专题01 圆锥曲线中点弦、参数范围与最值（6大题型）（专项训练）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

专题01 圆锥曲线中点弦、参数范围与最值 目录 A题型建模・专项突破 题型一、椭圆的中点弦 1 题型二、椭圆中的参数范围及最值 5 题型三、双曲线的中点弦 12 题型四、双曲线中的参数范围及最值 19 题型五、抛物线的中点弦 24 题型六、抛物线中的参数范围及最值 26 B综合攻坚・能力跃升 题型一、椭圆的中点弦 1．（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 . 【答案】 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【详解】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海·月考）已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【详解】（1）由题意知的斜率存在，设为，设，则直线方程为，联立方程 则， 经检验符合题意，则直线的方程为． （2）由（1）可知联立后的方程为， ． 4．（24-25高二下·上海·月考）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【详解】（1）联立 的取值范围 （2）设 由得. 线段中点的横坐标为 5．（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【详解】（1）由得，所以焦距，离心率 . （2）   ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. （3）    ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 题型二、椭圆中的参数范围及最值 6．（24-25高二下·上海静安·期末）已知为二次曲线上一点，则过点的二次曲线的切线方程为．椭圆Γ：的左焦点是、右焦点是，过点的直线l分别交Γ于两点P、Q，其中点P在x轴上方，O为坐标原点． (1)若，求的值； (2)现分别过点P、Q作椭圆Γ的两条切线相交于点T，求的面积的最小值． 【详解】（1）由题， 由题意直线l垂直于x轴时或者为x轴时不成立，故可设直线l的方程为， 设，，则由，得， 由，得， 又，故，故， （2）当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得点， 根据已知条件切线的方程分别为：， 联立求得两直线交点T的坐标为，此时△TPQ的面积为； 直线l显然不为x轴，当直线l不垂直于x轴时，设， 代入椭圆方程得， 设，，则， 则， 设两直线交点T的坐标为， 根据已知结论有：，因此直线即直线l的方程为， 又PQ恒过点，代入此方程得， 从而直线的方程为，所以， 点到直线l的距离， 故的面积=， 这是关于k的偶函数，只需考虑， 时，， 所以在时单调递减，在时递增，在即直线l垂直于x轴时取得最小值，此时的面积为． 综上，的面积的最小值为. 7．（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点.    (1)若，求的值； (2)求面积的最大值. 【详解】（1）因为直线与轴交于点，所以. 设，由知为的中点，所以. 由方程组，消去得， 则，即，且, 将代入得，消去得， 因为，所以解得. （2）因为是椭圆的下焦点，所以， 到直线的距离. 由弦长公式知， 将代入得 ， 所以， 令，则， 所以，当且仅当，即，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 8．（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为点分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点.点在椭圆上，且位于轴的上方， (1)求椭圆的方程； (2)求点的坐标； (3)设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值. 【详解】（1）椭圆上的点到两焦点的距离之和为， ，， 椭圆的方程为. （2）由可得点，，. 设点，则， 由已知可得， 则，或.由于，只能，于是， 点的坐标是. （3）直线的方程是，即. 设点的坐标为 则到直线的距离是. ，又，解得. 点的坐标为. 设椭圆上的点到点的距离为， 则. ， ， 当时，取得最小值. 9．（24-25高二下·上海杨浦·期中）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点. (1)若是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆” 的方程; (2)在（1）条件下，为半椭圆上的任意一点，点坐标为，求最大值以及最小值； (3)当 时，求的取值范围. 【详解】（1）因为是边长为1的等边三角形， 所以，，， 所以，， 故“果圆”的方程为，； （2）由（1）可知：， 可设，满足， 则， 因为，由二次函数的性质易知：当时，取得最小值， 即， 因为，所以，当三点共线取等号， 又，所以，即最大值为3； （3）又，，，因此， 因为，所以，即，即， 因为，所以， 所以，化简得， 所以. 10．（2025·上海普陀·一模）设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． (1)若，且四边形为矩形，求的离心率； (2)若，且的周长的最大值为12，求的方程； (3)若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值． 【详解】（1）由，得，， 将代入椭圆方程得，解得，则， 又四边形是矩形，则，即离心率. （2）由得，，即轴， 则， 当且仅当过右焦点时等号成立，即的周长的最大值为， 即，即， 则方程为 （3）设， 由得，点，又， 则， 因为点在上，所以 则， 又点均在上，则， 由得，即， 则，又，即. 由得，， 又，即直线， 由得，， 则， 则 由得，， 即， 即， 化简整理得，，则， 又原点到直线的距离为， 则 则. 题型三、双曲线的中点弦 11．（24-25高二下·上海·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 【答案】 【详解】设，，则，， 两式相减得， 是的中点，，， ，又，，， 解得，． 故答案为：. 12．（25-26高二上·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于 . 【答案】 【详解】依题意，设，直线的斜率分别为， 则，两式相减，整理得， 因是线段的中点，则， 代入上式整理得：， 依题意，，则得， 即，因，则. 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以该弦存在， 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·期中）设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 【答案】 【详解】设，则可得的中点坐标为， 因此， 因为在双曲线上，所以，两式相减可得， 因此， 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时，即， 显然为双曲线的渐近线，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点， 故符合题意；综上可知可作为线段中点的是. 故答案为： 15．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【详解】（1）设， 因为的中点的坐标为，可得，即， 又由，两式相减，可得， 可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，整理得， 则，即直线与双曲线相交，满足条件. 所以直线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，且， 所以两点间的距离为：. 16．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. （2）假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 17．（23-24高二下·上海·月考）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【详解】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 题型四、双曲线中的参数范围及最值 18．（25-26高二上·上海·期中）已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由条件可知，，，即， 双曲线的过第二象限的渐近线的斜率，渐近线方程为，即， 此时渐近线与直线的距离， ，渐近线上的点与点、构成的三角形的面积为， 左顶点到直线的距离， 左顶点与点构成的三角形的面积为， 点是第二象限的点，所以面积的取值范围为. 故答案为： 19．（25-26高二上·上海普陀·期末）已知点、依次为双曲线的左、右焦点，且，，． (1)若，以为法向量的直线经过，求到l的距离； (2)若双曲线上存在点，使得，求实数b的取值范围． 【详解】（1）依题意，，， 则双曲线，，， 因为直线的法向量为，所以直线的斜率， 设直线，将代入解得：， 此时，到的距离为； （2）设双曲线上的点满足， 则，， 所以，即. 又，∴，即， ∵，且，∴， 又因为，∴实数的取值范围是． 20．（25-26高二上·上海·月考）双曲线的左焦点为． (1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k； (2)点P在双曲线上，，求的最小值． 【详解】（1）双曲线，，所以，所以左焦点为． 所以直线的方程为，联立直线与双曲线方程得： ，化简得. 设，根据韦达定理得. 所以. 因为，所以，化简得，解得. （2）设，因为点P在双曲线上，所以满足，得到. 所以. 因为或，根据二次函数的性质可知，当时，取最小值为. 21．（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． (2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 【详解】（1） 当时，双曲线，且． 由点在第一象限，可知为钝角． 由为等腰三角形，得． 设点，且，则，解得， 即； （2） 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称． 设，则． 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立，得， 则，即，, 由，得， 得，所以 整理得，则, 再由，得，解得，所以， 又，得，即的最大值为． 22．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 题型五、抛物线的中点弦 23．（23-24高二下·上海·期中）已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，， 则，两式相减得， 由条件可知，，即， 所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为， 由题意可知，中点应在抛物线内，即，得. 故答案为： 24．（2023·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 25．（24-25高二上·上海·期末）带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑. (1)将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论. 【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分； ②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明． (2)将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象． 【详解】（1）抽象出的数学问题： 已知抛物线上有一条长度为的动弦，求中点到轴的距离的最小值. 问题解答： 设，直线， 联立得，， ，，， 所以， 解得， 中点， 则中点到轴的距离为 ， 令，设， ①当时，， 当且仅当，即时等号成立. 此时， 故直线，恒过抛物线的焦点； ②当时，在上单调递增，则. 当，即时，中点到轴的距离最小，最小值为. 此时斜率，即关于轴对称. 回归实际问题，研究结论是： 当木棍长时，小木棍自然静止下来后对应木棍处于水平位置； 当木棍长时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点. （2）由题意，小木棍长短不一，但均足够长，不妨认为木棍长度均满足. 由（1）可知，当时，小木棍自然静止下来后对应木棍通过抛物线焦点. 故将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后， 它们全部交汇于同一点，即抛物线的焦点. 题型六、抛物线中的参数范围及最值 26．（25-26高二上·上海·期末）在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，得，设， 则， 所以曲线在点处且与直线平行的切线的斜率为， 又，所以，解得，所以， 此时点到直线的距离最小，如图，    距离为. 故答案为：. 27．（24-25高二上·上海·期中）已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于存在以、、为边长的三角形，则、、都为正数， 联立可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的实根、， 则，可得， 将代入不等式，得，可得， 由得，可得， 由得，则，即，可得， 由可得，可得， 又因为，即，即，可得， 由于，可得， 显然，则显然成立， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 28．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【详解】（1）由抛物线的准线方程为，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关.    （3）设，则，，， 令，函数图象的对称轴为直线， 当，即时，，则； 当，即时，，则， 所以. 29．（24-25高二上·上海·期中）已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点，，三点共线，求的取值范围． 【详解】（1）设直线的方程为，由，整理可得， 则， 所以，则， 依题意可得，解得，满足， 所以直线的方程为，即； （2）由（1）可得，则， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以线段的最小值； （3）因为、、三点共线，而抛物线的焦点， 所以直线AB的方程为，，， 联立有， 故，，，， 所以， ，， 所以 所以，即 故的取值范围为. 一、单选题 1．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（    ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 【答案】B 【详解】椭圆是“自稳定曲线”. 设椭圆方程为，令，则，设， 由是的重心，知，直线过点，    当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 则当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 当时，，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与椭圆交于两点，且是的重心， 即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心， 综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题； 双曲线不是“自稳定曲线”. 由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设， 假设是的重心，则，直线过点， 当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此， ，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与双曲线不相交， 所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题. 故选：B 2．（2023·上海普陀·一模）若椭圆的两个顶点和焦点都在圆：上，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的方程是 B．过椭圆上的点作圆的切线，一定有两条 C．圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值是 D．直线与椭圆有交点，与圆无交点 【答案】C 【详解】由题知，设椭圆的方程为， 则将代入圆，可得， 将椭圆焦点代入圆，可得， 所以椭圆中， 所以椭圆的方程为，A错； 过椭圆在轴上的顶点，作圆的切线，明显一条，B错； 圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值是，C对； 联立得， 由， 所以直线与椭圆有交点， 联立得， 由， 所以直线与圆相切，D错. 故选：C 二、填空题 3．已知椭圆的半焦距为，且，若椭圆经过两点，且是圆的一条直径，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】设，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB的中点M，求出直线斜率，即可得到直线方程. 【详解】设, 代入椭圆方程可得：①，②， ②①得：， 由可得，即， 又AB的中点M， 所以 所以直线的方程为， 即. 故答案为： 4．（24-25高二下·上海·月考）抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图所示，设圆心为，则， 因为点在上，则坐标，点坐标， 则， 因为圆的半径为，所以最小值为． 故答案为：． 三、解答题 5．（22-23高二上·上海杨浦·期中）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点. (1)求、的方程； (2)若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)求四边形面积的最小值. 【详解】（1）解：由题意可得，，，则， ，，， 所以，椭圆的方程为，双曲线的方程为. （2）解：由（1）可知，因为直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设点、、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 则，，所以，点， 因为四边形为平行四边形，则为线段的中点，故点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，即， 解得， 因此，直线的方程为或. （3）解：由（2）可得， ，所以，直线的方程为， 联立可得，所以，， 不妨取点、， 所以点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 则， 所以，四边形的面积为 ， 故当时，四边形的面积取最小值. 6．（25-26高二上·上海·期末）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． (1)求b的值； (2)已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； (3)若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 【详解】（1）由于椭圆与双曲线在第一象限的公共点为， 即，得，所以； （2）设，，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 由椭圆的对称性，当交点在第一象限且在椭圆上曲线段时， ，此时，故不可能，舍去； 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于x轴下方时，也不成立， 综上直线l的方程为； （3）直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增趋于正无穷大，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为， 且当趋于正无穷时，趋于，则， 所以. 7．（25-26高二上·上海·期中）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为．曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合． (1)直接写出椭圆和双曲线的离心率， (2)已知直线过点与曲线交于、两点，若，求直线的方程： (3)已知斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值． 【详解】（1）由椭圆知：，则 ， 所以椭圆的离心率为 ； 由双曲线，，则 ， 所以双曲线的离心率为 ； （2）设，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 当交点在第一象限且在椭圆上时，或， 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于x轴下方时，也不成立，综上直线l的方程为 （3）因为斜率为的直线过点，所以设直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为. 8．（25-26高三上·上海·月考）已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 【详解】（1）因为曲线：为双曲线， 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为，则，即，解得或（舍去）， 此时曲线的离心率； 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为， 则，即，解得（舍去）或， 此时曲线的离心率， 综上可得曲线的离心率为或. （2）当时曲线：， 依题意，直线的斜率必存在（否则点重合，不合题意），可设其方程为， 联立，消去并整理得， 解得，则，即， 因为点关于原点的对称点为，所以， 此时，故直线的方程为， 当时，解得，即，又易得，则 ， 则，因为，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为，故的最小值为． （3）依题意，解得或， 当时曲线：，为焦点在x轴上的椭圆，符合题意； 当时曲线：，为焦点在y轴上的椭圆，不符合题意； 依题意，可设直线的方程为， 联立得， 可得， ，则，解得， 因直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，故直线的斜率为，同理可得， 则，， 则， 当且仅当，即时等号成立，经检验符合， 所以线段AB的长的最大值为. 9．（22-23高三上·上海宝山·开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且. (1)求的离心率； (2)设是与的公共点，若，求与的标准方程； (3)直线与交于、，与交于、，且在直线上按、、、顺序排列，若，求. 【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，则， 将代入椭圆的方程得可得，所以，， 设抛物线的标准方程为，则，可得， 所以，抛物线的方程为， 将代入抛物线的方程可得，解得，所以，， 因为，即，所以，，即， 因为，解得，故椭圆的离心率为. （2）解：设点，则，则， 则 ， 由抛物线的定义可得， 所以，，解得，则，， 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. （3）解：若，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 所以，，由题意可知，为的中点，为的中点， 设点、，则、， 设，则，，抛物线的方程为， 联立可得，，可得， 由韦达定理可得，， 椭圆的方程为，即， 因为点、均在椭圆上，则， 可得，即. 若，则，可得， 所以，则， 所以，，则点， 将点的坐标代入椭圆的方程可得， 化简可得， 显然，所以，不成立. 所以，，则必有或， 此时直线过原点，则直线的方程为，则、关于原点对称， 所以，点为坐标原点，故， 联立解得，即点，故点， 将点的坐标代入椭圆的方程可得， 可得，解得， 所以，， 所以，. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆锥曲线中点弦、参数范围与最值 目录 A题型建模・专项突破 题型一、椭圆的中点弦 1 题型二、椭圆中的参数范围及最值 2 题型三、双曲线的中点弦 5 题型四、双曲线中的参数范围及最值 6 题型五、抛物线的中点弦 7 题型六、抛物线中的参数范围及最值 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、椭圆的中点弦 1．（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 . 2．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 3．（23-24高二下·上海·月考）已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 4．（24-25高二下·上海·月考）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 5．（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 题型二、椭圆中的参数范围及最值 6．（24-25高二下·上海静安·期末）已知为二次曲线上一点，则过点的二次曲线的切线方程为．椭圆Γ：的左焦点是、右焦点是，过点的直线l分别交Γ于两点P、Q，其中点P在x轴上方，O为坐标原点． (1)若，求的值； (2)现分别过点P、Q作椭圆Γ的两条切线相交于点T，求的面积的最小值． 7．（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点.    (1)若，求的值； (2)求面积的最大值. 8．（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为点分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点.点在椭圆上，且位于轴的上方， (1)求椭圆的方程； (2)求点的坐标； (3)设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值. 9．（24-25高二下·上海杨浦·期中）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点. (1)若是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆” 的方程; (2)在（1）条件下，为半椭圆上的任意一点，点坐标为，求最大值以及最小值； (3)当 时，求的取值范围. 10．（2025·上海普陀·一模）设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． (1)若，且四边形为矩形，求的离心率； (2)若，且的周长的最大值为12，求的方程； (3)若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值． 题型三、双曲线的中点弦 11．（24-25高二下·上海·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 12．（25-26高二上·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于 . 13．（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 14．（24-25高二上·上海·期中）设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 15．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 16．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 17．（23-24高二下·上海·月考）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 题型四、双曲线中的参数范围及最值 18．（25-26高二上·上海·期中）已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 19．（25-26高二上·上海普陀·期末）已知点、依次为双曲线的左、右焦点，且，，． (1)若，以为法向量的直线经过，求到l的距离； (2)若双曲线上存在点，使得，求实数b的取值范围． 20．（25-26高二上·上海·月考）双曲线的左焦点为． (1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k； (2)点P在双曲线上，，求的最小值． 21．（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． (2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 22．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 题型五、抛物线的中点弦 23．（23-24高二下·上海·期中）已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 24．（2023·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 25．（24-25高二上·上海·期末）带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑. (1)将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论. 【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分； ②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明． (2)将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象． 题型六、抛物线中的参数范围及最值 26．（25-26高二上·上海·期末）在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为 ． 27．（24-25高二上·上海·期中）已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是 ． 28．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 29．（24-25高二上·上海·期中）已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点，，三点共线，求的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（    ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 2．（2023·上海普陀·一模）若椭圆的两个顶点和焦点都在圆：上，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的方程是 B．过椭圆上的点作圆的切线，一定有两条 C．圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值是 D．直线与椭圆有交点，与圆无交点 二、填空题 3．已知椭圆的半焦距为，且，若椭圆经过两点，且是圆的一条直径，则直线的方程为 . 4．（24-25高二下·上海·月考）抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ． 三、解答题 5．（22-23高二上·上海杨浦·期中）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点. (1)求、的方程； (2)若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)求四边形面积的最小值. 6．（25-26高二上·上海·期末）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． (1)求b的值； (2)已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； (3)若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 7．（25-26高二上·上海·期中）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为．曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合． (1)直接写出椭圆和双曲线的离心率， (2)已知直线过点与曲线交于、两点，若，求直线的方程： (3)已知斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值． 8．（25-26高三上·上海·月考）已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 9．（22-23高三上·上海宝山·开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且. (1)求的离心率； (2)设是与的公共点，若，求与的标准方程； (3)直线与交于、，与交于、，且在直线上按、、、顺序排列，若，求. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $