陕西兴平市西郊高级中学等校2025-2026学年高三上学期2月联考数学试卷

高三年级2月联考 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 如 4.本卷主要命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={x|x2>6},B={-3,一2,0,1,4}，则A∩B= A.{-3,0,1} B.{-3,4} C.{-3,-2,4} D.{-3,0,1,4} 2.已知复数x=1十)(3十 ,则复数之的虚部为 A.-2 B.-2i C.4 D.2i 3.已知函数f(x)在x=xo处的导数为3，则li f(x十△x)一f(x）= Az--0 2△x A.3 B号 C.6 D 23 4.设F为抛物线C:y=ax2的焦点，若点P(1,2)在C上，则|PF|= A.3 B号 c D. 17 5.在等比数列(an}中，4a5,a,2a6成等差数列，则16一a15= a14 A司 B C.2 D.4 6.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成 如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀 螺的表面积为 A.44π B.46π C.48π D.50π 【高三数学第1页（共4页）】 6298C 7.已知函数f(x)=|2一2|，若x1<x2且f(x1)=f(x2),则2十2-的最小值为 A是 B.9 C.5+2√2 D.3+22 4 &.已知0<a-B<受，0<a+B<x,9>0,sin(a-B)=号，n2g-n2B=2,则 cos 2a= A.-2W30+1 B.-230-1 12 12 C.2V30-1 12 D.-2V30+1或2V3o-1 12 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(2,一3)，b=(m一1，m),则 A.若a∥b,则m=-3 5 B.若a⊥b,则m=-2 C.若1al=bl,则m=一2或3 D.若m=己，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为（受，一） 10.已知函数f(x)=Acos(wx+p)(A>0,w>0,0<9<π)的部分图象如图所示，则下列说法正 确的是 A.f(x)=2sin(2x+否） B.函数f(x)的图象关于点（告，0）对称 C.函数f(x)在(0，)上有最小值 D.直线x=一于是函数f(x)的一条对称轴 11.已知数列{am}的前n项和为Sn,am>0,且2Sn=ana+1,则 A.a2=2 B.“a1=1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件 C.若{an}为单调递增数列，则0<a1<2 D.若a1=3,则数列(-1)a}的前n(n为奇数)项和为-3(n十1) 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设函数f(x)=(2x-1)6=a十a1x十…十a6x,则a4= 13.已知函数f(x)满足f(x)=f(2一x),且f(x)是偶函数，在[0,1]上 有f(x)=2一1，则f(5)= 14,如图，已知A,B是双曲线器一苦=1(a>0,6>0)的右支上的两点 (点A在第一象限)，点A关于坐标原点O对称的点为C,且∠ABC =平，若直线AB的斜率为一3，则该双曲线的离心率为 【高三数学第2页（共4页）】 6298C 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，A,B,C分别为边a,b,c所对的角，且满足s1nCB+C)。十2a=0. s1nC·cos Bc (1)求∠B的大小； (2)若a=1,b=√5，求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，AP=AB=1, F,E分别是PB,PC的中点. (1)证明：PB⊥ED; (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角. 17.（本小题满分15分) 已知箱圆C:若+苦=1a>>0)的焦距为4V5,且椭圆C过点(0，-2)。 (1)求椭圆C的方程； (2)直线1：y=(x-m)与椭圆C交于不同的A,B两点，与x轴交于点D,证明：AD:+ |BD为定值. 【高三数学第3页（共4页）】 6298C 18.(本小题满分17分)》 小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米 则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色 泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果.已知小张购进 了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 大小 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 色泽 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 200 (1)完成上面的2×2列联表，依据小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为苹果的大小 达标和色泽达标有关？ (2)小张按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取4个，设 X表示抽到的一级果的个数，求X的分布列和数学期望. n (ad-bc)2 附：X=a+bc+2aPab+,其中m=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Za 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=xln(x十a). (1)当a=0时，求f(x)的极值； (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(c1<c2). (i)求a的取值范围； (证明：一号<f()<0, 【高三数学第4页（共4页）】 6298C高三年级2月联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B由(-3)2>6，(-2)2<6,02<6,12<6,4>6，可得A∩B={-3,4冫.故选B. 2.A由：=2牛i-4一2，可得复数：的虚部为一2.故选A &.D:函数r)在r=处的导数为3m十园f-号故选B 2△z D依题意，2=aX1,解得a=2,所以C2=产的准线为y=一令，所以PF=2+令-号，放选D. 5.C设等比数列{am}的公比为g,由4a5,a7,2a6成等差数列，可得2a,=4a十2a:,即a1g°=2a1g十a1g,得 q-g一2=0，所以416-a1i=q2-q=2,故选C. a14 6.C圆维的母线长为√（号）十华-5，该陀螺的表面积为元×3X5十π×32+2m×3×4=48m,故选C 7.A作出函数f(x)=|2一2|的图象，如图所示，因为f(x1)= f(x2),即121一2=|2？一2，因为x1<x2,由图可知，x1<1,1<xg <2.即2-24=9-2，所以有头+2=4则2+2=六十 是=号（信+会）水2+2)=骨(+器+2)≥ (+2√层·要)=是，当且仅当器=，即4 10g专=1og号时等号成立，所以24十2-的最小值为号，故 4 选A. 8.Asina cos'B-cos'a sinB=(sin acos Bcos asin B)(sin acos B-cos asin B) 12 即sina+sina一m=2,因为sin(e一》=子，所以sna+B)=子， 因为0<a-K受，且sina-m=号，所以cosa-02. 因为BD0,所以a-Ka+B,若0<a十B<受时，由0<a-B<a+B<受，则有sin(a-B)<sin(a十B),这与 sina一D=子，sina+》=矛盾，所以受<a+K,又因为sina+9)=,所以cosa十》=-厘 4 则os2a=us[a叶+a]=us(e+mosa-0-sne+msne-》=-里x29-子x5 230十1.故选A. 12 9.BC对于A选项，若a/,有一3m一1)=2m,可得m=号放A选项错误： 对于B选项，若a⊥b,有a·b=2(m-1)-3m=一1一2=0，可得m=-2,故B选项正确： 对于C选项，由a=|b|,有√(m-1)+m=√3，解得m=-2或3，故C选项正确； 5 对于D选项，若m=号有6=（一令号），ab=一号，=子由6之=-5，可得向量0在向量 11b2-1 b上的投影向量的坐标为-5(-号，号)=（号，一号），故D选项错误，故选BC 10,C0由图可知，A=2,子-登-(-登)=受，所以T==Ξ，即。=2，所以f)=2co0s(2x十， 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 6298C 再将(-受2）代入得2=2c0s[2X(-晋)十9]，即1=co(-吾十p)小，所以-晋十9=2km,∈Z,即9= 若+2km,k∈Z,因为0<9<元，所以g=吾，即fx)=2c0s(2x+吾)=2sin(2x+牙)，故A选项错误： 令2x+晋=受十红，k∈Z,解得x=吾十经，k∈Z,即函数的对称中心为（晋+经，0），k∈Z,所以当k=0 时，函数f(x)的图象关于点（石，0）对称，故B正确； 当x∈(0，受)时，2x十吾∈（日，号），所以当2x+吾=元，即x=爱时，函数fx)取得最小值-2，故C 正确； 由A知代)的对称轴方程为2x+晋=kx∈，x=经-登∈Z,当受-臣=一号，A=一合不符合 2 题意，故D错误，故选BC. 11.ACD因为2Sn=aam+1,当n=1时，2S=a1a2,因为S=a1,所以2a1=aa2,又因为am>0,所以a2=2,所以 选项A正确； 因为2Sn=anam+1①，当n≥2时，2Sa-1=am-1an②，①-②得：2an=an（au+1-ar1),因为am>0,所以 a+1一a-1=2(n≥2)，所以数列{an}奇数项与偶数项分别成等差数列.若a1=1,则a2-a1=1,所以数列 {an}是等差数列；若数列{an}是等差数列，则有a2一a1=1,所以有a1=1,因此“a1=1”是“数列{an}为等差 数列”的充要条件，所以B错误； 若数列{am}为单调递增数列，只需a2>a1且a>a2,所以解得0<a<2,所以C正确； 若a1=3,当n为奇数时，an=a1十(n-1)×1=n十2：当n为偶数时，am=a2十(n-2)×1=n,则当n为奇数 时，(-l)”an十(-1)+la+1=-(n十2)十n十1=-1，所以-a十a2-a3十a4-…-am-十am-1-am=（-a +a)十(-a4十a)-…(-a,-:十a1)-a,=-1X”21-(m十2)=-3m,1D,即当n为奇数时， 2 2 {(-1)a,的前n项和为-3(1)，所以D正确.综上，故选ACD 2 12.240由题意得a4=C%·2·(-1)2=240. 13.1由题意可知f5)=f(2-5)=f(-3)=f3)=f(2-3)=f(-1)=f(1)=2-1=1. 14,四如图，设直线AB与x轴交于点D,取AB的中点M,连接OM,由双曲线的对称性可知O为线段AC 2 的中点，则OM∥BC,所以∠OMD=45°.由直线AB的斜率AB=一3，得tan∠ODM=-3, tan∠ODM+tan4 π 则直线OM的斜率kaI=tan(∠ODM十∠OMD)= 1-tam∠ODMan -3+1 1 1-(-3)X=-2: 设A(x1y),B(x2,y2),则 两式相减，得二-立=0，化 --1 a2 y十y2 简得？二 ·二业= x1十x2 2 2 所以该双曲线的离心率。-√+车 2 15.解：1)siCB+CO十2a=0,B+C+A=元，. sin A sinC·cos Bc nC009B十么=0，…5分 又“A,B,C∈(0，T),由正弦定理得 sin A2sin A sin C·cos B sin C =0,c0sB=- 2B= 1 3: …7分 (2)在△ABC中，由余弦定理得b2=a2十c2-2acc0sB,………9分 3=1+c2-2×1×(-2)小·c,2+c-2=0,解得c=-2(舍)，e=1, …………11分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 6298C Saw=2 inB=号X1X1×号- 241 ……………13分 16.(1)证明：PA⊥平面ABCD,∴.PA⊥AD 又AD⊥AB,AB,PA为平面PAB上的相交直线， AD⊥平面PAB,AD⊥PB,……3分 :等腰三角形PAB中有PB⊥AF,∴PB⊥平面ADEF, EDC平面ADEF,.PB⊥ED.…………6分 (2)解：易知AB,AD,AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系，如图所 示，则A(00,0,P(0,0,D,B1,0,0),C1,1,0,D(0,10),F(分，0，)Pi- (1,0,-1),Pt=(1,1,-1),Pj=(0,1,-1),…9分 由(1)，得PB⊥平面ADEF,所以平面ADEF的一个法向量可以为PB=(1,0,-1), …10分 平面PCD的一个法向量可以为n=(0,1,1),……12分 设平面ADEF与平面PCD的夹角为0，所以osg=cos(P成.m)=号，…14分 .平面ADEF与平面PCD的夹角为60°.……15分 17.(1)解：因为椭圆C过点(0，一2)，所以b=2,焦距2c=43,则c=25.…2分 所以0=+=2十(25)=16，所以箱圆C的方程为后+学=1， ………4分 (2)证明：设A(x,y),B(x2,y2),则D(m,0),直线l与椭圆C联立方程组， (y-(-m) 得 消去x得8y2十4y十m2-16=0,…8分 由4=16m-32(m-16)>0,得1m<4E,所以y十%=”为=0.16 12 。。。…。。。…。 10分 AD|2=(x1-m)2十yi,|BD|2=(x2一m)2十吃，… 12分 所以|AD|2十|BD2=(2y1)2十y听十(2y2)2十y吃=5(y十呢)，…13分 所以AD1:+BDP=5[(+)-2]=5×[(-受)）'-2×mg16]=20. 所以AD2十|BD|2为定值.……15分 18.解：(1)2×2列联表如下： 大小 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 色泽 合计 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 ………2分 零假设为H。:苹果的大小达标和色泽达标无关。 根据列联表中的数据，经计算得到X-200XC20X12030X30)=8>7.879=1. 50×150×150×50 5分 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为苹果的大小达标和色泽达标有关；… …………………………………………………7分 (2)按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，则一级果：10×20 200 =6(个)，二级果：10× 60 200 =3(个)，三级果：10X0=1(个). 9分 X的所有可能值为0,1,2,34，所以P(X=0)= C-210 …10分 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 6298C P(X=1)= CC 4 Cio 351 11分 P(X=2)= cici= Cio 7 12分 P(X=3)= cicl= 8 C。 13分 CL= P(X=4)-。-4' …………14分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 力 1 8 210 3 15分 所以E(X)=0×品0+1×+2号+3x员+4-号 17分 19.(1)解：当a=0时，f(x)=xlnx,则f'(x)=1十lnx,… 1分 当x∈(0，)，f(x)<0,(x)单调递减， 2分 当x∈（二，+∞），f(x)>0,f(x)单调递增， 3分 所以x=。为f(x)的极小值点，()=一二 4分 所以f()的极小值为一。，无极大值： 5分 2解：f)=ihr+a)+千。十axta)lnx+a+, 设g(x)=(x十a)n(x十a)十x,即g(x)有两个零点，……6分 则g'(x)=2十ln(x十a), 所以当x(-a,-a小g(a)<0,gx)单调递减， …7分 当x∈（侵-a,+o∞）g'()>0,g()单调递增， 8分 所以g(x的最小值为s(日-a）=-是-a,且s(日-a）<0,即a>-己 …………………9分 当x∈(-a,。-a）时，gx)<-a,若a≥0，则g(x)<0,此时g)在(-a,-a）无零点，因此a<0, ………10分 所以-<a<0…… 11分 (i)证明：由(iD可知，一a<x1<。-a,且(x十a)ln(x1十a)十x=0,… 12分 所以f(x1)=x1ln(x1十a)=-(x1十a)ln2(x1十a),…l4分 设h()=-hx(0<<是）则()=-nx(2十lnx),… 15分 因为x∈(0，是)，所以h(x)<0,h(单调递减， 16分 h(是）=-冬，所以-<(x)<0,所以-专<fx)<0. 17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 6298C