第2章 圆锥曲线（单元测评卷）高二数学沪教版

第2章圆锥曲线 单元测评卷 A4考试版 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则 ． 2．椭圆上一点P到其两个焦点的距离之和为 ． 3．已知双曲线，且，那么正实数 . 4．已知点在抛物线上，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 5．若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为 . 6．已知双曲线的离心率为，则 ． 7．若直线截圆所得的弦长是8，则 ． 8．已知，点P是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 . 9．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为 . 10．设焦点为，的椭圆上的一点P也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 ． 11．已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，是椭圆上一点，在第二象限内.若，则直线的斜率取值范围是 . 12．如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆，其中的长轴AC为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为 ．      二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，对于下面两个不等式，说法正确的为（   ） ① ② A．①成立 ②不成立 B．①和②都成立 C．①不成立 ②成立 D．①和②都不成立 16．在平面直角坐标系xOy中，是边长为1的正方形.从中的任意一点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N．记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为，给出下列结论：①的最大值为；②的取值范围是；③恒等于零，其中所有正确结论的序号是（   ）． A．① B．②③ C．①② D．①②③ 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知圆． (1)若，，直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆心C在直线上，圆C与直线相交于两点，且，求圆C的方程． 18．（14分）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）． (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3m的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至0.1米） 19．（14分）已知双曲线的左､右焦点为､，虚轴长为，离心率为，过双曲线的左焦点作直线交该双曲线的左支于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 20．（18分）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 21．（18分）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆锥曲线 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则 ． 【答案】4 【详解】由抛物线，则其顶点为，焦点，由题意可得，解得. 故答案为：. 2．椭圆上一点P到其两个焦点的距离之和为 ． 【答案】4 【详解】焦点在轴上的椭圆，标准形式为（）， 所以，解得， 所以，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为． 故答案为：4． 3．已知双曲线，且，那么正实数 . 【答案】 【详解】因为双曲线，且， 由，可得，所以， 因为，所以. 故答案为：. 4．已知点在抛物线上，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 【答案】 【详解】由于点在抛物线上， 则，所以，则点， 由于抛物线准线方程为, 根据抛物线的定义，点到该抛物线焦点的距离等于点到准线的距离， 为, 所以点到该抛物线焦点的距离为. 5．若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由方程表示的曲线为椭圆，则满足， 解得或，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 6．已知双曲线的离心率为，则 ． 【答案】1 【详解】由题意得，可得， 因为双曲线的离心率为，所以，解得（负根舍去）. 故答案为：1 7．若直线截圆所得的弦长是8，则 ． 【答案】或 【详解】因为直线截圆所得的弦长是8， 而圆的半径为5，那么根据勾股定理，圆心到直线的距离为. 圆心到直线的距离为，化简得， 解得或. 故答案为：10或-68 8．已知，点P是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】    如图，由题意知是抛物线的焦点， 过点作准线的垂线，垂足为，记点到抛物线的准线的距离为， 所以， 当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，等号成立， 所以的最小值为6. 故答案为： 9．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图所示，由曲线， 可得，则， 又由直线，可化为，可得直线恒过定点， 则， 要使得直线与曲线有两个不同的交点，则满足或， 所以实数的取值范围为.    10．设焦点为，的椭圆上的一点P也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 ． 【答案】 【详解】对于椭圆，可得其焦点一定在轴上， 如图，作出符合题意的图形，设，    结合对称性，不妨设点在轴的上方， 由焦半径公式得，解得， 则，将代入抛物线方程，可得，解得，则， 将代入椭圆方程，得到，解得， 则，即， 得到，故. 故答案为： 11．已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，是椭圆上一点，在第二象限内.若，则直线的斜率取值范围是 . 【答案】 【详解】由椭圆的性质可知，因为是椭圆上一点，在第二象限内.若， 根据余弦定理可知， 所以可得， 则可知，又因, 所以可知，所以直线的斜率为. 故答案为： 12．如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆，其中的长轴AC为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为 ．      【答案】 【详解】函数的值域为，最小正周期， 依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得， 椭圆短轴长，即，长轴长，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程表示的曲线为椭圆， 所以，解得且. 故选：B 14．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若方程表示双曲线， 则，解得或， 因为或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 15．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，对于下面两个不等式，说法正确的为（   ） ① ② A．①成立 ②不成立 B．①和②都成立 C．①不成立 ②成立 D．①和②都不成立 【答案】B 【详解】因为点在抛物线上，所以，， 抛物线方程为：， 易知过点B的直线斜率存在且设为k，则直线方程为：， 设， ，， ， ， ，， ， 因为， 所以，①成立； 因为，， 所以， 因为， 所以，②成立. 故选：B 16．在平面直角坐标系xOy中，是边长为1的正方形.从中的任意一点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N．记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为，给出下列结论：①的最大值为；②的取值范围是；③恒等于零，其中所有正确结论的序号是（   ）． A．① B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】D 【详解】对于①，正方形的边长为，正方形的对角线为，故的最大值为， 故①正确； 对于②，如图，当正方形的对角线在轴上时，此时，， 此时最大为， 当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，如图，此时，，， 此时为最小值. 故的取值范围是，故②正确； 对于③，由于将正方形绕其对角线交点逆时针旋转后与原正方形重合， 所以恒成立，故恒成立，故③正确； 故选：D.    三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知圆． (1)若，，直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆心C在直线上，圆C与直线相交于两点，且，求圆C的方程． 【详解】（1）若，，则圆的方程为， 而直线过点，且与圆C相切，则讨论直线的斜率， 当的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意， 当的斜率存在时，设斜率为，圆心到直线的距离为， 则直线方程为，化简得， 由题意得圆心，，而直线与圆相切，则， 由点到直线的距离公式得， 则，解得，得到直线方程为， 整理可得直线方程为.……（7分） （2）由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上， 所以，解得，可得圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 由点到直线的距离公式得到直线的距离如下， 为，因为，所以， 在直角中，由勾股定理得， 故圆的方程为.……（14分） 18．（14分）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）． (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3m的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至0.1米） 【详解】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为．……（7分） （2）依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 设车辆限高为，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使， 即 所以车辆的限制高度为3.8米．……（14分） 19．（14分）已知双曲线的左､右焦点为､，虚轴长为，离心率为，过双曲线的左焦点作直线交该双曲线的左支于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【详解】（1）由题可知，，故， 又因为离心率， 解得， 故双曲线的方程为.……（6分） （2）由题可知，，故， 易知直线的斜率不为，故可设直线，. 联立直线与双曲线，，得， ， 由韦达定理，可得，， 若点在以为直径的圆上，则，即， ，即，可得与不垂直， 故不存在直线，使得点在以为直径的圆上.……（14分） 20．（18分）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆焦点恰好是双曲线的左右顶点， 所以 ，故， 因为离心率，所以， 因为，所以 ，所以椭圆的方程是 .……（6分） （2）设点，则 ， 因为点在双曲线上，所以，可得， 所以.……（12分） （3）由 (2) 知 ， 设直线的方程为，则直线方程为 ， 联立方程组 ，整理得， 记，则， 所以 ，同理可得， 所以 ， 即 ， 所以存在，使成立.……（18分） 21．（18分）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）根据题意可知， 所以半椭圆的离心率为. 四边形的面积为.……（6分） （2）由的斜率，可设的方程为， 将它与的方程联立，消整理得， 设，则有 ,解得, 又因为化简可得，结合 解得，故直线的方程为……（12分） （3）依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积即可. 设圆的圆心，半径为，则圆的方程为， 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有 设上有任意一点，则， 当时，时，；当时，时 同理，设上有任意一点，可有 记， 易有，当时，，此时圆面积. 故圆心为，半径为的圆，符合题意.……（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章圆锥曲线 单元测评卷 参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 4 2. 4 3. 4 4. 5. 6.1 7. 或 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B A B D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）若，，则圆的方程为， 而直线过点，且与圆C相切，则讨论直线的斜率， 当的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意， 当的斜率存在时，设斜率为，圆心到直线的距离为， 则直线方程为，化简得， 由题意得圆心，，而直线与圆相切，则， 由点到直线的距离公式得， 则，解得，得到直线方程为， 整理可得直线方程为.……（7分） （2）由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上， 所以，解得，可得圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 由点到直线的距离公式得到直线的距离如下， 为，因为，所以， 在直角中，由勾股定理得， 故圆的方程为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为．……（7分） （2）依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 设车辆限高为，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使， 即 所以车辆的限制高度为3.8米．……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）由题可知，，故， 又因为离心率， 解得， 故双曲线的方程为.……（6分） （2）由题可知，，故， 易知直线的斜率不为，故可设直线，. 联立直线与双曲线，，得， ， 由韦达定理，可得，， 若点在以为直径的圆上，则，即， ，即，可得与不垂直， 故不存在直线，使得点在以为直径的圆上.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆焦点恰好是双曲线的左右顶点， 所以 ，故， 因为离心率，所以， 因为，所以 ，所以椭圆的方程是 .……（6分） （2）设点，则 ， 因为点在双曲线上，所以，可得， 所以.……（12分） （3）由 (2) 知 ， 设直线的方程为，则直线方程为 ， 联立方程组 ，整理得， 记，则， 所以 ，同理可得， 所以 ， 即 ， 所以存在，使成立.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）根据题意可知， 所以半椭圆的离心率为. 四边形的面积为.……（6分） （2）由的斜率，可设的方程为， 将它与的方程联立，消整理得， 设，则有 ,解得, 又因为化简可得，结合 解得，故直线的方程为……（12分） （3）依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积即可. 设圆的圆心，半径为，则圆的方程为， 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有 设上有任意一点，则， 当时，时，；当时，时 同理，设上有任意一点，可有 记， 易有，当时，，此时圆面积. 故圆心为，半径为的圆，符合题意.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $