定理的应用是解题的关键． 先将门的宽表示出来，再根据勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：门高尺，高比宽多6尺8寸， 门宽为尺， 根据勾股定理可得． 故选：A． 7．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形，结合停车位的占地面积为544平方米，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为米，则停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形， 根据题意得：， 故选：D． 8．某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量y与定价x之间的函数关系式； (2)如果超市每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 【答案】(1) (2)该糖果的定价应为12元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）由图象可知y与x是一次函数关系，由函数图象过点和，用待定系数法即可求得y与x的函数关系式； （2）根据（1）以及利润=单件利润×销售量得到关于x的一元二次方程，进而解方程即可． 【详解】（1）解：设，由图象可知， ， 解得， ∴销售量y与定价x之间的函数关系式是：； （2）解：超市每天销售所获得的利润是： ， 解得：， ∵让顾客少花钱， ∴该糖果的定价应为12元． 9．春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同 (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】(1)平均一个人传染人 (2)经过三轮后共有人患流感 【分析】（1）设平均一个人传染x人，根据“有2个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+平均每人传染人数），即可求出结论． 【详解】（1）解：设平均一个人传染x人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故平均一个人传染人． （2）解：（人）． 故经过三轮后共有人患流感． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元． (1)若每件商品降价5元，那么每件商品的利润是______元，每星期的销售量是______件，每周的利润是______元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，并且商家还想获得6080元的利润，应将每件的销售价降低多少元？ 【答案】(1)，， (2)应将每件的销售价降低4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合每件商品降价5元，售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，得出每件商品的利润是15元，每星期的销售量是件，故每周的利润是元，即可作答． （2）理解题意，设将每件的销售价降低元，则每星期的销售量是件，结合获得6080元的利润，列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵每件商品降价5元， ∴（元）， ∴每件商品的利润是15元， 则每星期的销售量是（件）， 每周的利润是（元）， 故答案为：，，； （2）解：设将每件的销售价降低元，则每星期的销售量是件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为了让顾客得到更多的实惠 ∴ 答：应将每件的销售价降低4元． 11．如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为 ． (1)直接填空：的长为___________； (2)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或或． 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、方程的解法，掌握等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用及“分类思想”的应用是解题关键． (1)根据已知条件运用勾股定理计算即可； (2)根据已知条件运用“分类思想”分别构造以为底、为底、为底的等腰三角形，然后根据等腰三角形的判定与性质及勾股定理分别列出关于的方程，最后，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 故答案为：； （2）解：①如图1，当为底时，点在上，， ． 作垂直平分，垂足为点，交于点，连接． 由（1）得： ． ∵垂直平分， ∴． 在中，， 即， 解得：． ②如图2，当为底时，点在的延长线上，． ∵， ∴， 解得：． ③如图2，当为底时，点在的延长线上，， ． ∵，， ∴（“三线合一”）， 即， 解得：． ∴当是等腰三角形时，的值为或或． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 一元二次方程的实际应用 教学目标 1.掌握列一元二次方程解决实际问题的步骤，能解决常见基础题型。 2.经历建模过程，提升分析问题、转化问题的能力。 3.体会数学与生活的联系，增强应用意识 教学重难点 1.重点 （1）掌握列一元二次方程解决实际问题的核心步骤，能根据实际问题找准等量关系，列出正确的一元二次方程。 （2）熟练掌握常见题型（增长率、利润、几何图形）的等量关系，能规范完成解题过程，准确检验方程的解并作答 2.难点 （1）从复杂的实际情境中，准确提取数学信息，找准隐蔽的等量关系，建立一元二次方程模型。 （2）区分一元二次方程与一元一次方程的实际应用场景，避免出现列错方程类型的问题；解方程后，能结合实际情境准确检验解的合理性，排除不符合题意的解；复杂几何图形问题中，能通过图形分析，推导得出等量关系（如不规则图形面积转化为规则图形面积）。 知识点01 变化率 设基准数为a，两次增长（或下降）后为b；增长率（下降率）为x，第一次增长（或下降）后为；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为²=b 【即学即练】 1．玉溪低纬度高海拔的气候，光照充足且昼夜温差大，能让甜橙积累更多糖分，果肉紧实多汁．某批发商以每千克25元的价格批发某种优质甜橙，季末为清库存分两次进行降价，最终批发价定为每千克16元．设平均每次降价的百分率为，可列方程为（   ） A．B． C． D． 2．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 知识点02 传染﹑枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【即学即练】 1．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，可列方程为（   ） A．B． C． D． 知识点03 握手﹑比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。 赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片 【即学即练】 1．为推进五育并举，长沙某中学在校园文化节中组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？若设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 知识点04 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 【即学即练】 1．某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 2．宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元．则有（   ） A． B． C． D． 知识点05 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【即学即练】 1．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何，”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点06 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 1．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 2．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 题型01 一元二次方程应用-变化率问题 【典例1】某线上学习平台在2025年11月初上线后，凭借其创新的学习体验迅速走红，上线当月活跃用户为120万人．经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到172.8万人．已知活跃用户数每个月的平均增长率相同． (1)求活跃用户数每个月的平均增长率． (2)按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数． 【变式1】高新技术产业园区某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片64万个，第三季度生产芯片100万个． (1)求该芯片公司生产量的季度平均增长率； (2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到130万个，该目标能否实现？请说明理由． 【变式2】某地2022年为搞经济开发，投入资金1600万元，并规划投入资金逐年增加，2024年在2022年的基础上增加投入资金2000万元． (1)从2022年到2024年，该地投入资金的年平均增长率为多少？ (2)在2024年具体实施中，该地计划投入资金不低于4000000元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 【变式3】某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 题型02一元二次方程应用传染问题 【典例2】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【变式1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【变式2】某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【变式3】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 题型03一元二次方程应用-枝干问题 【典例3】生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【变式1】某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【变式2】小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【变式3】为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？ 题型04 一元二次方程应用双循环问题 【典例4】九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 【变式1】2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 【变式2】手工制作小组有若干人，他们将自己制作的手工艺品向本组成员各赠送一件，已知全组共互赠手工艺品件，求该小组有多少位同学？ 【变式3】目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 题型05一元二次方程应用单循环问题 【典例5】云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【变式1】“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了场激烈对决，求共有多少支参赛队伍？ 【变式2】参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 【变式3】某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 题型06 一元二次方程应用-销售利润问题 【典例6】2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力．某商场以50元/个的进价购进一批坦克模型，第一周销售300个，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到432个． (1)求第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率； (2)经市场预测，当该坦克模型售价为60元/个时，每周的销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则周销售量将减少10个，为使周销售利润达到10000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该坦克模型的实际售价应定为多少元/个？ 【变式1】某商店购进一批成本为每件20元的商品，经过市场调研发现，当售价为每件30元时，每天可售出50件．售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件． (1)若商店平均每天要盈利600元，并尽量让利消费者，每件商品应涨价多少元？ (2)商店平均每天盈利能达到620元吗？如果能，请计算每件商品需涨价多少元；如果不能，请说明理由． 【变式2】某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【变式3】某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 题型07 一元二次方程应用-几何面积问题 【典例7】如图，某校计划建立一块形状为矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙足够长），其余部分用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开（点、分别在边、上，因实验需要，在、上各开一扇宽为1米的门（门无需栅栏，且栅栏的宽度忽略不计）．若该种植田的面积为36平方米，求该种植田的宽． 【变式1】如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙的长度为，若矩形养鸡场的面积为，求垂直于墙的一边的长度． 【变式2】为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，某校成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图有一块边长为的正方形生态大棚，计划在正方形区域内的一侧建成1米宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条垂直小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 【变式3】中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 题型08 一元二次方程应用-动点与几何问题 【典例8】如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【变式1】如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【变式2】已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【变式3】如图，在Rt中，，，，点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速运动，连接，设点的运动时间为，的面积为． (1) ___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)当的面积等于的面积的时，求的值． 1．据统计，湖南省2025年第一季度人均可支配收入10860元，第三季度达到28248元，若第一季度至第三季度间人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．小红以冬奥会为主题，裁剪了一张长是，宽是的矩形剪纸．小红为了完好保存剪纸，将其塑封，塑封时四周留白的宽度相同，如图所示，塑封后整幅图的面积是，设留白部分的宽度是，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 3．某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A． B． C． D． 4．某足球训练基地，组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设该基地这次有支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少?设门高尺，根据题意可列方程为（注：1丈尺，1尺寸）（   ） A． B． C． D． 7．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 8．某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量y与定价x之间的函数关系式； (2)如果超市每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 9．春季流感，学校有2个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染的人数相同 (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 10．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元． (1)若每件商品降价5元，那么每件商品的利润是______元，每星期的销售量是______件，每周的利润是______元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，并且商家还想获得6080元的利润，应将每件的销售价降低多少元？ 11．如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为 ． (1)直接填空：的长为___________； (2)当是等腰三角形时，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $