精品解析：广西钦州市灵山县2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025年秋季学期期末考试试题 九年级数学 (考试时间∶ 120分钟； 满分∶ 120分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．) 1. 真实情境 下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称的定义，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形计算中心对称图形，即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：C． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 购买一张福利彩票，中奖 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打开电视，正在播放广告 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件依次判定即可得出答案． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为，是不可能事件，故该选项符合题意； B、购买一张福利彩票，中奖，是随机事件，故该选项不符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意； D、打开电视，正在播放广告，是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，即关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴点的坐标是点的坐标的相反数， 即横坐标满足，纵坐标满足， ∴， 故的值为． 故选：B． 4. 如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴a的值可以是2． 故选：B 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内；当时，图象位于第二、四象限内是解题的关键． 5. 如图，将绕着点A 逆时针旋转一定角度后得到，若，， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由旋转可得，， ∵，， ∴， 故选：D． 6. 2025年我国人工智能模型凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，计算在单词“”中随机选一个字母为“e”的概率，需统计字母“e”的出现次数和总字母数． 【详解】解：∵ 单词“”中共有8个字母，其中字母“e”出现4次， ∴选到“e”的概率是：． 故选：B． 7. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，再结合平角定义求解，即可解题． 【详解】解：，是的直径， ， 故选：D． 8. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过计算每个一元二次方程进行解题． 【详解】解：A：，，有实数根，故该选项不合题意； B：，，，有实数根，故该选项不合题意； C：，，无实数根，故该选项符合题意； D：，，，有实数根，故该选项不合题意． 故选：C． 9. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，掌握顶点式的特点是关键． 根据二次函数的顶点形式，对称轴由顶点横坐标直接确定． 【详解】解：∵ 二次函数顶点形式为 ，对称轴为直线 ， 给定函数 ， ∴ ， ∴ 对称轴为直线 ， 故选：A． 10. 如图， 为的直径，， 交于点E， 若，， 则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题关键． 先通过已知的直径长求出半径，连接，通过垂径定理找到图中的角度和线段关系，求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴半径为2，即， ∴， ∵， ∴，， ∴，   故选： C． 11. 杠杆原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用、利用相似三角形求长度，先通过“两角分别相等的两个三角形相似”判定，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立等式，代入已知数据计算出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得； 故选：C． 12. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，，由抛物线与y轴的交点位置确定，然后利用排除法即可得出正确答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴在y轴的右侧，且交y轴的正半轴， ∴，， ∴反比例函数的图象必在一、三象限， 一次函数的图象必经过一、二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．) 13. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，该函数关于轴对称，所以在处取得最值，即顶点坐标，理解函数的性质是解题的关键． 【详解】解：的对称轴为轴，开口向上， ∴当时，取得最小值为， ∴顶点坐标为：， 故答案为：． 14. 已知，是方程 的两个根，那么的值是____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系解题即可． 【详解】解：， ， ∴． 故答案为 ：2． 15. 已知一个扇形的半径为3，圆心角为，则该扇形的弧长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用．直接利用弧长公式求出即可． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为3， 扇形的弧长是：． 故答案为：． 16. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有___个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率约为0.3，进而根据概率计算公式求出袋子中球的总数，即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3， ∴摸到白球的概率约为0.3， ∴袋子中一共有个球， ∴估计袋子中黑球有个， 故答案为：． 三、解答题(本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用配方法进行求解即可； （2）利用求根公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 方程两边同时加4，得， 配方，得， 于是，得，或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴． 18. 如图，从《浪浪山小妖怪》：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪4个小妖怪中随机挑选1个去参加浪浪山环保志愿活动． A. B. C. D. （1）选中“B． 蛤蟆精”的概率为 ； （2）若要在这4个小妖怪中挑选2个参加浪浪山环保志愿活动，请用画树状图或列表的方法，求出选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等可能事件概率的计算，（1）是从4个中选1个的简单概率，（2）是从4个中选2个概率，关键是确定所有等可能的结果数和符合条件的结果数． （1）确定从4个中选1个的总结果数，再确定选中“蛤蟆精”的结果数，根据概率公式计算． （2）通过列表法列出从4个小妖中选2个的所有等可能结果，再确定选中“猪妖”和“猩猩怪”的结果数，代入概率公式计算． 【小问1详解】 解：从4个小妖怪中选中1个，总共有4种等可能的结果，其中选中“蛤蟆精”的结果有1种， ∴选中“蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：用列举法列出从4个小妖怪中挑选2个所有可能的结果： 第1个 第2个 A B C D A (A,B) (A,B) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由表格可知，所有等可能的结果共有种，其中符合条件(选中“”和“”)的结果有2种：和． ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 19. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数表达式，并在平面直角坐标系中直接画出该图象； （2）若点在该函数图象上，求的值． 【答案】（1）， 画出该图象如图所示； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质、画函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过． 将代入，得． 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：点在这个函数图象上， 把代入得，整理得， 解得：或． 20. 如图， 在中，，点D在上，以为直径作交的延长线于点E，且． （1）求证∶ 是的切线； （2）若的直径为6， ，求的长． 【答案】（1）证明： 如图， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又，，， ∴，即， ∵点E在上，即是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，等边对等角，掌握切线的判定方法，利用勾股定理和等边对等角找到线段和角度关系是解题关键． （1）利用等边对等角找到相等角，再通过已知的直角得到对应角的度数，从而通过连半径证垂直的方法证明； （2）根据直径，求出半径对应线段的长，借助，利用勾股定理用表示，再通过已知的比例关系与线段关系，建立关于的方程，求解出后，求出和，借助勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的直径为6， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，即， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴． 21. 综合与实践． 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，如图1； 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长； （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为，求收纳盒的高． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）收纳盒的高为厘米． 【解析】 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 【小问2详解】 解：根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：收纳盒的高为厘米， 22. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可． 【小问1详解】 ∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 23. 阅读与思考 倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”． 【探究对象】倍角三角形的性质 【探究思路】从特殊到一般 【性质发现】 在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边． 如图1，当，时，，________ 若，时，________，________． 【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________． 【证明猜想】如图3，延长到点，使， …… 任务1：请将“________”的内容补充完整； 任务2：结合图3，完成“证明猜想”； 【综合应用】任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题： 如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长． 【答案】任务1：2；1，1； 任务2： 证明：如图2，延长到点，使． ． ． ， ． 又， ． ，即． ， 即； 任务3：5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程． 任务1：当，时，，则，根据含角的直角三角形特征计算即可；当，时，，则，根据等腰直角三角形的特征求解即可． 性质猜想：根据前面两个结论找出，，之间的数量关系即可． 任务2：接着性质证明可得得到整理即可得到； 任务3：根据前面的结论得,分情况讨论三边的大小，代入计算即可． 【详解】任务1：解：性质探究： 如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边． 当，时，，则，此时，，则，； 当，时，，则，此时，，则，． 性质猜想：，，之间的数量关系为． 故答案为：2；1，1；； 任务2：略 任务3：∵ ∴， ∵， ∴， ∴是“倍角三角形”， ∴, ∵，，的长度恰好是三个连续的正整数，易知, 当最长时，设，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， 此时,不能构成三角形舍去. 当最长最短时，设，则，， ， 解得：不是整数舍去； 当最长最短时，设，则，， ， 解得：（舍）或6， 综上所述的长为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期末考试试题 九年级数学 (考试时间∶ 120分钟； 满分∶ 120分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．) 1. 真实情境 下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 购买一张福利彩票，中奖 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打开电视，正在播放广告 3. 在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则的值（ ） A. B. C. D. 4. 如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 5. 如图，将绕着点A 逆时针旋转一定角度后得到，若，， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年我国人工智能模型凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 10. 如图， 为的直径，， 交于点E， 若，， 则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 11. 杠杆原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．) 13. 抛物线的顶点坐标是______． 14. 已知，是方程 的两个根，那么的值是____． 15. 已知一个扇形的半径为3，圆心角为，则该扇形的弧长为__________． 16. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有___个． 三、解答题(本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. 解方程： （1）； （2） 18. 如图，从《浪浪山小妖怪》：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪4个小妖怪中随机挑选1个去参加浪浪山环保志愿活动． A. B. C. D. （1）选中“B． 蛤蟆精”的概率为 ； （2）若要在这4个小妖怪中挑选2个参加浪浪山环保志愿活动，请用画树状图或列表的方法，求出选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率． 19. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数表达式，并在平面直角坐标系中直接画出该图象； （2）若点在该函数图象上，求的值． 20. 如图， 在中，，点D在上，以为直径作交的延长线于点E，且． （1）求证∶ 是的切线； （2）若的直径为6， ，求的长． 21. 综合与实践． 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，如图1； 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长； （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为，求收纳盒的高． 22. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 23. 阅读与思考 倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”． 【探究对象】倍角三角形的性质 【探究思路】从特殊到一般 【性质发现】 在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边． 如图1，当，时，，________ 若，时，________，________． 【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________． 【证明猜想】如图3，延长到点，使， …… 任务1：请将“________”的内容补充完整； 任务2：结合图3，完成“证明猜想”； 【综合应用】任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题： 如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $